Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số

Untitled TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ PGS TS Phạm Ngọc Anh HÀ NỘI 2013 M� l� Lêi nãi ®Çu 6Ch­¬ng 1 Ph�p tÝnh vi ph©n hµm[.]

TẬP ĐỒN BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ PGS TS Phạm Ngọc Anh HÀ NỘI-2013 M l Lời nói đầu Chương 1.1 1.2 Php tính vi phân hàm nhiều biến số Không gian Rn 1.1.1 C¸ php to¸n 1.1.2 ChuÈn hàm khoảng á h 1.1.3 T«p« Hµm sè nhiỊu biÕn 1.2.1 Mặt ầu 1.2.2 MỈt elipxoit 1.2.3 Mặt hypeboli tầng 1.2.4 Mặt hypeboli hai tầng 1.2.5 Mặt paraboloit-elipti 1.2.6 Mặt tr 1.2.7 MỈt nãn bË hai 10 11 12 12 1.3 Giới hạn hàm hai biến 13 1.4 Hàm liên t 15 1.5 Đạo hàm riêng vi phân ảu hàm nhiều biến số 15 1.5.1 Đạo hàm riêng 15 1.5.2 Hàm khả vi 16 1.6 Đạo hàm theo phương 18 1.7 Quan hệ đạo hàm theo phương đạo hàm riêng 19 1.8 Đạo hàm riêng hàm hợp 20 1.9 Đạo hàm riêng vi phân ấp ao 1.10 Công thứ Taylor đa hµm hai biÕn sè 1.11 Hµm Èn 1.12 21 23 24 Cự trị hàm hai biÕn sè 27 1.12.1.Cự trị không điều kiện 27 1.12.2.Cự trị ó điều kiện 31 1.13 Giá trị lớn nhỏ 1.13.1.Định nghĩa 1.13.2.Phương pháp tìm Bài tập hương Ch­¬ng 2.1 2.2 33 33 33 35 41 TÝ h ph©n ph thué tham sè 41 44 50 Tí h phân xá định 2.1.2 TÝ h ph©n suy réng TÝ h ph©n kp 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 §iỊu kiƯn kh¶ tÝ h 2.2.3 C¸ tÝnh hất 2.2.4 Định lý Fubini 2.2.5 Công thứ đổi biến 2.2.6 Công thứ đổi biến tọa ®é ù 2.2.7 ng dng đa tÝ h ph©n kp 2.3 TÝ h ph©n béi ba 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Công thứ tính 2.3.3 Phương pháp đổi biến 2.1.1 Ch­¬ng 3.2 TÝnh phân bội Bài tập hương 3.1 50 50 51 52 56 58 63 63 64 66 68 73 TÝ h phân đường loại Định nghĩa 3.1.2 TÝnh hÊt 3.1.3 C«ng thø tÝnh TÝnh ph©n đường loại hai 3.2.1 Định nghĩa 3.2.2 Nhận xt 73 73 59 TÝ h phân đường mặt 3.1.1 41 73 73 78 78 79 3.4 3.2.3 Tính hất họ 3.2.4 Cá h tính 3.2.5 Chó ý 3.2.6 C«ng thø Green 3.2.7 Định lý bốn mệnh đề tương đương 85 3.3 TÝ h phân mặt loại 90 3.3.1 Cá khái niệm mặt 90 3.3.2 Định nghĩa 3.3.3 Công thứ tính 4.3 3.4.2 C¸ h tÝnh 3.5 Quan hệ tí h phân 3.5.1 Công thứ Stokes 3.5.2 Công thứ Ostrogradski 3.6 V tơ rôta tr­êng thÕ §Þnh nghÜa 3.4.1 Ch­¬ng 4.2 Tính phân mặt loại hai Bài tập hương 4.1 79 80 82 92 92 95 95 95 98 98 100 101 105 Phương trình vi phân Khái niêm 79 110 4.1.1 Cá toán 4.1.2 Định nghĩa Phương trình vi phân ấp 110 110 110 111 111 4.2.2 Phương trình tá h biến 4.2.3 Phương trình tuyến tính 4.2.4 Phương trình Bernoulli 116 4.2.5 Phương trình vi phân toàn phần 118 119 Phương trình vi phân ấp hai Định nghĩa tồn nghiệm 4.3.2 Phương trình khuyết 4.3.1 Định nghĩa tồn nghiệm 4.2.1 112 114 119 120 4.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính ấp hai 4.3.3.1 CÊu tró nghiƯm 4.3.