Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến số: Phần 1 có nội dung trình bày về phép tính vi phân hàm nhiều biến số; hàm số nhiều biến; giới hạn hàm hai biến; đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến số; quan hệ giữa đạo hàm theo phương và đạo hàm riêng; tích phân bội; tích phân phụ thuộc tham số; tích phân kép; tích phân bội ba;... Mời các bạn cùng tham khảo!
TẬP ĐỒN BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN SỐ PGS TS Phạm Ngọc Anh HÀ NỘI-2013 Å Ð Ä Ị Ù Ị ½º½º ½º È Ã Ơ Ø Ị Ị Ị ½º½º½º Ơ Ị Rn đĐ Ị ề ủ ẵẵ è ễ ủẹ ì ề ì º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º đĐ ĨịỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ù Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵắẵ ỉ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵắắ ỉ é ễĩể ỉ ẵắ ỉ íễ ểé ẹ ỉ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵắ ỉ ÝƠ ĨÐ Ø Ị º º º º º º º º º º º º º º º º ẵẳ ẵắ º Å Ø Ơ Ư ĨÐĨ ع Ð Ờ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵẵ ẵắ ỉ ỉệ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵắ ẵắ ỉ ề ề ẵ õỊ ½º º ÀđĐ Ð ½º º õĨ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º đĐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵắ ề º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º 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x = 0º ∀x ∈ Rn , λ ∈ Rº ĨịỊ ∀x, y ∈ Rn º x ∈ Rn Úđ y ∈ Rn Üơ Ị d(x, y) = x − y ½º½º¿º Ì Ơ º x ∈ Rn , ǫ > 0º à x Ðđ Đ Ø × Ø ịỊ × Ù x ≥ ∀x ∈ Rn Úđ x = Ĩ Ú Ø Ị · ¸ º x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn à x Úđ Ị Ø + x22 + + x2n x = Ã Ò x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn cos(x, y) = ½º½º¾º Úđ y Ị Ø · · B(x, ǫ) = {y ∈ Rn : ¯ ǫ) = {y ∈ Rn : B(x, · y − x < ǫ} Ðđ Ị Ù Đ y − x ≤ ǫ} Ðđ Ị Ù ∈ M ⊆ Rn Đx Ðđ Ơ ·Ì Ơ M ⊆ Rn Ðđ Ø Ơ Đ ¸ Ò Ù · M ⊆ Rn º Ñ Ñ Ø Ù Đ ØƯĨỊ M Úđ Ị M x Ị Ðđ Ơ Ị ØƯĨỊ Đ Ø Đ Øõ Ị Đ ØƯĨỊ ¸ Ị Ù Ø