BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN - TIN HỌC BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN (Tài liệu dành cho sinh viên Khoa Toán - Tin học) Nguyễn Thành Nhân Thành Phố Hồ Chí Minh, Năm 2022 Mục lục Giới thiệu môn học Giới hạn hàm nhiều biến 1.1 Không gian Rn 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tích vơ hướng chuẩn Euclide 1.1.3 Ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R 1.2 Một số khái niệm tôpô Rn 1.2.1 Quả cầu mở, cầu đóng 1.2.2 Tập mở, tập đóng 1.2.3 Tập bị chặn, tập liên thông 1.2.4 Dãy hội tụ 1.3 Hàm nhiều biến 1.3.1 Giới hạn hàm số 1.3.2 Hàm số liên tục 1.3.3 Các định lý giá trị trung gian Bài tập Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến 2.1 Sự khả vi hàm nhiều biến 2.1.1 Đạo hàm riêng bậc 2.1.2 Định nghĩa khả vi 2.1.3 Điều kiện cần cho khả vi 2.1.4 Điều kiện đủ cho khả vi 2.1.5 Định lý giá trị trung bình 2.2 Đạo hàm riêng bậc cao 2.2.1 Đạo hàm riêng bậc hai 2.2.2 Công thức Taylor 2.2.3 Định nghĩa vi phân 2.3 Úng dụng vào toán tìm cực trị 7 10 10 10 13 14 15 15 21 22 23 27 27 27 29 30 32 34 37 37 38 41 41 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến 2.3.1 Cực trị địa phương không điều kiện 2.3.2 Cực trị địa phương có điều kiện 2.3.3 Giá trị lớn nhỏ Bài tập Chương Tích phân bội 3.1 Định nghĩa tích phân bội 3.1.1 Tích phân Riemann hộp đóng 3.1.2 Tích phân miền bị chặn 3.2 Dùng tích phân lặp để tính tích phân bội 3.2.1 Định nghĩa tích phân lặp 3.2.2 Phương pháp tính tích phân bội 3.3 Phép đổi biến tích phân bội 3.3.1 Phép đổi biến tổng quát 3.3.2 Đổi biến tọa độ cực 3.3.3 Đổi biến tọa độ trụ 3.3.4 Đổi biến tọa độ cầu Bài tập Chương Tích phân đường 4.1 Đường cong Rn 4.1.1 Định nghĩa 4.1.2 Độ dài đường cong 4.2 Tích phân đường loại I 4.2.1 Định nghĩa 4.2.2 Tính chất 4.3 Tích phân đường loại II 4.3.1 Định nghĩa tính chất 4.3.2 Tích phân đường cong kín 4.3.3 Định lý bốn mệnh đề tương đương Bài tập Chương Tích phân mặt 5.1 Mặt cong R3 5.1.1 Định nghĩa 5.1.2 Mặt tiếp tuyến pháp tuyến 5.1.3 Diện tích mặt cong 5.2 Tích phân mặt loại I 41 47 49 51 57 57 57 60 62 62 63 65 65 67 67 68 69 73 73 73 74 75 75 75 76 76 78 80 82 85 85 85 86 87 88 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến 5.2.1 Định nghĩa 5.2.2 Cơng thức tính 5.3 Tích phân mặt loại II 5.3.1 Mặt cong định hướng 5.3.2 Định nghĩa tích phân mặt loại 5.3.3 Cơng thức tính 5.3.4 Định lý Gauss - Ostrogradski 5.3.5 Định lý Stokes Bài tập Chương Một số đề thi tham khảo Đề thi năm 2017 Đề thi năm 2018 Đề thi năm 2019 Đề thi năm 2020 Đề thi năm 2021 II 88 88 89 89 89 90 91 91 92 93 93 95 97 99 101 Phụ lục: điểm đánh giá học phần 103 Tài liệu tham khảo 105 Giới thiệu môn học Học phần Giải tích hàm nhiều biến học phần bắt buộc hầu hết chương trình đào tạo cử nhân Tốn, dành cho sinh viên học xong học phần Đại số tuyến tính Giải tích hàm biến Nội dung học