Vì tập hợp chỉ có một phần tử { 0 } cũng có cấu trúc hiển nhiên của một không gian vectơ nên ta cũng định nghĩa cho tiện là đây là một không gian vectơ có số chiều bằng 0.. 2.2 Không gia[r]
(1)Tóm tắt giảng Giải tích hàm
Đinh Ngọc Thanh, Huỳnh Quang Vũ
(2)Đây tóm tắt số nội dung lí thuyết danh sách tập dùng cho môn Giải tích hàm TTH104 Khoa Tốn–Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
Giải tích hàm mơn quan trọng cho sinh viên tốn, nơi sinh viên có hiểu biết đầu tiên, không gian vô hạn chiều Các kiến thức thiếu cho nhiều chun ngành tốn lí thuyết lẫn ứng dụng Đây nơi mà khả tiếp thu sử dụng lí luận tốn học trừu tượng xác bước đầu rèn luyện kiểm tra Phần đông sinh viên học môn vào học kì thứ tư
Tóm tắt nội dung học phần: khơng gian mêtríc (nhắc lại), khơng gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục định lý chúng, không gian Hilbert
Các chứng minh phần giảng thường chứa ý Một số mệnh đề khơng có chứng minh Đây chổ dành cho người học bổ sung chi tiết
DấuXở tập để lưu ý người đọc tập đặc biệt có ích quan trọng, nên làm Những phần có đánh dấu * tương đối khó hơn, khơng bắt buộc
Biên soạn:
• Đinh Ngọc Thanh, Khoa Tốn-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
• Huỳnh Quang Vũ, Khoa Tốn-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Người biên tập Email: hqvu@hcmus.edu.vn
Tài liệu tiếp tục sửa chữa bổ sung Bản có web địa chỉ: http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/fa.pdf Mã nguồn (LaTeX) có
http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/fa.tar.gz
This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see
http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, see
(3)Mục lục
1 Khơng gian mêtríc 4
1.1 Mêtríc
1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục
1.3 Khơng gian mêtríc
1.4 Không gian đầy đủ không gian compắc
1.5 Bài tập
2 Không gian định chuẩn 10 2.1 Không gian vectơ 10
2.2 Không gian định chuẩn 11
2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 12
2.4 Không gian`p 14
2.5 Không gian hàm bị chặn 15
2.6 Không gianLp 16
2.6.1 Tóm tắt độ đo tích phân 17
2.6.2 Khơng gianLp 18
2.7 Các đề tài khác 19
2.8 Bài tập 20
3 Ánh xạ tuyến tính liên tục 24 3.1 Chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục 24
3.2 Không gianL(E,F) 25
3.3 Ánh xạ tuyến tính liên tục không gian định chuẩn hữu hạn chiều 26
3.4 Tính chuẩn 27
3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt 28
3.6 Định lý Hahn–Banach 29
3.7 Các đề tài khác 30
3.8 Bài tập 30
4 Không gian Hilbert 34 4.1 Khơng gian tích 34
4.2 Không gian Hilbert 36
4.3 Phép chiếu vng góc 37
4.4 Phiếm hàm tuyến tính 39
4.5 Họ trực chuẩn 39
4.5.1 Không gian Hilbert tách 41
4.5.2 Không gian Hilbert 42
4.6 Một ứng dụng: Chuỗi Fourier 43
4.7 Bài tập 45
(4)Giới thiệu
Vào kỉ 18, 19, phát triển vượt bậc châu Âu thời đại Khai sáng Cách mạng công nghiệp thúc đẩy khảo cứu học thuật thực dụng Trong có khảo cứu Bernoulli, Euler, Lagrange, Fourier nhiều người khác tượng vật lí, truyền sóng truyền nhiệt
Xét kim loại mà đầu chịu tác động nguồn nhiệt Gọixlà vị trí điểm vàulà nhiệt độ vị trí x vào thời điểmt, phân tích vật lí dẫn tới kết luậnuphải thỏa điều kiện có dạng
∂u ∂t −c
∂2u
∂x2 = f(x,t)
Đây phương trình mà đối tượng hàm số Nghiên cứu phương trình đưa đến việc khơng tính chất hàm, mà tính chất cáctập hợp hàmdần dần chiếm vị trí trung tâm Chẳng hạn để biết phương trình có nghiệm hay khơng đưa khảo sát tính chất ánh xạ tập hợp hàm, hay để xấp xỉ nghiệm cần đưa cách đo độ khác biệt hàm
Một điều đáng ý tập hợp hàm thường có cấu trúc khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều Ví dụ tập hợp đa thức hay tập hợp hàm liên tục có tập gồm vơ hạn phần tử độc lập tuyến tính
(5)Chương 1 Khơng gian mêtríc
Khơng gian mêtríc phát triển tương tự khơng gian Euclid, tập hợp có khoảng cách Ở chương nhắc lại số tính chất khơng gian mêtríc có liên quan tới mơn giải tích hàm Phần lớn nội dung có mơn Giải tích 2, người học nên xem lại giáo trình [13] Tuy nhiên nhấn mạnh việc hiểu ý nghĩa mối quan hệ phần kiến thức không nhấn mạnh việc kiểm tra tính đắn logic hình thức chứng minh mệnh đề
1.1 Mêtríc
Mêtríc nghĩa khoảng cách.1Một khơng gian mêtríc tập hợp có khoảng cách
1.1.1 Định nghĩa. ChoXlà tập không rỗng Một ánh xạ
d:X×X → R (x,y) 7→ d(x,y)
được gọi mộtmêtríc(khoảng cách) trênX tính chất sau thỏa với mọix,y,z∈X: (a) d(x,y) ≥0, vàd(x,y)=0 ⇐⇒ x=y,
(b) d(x,y)=d(y,x),
(c) d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)
x
y z
Hình 1.1.2: Bất đẳng thức tam giác
Cặp(X,d)được gọi mộtkhơng gian mêtríchay mộtkhơng gian có khoảng cách Mỗi phần tử tậpX cịn gọi mộtđiểm
Khơng gian mêtríc(X,d)hay viết vắn tắt Xkhi mêtrícdđược ngầm hiểu khơng cần xác định cụ thể
1Trong tiếng Anh từ metric có nghĩa cách đo, có họ hàng với từ metre (mét).