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính ấp hai với hệ số số 4.4 Hệ phương trình vi phân 4.4.1 Hệ phương trình vi phân ấp 4.4.2 Phương pháp giải hệ phương trình vi phân ấp 4.4.3 Phương pháp giải hệ phương trình vi phân ấp với hệ số số Bài tập hương Tài liệu tham khảo 122 123 126 134 134 135 136 137 143 Lời nói đầu Trong hoạt động khoa họ kỹ thuật thường gặp nhiều vấn đề ó liên quan đến hàm nhiều biến số ứng dng húng Do vậy, giải tí h hàm nhiều biến số môn họ giữ vị trí quan trọng lĩnh vự ứng dng hệ thống môn họ Họ viện Công nghệ Bưu hính Viễn thông Cá kiến thứ phương pháp tiếp ận giải tí h hàm nhiều biến số đà hỗ trợ hiệu kiến thứ tảng ho môn họ vật lý, xá suất thống kê, toán kỹ thuật, toán rời rạ môn huyên ngành Bài giảng "Giải tí h hàm nhiều biến số" đượ biên soạn lại theo hương trình qui định Họ viện ho hệ đại họ huyên ngành Điện tử-Viễn thông-Công nghệ thông tin với hình thứ đào tạo theo tín hỉ Do đối tượng sinh viên đa dạng với trình độ nhau, húng đà ố gắng tìm á h tiếp ận đơn giản hợp lý để trình bày nội dung theo phương pháp dễ hiểu hơn, nhằm giúp ho sinh viên nắm đượ kiến thứ Để vừa ôn tập, vừa tự kiểm tra kiến thứ để hình dung đượ mứ độ đề thi hết môn, sau phần lý thuyết quan trọng húng thường đưa ví d minh họa hi tiết Nội dung đượ hia thành hương Chương dành ho php tính vi phân hàm nhiều biến số Chương trình bày hi tiết tí h phân đường tí h phân mặt Phương trình vi phân phương pháp giải đượ đưa hương Cá khái niệm ông thứ đượ trình bày tương đối đơn giản đượ minh họa nhiều ví d với hình vẽ sinh động Cá hứng minh khó đượ lượ bớt ó họn lọ để giúp ho giáo trình không ồng kềnh đảm bảo đượ , để tiện ho sinh viên họ tập huyên sâu tra ứu ph v trình họ tập môn họ Cuối hương họ ó tập để sinh viên tự giải nhằm giúp em hiểu sâu sắ lý thuyết rèn luyện kỹ thự hành Tá giả hy vọng giáo trình ó í h ho em sinh viên bạn đồng nghiệp trình họ tập giảng dạy môn họ giải tí h hàm nhiều biến số Tá giả ũng ám ơn ý kiến góp ý để giáo trình giảng đượ hoàn thiện nhằm nâng ao hất lượng dạy họ môn họ 11/2013, Tá giả: PGS TS Phạm Ngọ Anh Chương php tính vi phân hàm nhiều biến 1.1 Không gian Rn 1.1.1 Cá php toán Cho hai v tơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Khi đó, ta nhắ lại php toán quen thuộ không gian n hiều Rn : + Php ộng trõ: x ± y = (x1 ± y1 , x2 ± y2 , , xn ± yn ) + Php nhân v tơ với số thự : x = (x1 , λx2 , , λxn ), ∀λ ∈ R + Php nhân vô hướng v tơ: hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn Khi đó, ta ó v tơ x vuông gó víi y vµ hØ x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = + Gã v tơ x 6= y 6= xá định ông thứ : x1 y1 + x2 y2 + + xn yn p cos(x, y) = p x1 + x22 + + x2n y12 + y22 + + yn2 1.1.2 ChuÈn vµ hàm khoảng á h Cho v tơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Khi ®ã, huẩn v tơ x