Ị Øõ Đ Ø Ì Ơ Ĩ Ø Đ Øõ Ị ÙĐ x Úđ ơỊ Đ Ị Ðđ ǫº x Úđ ơỊ Ị Ðđ ǫº B(x, ǫ) × Ĩ Ĩ B(x, ǫ) ⊆ M º M Úñ Ù intM º intM = M º Ðđ Đ Đ Ị Ø Ù Ị M¸ Ị Ù Ú Mº Ì Ơ Đ Ơ Đ ǫ>0Ø Ò B(x, ǫ) M Ò Ò Ù Ðñ ∂M º ·Ì Ơ M ⊆ Rn Ðđ Đ Ø Ø Ơ ·Ì Ơ M ⊆ Rn Ðđ ·Ì Ơ M Rn éủ ỉ ễ ểẹễ ỉá ề ẵắ ủẹ ì ể ề áề ề M ⊆ M º α > 0¸ Ị Ù x ≤ α ∀x ∈ M º Ị M Ðđ Ø Ơ Ò Úñ Òº Ò ∅ = D ⊆ Rn º à ¸ ơỊ Üõ f :D→R Üơ Ị x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ D −→ y = f (x1 , x2 , , xn ) ∈ R Ðđ Đ Ø x1 , x2 , , xn ẻ ẵẵ ủẹ ì ể ề ềá Ù Ðđ Ị × R > 0º Ì Đ Đ Ì Ơ Ị Üơ Ị D đĐ × fº Ðđ Đ Ị Üơ Ị đĐ × đĐ × R2 − x21 − x22 − − x2n f (x) = ị º Ì Ĩ Ị Ị ¸ Đ Ị Üơ Ị Üơ D Ị D ={x ∈ Rn : R2 − x21 − x22 − − x2n ≥ 0} ={x ∈ Rn : x−0 ≤ R2 } ¯ R) =B(0, Ý Ðđ Đ ỉ ì ẹ ỉ ắỉ ề ễ ỉệểề ề ề R3 ẵắẵ ỉ ẩ ề ỉệ ề (S) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 } fº × z c I y b O a x À Ị ½ Å Ø Ùº à ẹ ẵắắ ỉ ẩ I(a, b, c) éủ Ø Đ Úđ R Ðđ ơỊ Ị Đ Ø Ù Ð ƠÜĨ Ø Ị ØƯ Ị (E) : Ñ Ø úØ x2 y z + + = (a, b, c > 0) a2 b c x2 y + = a2 b y z2 (Oyz) x = : + = b c x2 z (Oxz) y = : + = a c (Oxy) z = : ẵắ ỉ ẩ ÝƠ ĨÐĨ Ø ½ Ø Ị Ị ØƯ Ị (H1 ) : x2 y z + − = (a, b, c > 0) a2 b c Đ Ø úØ (Oxy) z = : x2 y + = a2 b (S)º z c b O a x À Ị ¾ Å Ø Ð ƠÜĨ غ y2 z2 − = b2 c x z2 (Oxz) y = : − = a c (Oyz) x = : ẵắ ỉ ẩ íễ ểéể ỉ ¾ Ø Ị Ị ØƯ Ị (H2 ) : Ù Ị Đ Ø úØ x2 y z + − = −1 (a, b, c > 0) a2 b c z2 − ≥ ⇔ z ∈ (−∞, −c] ∪ [c, +∞) c2 y2 z2 − = −1 b2 c x z2 (Oxz) y = : − = −1 a c x y2 h2 (P ) z = h > c : + = − a b c (Oyz) x = : ẵẳ y ¾º¾º º •ÌỊ Ị Ø Ị Ø Ơ Ị Ơº Ø º Ì Ø Úđ Ị Ú Ø Ø × Ị Ị ×ĨỊ ×ĨỊ ØƯ ØõĨ Đ Ø Oz Ø Ò Ú z = f (x, y) ≥ ∀(x, y) ∈ D ¸ Ð V = Ị Ø Ị Ø ØƯ Ị Đ Ị D f (x, y)dxdy ắ D ẻ ắắ Ì Ị Ø Ø Ị ØõĨ Đ Ø z = x2 + y , y = x2 , y = 1, z = đ ị Ì Ĩ ị Ø Ø¸ Ø Üơ Ị D = {(x, y) : y = x2 , y = 1}, f (x, y) = x2 + y Ì Ĩ Ị Ø ´¾º µ¸ Ø √ y V = (x2 + y 2)dxdy = f (x, y)dxdy = D = √ − y D (x2 + y )dx dy √ 88 2( y + y y)dy = 105 •ÌỊ Ì Ị Ø Ị Ø Ị Ị Ị Ø Ơ øỊ ễ ềá ỉ ề ề ỉ í ệữề ề Ø Ị D ⊂ R2 Üơ Ị SD = dxdy D ẻ ẹ ắắ è ề ề Ø Đ D ØõĨ Ị ĨỊ (x − 1)2 + y = 1, (x − 2)2 + y = 4, (D) y = x, y = Ị ¼ ắ í y=x ầ ề ủ ũ í ề ì ề ẵ ề ỉệ Ø Ú Ú Ü ¾º¾ x = r cos ϕ, Ò Ò Ø (x, y) ∈ D Ý Ư÷Ị Úđ y = r sin ϕ (r, ϕ) ∈ {(r, ϕ) : ≤ ϕ ≤ à ¸ Ø Ĩ Ị Ø Ị ØƯĨỊ Ø π SD = dxdy = •ÌỊ Ị Ø Ỉ Ü Ý Ø Ị Ị Úđ Ð Ð Ò ¸ Ø dϕ π 3(π + 2) Đ Ø ĨỊ º Ị Ị Ị Ø Ơ Ị Ơ ØƯ Ị Đ Ị D¸ Ị Ø Đ Ø ĨỊ (S) × Ù Ĩ Đ ỉ ểề ắẳ ề é ỉệ ề ẹ ề D à (S) : z = f (x, y) (x, y) ∈ D Ĩ a > 0¸ Ø Ị ¸ + fx′ + fy′ dxdy D ắẵ cos2 d = rdr = cos ϕ dt(S) = Ỵ cos ϕ D π , cos ϕ ≤ r ≤ cos ϕ} Ị Ø Đ Ø ĨỊ az = xy ½ õĨ đĐ Ư Ị fx′ , fy′ Ø Ị Øõ ØƯ Ị Đ Ị D = {(x, y) : x2 + y ≤ a2 º đ Đ Ø ị (S) Ø Ị xy à a f (x, y) = Ø Ò fx′ (x, y) = ay , fy (x, y) = xa è ề é ắẳá Ò Ø × Ù x y + ( ) + ( ) dxdy a a + fx′ + fy′ dxdy = dt(S) = D Ị × Ị Ĩ Ø D x = r cos ϕ, y = r sin ϕ à (x, y) ∈ D ⇔ (r, ϕ) ∈ D0 = {(r, ϕ) : ≤ r ≤ a, ≤ ϕ ≤ 2π} Ì Ĩ Ị Ø Ị × Ị √ dt(S) = a Ø ¸ Ø a2 + r rdrdϕ = a 2π a a √ dϕ D0 π = a 2 √ a2 + r rdr 3π (a + r ) d(a + r ) = (a + r ) 2a a 2π a2 + r rdr = a a √ 3a2 π(2 − 1) = ã ủẹ ì Ãà ề Ø Ị Ị Ĩ ịỊ Đ Ø Ð Ị Ø ØƯ Ị Đ Ð Ị Ị Ơ Ø Ị Ơº D ØƯĨỊ Đ Ø Ơ øỊ (Oxy) Dº à ịỊ Đ Ø D Üơ Ị mD = ρ(x, y)dxdy D ·µ Å Đ Ị ÕÙơỊ Ø Ị ịỊ Đ Ø D Ú ØƯ Ox Ðđ y 2ρ(x, y)dxdy Ix = D ·µ Å Đ Ị ÕÙơỊ Ø Ị ịỊ Đ Ø D Ú ØƯ Oy Ðđ x2 ρ(x, y)dxdy Iy = D ·µ Å Đ Ị ÕÙơỊ Ø Ị ịỊ Đ Ø D Ú ØƯ Ø O Ðñ (x2 + y 2)ρ(x, y)dxdy IO = D ¾ Ð Ị Ư Ị ρ(x, y) Ðđ Đ Ø ·µ Ì ØƯ Ị Ø Đ G(xg , yG ) Üơ xG = Ị m xρ(x, y)dxdy, D yG = m yρ(x, y)dxdy D Ỵ Ĩ ¾º¿¾º ịỊ Đ Ø D = {(x, y) : x2 + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} µ à µ Ì Ð Ị Ư Ị ρ(x, y) = Ð Ị Ư Ị mD º ØƯ Ị đ ị Dº Ø Đ µ Å Đ Ị ÕÙơỊ Ø Ị µ à x2 + y º Ì Ị Ð D Ị Ú ØƯ ịỊ Đ Ø Ox, Oy D Úđ Üơ Đ Ị Oº Ò Ø y (D) x O À Ò mD = ¾ À Ò Ú Ø D x = r cos ϕ, y = r sin ϕ ¿ ¾º¿¾ x2 + y 2dxdy ρ(x, y)dxdy = D Ị × Ị Ú Ã π } (x, y) ∈ D ⇔ (r, ϕ) ∈ D0 = {(r, ϕ) : ≤ r ≤ 1, ≤ ϕ ≤ Ì Ĩ Ị Ø ề ì ề ỉ á ỉ r drdϕ = mD = D0 µ Ì Ĩ Ị Ø Ø ØƯ Ị xG = dr m G(xg , yG ) Ø Đ × Ò Ø xG = Üô π xρ(x, y)dxdy = µ¸ Ø x x2 + y dxdy r cos ϕdrdϕ = π 2π cos ϕdϕ = m y(x, y)dxdy = íá ỉ ÷Ị ¸ Ø ØƯ Ị ơƠ D ịỊ Đ Ø Ị Ø Ðđ sin ϕdϕ = − 2π cos ϕ 2π π = 2π 3 G( 2π , 2π )º I x , Iy , I O Ø Ị ịỊ Đ Ø D Ú y ρ(x, y)dxdy = Ix = D = Úđ × Ị Ị π Ø Ị sin2 ϕdϕ = Ø ·µ Å Đ Ị ÕÙơỊ Ø Ị Ox Ðđ y2 x2 + y dxdy = Ø × Ị 10 Ø ¸ Ø r sin2 ϕdrdϕ D0 π Ị ØƯ D (1 − cos 2ϕ)dϕ = 1 (ϕ − sin 2ϕ) 10 ịỊ Đ Ø D Ú ØƯ Oy Ðđ x2 ρ(x, y)dxdy = Iy = π 20 D ·µ Å Đ Ị ÕÙơỊ Ø Ị ịỊ Đ Ø D D ¾º¿º Ì Ơ Ị Ị Ị º º Ú ØÖ Ø O (x2 + y 2)ρ(x, y)dxdy = IO = ắẵ = Ãà ẹ ề ếụề Ø Ị ÷Ị π Ø Đ Ị π 2π D Ỉ sin ϕ 2π D0 yG = Ò D Ò π π r dr = D ÷Ị π r dϕ = Ðñ π 10 π = π 20 ØƯ Ø Ĩ · È Ị đĐ ¿ P Ĩõ f (x, y, z) Üơ Ị × D Ø đỊ Di i = 1, 2, , n Úđ diamDi Ị Ðđ ØƯ Ò Ñ D1 , D2 , , Dn º Ò Ò D ⊆ R3 Ò Ò Di Ø Ò Ã Ù Úđ ∆Di Ðđ Ø Ịº Ø Ó Ò diamDi = sup{||u − v|| : u, v ∈ Di } à đ Ơ Ị Ĩõ Üơ Ò ∆P = max{diamD1 , diamD2 , , diamDn } · Ị Đ Ø Ã ¸ Ø Ị Đ Mi (xi , yi , zi ) ∈ Di i = 1, , nº Ø n σP = f (Mi )∆Di i=1 Ðđ Ø Ị Ø Ơ Ị ¿ đĐ f (x, y, z) ØƯ Dº Ỉ Ị Ù õÒ I = lim σP ∆P →0 Ø Ò Øõ ¸ Ị ¿ Ơ Ø Ù ÚđĨ Ơ f (x, y, z) ØƯ đĐ × Ị Ị Đ Ĩõ P Úđ Ơ Ơ D Ị I= Úđ Ị Đ Mi ¸ Ø I Ðđ Ø Ơ Ị f (x, y, z)dxdydz D ặ ắ í ỉ ề ề ắắ ề ặ ẹ ề Ø đĐ × đĐ f (x, y, z) Ð f (x, y, z) ị Ø Ị Ø ØƯ Ị Đ ØƯ Ị Ị D Ị Úđ Ị ØƯ Ị Oxyz ỉ ỉ ề ỉừ I D ỉ Ò º D Ó D = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D0 , φ1 (x, y) ≤ z ≤ φ2 (x, y)} à φ2 (x,y) f (x, y, z)dxdydz = D ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơ dxdy D0 Ø Ỉ Ù Đ Ị D f (x, y, z)dz φ1 (x,y) Ó D = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x), φ1 (x, y) ≤ z ≤ φ2 (x, y)}, Ø ϕ2 (x) b f (x, y, z)dxdydz = a D Ị Ø Ø Ị Ø ¸ dx Ĩ ĨơỊ Ú ØƯ ϕ1 (x) x, y, z º φ2 (x,y) dy φ1 (x,y) f (x, y, z)dz ắ ẻ ắ è ề (2z + z)dxdydz, I= D − x2 − y 2}º D = {(x, y, z) : ≤ z ≤ ØƯĨỊ đ ị Ø D0 Ðđ Ị Ù D ØƯ Ị Oxy º à z y −2 O x À Ò ¿ À Ò Ú Ú ¾º¿ D0 = {(x, y) : x2 + y ≤ 4} Ì Ĩ Ị Ø ´¾º µ¸ Ø √ I= 4−x2 −y 1 ( z4 + z2) 