(6)1.1.3 Ví dụ(khơng gian Euclid Rn). Với n∈
Z+, tập hợp Rn= {(x1,x2, ,xn) | x1 ∈R,x2∈
R, ,xn∈R}vớimêtric Euclid
d((x1,x2, ,xn),(y1,y2, ,yn))=
q
(x1−y1)2+(x2−y2)2+· · ·+(xn−yn)2
được gọi làkhông gian Euclid thựcn-chiều Đặc biệt khin=1 khơng gian mêtríc EuclidRcó
mêtríc thông thường cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số thực,d(x,y)=|x−y|, khoảng cách hai số thực
1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục
1.2.1 Định nghĩa. Cho khơng gian mêtríc(X,d),a∈Xvà số thựcr >0 Các tập B(a,r)={x∈X |d(x,a)<r}
B0(a,r)={x∈X |d(x,a) ≤r} S(a,r)={x∈X | d(x,a)=r}
lần lượt gọi làquả cầu mở,quả cầu đóng,mặt cầutâmabán kínhr
1.2.2 Định nghĩa. Cho khơng gian mêtríc(X,d) TậpA⊂Xlà mộttập mởtrongX điểm thuộcAcó cầu củaX tâm điểm chứa trongA Bằng kí hiệu:
∀x∈A,∃r >0,B(x,r) ⊂ A NếuX\Alà tập mở, ta nói Alà mộttập đóngtrongX
1.2.3 Ví dụ. Mọi cầu mở tập mở, cầu đóng mặt cầu tập đóng Ngồi ra, khơng gian mêtrícX, tập∅vàXlà tập vừa đóng vừa mở trongX
1.2.4 Ghi chú. Khi nói tới “mở”, “đóng” ta phải hiểu rõ nói tới khơng gian mêtríc nào, tập hợp tập khơng gian mêtríc khác nhận mêtríc khác nhau, tính mở, đóng khác Khi hiểu rõ nói tắt khơng cần nhắc tới khơng gian mêtríc chứa
1.2.5 Mệnh đề. Cho khơng gian mêtríc(X,d)và(Ai)i∈I là họ tập củaX Ta có (a) Nếu Ai là tập mở thìÐ
i∈IAilà tập mở. (b) Nếu Ai là tập đóng thìĐi∈IAilà tập đóng.
(c) Nếu Ai là tập mở vàI là tập hữu hạn làĐi∈IAimột tập mở. (d) Nếu Ai là tập đóng vàIlà tập hữu hạn thìÐi∈IAilà tập đóng.
1.2.6 Định nghĩa. Cho khơng gian mêtríc(X,d)vàAlà tập củaX Phần tửx ∈Xđược gọi mộtđiểm dính(contact point) củaAnếu cầu tâmx có chứa phần tử củaA, nghĩa
∀r >0,B(x,r) ∩A,∅
Tập tất điểm dính củaAđược gọi làbao đóngcủaA, ký hiệu làA¯hay cl(A) Phần tửxđược gọi mộtđiểm trongcủaAnếu tồn cầu củaXtâmxchứa A, nghĩa
∃r>0,B(x,r) ⊂A
Tập tất điểm củaAđược gọi làphần trongcủaA, ký hiệu ◦
(7)CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC
1.2.7 Mệnh đề. Cho là Amột tập khơng gian mêtríc thì (a) A¯là tập đóng tập đóng nhỏ chứa A,
(b)
◦
Alà tập mở tập mở lớn chứa trong A.
1.2.8 Định nghĩa. Cho(xn)n≥1là dãy phần tử khơng gian mêtríc(X,d) Ta nói
(xn)n≥1làdãy hội tụ(trongX) tồn tạix∈X cholimn→∞d(xn,x)=0, nghĩa
∀ >0,∃n0∈Z+,∀n∈Z+,n≥n0 =⇒ d(xn,x)<
Điều có nghĩa phần tử dãy gầnx tùy ý miễn số đủ lớn Khi đó, phần tử x, có, gọi làgiới hạncủa dãy(xn), ký hiệulimn→∞xn=x Ta viếtxn→xkhi
n→ ∞
1.2.9 Mệnh đề. Cho tập con Atrong không gian mêtríc X vàx∈X Ta cóxlà điểm dính củaAnếu tồn dãy(xn)trongAhội tụ vềx.Do đó Alà tập đóng chỉ nếuA=A¯.
Ta đặc trưng tập đóng dãy sau:
1.2.10 Mệnh đề. ChoAlà tập khơng gian mêtrícX Ta cóAlà tập đóng trong
X nếu dãy trongAmà hội tụ trongX thì giới hạn phải nằm trongA.
1.2.11 Định nghĩa. Cho ánh xạ f từ khơng gian mêtríc(X,dX)vào khơng gian mêtríc(Y,dY)và
x0∈X Ta nói f làliên tụctại x0nếu
∀ >0,∃δ >0,∀x∈X,dX(x,x0)< δ =⇒ dY(f(x),f(x0))<
Điều có nghĩa f(x)gần f(x0)tùy ý miễnx đủ gần x0 Ta nói f liên tục X
liên tục điểm thuộcX
1.2.12 Định lý. Cho ánh xạ f từ khơng gian mêtríc(X,dX)vào khơng gian mêtríc(Y,dY) Điều kiện cần đủ để f liên tục tạixlà với dãy(xn)trongX, nếuxn→xtrongXthì f(xn) → f(x) trongY.
1.2.13 Định lý. Ánh xạ f từ khơng gian mêtríc(X,dX)vào khơng gian mêtríc(Y,dY)là liên tục trênXnếu ảnh ngược qua fcủa tập mở trongY là tập mở trongX Mệnh đề đúng nếu thay tập mở tập đóng.
1.3 Khơng gian mêtríc con
Cho khơng gian mêtríc(X,d)vàY tập củaX Ánh xạdY≡d|Y×Y, tứcdY(x,y)=d(x,y)
với x,y ∈Y, mêtríc trênY mà ta gọi mêtríc thu hẹp X xuốngY Khơng gian mêtríc(Y,dY)được gọi mộtkhơng gian mêtríc concủa khơng gian mêtrícX
1.3.1 Ghi chú. Như nhắc 1.2.4, ý vớiYlà không gian củaXvàAlà tập củaY ta cần phân biệt việcAđóng hay mở trongX với việc Ađóng hay mở trongY Tương tự, với dãy trongY, ta cần phân biệt việc dãy hội tụ Xvới việc dãy hội tụ trongY
1.3.2 Ví dụ. TrênRvới mêtríc Euclid, tập[0,2)tạo thành khơng gian mêtríc Tập[0,1)là
mở khơng gian[0,2)nhưng khơng mở không gianR Dãyxn=2−1ntrong[0,2)không
hội tụ trong[0,2)nhưng hội tụ trongR
(8)1.3.3 Mệnh đề. ChoY là khơng gian khơng gian mêtrícX và Alà tập con củaY Ta có:
(a) Amở trongY nếu tồn tậpVmở trongX sao choA=V∩Y. (b) Ađóng trongYnếu tồn tậpFđóng trongX sao choA=F∩Y.