phần nối tiếp kiến thức sinh viên hướng dẫn học phần Giải tích hàm biến, cung cấp cho sinh viên ngành Toán số kiến thức tảng phép tính vi phân phép tính tích phân cho hàm nhiều biến Trong trình xây dựng chứng minh kết hàm nhiều biến, số kết quen thuộc giải tích hàm biến kế thừa áp dụng thường xuyên Do đó, để học tốt học phần này, sinh viên cần nắm vững kiến thức giải tích hàm biến, bao gồm: phương pháp tính giới hạn hàm biến, khảo sát tính liên tục khả vi hàm biến, định lý giá trị trung bình (Định lý Lagrange), phương pháp tìm cực trị hàm biến, phương pháp tính tích phân hàm biến Nội dung giảng thiết kế dành cho sinh viên Khoa Toán Tin học, bao gồm chương • Chương giới thiệu số định nghĩa không gian Rn định nghĩa giới hạn hàm nhiều biến Trọng tâm chương phương pháp để tính giới hạn khảo sát liên tục hàm nhiều biến Các phương pháp vận dụng liên tục chương tiếp theo, việc khảo sát khả vi hàm nhiều biến • Chương đưa kiến thức phép tính vi phân hàm nhiều biến ứng dụng vào toán cực trị địa phương Trọng tâm Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến chương định nghĩa khả vi nội dung lý thuyết liên quan đến khả vi hàm nhiều biến Các định lý chương chứng minh cách chi tiết, với mục tiêu mang đến cho sinh viên ý tưởng việc chuyển từ lý thuyết phép tính vi phân cho hàm biến sang phép tính vi phân cho hàm nhiều biến • Chương trình bày định nghĩa tích phân Riemann hàm nhiều biến miền bị chặn, với phương pháp tính tích phân phép đổi biến trường hợp tổng quát Trọng tâm chương phương pháp đổi biến thơng dụng việc tính tích phân bội • Hai chương cuối giảng trình bày khái niệm tích phân ứng với hàm nhiều biến, tích phân đường tích phân mặt Hai khái niệm tích phân phân thành hai loại, tương ứng với tích phân hàm vơ hướng (hàm có giá trị thực) hàm có hướng (hàm có giá trị vector) Trọng tâm hai chương phương pháp tính tích phân đặc biệt, sử dụng định lý Green, Định lý Gauss-Ostrogradski định lý Stokes Bài giảng tài liệu tham khảo cho sinh viên tham gia học phần Giải tích hàm nhiều biến năm học 2021 - 2022 Bên cạnh giảng này, sinh viên lựa chọn tham khảo thêm một vài tài liệu giới thiệu phần tài liệu tham khảo Bài giảng tập cập nhật mục “Teaching/Analysis of functions of several variables” website: https://sites.google.com/site/nguyenthnhan/teaching Chương Giới hạn hàm nhiều biến 1.1 1.1.1 Không gian Rn Định nghĩa Cho số tự nhiên n ≥ 1, ta định nghĩa: Rn := {x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, , n} Trên Rn , ta xây dựng hai phép toán gồm phép toán cộng (+) hai vector phép toán nhân (.) số thực với vector Hai phép toán định nghĩa sau: với x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) α ∈ R, x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ), α.x = (αx1 , αx2 , , αxn ) Khi (Rn , +, ) thỏa mãn tính chất định nghĩa không gian vector Cụ thể, với x, y, z ∈ Rn α, β ∈ R, ta có: i) Phép cộng giao hốn: x + y = y + x ii) Phép cộng kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z) iii) Phép cộng có đơn vị: tồn = (0, 0, , 0) ∈ Rn cho x+0 = 0+x iv) Phép cộng có phần tử đối: tồn (−x) ∈ Rn cho x + (−x) = v) Phép nhân kết hợp: α.(β.x) = (αβ).x vi) Phép nhân phân phối với phép cộng: α.(x + y) = α.x + α.y vii) Phép nhân phân phối với phép cộng vô hướng: (α + β).x = α.x + β.x viii) Phép nhân có đơn vị: 1.x = x Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến Ta gọi Rn không gian vector điểm Rn gọi vector Lưu ý trường hợp khơng có nhầm lẫn phép nhân, ta thường viết αx thay α.x 1.1.2 Tích vơ hướng chuẩn Euclide Định nghĩa 1.1.1 Cho x, y ∈ Rn , với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) Tích vơ hướng hai vector x y, ký hiệu x, y , số thực xác định sau: x, y := x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Để đơn giản người ta thường viết tích vơ hướng xy thay x, y , khơng mang đến nhầm lẫn Tính chất 1.1.2 Với x, y, z ∈ Rn α ∈ R, ta có tính chất sau: i) x, x ≥ Đẳng thức xảy x = ii) x, y = y, x iii) αx, y = α x, y iv) x, y + z = x, y + x, z Chứng minh Các tính chất kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.3 Chuẩn Euclide vector x ∈ Rn , ký hiệu x , số thực xác định sau: x := x, x Tính chất 1.1.4 Với x, y ∈ Rn α ∈ R, ta có tính chất sau: i) αx = |α| x ii) | x, y | ≤ x y iii) x + y ≤ x + y iv) x − y ≤ x−y Chứng minh Tính chất i) hiển nhiên Tính chất iii) hệ tính chất ii) tính chất iv) hệ iii) Ta chứng minh tính chất ii) Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến Với x = bất đẳng thức ii) hiển nhiên Với x = 0, ta ln có: tx + y, tx + y ≥ 0, ∀t ∈ R Sử dụng ii), iii) iv) Tính chất 1.1.2, ta khai triển bất đẳng thức dạng x, x t2 + x, y t + y, y ≥ 0, ∀t ∈ R Đây tam thức bậc hai theo t, nhận giá trị không âm R nên có đại lượng ∆ ≤ Điều dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh Định nghĩa 1.1.5 Ta định nghĩa khoảng cách hai vector x, y ∈ Rn số thực xác định d(x, y) := x − y 1.1.3 Ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ A : Rn −→ R gọi ánh xạ tuyến tính A thỏa mãn tính chất sau: i) A(x + y) = A(x) + A(y), ∀x, y ∈ Rn ii) A(αx) = αA(x), ∀x ∈ Rn , ∀α ∈ R Chú ý 1.1.7 Hai điều kiện tương đương với điều kiện sau: A(αx + βy) = αA(x) + βA(y), ∀x, y ∈ Rn , ∀α, β ∈ R Ta gọi e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1) vector đơn vị Rn Khi đó, với x ∈ Rn , x = (x1 , x2 , , xn ), ta có biểu diễn vector x dạng x = x1 e1 + x2 e2 + + xn en Nếu A ánh xạ tuyến tính A(x) = x1 A(e1 ) + x2 A(e2 ) + + xn A(en ) Đặt = A(ei ), ∀i = 1, 2, , n ký hiệu vector a = (a1 , a2 , , an ) Ta viết lại: A(x) = a1 x1 + a2 x2 + + an xn = a, x Do đó, người ta thường đồng ánh xạ tuyến tính A : Rn −→ R với vector a Rn , gọi vector đại diện Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) 1.2 1.2.1 Giải tích hàm