2 (2z + z)dz = dxdy D0 = √ 4−x2 −y dxdy D0 (4 − x2 − y 2)2 + − x2 − y dxdy D0 Ò × Ò Ø x = r cos ϕ, à y = r sin ϕ (x, y) ∈ D0 ⇔ (r, ϕ) ∈ D1 = {(r, ϕ) : ≤ r ≤ 2, ≤ ϕ ≤ 2π} Ì Ĩ Ị Ø Ị × Ị Ø ¸ Ø I= (4 − r )2 + − r rdrdϕ = π D1 = π( r − r + 10r ) ¾º¿º¿º È Ị Ơ ơƠ Ỵ Ị Ø Ø Ø Ư Ơ Ị (r − 9r + 20r)dr 44π = Òº (x, y, z) → (u, v, w) x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w), Ðñ Æ Ù Ø Ò Ø ¿ I= Ò Ø f (x, y, z)dxdydz D Ø Ò Ý Ð Ò ắ ỉ ặ ụ è ề ỉừ ẹ ỉ ìểề à ụ ỉ ụề x, y, z đĐ × Ị ỊđĨ Ð Ë Ø đĐ × Ý I x, y, z Ø Ĩ Ị øỊ Ị (u, v, w) Ø Ị Ð ĐóỊ ô ݺ Ù Ò G : (u, v, w) ∈ D0 → (x, y, z) ∈ D º Ò Ø ØƯ Ị Ø Ơ Đ D0 º  Ĩ x′u x′v x′w yw′ = ∀(u, v, w) ∈ D0 J = yu′ yv′ zu′ zv′ zw′ à I= f (x, y, z)|J|dudvdw, D0 x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)º ØƯĨỊ ¾º¿ ´ Ị đỊ º ÌƯĨỊ Ðđ Ò Ø Ò ØÖ Ø J = rº Ị Ơ Ị Ị Ø Ĩ Ú Ý¸ Ø Ø Ø (u, v, w) ≡ (r, ϕ, z) Úñ x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z, Ị ÚÙ Ị Ø Ø ØƯ µº à f (x, y, z)dxdydz = D × Ò f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz D0 ỉ ẻ ắ ể ẹ ề x2 + y 2} D = {(x, y, z) : ≥ z ≥ Ì Ị Ø Ơ Ị (3x2 + 3y + 2z )dxdydz I= D ñ Ì ị Ị Ị Ø Ị × Ị Ø ØÖ x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z (x, y, z) ∈ D ⇔ (r, ϕ, z) ∈ {(r, ϕ, z) : ≤ r ≤ 2, ≤ ϕ ≤ 2π, r ≤ z ≤ 4} Ó Ú Ý I= 2π dr = 2π dϕ 2 (3r + 2z )rdz = 2π (3r z + rz ) dr = 2π r ¾º¿ ´ Ị đỊ º ÌƯĨỊ Ðđ Ị Ø Ị Ø (− ØƯ Ị Ô Ò Ò Ø J = −r sin ϕº D 11 16r 336π r + 6r + )dr = 3 15 Ø Ø (u, v, w) ≡ (r, ϕ, θ) Úñ x = r sin ϕ cos θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos ϕ, ô ÚÙ Ị Ĩ Ú Ý¸ Ø Ị Ø Ĩ Đ ễ ỉ ỉ D0 ¾º¿ Ø × Ị f (r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ)r | sin ϕ|drdϕdθ Ò D = {(x, y, z) : ≤ z ≤ Ì Ị r f (x, y, z)dxdydz = Ỵ (3r + 2z )rdz dr r 4 − x2 − y 2} Ò (x2 + y + 2z )dxdydz I= D đ ị Ị Ị Ø Ị × Ò Ø Ù x = r sin ϕ cos θ y = r sin ϕ sin θ z = r cos ϕ, (x, y, z) ∈ D ⇔ (r, ϕ, θ) ∈ {(r, ϕ, θ) : ≤ ϕ ≤ π π , ≤ θ ≤ , ≤ r ≤ 2} 2 Ó Ú Ý π I= 2π dϕ dθ 0 π 2 = 2π r (1 + cos2 ϕ)| sin ϕ|dr dϕ = (r sin2 ϕ + 2r cos2 ϕ)r | sin ϕ|dr π 64π (1 + cos2 ϕ) sin ϕdϕ = π 16π (5 sin ϕ + sin 3ϕ)dϕ π 16π = (−5 cos ϕ − cos 3ϕ) 256π = 15 ủ ủ ể ắẵ ủẹ é ễỉ ỉ ễ ề ẵà è ề ắà à ụ ề Ị Ị õĨ đĐ π − x2 sin2 ϕdϕ, F (x) = Đ Ị Ị Đ Ị − x2 sin2 ϕ Ú Úđ F (x)º Ư÷Ị 1 E ′′ (x) + E ′ (x) + E(x) = x x2 ệữề x dϕ E ′ (x), F ′ (x)º E ′ (x), F ′ (x) ÕÙ E(x) Đ Ị ¾ Ý π E(x) = tF (t)dt = E(x) − (1 − x2 )F (x) Ư÷Ị x tE(t)dt = (1 + x2 )E(x) − (1 − x2 )F (x) x ∈ (0, 1) đ ¾º¾º √ ẵà 1 ắà ỉ dy f (x, y)dx f (x, y)dxº y f (x, y)dy º 2x2 x −1 dx f (x, y)dy º x2 6−x dx f (x, y)dy º 2x 3−2y dy µ y 2x dx đ f (x, y)dx ề ì 2y dx µ Ơ 4−2y dy µ Ø f (x, y)dy º µ dx √0 ỉ 1x2 f (x, y)dy x ề ắ Ơ Ị Ơ ơƠ Ù Ø Ơ Ị Ø Ò xb − xa dx (b > a > 0) ln x đ ¾º º Ì Ị Ø Ơ Ị Ơ xy − y dxdy ¸ ØƯĨỊ I1 = D D |x + 2y|dxdy ¸ ØƯĨỊ D x − y 2dxdy ¸ ØƯĨỊ D x |y + x2 |dxdy ¸ ØƯĨỊ I2 = I3 = I4 = x2 dxdy ¸ ØƯĨỊ y2 I5 = D ex I6 = +2y D Ðđ Ø Đ D = {(x, y) : x2 + y ≤ 4, x ≥ 0}º D = [0, 2] × [−4, 0]º dxdy ¸ ØƯĨỊ D = {(x, y) : x2 + 2y ≤ 1} D = {(x, y) : x2 + xy + y ≤ 1} D Ðđ Đ D − x2 − y dxdy ¸ D − x2 − y dxdy ¸ Ú D D I9 = I10 = D đ ¾º º 2y − x2 − y dxdy ¸ Ú Ị Ø Ơ Ị Ị õỊ õỊ D Ơ¸ Ø Ị Ðđ ẹ ề ỉ ẵà xy = 2, xy = 4, y = x, y = 4x ắà xy = 2, xy = 6, y = 2x, y = 4xº ¿µ x + y = 2, x + y = 4, y = x, y = 3xº µ O, A(10, 1), B(1, 1)º Ò D = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 2, |y| ≤ 1}º x2 + xy + y 2dxdy ¸ ØƯĨỊ I8 = D = {(x, y) : ≤ x2 + y , x2 + (y − 1)2 ≤ 1} D I7 = Ị Ị Ị Ị ĨỊ õỊ Đ y = x, y = 2x, x2 = 2y, x2 = 4y º ¼ Ị Ơ øỊ ĨỊ (x2 + y )2 = 4(x2 − y ) x2 + y = 2x Ị ĨỊ õỊ x2 + y = 2y µ ÀĨ Ị r = a sin 2ϕ Ú ơỊ µ r = cos ϕ, r = cos ϕº µ y = x3 , y = (6 − x)3 º µ Å Ø Ị đ ¾º x = t − sin t, y = − cos t, ≤ t ≤ 2π º Ơ Ü ÐĨ Ø Ị º Ø a > 0º Ơ Ị Ơ¸ Ø Ị Ø ỉ ỉ ỉ ừề ẵà 3x + y = 6, 3x + 2y = 12, x + y + z = 6, y = 0, z = 0º ¾µ z = y 2, z = 0, x = 0, x = 1, y = 