1.4 Không gian đầy đủ không gian compắc
1.4.1 Định nghĩa. Dãy(xn)n≥1làdãy CauchytrongXnếu
∀ >0,∃n0∈Z+,∀m∈Z+,∀n∈Z+,m,n≥n0 =⇒ d(xm,xn)<
Điều nghĩa phần tử dãy gần tùy ý miễn số đủ lớn
1.4.2 Mệnh đề. Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy.
1.4.3 Định nghĩa. Ta nói khơng gian mêtríc(X,d)làđầy đủkhi dãy Cauchy trongXđều hội tụ trongX
1.4.4 Ví dụ. Tập hợpRtất số thực với mêtríc Euclid đầy đủ Điều hệ củatính
tồn chặn nhỏ nhấtcủa tập hợp số thực, cịn gọi tính liên tục: tập không rỗng
bị chặn củaRđều có chặn nhỏ Ngược lại đầy đủ củaRdẫn tới tính tồn chặn nhỏ (sup)
Từ tính đầy đủ củaRta suy được:
1.4.5 Mệnh đề. Không gian EuclidRnlà đầy đủ.
1.4.6 Ví dụ(khơng gian EuclidCn). Về mặt tập hợp thìC={(a,b) |a∈R,b∈R}=R2 Mỗi phần
tử(a,b) ∈Cđược gọi số phức viết làa+bivớiiđược gọi đơn vị ảo Phép cộng
Cđược định nghĩa là(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, tức là(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), trùng
với phép cộng khơng gian EuclidR2 TrênCcịn có độ lớn, cho bởi|a+bi|=
√ a2+b2,
cịn gọi mơđun số phức Khoảng cách hai số phứcx1=a1+b1ivà x2=a2+b2i
được cho bởi|x1−x2|=|(a1−a2)+(b1−b2)i|=
p
(a1−a2)2+(b1−b2)2, khoảng cách
giữa(a1,b1)và(a2,b2) khơng gian Euclid thựcR2 Vì quan tâm tới khía cạnh
khơng gian mêtríc thìCtrùng vớiR2
Vớin∈Z+thì tập hợpCn={(x1,x2, ,xn) | x1∈C,x2∈C, ,xn∈C}với mêtric
d((x1,x2, ,xn),(y1,y2, ,yn))=
q
|x1−y1|2+|x2−y2|2+· · ·+|xn−yn|2
được gọi làkhông gian Euclid phứcn-chiều Nếu quan tâm tới khía cạnh khơng gian mêtríc thìCntrùng vớiR2n
Sự khác biệt giữaCnvớiR2nchỉ xuất quan tâm tới cấu trúc không gian vectơ
ở chương sau Khác vớiR2, trênCcó phép nhân định nghĩa
(a+bi) · (c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
Một hệ phép nhân lài2=i·i=−1.Vớiz=a+bi thìz¯=a−bi gọi số phức liên hợp sốz Với phép toán+và·nàyClà trường đại số
(9)CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC
1.4.7 Mệnh đề. Không gian EuclidCnlà đầy đủ.
1.4.8 Định nghĩa. Cho khơng gian mêtríc(X,d) Ta nói(X,d)làcompắckhi dãy trongXđều có dãy hội tụ trongX.2
TậpA⊂ Xđược gọi làbị chặnnếuAđược chứa cầu X, tức
∃a∈X,∃r >0,A⊂ B(a,r)
Cho khơng gian mêtríc XvàY tập củaX Khi đóY trở thành khơng gian mêtríc củaX Ta nóiY tập đầy đủ khơng gian mêtrícY khơng gian đầy đủ, vàY tập compắc khơng gian mêtrícY khơng gian compắc
1.4.9 Mệnh đề. ChoY là tập khơng gian mêtríc X NếuY là compắc bị chặn, đóng, đầy đủ.
1.4.10 Mệnh đề. ChoY là tập khơng gian mêtrícX NếuY là đóng trongX vàX là compắc thìY cũng compắc.
1.4.11 Mệnh đề. ChoY là tập không gian mêtrícX. (a) NếuY là đầy đủ thìY là đóng trongX.
(b) NếuY là đóng trongX vàXlà đầy đủ thìY là đầy đủ.
1.4.12 Định lý(định lý Bolzano–Weierstrass). Mọi khoảng đóng[a,b]đều tập compắc trong đường thẳng Euclid.
Đây đặc trưng quan trọng tập hợp số thực, suy từ tính đầy đủ thực tương đương với tính đầy đủ tập hợp số thực Người học nên xem lại giáo trình Giải tích ([2])
Từ định lý Bolzano–Weierstrass ta suy đặc trưng quan trọng sau tập compắc không gian Euclid:
1.4.13 Định lý(compắc khơng gian Euclid = đóng + bị chặn). Một tập không gian EuclidRnhayCnlà compắc đóng bị chặn.
1.4.14 Định lý(ảnh liên tục không gian compắc compắc). Cho f là ánh xạ liên tục giữa hai không gian mêtrícXvàY NếuX là compắc thì f(X)cũng compắc.
1.4.15 Định lý(liên tục khơng gian compắc liên tục đều). Cho f là ánh xạ liên tục giữa hai khơng gian mêtrícXvàY NếuX là compắc thì f là liên tục đềutrênX, nghĩa là
∀ >0,∃δ >0,∀x∈X,∀y∈X,dX(x,y)< δ =⇒ dY(f(x),f(y))<
1.4.16 Định lý. Nếu f là ánh xạ liên tục từ không gian mêtríc compắc X vào khơng gian EuclidR thì f đạt giá trị lớn nhỏ trên X, nghĩa tồn tại a,b∈ X sao cho
f(a)=maxf(X)và f(b)=minf(X).