nhiều biến Một số khái niệm tôpô Rn Quả cầu mở, cầu đóng Định nghĩa 1.2.1 Cho x0 ∈ Rn r > 0, ta định nghĩa: • Quả cầu mở tâm x0 bán kính r không gian Rn tập hợp xác định bởi: B(x0 , r) := {x ∈ Rn : x − x0 < r} • Quả cầu đóng tâm x0 bán kính r khơng gian Rn tập hợp xác định bởi: B (x0 , r) := {x ∈ Rn : x − x0 ≤ r} • Mặt cầu tâm x0 bán kính r khơng gian Rn tập hợp xác định bởi: S(x0 , r) := {x ∈ Rn : x − x0 = r} Ví dụ 1.2.2 Ta ví dụ số trường hợp đặc biệt sau a+b • Trong R, khoảng mở (a, b) cầu mở tâm x0 = b−a bán kính r = • Trong R2 , cầu mở hình trịn khơng lấy biên (khơng lấy đường trịn) 1.2.2 Tập mở, tập đóng Định nghĩa 1.2.3 Tập X ⊂ Rn gọi tập mở Rn (gọi tắt tập mở, X mở) với x thuộc X, tồn cầu mở tâm x chứa X, nghĩa là: ∀x ∈ X, ∃r > : B(x, r) ⊂ X (1.1) Theo định nghĩa này, để chứng minh tập hợp tập mở Rn , ta tập hợp thỏa mãn mệnh đề (1.1) Trong số trường hợp, việc suy luận trở nên dễ dàng sử dụng mệnh đề phủ định Ta phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề (1.1) sau Tập X tập mở Rn ∃x ∈ X : ∀r > 0, B(x, r) ⊂ X (1.2) 10 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) 5.3.4 Giải tích hàm nhiều biến Định lý Gauss - Ostrogradski Định lý cho công thức liên hệ tích phân mặt loại II với tích phân bội ba Định lý 5.3.3 Cho S mặt cong trơn, kín, giới hạn miền D bị chặn R3 định hướng Giả sử hàm ba biến f, g, h : S → R có đạo hàm riêng liên tục D Khi đó, ta có: f dydz + gdzdx + hdxdy = S D Ví dụ 5.3.4 Tính I = ∂f ∂g ∂h + + d(x, y, z) ∂x ∂y ∂z xdydz + ydzdx + zdxdy biết S mặt cầu đơn S vị, hướng ngồi Lời giải: Gọi D hình cầu đơn vị giới hạn mặt S Áp dụng cơng thức Gauss - Ostrogradski, ta có I= (1 + + 1)d(x, y, z) = 3V (D) = 4π D 5.3.5 Định lý Stokes Định lý Stokes mở rộng định lý Green Định lý 5.3.5 Cho S mặt cong S trơn đơn, bao đường cong C kín, đơn định hướng Giả sử hàm P, Q, R hàm thực ba biến xác định có đạo hàm riêng liên tục S Khi đó, ta có: P dx + Qdy + Rdz = C S ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy + ∂R ∂Q − ∂y ∂z dydz + ∂R ∂P − ∂z ∂x dzdx 91 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến BÀI TẬP CHƯƠNG Mục tiêu Chương 5: • Tính tích phân mặt loại I • Tính tích phân mặt loại II Tính tích phân mặt sau (x+y+z)dS, S nửa mặt cầu x2 +y +z = a2 , z ≥ I = S (x2 +y )dS, S biên hình nón I = x2 + y ≤ z ≤ S (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy, S phía I = S ngồi mặt nón x2 + y = z , ≤ z ≤ h, với h > x2 dydz + y dzdx + z dxdy, S phía ngồi mặt I = S cầu (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 I = xdydz + ydzdx + zdxdy, S mặt ngồi hình trụ S x2 + y = 4, −2 ≤ z ≤ 2, không kể hai đáy xzdydz + x2 ydzdx + y zdxdy, S mặt vật I = S thể giới hạn x2 + y = 1, z = 0, z = 2dxdy − x2 zdydz + ydzdx, S phía ngồi mặt 4x2 + I = S y + 4z = góc phần tám thứ (nghĩa x, y, z ≥ 0) 92 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến ĐỀ THI NĂM 2017 Thời gian: 120 phút Bài (2.5đ) Cho p > hàm số  3  x −y , f (x, y) = (x2 + y )p  0, (x, y) = (0, 0), (x, y) = (0, 0) a) Với p = 1, xét tính khả vi hàm f (0, 0) b) Tìm tất giá trị p để hàm f khả vi (0, 0) c) Cho p = u = (a, b) ∈ R2 \ {(0, 0)} Tính đạo hàm theo hướng Du f (0, 0) Bài (1.5đ) Khảo sát cực trị địa phương hàm f (x, y, z) = x3 + y + 2z + xy − 2xz + 3y − Bài (1đ) Xét hàm số f xác định R2 cho f (x, y) = 0, 1, (x, y) ∈ Q × Q, x ∈ Qc y ∈ Qc Hàm f có khả tích hộp đóng B = [0, 1]×[0, 1] khơng? Tính f (x, y)d(x, y) B f khả tích √ Bài (1đ) Tính tích phân I = ex dx 4−x2 +y dy Bài (1đ) Tính tích phân ex−y [(1 + x + y)dx + (1 − x − y)dy] , I= C C nửa đường tròn đơn vị x2 + y = nằm bên phải trục tung, từ A(0, −1) đến B(0, 1) 93 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến Bài (1đ) Tính tích phân z dxdy + x3 dydz + y dzdx, I= S S phía ngồi mặt cầu x2 + y + z = Bài (2đ) Cho hàm f : R3 → R có đạo hàm riêng bị chặn a) Chứng minh hàm f liên tục R3 b) Với r > 0, ký hiệu Br cầu có tâm gốc tọa độ bán kính r R3 Tính giới hạn lim+ r→0 r3 f (x) dx Br Hết Lưu ý: Sinh viên không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm 94 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến ĐỀ THI NĂM 2018 Thời gian: 90 phút Bài (2đ) Cho hàm số  (x − y)2 sin , x−y f (x, y) =  0, x = y, x = y a) Xét tính khả vi hàm f (0, 0) b) Xét tính liên tục đạo hàm riêng f (0, 0) Bài (1đ) Khảo sát cực trị địa phương hàm số f (x, y) = (x − y)(2 − xy) Bài (1đ) Tính diện tích miền giới hạn đường cong: xy = 1, xy = 8, y = x, y = 8x Bài (1đ) Tính tích phân (x2 + y + z )d(x, y, z), I= D D miền giới hạn hai mặt z = x2 + y z = x2 + y Bài (1đ) Tính tích phân xy − x2 y − x + y dx + xy + x + I= y + + 2x2 y dy, C C nửa đường trịn x2 + y = 2y nằm bên phải trục tung, từ O(0, 0) đến A(0, 2) Bài (1đ) Tính tích phân 3zdxdy + x3 dydz + y dzdx, I= S S phía ngồi mặt cầu x2 + y + z = 95 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến Bài (2đ + 1đ) Cho D mở R2 , (x0 , y0 ) ∈ D hàm f xác định D Chứng minh hai mệnh đề sau: a) Nếu đạo hàm riêng cấp hai hàm f tồn D liên tục (x0 , y0 ) ∂ 2f ∂ 2f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x∂y ∂y∂x b) Nếu ∂f ∂f ∂ f ∂ 2f , , tồn D liên tục (x0 , y0 ) ∂x ∂y ∂x∂y ∂x∂y ∂ 2f (x0 , y0 ) tồn ∂y∂x ∂ 2f ∂ 2f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x∂y ∂y∂x Hết Lưu ý: Sinh viên không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm 96 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến ĐỀ THI NĂM 2019 Thời gian: 90 phút Bài (1.5đ) Cho tập U mở Rn f : U → R Chứng minh f khả vi x ∈ U f có đạo hàm theo hướng x Cho ví dụ chiều ngược lại khơng Bài (1.5đ) Cho tập D mở R2 f : D → R có đạo hàm ∂f ∂f ∂f ∂f , D Giả sử , liên tục (x0 , y0 ) ∈ D Chứng minh riêng ∂x ∂y ∂x ∂y f khả vi (x0 , y0 ) Bài (1.5đ) Cho a > hàm hai biến   cos x + sin (x − y) , (x2 + y )a f (x, y) =   1, (x, y) = (0, 0), (x, y) = (0, 0) Tìm tất giá trị tham số a để hàm f khả vi (0, 0) Bài (1.5đ) Khảo sát cực trị địa phương hàm hai biến f (x, y) = x4 + y − (x − y)2 Bài (1.5đ) Cho C đường tròn x2 + y = 2x Tính tích phân x3 − x + xexy dy − y + x2 cos y − yexy dx I= C Bài (1.5đ) Tính tích phân zdxdy − x2 dydz + y dzdx, I= S S phía ngồi phần mặt nón z = S khơng kể hai đáy z = z = 2) x2 + y , ≤ z ≤ (mặt Bài (1đ) Cho màng mỏng L (có thể xem vật thể hai chiều) ứng với miền D ⊂ R2 Nếu màng L có hàm mật độ ρ : D → R hàm khả tích, 97 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến khối lượng m trọng tâm (¯ x, y¯) màng L tương ứng tính công thức m= ρ(x, y)d(x, y), D m y¯ = m x¯ = xρ(x, y)d(x, y), D yρ(x, y)d(x, y) D Tìm trọng tâm màng L ứng với miền D nửa hình trịn x2 + y ≤ 4, y ≥ 0, biết hàm mật độ điểm D tỉ lệ thuận với khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm Hết Lưu ý: Sinh viên không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm 98 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến ĐỀ THI NĂM 2020 Thời gian: 90 phút Bài (4đ) Cho tập U mở Rn hàm f : U → R a) Phát biểu định nghĩa khả vi hàm f x ∈ U Chứng minh f khả vi x ∈ U f có đạo hàm riêng x ∇f (x) = f (x) b) Mệnh đề ngược lại câu a) có khơng? Giải thích câu trả lời c) Khảo sát khả vi f (0, 0), hàm f xác định    cos(xy) −  xy , (x, y) = (0, 0), f (x, y) = + |y| x    0, (x, y) = (0, 0) Bài (3.5đ) Cho D tập mở, liên thông đơn liên R2 Giả sử hai hàm P, Q : D → R có đạo hàm riêng liên tục D thỏa mãn điều kiện ∂Q ∂P = D ∂x ∂y a) Cho hai điểm A, B cố định nằm D Chứng minh tích phân P (x, y)dx + Q(x, y)dy AB không phụ thuộc vào đường nối A, B với cung AB trơn khúc nằm D b) Chứng minh tồn hàm U : D → R có đạo hàm riêng cấp liên tục cho ∂U ∂U = P = Q D ∂x ∂y c) Tính tích phân đường sau I= x+ C x x2 + y dy − y dx, x2 + y 99 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến C đường cong có phương trình tham số X(t) = + cos3 t, sin2 t từ A = X(0) đến B = X(π) Bài (1.5đ) Tính tích phân (xy + z)dxdy − x3 ydydz + (y − z )dzdx, I= S S phía ngồi phần mặt nón z = x2 + y , ≤ z ≤ (mặt S không kể mặt z = 1) Bài (1đ) Khảo sát cực trị địa phương hàm hai biến f (x, y) = xy(2x − y − 1) Hết Lưu ý: Sinh viên không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm 100 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến ĐỀ THI NĂM 2021 Thời gian: 90 phút Bài (3đ) a) Cho ví dụ hàm f : R3 → R cho f liên tục có đạo hàm theo hướng (0, 0, 0) không khả vi (1.5đ) b) Khảo sát khả vi    f (x, y) =   hàm f (0, 0), với f xác định x2 sin y x4 + 2y 0, , (1.5đ) (x, y) = (0, 0), (x, y) = (0, 0) Bài (2.5đ) a) Cho D ⊂ R2 miền bị chặn hàm f : D → R liên tục D Giả sử D đối xứng qua trục Ox f thỏa mãn tính chất f (x, −y) = −f (x, y), ∀(x, y) ∈ D Bằng phương pháp đổi biến, chứng minh f (x, y)d(x, y) = (1.0đ) D b) Áp dụng câu