số thự đượ ký hiệu kxk đượ xá định kxk = q x21 + x22 + + x2n Chuẩn ó tính hất sau: + kxk ≥ ∀x ∈ Rn vµ kxk = vµ hØ x = + kλxk = |λ|kxk ∀x ∈ Rn , λ ∈ R + kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ Rn Khi đó, khoảng á h x Rn y Rn đượ xá định ông thứ d(x, y) = kx − yk 1.1.3 T«p« Cho x ∈ Rn , ǫ > Khi ®ã + B(x, ǫ) = {y ∈ Rn : ky − xk < ǫ} gọi hình ầu mở ó tâm điểm x bán kính ) = {y Rn : ky xk } gọi hình ầu đóng ó tâm điểm x bán kính + B(x, + Điểm x M Rn gọi điểm trong, nêu tồn hình Çu më B(x, ǫ) ho B(x, ǫ) ⊆ M Tập hợp điểm M đượ gọi phần M ký hiệu intM + TËp M ⊆ Rn gäi lµ tËp më, nÕu intM = M + Cho M ⊆ Rn Điểm x đượ gọi điểm biên M , nÕu víi mäi ǫ > th× B(x, ǫ) hứa điểm thuộ M điểm không thuộ M Tập hợp điểm biên M đượ ký hiƯu lµ ∂M + TËp M ⊆ Rn gọi tập đóng, M M + Tập M Rn gọi bị hặn α > 0, nÕu kxk ≤ α ∀x ∈ M + TËp M ⊆ Rn gäi lµ tËp ompa t, M tập đóng bị hặn 1.2 Hàm sè nhiÒu biÕn Cho ∅ 6= D ⊆ Rn Khi đó, ánh xạ f :DR xá định x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ D 7−→ y = f (x1 , x2 , , xn ) R đượ gọi hàm số nhiều biến x1 , x2 , , xn đượ gọi Ví d 1.1 Cho , Tập D đượ gọi biến số miền xá định hàm số f Cá số hàm số f R > Tìm miền xá định hàm số q f (x) = R2 − x21 − x22 − − x2n Giải Theo định nghĩa, miền xá định D đượ xá định D ={x Rn : R2 − x21 − x22 − − x2n ≥ 0} ={x ∈ Rn : kx − 0k2 ≤ R2 } R) =B(0, Dưới số mặt bậ thường gặp không gian R3 1.2.1 Mặt ầu Phương trình: (S) = {(x, y, z) R3 : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 } z c I b O a x Hình 1: Mặt ầu Khi đó, điểm I(a, b, c) gọi tâm R gọi bán kính mặt ầu (S) 1.2.2 Mặt Elipxoit Phương tr×nh: (E) : x2 y z + + = (a, b, c > 0) a2 b c Cá mặt x2 y + = a2 b z2 y (Oyz) x = : + = b c x2 z (Oxz) y = : + = a c (Oxy) z = : 1.2.3 Mặt hypeboloit tầng Phương trình: (H1 ) : x2 y z + − = (a, b, c > 0) a2 b c Cá mặt ¾t (Oxy) z = : x2 y + = a2 b y z c b O a x Hình 2: Mặt elipxoit y2 z2 = b2 c x z2 (Oxz) y = : − = a c (Oyz) x = : 1.2.4 Mặt hypeboloit tầng Phương trình: (H2 ) : x2 y z + − = −1 (a, b, c > 0) a2 b c §iỊu kiƯn z2 − ≥ ⇔ z ∈ (−∞, −c] ∪ [c, +∞) c2 Cá mặt y2 z2 = b2 c z2 x (Oxz) y = : − = −1 a c x y2 h2 (P ) z = h > c : + = − a b c (Oyz) x = : 10 y ... đượ gọi hàm số nhiều biến x1 , x2 , , xn đượ gọi Ví d 1.1 Cho , Tập D đượ gọi biến số miền xá định hàm số f Cá số hàm số f R > Tìm miền xá định hàm số q f (x) = R2 − x21 − x22 − x2n Giải Theo... pháp tiếp ận giải tí h hàm nhiều biến số đà hỗ trợ hiệu kiến thứ tảng ho môn họ vật lý, xá suất thống kê, toán kỹ thuật, toán rời rạ môn huyên ngành Bài giảng "Giải tí h hàm nhiều biến số" đượ biên... Đạo hàm riêng vi phân toàn phần hàm nhiều biến số Cho hàm số z = f (x) xá định miền 1.5.1 Đạo hàm riêng Nếu hàm biến số D Rn điểm x = ( x1 , x , , x¯n ) ∈ D x1 7−→ f (x1 , x2 , , xn ) ó đạo hàm