1.5 Bài tập
1.5.1. XCác mệnh đề nêu tập
1.5.2. Chứng minh giới hạn dãy có
1.5.3. XChứng minh dãy Cauchy phải bị chặn (nghĩa tập giá trị dãy tập bị chặn)
(10)1.5.4. XChứng minh dãy Cauchy có dãy hội tụ phải hội tụ
1.5.5. Hãy cho ví dụ khơng gian mêtríc khơng đầy đủ
1.5.6. Cho(xn)n≥1là dãy khơng gian mêtrícX vàxtrongX Chứng minh hai điều sau
tương đương:
(a) Có dãy xnk
k≥1của(xn)hội tụ vềxtrongX
(b) Tập{n≥1|xn∈B(x,r)}là tập vô hạn với số thựcr>0
1.5.7. Cho khơng gian mêtríc(E,dE), f ánh xạ từEvào khơng gian mêtríc(F,dF) Giả sử với
số thực dươngηcó ánh xạ liên tụcgη từEvàoFsao cho dF(f(x),gη(x))< η, ∀x∈E
Chứng minhf liên tục trênE
1.5.8. Chứng tỏ hạn chế ánh xạ liên tục xuống khơng gian mêtríc ánh xạ liên tục
1.5.9. ChoE không gian mêtríc compắc f song ánh liên tục từE vào khơng gian mêtrícF Chứng minh f−1:F→Elà ánh xạ liên tục
1.5.10(định lý ánh xạ co). Cho(E,d)là khơng gian mêtríc đầy đủ,α∈ (0,1), f ánh xạ từE vàoE Giả sử∀x,y∈E,
d(f(x),f(y)) ≤αd(x,y)
Ta nói f mộtánh xạ covới số coαtrênE Khi đó: (a) f liên tục trênE
(b) Vớia∈Ebất kì, dãy(xn)n≥1xác định
x1 = a
xn+1 = f(xn),n≥1,
là dãy Cauchy trongE
(c) Dãy(xn)n≥1trên hội tụ vềx∈Ethỏa f(x)=x Điểmxsao cho f(x)=xlà gọi
điểm bất độngcủa f
Tóm tắt, ta phát biểu rằng: ánh xạ co khơng gian đầy đủ có điểm bất động Đây gọi định lý điểm bất động Banach
1.5.11(đầy đủ hóa). * Dưới kết khơng gian mêtríc có đầy đủ hóa Hình mẫu điều đầy đủ hóa củaQđể đượcR
ChoXlà khơng gian mêtríc Nhắc lại tập conAcủaXđược gọi làdày đặchaytrù mậttrong XnếuA=X
(a) XétYlà tập hợp tất dãy Cauchy trongX TrênYxét quan hệ(xn) ∼ (yn)nếulimn→∞d(xn,yn)= Đây quan hệ tương đương trênY GọiXlà tập hợp tất lớp tương đương củaY quan hệ
(b) TrênX đặtd([(xn)],[(yn)])=limn→∞d(xn,yn) Đây định nghĩa tốt3và mêtríc trênX
(c) Với mêtríc thìXlà khơng gian mêtríc đầy đủ
(d) Ánh xạx7→ (x,x, ,x, )từXvàoXlà đơn ánh ảnh dày đặc trongX Khơng gian mêtrícX gọi làkhơng gian đầy đủ hóacủaX
3Thuật ngữ “định nghĩa tốt” (tiếng Anh well-defined) ý nói định nghĩa cần dùng tới phần tử
(11)Chương 2 Không gian định chuẩn
Không gian định chuẩn phát triển tương tự không gian Euclid, không gian vectơ có chiều dài vectơ
2.1 Khơng gian vectơ
Khơng gian vectơ khái niệm tổng qt hóa tập hợp vectơ hình học3chiều phép tốn chúng Nhắc lại, mộtkhơng gian vectơ, cịn gọi khơng gian tuyến tính, trường đại sốFlà tập hợp khơng rỗng1X với ánh xạ
+:X×X → X (x,y) 7→ x+y,
(phép tốn+này nói chung khơng liên quan tới phép tốn cộng trường số thực, kí hiệu), ánh xạ
·:F×X → X
(α,x) 7→ α·x,
(phép tốn·này nói chung khơng liên quan tới phép tốn nhân trường số thực), thỏa tính chất:
(a) (X,+)là nhóm đại số giao hốn Tức làXcó phần tử thường kí hiệu0
(nói chung khơng phải phần tử trung hịa trường số thực), thỏa∀x∈X,0+x=x+0=x; với x∈X có phần tử củaX, thường kí hiệu−x, chox+(−x)=0; phép tốn+có tính kết hợp∀x,y,z∈X,(x+y)+z=x+(y+z), tính giao hốn∀x,y∈ X,x+y=y+x
(b) ∀x∈X,1·x=x;∀α∈F,∀β∈F,∀x∈X,(αβ) ·x=α· (β·x)
(c) Phép tốn +và ·có tính phân phối với nhau:∀α∈F,∀β∈F,∀x ∈X,∀y ∈X, α· (x+y)= α·x+α·y,(α+β) ·x=α·x+β·x
Một phần tử không gian vectơ cịn gọi mộtvectơ Kí hiệu·thường lược bỏ, ta thường viếtαxthay vìα·x
TậpY ⊂Xđược gọi mộtkhơng gian vectơ concủaXkhi chínhY, với phép tốn thu hẹp từX, khơng gian vectơ Nói khác đi,Y không gian vectơ Xkhi với mọiα, β∈F,∀x,y∈Y, αx+βy∈Y, tức làY kín với phép tốn khơng gian vectơX
ChoS⊂X Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn phần tử thuộcS, tức{Ín
i=1αixi|αi∈
F,xi∈S,n∈Z+}, không gian vectơ củaX, gọi không gian vectơ sinh bởiS
1Một số tài liệu không loại trừ tập rỗng Ta dùng yêu cầu để tránh phiền toái tập rỗng gây ra, trong
khái niệm chiều
(12)Các phần tử củaS gọi làđộc lập tuyến tínhnếu khơng có phần tử khác0nào tổ hợp tuyến tính hữu hạn phần tử khác Nói cách khácÍn
i=1αixi=0vớiαi∈F,xi∈S,n∈Z+thì
phải có∀1≤i≤n, αi=0
NếuSsinh raXvà phần tử củaSlà độc lập tuyến tính thìScùng với thứ tự toàn phần trênSđược gọi mộtcơ sở vectơ, haycơ sở tuyến tính, củaX
Ta nói khơng gian vectơ hữu hạn chiều có sở vectơ tập hợp hữu hạn Nếu không ta nói mộtkhơng gian vectơ vơ hạn chiều
2.1.1 Ví dụ. Tập hợpRn={(x1,x2, ,xn) | xi∈R,1≤i≤n}có cấu trúc khơng gian vectơ
trên trườngRlà
(x1,x2, ,xn)+(y1,y2, ,yn) = (x1+y1,x2+y2, ,xn+yn),
α(x1,x2, ,xn) = (αx1, αx2, , αxn)
Không gian vectơ có sở vectơ tập hợp có thứ tự(e1,e2, ,en)vớiei=(0, ,0,1,0, ,0)
với số thực1nằm tọa độ thứi Đây gọi cấu trúc không gian vectơ chuẩn tắc củaRn,
nói tớiRnmà khơng nói thêm ta ngầm sử dụng cấu trúc chuẩn tắc này.