a) để tính tích phân x2 + y − x4 y sin x 2x − x2 − y d(x, y), I= D miền D xác định D = (x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y ≤ (1.5đ) Bài (2.5đ) Tính√ tích phân sau: 4−x2 a) T = dx −2 b) K = (2 √ − 4−x x + 2y − x2 + y )(x2 + y )dy (1.0đ) y + dy + (ex sin x − y) dx, C đường C cong có phương trình tham số X(t) = (1 + cos t, − sin t) theo hướng từ π (1.5đ) t = đến t = Bài (2đ) Cho tham số a > hàm f : R2 → R thỏa mãn |f (x, y)| ≤ x2 + y a) Chứng minh a > a , ∀(x, y) ∈ R2 hàm f ln khả vi (0, 0) (1.0đ) 101 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến b) Giả sử a ≤ , cho ví dụ hàm f thỏa mãn giả thiết khơng khả vi (0, 0) (1.0đ) Hết./ Lưu ý: - Sinh viên sử dụng tài liệu làm - Cán coi thi khơng giải thích thêm 102 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến PHỤ LỤC: ĐIỂM ĐÁNH GIÁ HỌC PHẦN Điểm đánh giá học phần bao gồm hai cột điểm, điểm kỳ với trọng số 40% điểm cuối kỳ với trọng số 60% Điểm cuối kỳ đánh giá qua thi cuối kỳ thời gian 90 phút Điểm kỳ đánh giá suốt trình học, bao gồm điểm kiểm tra ngắn lớp, điểm làm việc nhóm điểm cộng Dưới cách tính điểm kỳ Cột điểm K (từ đến 10): kiểm tra ngẫu nhiên 10 phút cuối Sau buổi học, giảng viên gọi tuỳ ý số bạn lại làm kiểm tra chấm ngẫu nhiên số Mỗi bạn làm kiểm tra nhiều lần, điểm tính cho kiểm tra cuối Khi gọi hết danh sách thầy báo cho lớp, sinh viên chưa gọi tên điểm khơng có lý đáng, danh dách lớp cố định sau tuần học Không xin kiểm tra lại không làm Vắng khơng có phép khơng có lý đáng tính điểm cho kiểm tra Xin phép qua email phải nhận phản hồi xem xin phép thành cơng, trừ trường hợp bất khả kháng Cột điểm N (từ đến 10): tính điểm qua tập nhóm Mỗi nhóm từ 6-10 sinh viên, cố định sau tuần học thứ Sinh viên khơng có nhóm thầy định, tính điểm Mỗi nhóm chuẩn bị nội dung trình bày, 1/một ứng dụng kiến thức học vào chương trình tốn phổ thông, ứng dụng thực tế, ứng dụng lý thuyết toán, 2/một tập tiêu biểu đặc biệt thú vị, nhóm trình bày có nhiệm vụ làm rõ điểm thú vị đó, 3/mở rộng định lý, chứng minh khác, chứng minh định lý, Chủ đề nhóm lựa chọn trình bày gần khơng bị giới hạn nội dung, quan trọng nhóm phải nêu bật điểm khác biệt, ý nghĩa thú vị nội dung lựa chọn, làm thuyết phục người nghe điều Nội dung trình bày nhóm độc lập giữ kín trình bày Nhóm phải gửi sản phẩm cuối cho thầy trước ngày trước thời điểm trình bày Sảm phẩm bao gồm: 1/file trình chiếu 2/file nội dung (cả hai file dạng pdf) File nội dung có chia tỉ lệ đóng góp thành viên nhóm Nhóm N thành viên có tổng điểm tỉ lệ N, điểm phân chia cho thành viên dựa công sức đóng góp vào tập nhóm Điểm tỉ lệ sau nhân với điểm trung bình thầy chấm cho 103 Nguyễn Thành Nhân (nhannt@hcmue.edu.vn) Giải tích hàm nhiều biến nhóm Các nhóm có buổi báo cáo trước lớp thời gian không 15 phút Trả lời câu hỏi thầy bạn khác có Cuối buổi báo cáo thầy chấm điểm cho nhóm Nội dung