Tương tựCnlà không gian vectơn-chiều trườngCvới cấu trúc y hệtRn Viết chung
lại, nếuF=RhoặcF=CthìFnlà khơng gian vectơn-chiều trườngF
2.1.2 Ví dụ. Vì tập hợp có phần tử{0}cũng có cấu trúc hiển nhiên không gian vectơ nên ta định nghĩa cho tiện là khơng gian vectơ có số chiều bằng0
2.2 Không gian định chuẩn
Nói ngắn gọn, khơng gian định chuẩn khơng gian vectơ với chiều dài vectơ Chính xác,
mộtkhông gian định chuẩnlà không gian vectơ(X,+,·)trên trườngF, vớiF=RhoặcF=C,
với hàm
k·k:X → R
x 7→ kxk, gọi mộtchuẩntrênX, thỏa∀x,y∈X,α∈F:
(a) kxk ≥0,
(b) kxk=0⇔x=0,
(c) kαxk=|α| kxk,ở kí hiệu |α|chỉ giá trị tuyệt đối nếuF=Rvà môđun nếuF=C
(d) kx+yk ≤ kxk+kyk
Như thường lệ ta lược bớt kí hiệu chúng hiểu ngầm viết tắt “cho khơng gian định chuẩnX” cấu trúc biết không cần xác định
2.2.1 Ví dụ. Vớix=(x1,x2, ,xn) ∈Fnđặt
kxk2=
v t n
Õ
i=1
|xi|2
Đây gọi làchuẩn Euclid
(13)CHƯƠNG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 12
Vậychuẩn sinh mêtríc, nói cách khác chiều dài vectơ sinh khoảng cách điểm
Do đó, khơng gian định chuẩn khơng gian mêtríc thừa hưởng khái niệm tính chất khơng gian mêtríc
Đặc biệt, khơng gian mêtríc đầy đủ, ta nói khơng gian định chuẩn tương ứng
không gian Banach
2.2.3 Ví dụ(các chuẩn khác khơng gian Euclid). Vớix=(x1,x2, ,xn) ∈Fn,p∈R,
p>1thì
kxkp=
n
Õ
i=1
|xi|p
!1/p
là chuẩn trênFndobất đẳng thức Minkowski:
n
Õ
i=1
|xi+yi|p
!1/p
≤
n
Õ
i=1
|xi|p
!1/p
+
n
Õ
i=1
|yi|p
!1/p
Vớip=2đây chuẩn Euclid Ngoài chuẩn thường gặp
kxk1=
n
Õ
i=1
|xi|,
kxk∞= max
1≤i≤n|xi|
Cho X không gian định chuẩn, với hàm chuẩnk·k, vàY không gian vectơ củaX Ánh xạ chuẩn thu hẹp trênY trở thành hàm chuẩn trênY Không gian định chuẩnY với hàm chuẩn vừa nêu gọi mộtkhông gian định chuẩn concủaX
2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
2.3.1 Định nghĩa. Hai chuẩn k·k1 k·k2 không gian vectơ X gọi tương đương có hai số thựcα, β >0sao cho
∀x∈X, αkxk1≤ kxk2≤βkxk1
2.3.2 Mệnh đề. Nếu hai chuẩn tương đương hội tụ dãy, mở, đóng, compắc, đầy đủ tập con, liên tục ánh xạ hai không gian định chuẩn nhau.
Mệnh đề nói chẳng hạn hai chuẩn tương đương dãy hội tụ theo chuẩn thứ phải hội tụ theo chuẩn thứ hai
2.3.3 Định lý. Các chuẩn không gian vectơFnđều tương đương.
Chứng minh. Cho k·k chuẩn Fn k·k2 chuẩn Euclid Ta có theo bất đẳng
thức Cauchy–Buniakowski:
kxk=
n Õ
i=1
xiei
≤ n Õ
i=1
keik22
!1/2
kxk2
Suy hàmk·k liên tục khơng gian Euclid Hạn chế lên mặt cầu đơn vị EuclidSncó giá trị nhỏ nhấtα >0 Suy với x,0thì
x
kxk2
(14)
Cho (X,k·k) không gian định chuẩnn-chiều trườngF Lấy sở tuyến tính (v1,v2, ,vn)choX Đặt ánh xạ
f :X → Fn x=
n
Õ
i=1
xivi 7→ f(x)= n
Õ
i=1
xiei (2.3.4)
Đây ánh xạ tuyến tính mangvi thành ei với mọi1≤i≤ n, song ánh tuyến tính,
x=(x1,x2, ,xn)trong sở(v1,v2, ,vn)thì f(x)=(x1,x2, ,xn)trong sở(e1,e2, ,en)
Đặtk(x1,x2, ,xn)kFn = k(x1,x2, ,xn)kX kiểm tra k·k
Fn chuẩn
Fn Từ 2.3.3 ta được:
2.3.5 Hệ quả. Hai chuẩn không gian vectơ hữu hạn chiều tương đương.
Một song ánh hai không gian định chuẩnT:X→Yđược gọi mộtphép đẳng cấu tôpô hay mộtphép đồng phôitừX lênY cảT vàT−1đều ánh xạ liên tục, ta nóiX
làđẳng cấu tơpơhayđồng phôivớiY
2.3.6 Mệnh đề. Các không gian định chuẩn hữu hạn chiều trường mà có số chiều đẳng cấu tơpơ với nhau.
Chứng minh. Ta thấy ánh xạ f 2.3.4 phép đồng phơi từ(X,k·k)sang(Fn,k·kFn) Như
chỉ cịn xét trường hợp hai không gian ứng với hai chuẩn khác khơng gian vectơFn.
Vì hai chuẩn tương đương, nên hai khơng gian định chuẩn tương ứng đồng phôi với
qua ánh xạ đồng
2.3.7 Mệnh đề. Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều khơng gian Banach. Chứng minh. Ánh xạ f 2.3.4 ánh xạ ngược f−1mang dãy Cauchy thành dãy Cauchy, dãy hội tụ thành dãy hội tụ Mặt khácFnvới chuẩn khơng gian Banach
2.3.8 Hệ quả. Khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều đóng.
Không gian định chuẩn compắc địa phương
Một không gian định chuẩn gọi làcompắc địa phươngnếu cầu đóng đơn vị compắc Ý nghĩa thuật ngữ giải thích mệnh đề sau:
2.3.9 Mệnh đề. Một không gian định chuẩn compắc địa phương có trong những điều sau:
(a) cầu đóng compắc,
(b) tập đóng bị chặn compắc, (c) dãy bị chặn có dãy hội tụ,
(d) lân cận điểm chứa lân cận compắc.
2.3.10 Mệnh đề. Khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều compắc địa phương.
Chứng minh. Vì khơng gian EuclidFnlà compắc địa phương nên không gian vectơFnlà compắc
địa phương với chuẩn Ánh xạ f 2.3.4 mang cầu B0(0,1)trong không gian X thành cầuB0(0,1)trong(Fn,k·k
Fn), tập compắc Vì f phép đồng phơi nên bảo tồn tính
(15)CHƯƠNG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 14
Ngược lại:
2.3.11 Mệnh đề. Không gian định chuẩn compắc địa phương phải hữu hạn chiều.
Chứng minh. Giả sử cầu đơn vị đóngB0(0,1)là compắc khơng gian mêtríc X Tồn họ hữu hạn{ai|1≤i≤m,ai∈B0(0,1)}sao chmi=1B(ai,1/2) ⊃B0(0,1), không tồn
dãy(ai)mà khoảng cách phần tử lớn hơn1/2do khơng có dãy hội tụ
Đặt M =h{a1,a2, ,am}i, ta chứng minh B0(0,1) ⊂M, X ⊂ M Với x ∈ B0(0,1)
bất kì, tồn tạiai chokai−xk<1/2, tứcx ∈M+12B0(0,1) Suy raB0(0,1) ⊂ M+12B0(0,1) ⊂
M+12
M+12B0(0,1)
⊂ M+14B0(0,1) Bằng qui nạp ta B0(0,1) ⊂M+21nB0(0,1),∀n≥1
Lấy x∈B0(0,1) có dãy xn∈M yn∈B0(0,21n) cho x =xn+yn Lấy giới hạn
xn→x VìMhữu hạn chiều nên đóng, đóx∈M
Một hệ đáng ý là:
2.3.12 Hệ quả. Trên không gian định chuẩn compắc = đóng + bị chặn không gian hữu hạn chiều.
2.4 Không gian `p
Gọi X tập hợp tất dãy phần tử thuộc trườngF làR hoặcC Với x=(xn)n∈Z+ y=(yn)n∈Z+trongXvàαtrongF, ta đặt
x+y=(xn+yn)n∈Z+, αx=(αxn)n∈Z+ Với phép tốn thìX khơng gian vectơ trênF
Chop∈ [1,∞) Gọi`plà tập củaXgồm tất phần tửx=(xn)n≥1sao choÍ∞n=1|xn|p<
∞ Đặt
kxkp= ∞
Õ
n=1
|xn|p
!1/p
2.4.1 Mệnh đề. `p,p∈ [1,∞), với cấu trúc không gian định chuẩn.
Ở bất đẳng thức tam giác cho chuẩn có từ bất đẳng thức Minkowski
Gọi`∞là tập củaXgồm tất dãy bị chặn, tức tập hợp tất phần tửx=(xn)n≥1
sao chosup{|xn| |n∈Z+}<∞ Đặt
kxk∞=sup{|xn| |n∈Z+}
2.4.2 Mệnh đề. `∞với cấu trúc không gian định chuẩn.
2.4.3 Định lý. Không gian`p,p∈ [1,∞], không gian Banach.
Chứng minh. Chứng minh tương tự với chứng minh không gian EuclidRnlà không gian Banach
ở 1.4.5
Xétp<∞ Giả sử(xn)n∈Z+là dãy Cauchy trong`p vớixn= xn,k
k∈Z+ Cho >0cóN chom>N,n>Nthì
kxm−xnkp=
∞
Õ
k=1
|xm,k−xn,k|p< p (∗)
Điều dẫn tới với k≥1thì |xm,k−xn,k| < , dãy xn,k
n≥1 dãy Cauchy
(16)Từ(∗), với mọiT ∈Z+,
T
Õ
k=1
|xm,k−xn,k|p< p
Chon tiến vơ ta ÍT
k=1|xm,k−yk|p ≤p Suy chuỗi
Í∞
k=1|xm,k−yk|p hội tụ
Í∞
k=1|xm,k−yk|p≤p, tức làkxm−ykp≤ vớiy=(y1,y2, ,yk, ) Điều dẫn tới hai điều:
(xm−y) ∈`pdo đóy∈`p, và(x
m)m∈Z+hội tụ vềytrong`p Trường hợpp=∞tương tự, tha
bởisup
2.5 Không gian hàm bị chặn
ChoSlà tập hợp Xlà không gian định chuẩn trườngF GọiB(S,X)là tập hợp tất
cả ánh xạ bị chặn từSvàoX Đặt
(f+g) (x) = f(x)+g(x), (αf) (x) = αf(x)
Với f ∈B(S,X)đặtkfk=sups∈Skf(s)k=sup{kf(s)k |s∈S} Đây số đo kích thước
tập giá trị ánh xạ Chuẩn hay gọi chuẩnsup
2.5.1 Ví dụ. B(Z+,R)chính là`∞
2.5.2 Mệnh đề. B(S,X)là không gian định chuẩn.
2.5.3 Mệnh đề. NếuX là khơng gian Banach thìB(S,X)là khơng gian Banach.
Chứng minh. Chứng minh tương tự chứng minh cho Rn `∞ Cho (fn)n∈Z+ dãy Cauchy trongB(S,X) Cho >0, cóN∈Nsao chom,n≥Nthì với mọix∈Sta cókfm(x) −fn(x)k ≤ Với x, dãy(fn(x))n∈Z+ dãy Cauchy trongX, hội tụ giới hạn ta đặt f(x) Cố địnhnvà chom→ ∞ta với >0, cóN ∈Nsao chon≥N với x ∈S ta có kfn(x) − f(x)k ≤ Cố địnhnta suy f bị chặn Từ suy ra(fn)n∈Z+ hội tụ
trongB(S,X)về f
Nếu X khơng gian mêtríc vàY khơng gian định chuẩn ta gọiC(X,Y)là tập hợp tất ánh xạ liên tục từXvàoY
2.5.4 Định lý. NếuXlà compắc thìC(X,Y)với chuẩnsuplà khơng gian định chuẩn đóng củaB(X,Y) Do nếuXlà compắc vàYlà khơng gian Banach thìC(X,Y)là khơng gian Banach. Chứng minh. Giả sử dãy(fn)ntrongC(X,Y)hội tụ f trongB(X,Y), ta chứng minh f ∈C(X,Y)
Ta cần chứng minh f liên tục Chox0∈X Viết
kf(x) −f(x0)k = kf(x) −fn(x)+ fn(x) −fn(x0)+fn(x0) − f(x0)k ≤ kf− fnk+kfn(x) −fn(x0)k+kf−fnk
Cho >0, chọnnđủ lớn ta đượckf− fnk< Vớinđó fnliên tục tạix0, lấyxđủ gần
x0ta cókfn(x) −fn(x0)k< , đókf(x) −f(x0)k<3, f liên tục tạix0 2.5.5 Ví dụ. Khơng gian vectơC([0,1],R), gồm tất hàm liên tục từ[0,1]vàoR, với chuẩn
sup, không gian định chuẩn đầy đủ, tức không gian Banach
Dưới thí dụ tiếng cho khơng gian định chuẩn khơng đầy đủ:
2.5.6 Mệnh đề. Tập hợp tất hàm liên tục từ[0,1] vào Rvới chuẩn ||f||=∫1
(17)CHƯƠNG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 16
Chứng minh. Dễ kiểm tra chuẩn, đặc biệt tích phân∫01|f|=0nếu f =0vì f hàm liên tục
Vớin≥3, đặt fnlà hàm tuyến tính khúc liên tục bằng0trên[0,21−1n], bằng1trên[12,1]
Có thể kiểm tra dãy(fn)là dãy Cauchy cách vẽ đồ thị dùng giải thích hình học, xem Hình 2.5.7
1
2−
m
fn
fm
Hình 2.5.7: kfm− fnk=
∫1
0 |fm(x) − fn(x)| dx diện tích đồ thị fmvà fn,
2
m− n
, nhỏ tùy ý khimvànđủ lớn
Giả sử fn n→∞
→ f f liên tục Khi
∫
1
|fn− f|=
∫
1
|1−f| ≤
∫
|fn− f| n→∞
−→ 0,
dẫn tới∫11
|1− f|=0 Vì f liên tục điều dẫn tới1− f =0, hay f =1trên [12,1] Với >0, vớinđủ lớn, ta có 2n1 < ,vì
∫ 12−
0
|fn−f|=
∫ 12−
0
|0−f|n−→→∞0
Điều dẫn tới f =0trên[0,12−) Vậy
f(x)=
(
0, 0≤x< 12
1, 12 ≤x ≤1
Nhưng hàm lại không liên tục, mâu thuẫn
2.6 Không gian Lp
(18)2.6.1 Tóm tắt độ đo tích phân
Một không gian đo tập hợpΩvới mộtσ-đại số Mcác tập củaΩ(kín phép hội đếm phép lấy phần bù) Các phần tử củaMđược gọi cáctập đo đượctrong không gian(Ω,M)này Mộtđộ đotrên không gian đo được(Ω,M)là hàmµ:M→ [0,∞], thỏa số yêu cầu, cộng tính đếm Bộ(Ω,M, µ)được gọi mộtkhơng gian đo
2.6.1 Ví dụ. Với M tập hợp tất tập Ω độ đo đếm µ Ω, cho µ(A)=|A|, số phần tử Akhi Ahữu hạn vàµ(A)=∞khiAvơ hạn
2.6.2 Ví dụ(khơng gian đo Lebesgue). Trên tậpRncó mộtσ-đại sốM đặc biệt chứa tất các
tập mở, tập đóng Các phần tử củaMđược gọi tập đo Lebesgue Có độ đo µ M, theo nghĩa định, gọi làđộ đo Lebesgue, có tính chất độ đo hình hộpỴn
i=1[ai,bi]
Ỵn
i=1(bi−ai), cộng tính đếm Nếu tập tích
Riemann đo Lebesgue, thể tích Riemann tập với độ đo Lebesgue
Cho(Ω,M, µ)là không gian đo Một hàm f :Ω→Rđược gọi mộthàm đo đượcnếu ảnh ngược tập mở (dưới mêtric Euclid củaR) tập đo Hệ tập mức
f−1(c)là đo
Bây ta tóm tắt tích phân tổng qt Cho f hàm đo không âm Nếu tích phân Riemann ta xấp xỉ hàm hàm hình hộp ta làm vậy, khác ta thay hình hộp tập đo Cụ thể ta xấp xỉ cách dùng hàm thuộc tậpS hàm khơng âm đo có hữu hạn giá trị, gọi hàm bậc thang, có dạng
s=
k
Õ
i=1
ciχCi
vớiCi=s−1(ci) Giá trị xấp xỉ
∫
Ωs=
Ík
i=1ciµ(Ci) Ta định nghĩatích phâncủa f
∫
Ω
f dµ=sup
∫
Ω
s| s∈S,s≤ f
Đại ý xây dựng tích phân cách xấp xỉ thông qua hàm bậc thang Chú ý giá trị tích phân là∞
Ci
ci f
Hình 2.6.3: Xấp xỉ hàm hàm tập đo