chuẩn bị nhóm cần bảo mật, thầy không đánh giá cao việc lấy ý tưởng người khác, đánh ý tưởng nhóm Trong q trình chuẩn bị, nhóm trao đổi với thầy muốn Điểm đánh giá giảm tuỳ theo mức độ giống nhóm, điểm chấm chấm lại nhóm lớp khác trình bày Báo cáo trình bày sau kết thúc nội dung chương tích phân đường Điểm cộng C (theo số tự nhiên): điểm đóng góp lớp Điểm cộng thầy chấm, lớp trưởng ghi nhận suốt trình học, điểm cộng tương đương 0.1 điểm kiểm tra Điểm cộng đánh giá từ đóng góp lớp, bao gồm: trả lời câu hỏi, đặt câu hỏi, sửa tập lớp, sửa tập nhà, chứng minh định lý, giảng bài, thảo luận, Mỗi lần đóng góp thầy đánh giá điểm cộng từ đến 10, tuỳ giá trị đóng góp Ví dụ, sửa tập dễ điểm cộng ít, sửa tập khó điểm cộng nhiều, đặt câu hỏi đơn giản điểm cộng ít, đặt câu hỏi hay điểm cộng nhiều Khi sửa tập có hai hình thức, sửa tập truyền thống sửa theo kiểu trình bày (tức giảng giảng viên) Trình bày tập có điểm cao Trước buổi học sinh viên đọc trước giảng, lý thuyết sinh viên có hội giảng bài, giảng chứng minh, làm tập ví dụ, sinh viên nhận điểm cộng cao Điểm cộng sau quy đổi (nhân 0.1) cộng trực tiếp vào hai cột điểm kiểm tra điểm tập nhóm vượt 10 Trình bày chứng minh định lý trình bày tập đủ khó dùng tài liệu hỗ trợ, cịn sửa tập bình thường khơng dùng tài liệu Điểm kỳ = {(K + N )/2 + 0.1 × C; 10} Điểm đánh giá không nhằm mục tiêu gây áp lực cho sinh viên, không mong muốn dùng điểm tạo động lực cho sinh viên Thầy muốn ghi nhận tất đóng góp sinh viên suốt trình học tập học phần Mục tiêu cuối giúp em rèn luyện kỹ cần thiết đặt câu hỏi, trả lời, trình bày, thảo luận, giảng bài, làm việc nhóm, đọc hiểu chứng minh, đề xuất ý tưởng mới, học chủ động thay tiếp thu thụ động truyền thống, Hy vọng bạn tận dụng thời gian học để tự rèn luyện kỹ cho 104 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hồn Hóa, Phép tính vi phân không gian hữu hạn chiều, Tài liệu lưu hành nội bộ, 2005 [2] Đỗ Cơng Khanh, Tốn học cao cấp 3, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2005 [3] James Stewart, Calculus, Seventh Edition, 2012 [4] George B Thomas, Maurice D Weir and Joel R Hass, Thomas’ Calculus: Early Transcendentals, 12th Edition, 2010 [5] William F Trench, Introduction to real analysis, Hyperlinked Edition 2.03, 2012 105 ... kết hàm số liên tục Giải tích hàm nhiều biến biến học để mở rộng cho hàm nhiều biến Chứng minh kết 23 Chứng minh Định lý 1.3.12 24 Chứng minh Định lý 1.3.13 26 Chương Phép tính vi phân hàm nhiều. .. (1, 2) n→∞ 1.3 Hàm nhiều biến 1.3.1 Giới hạn hàm số Định nghĩa 1.3.1 (Hàm nhiều biến) Cho D tập khác rỗng Rn Khi đó, ánh xạ f : D −→ R gọi hàm nhiều biến tập D gọi tập xác định hàm f Định nghĩa... học phần Giải tích hàm biến, cung cấp cho sinh viên ngành Toán số kiến thức tảng phép tính vi phân phép tính tích phân cho hàm nhiều biến Trong trình xây dựng chứng minh kết hàm nhiều biến, số