Cho f hàm đo tùy ý Đặt f+(x)=max{f(x),0} f−(x)=max{−f(x),0} f = f+− f− Ta định nghĩa
∫
Ω
f dµ=
∫
Ω
f+dµ−
∫
Ω
(19)CHƯƠNG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 18
Các khái niệm mở rộng cho hàm có giá trị phức Nếu f :Ω→Cthì ta viết f =g+ihvớigvàhlà hàm giá trị thực, ta định nghĩa∫Ωf =∫
Ωg+i
∫
Ωh
Tích phân tổng qt có tích chất tích phân Riemann, tính tuyến tính
2.6.4 Ví dụ. Nếu khơng gian đo khơng gian đo Lebesgue tích phân gọi làtích phân
Lebesgue Một hàm khả tích Riemann khả tích Lebesgue tích phân Riemann có
giá trị với tích phân Lebesgue
2.6.5 Ví dụ. Với µlà độ đo đếm trênΩ, nếuϕ:Ω→Rlà hàm khơng âm từ định nghĩa tích phân thấy
∫
E
ϕdµ=sup
( Õ
e∈F
ϕ(e) | F⊂E,|F|<∞
)
Đặc biệt, nếuΩ={1,2, ,n}là tập hữu hạn cónphần tử thì∫Ωϕ dµ=Ín
i=1ϕ(i), tổng
của hữu hạn số thực NếuΩ=Z+thì thấy∫Ωϕdµ=Í∞
i=1ϕ(i), tổng chuỗi số
thực
Tích phân tổng qt có tính chất quan trọng liên quan tới việc qua giới hạn mà tích phân Riemann khơng có
2.6.6 Định lý(định lý hội tụ bị chặn). Cho(fm)mlà dãy hàm số đo hội tụ điểm về một hàm f Nếu dãy hàm(fm)mbị chặn điểm hàm khả tích, tức cógkhả tích sao cho∀x,∀m,|fm(x)| ≤g(x), thì f khả tích dãy tích phân của fmhội tụ tích phân của f.
Chi tiết lý thuyết độ đo tích phân tổng quát tương đối phức tạp đồ sộ so với trình độ chung người học năm đầu đại học, nhiên phần lớn môn học cần dùng số tính chất tích phân
2.6.2 Khơng gian Lp
Cho(Ω,M, µ)là khơng gian đo VớiF=RhoặcF=C, vàp∈ [1,∞), xét tập
Lp(Ω, µ)=
f :Ω→F|
∫
Ω
|f|pdµ <∞
Một tính chất đúnghầu khắp(hầu khắp nơi) tập hợp phần tử tính chất khơng chứa tập có độ đo khơng
Đặt
L∞(Ω, µ)=f :Ω→Fđo được|∃C>0,f(x) ≤Chầu khắp trênΩ Nếu f ∈Lp(Ω, µ),p∈ [1,∞), đặt
kfkp=
∫
Ω
|f|pdµ
1/p
f ∈L∞(Ω, µ)đặt
kfk∞=infC>0| |f(x)| ≤Chầu khắp trênΩ
2.6.7 Ví dụ. NếuΩ=[0,1], µlà độ đo Lebesgue, f liên tục, kfk∞=sup{|f(x)| | x∈ [0,1]}
2.6.8 Định lý(bất đẳng thức Hăolder). Cho f Lp(, à),gLq(, à), vi1p , 1p+q1 =1. Ta có fg∈L1(Ω, µ)và
(20)2.6.9 Định lý(bất đẳng thức Minkowski). Cho f,g∈Lp(Ω, µ), với1≤ p≤ ∞ Ta có f+g∈ Lp(Ω, µ)và
kf+gkp≤ kfkp+kgkp
Tuy nhiênkfkp=0 ⇐⇒ f =0hầu khắp, ta chưa có chuẩn Để chuẩn cần xét lớp tương đương quan hệ
f ∼g ⇐⇒ f =ghầu khắp
Có thể kiểm quan hệ tương đương cấu trúc khiếnLp(Ω, µ) trở thành không gian định chuẩn hẳn hoi
Chú ý phần tử củaLp(Ω, µ)là lớp tương đương hàm, để đơn giản trình bày người ta thường bỏ qua kí hiệu lớp tương đương, viết vắn tắt "cho hàm
f ∈Lp(Ω) ”, để người đọc tự hiểu f đại diện cho phần tử củaLp(Ω, µ)
2.6.10 Ví dụ(`p(E)). Với µlà độ đo đếm trênE thìLp(E, µ)thường kí hiệu là`p(E) Nếu ϕ:E→Fthìϕ∈`p(E)khi
∫
E
|ϕ|pdµ= sup
F⊂E,|F|<∞
Õ
e∈F
|ϕ(e)|p<∞.
NếuElà tập vơ hạn đếm được, tức có song ánh vớiZ+, thì`p(E)đơn giản là`p Thực
cho1≤ p<∞, nếux∈`p(
Z+)thì thấy
kxkp= sup
F⊂N,|F|<∞
Õ
n∈F
|x(n)|p= ∞
Õ
n=1
|x(n)|p
Tương tự`∞(Z+)là không gian dãy số bị chặn
NếuE tập hữu hạn vớinphần tử thì`p(E)chính làFnvới chuẩnk·kp 2.6.11 Định lý. Lp(Ω), với1≤p≤ ∞, không gian Banach.
Chứng minh định lý phải dùng kỹ thuật Giải tích thực vượt ngồi phạm vi mơn học
2.7 Các đề tài khác
Định lý Ascoli
Định lý cho tiêu chuẩn cho compắc không gian không gian hàm liên tục, gọi định lý Ascoli–Arzela:
2.7.1 Định lý(định lý Ascoli). ChoA⊂C(X,R)vớiX là không gian mêtríc compắc Khi đó ¯
Alà compắc có hai điều sau đây:
(a) Abị chặn điểm:∀x∈X,{f(x) | f ∈A}bị chặn.
(b) Ađồng liên tục:∀ >0,∃δ >0,∀f ∈A,∀x,y∈X,kx−yk< δ⇒ |f(x) −f(y)|< .
Chứng minh. Chứng minh cần dùng vài khái niệm nâng cao tính compắc, gồm tính tiền compắc tính compắc qua phủ mở, có chẳng hạn [5, 12]
(⇒)Abị chặn, bị chặn điểm
http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/fa.pdf http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/fa.tar.gz. http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.