1, y = −1º ¿µ z = x, z = 2x, x2 + y = 4xº µ z = x + y, z = x2 + y º µ z = x2 + y 2, z = xy º µ z= µ z = x2 + y , 2z = x2 + y + z º µ 2x = y + z , (y + z )2 = 4(y − z ), x = ẵẳà + y2 x , + ( y9 + x µ x2 z2 ) y + + z = 1º = 1, x = 0º z = 0, z = x2 + y 2, x2 ≤ y ≤ ủ ắ ẵà ẩ ề ỉ ễ ề ẹ Ø Ơ øỊ x a º Ị Ơ¸ Ø Ị y b + + x2 + y z c ề ỉ = ềữẹ ắà ỉ ề ề z= ¿µ Å Ø Ù x2 + y + z = ềữẹ ỉệểề ỉ z = xy ềữẹ ỉệểề ủ ắ z= è ề ỉệ ềữẹ ỉệểề ỉệ ề ẵà x2 a2 ¾µ y = 2x2 , y = 2º ¿µ y = x2 − 2x + 1, y = −x + 3, y = 0º y2 b2 º x2 + y = 2xº x2 + y ≤ 2xº ØÖ Đ Ø ØƯ x2 a2 Đ Ø ØƯ Ø Đ¸ Đ Đ Ị ÕÙơỊ Ø Ị Ø + Ị Ø + y2 b2 = 1º y = x Úđ Đ Ø Ơ øỊ x = 3º (x, y) ∈ {(x, y) : x ≥ 0, y ≤ 4x, x ≤ 1}º 4x Ú Ø Đ Ø Ơ øỊ x2 + y ≤ 4º µ õỊ √ Ị Đ Ø Đ Ø ØƯ y + z = 4x ềữẹ ỉ ễ ệ ễểéể ỉ ỉệ ềữẹ ỉệểề x2 + y + z = a2 Ò Ú ØƯ Ox, Oy, ĨỊ ≤ 1, y ≥ 0, x ≥ 0º y = x2 , x = y è ủ ụ ắ ẵà D Ì Ị D Ø (4, 4), (5, 7), (10, 10), (12, 4)º Ị Ơ dxdydz Ú 1+x2 +y cos( ắà ụ ề D = {(x, y, z) : x2 + y ≤ z ≤ 9}º x2 + y )dxdydz Ú D = {(x, y, z) : x2 + y ≤ z ≤ 4}º ½ Đ O ịỊ Đ Ø Ị z dxdydz ¿µ D D = {(x, y, z) : x2 + y + z ≤ 4, x2 + y + z ≤ 4z}º Ú (x + y + z)2 dxdydz µ D xyzdxdydz µ D = {(x, y, z) : x2 + y + z ≤ 3a2 , x2 + y ≤ 2az}º Ú D = {(x, y, z) : x2 + y ≤ 2z, ≤ z ≤ 2}º Ú D x2 + y + z dxdydz µ D (x2 + y + z )dxdydz µ D = {(x, y, z) : x2 + y + z ≤ x}º Ú D = {(x, y, z) : 3(x2 + y ) + z 3a2 } D ủ ắẵ ẵà Ex π 2 = (1 − x sin )x ắà Ex = F (x) xE(x) x tF (t)dt 1 ủ ắắ ẵà ¾µ ¿µ µ µ µ µ µ − √1 dx dx dy x dx π t √ √ 1−x2 √ sin2 dϕ 1−t2 sin2 ϕ ϕ dϕ = − 1 −1 √ y y y dy √ 1−x2 2− x2 − dx dx 2−x f (x, y)dy º dy 6−y f (x, y)dxº 1−y f (x, y)dy º dx y dy f (x, y)dxº f (x, y)dx + x f (x, y)dy + f (x, y)dx + 3−x dx dy y f (x, y)dy º f (x, y)dxº b+1 ln a+1 º đ ¾º¿º đ ¾º º I1 = I2 = 11 I3 = 3π I4 = 104 15 I5 = π − √ − √2 I6 = π(e − 1) I7 = 4π √ 3 I8 = 8π − I9 = 8π + Ô √ x sin √ y f (x, y)dxº dy Ø ϕ sin2 ϕ Ò º √ 1−y dy √ f (x, y)dxº 2 ñ º f (x, y)dy = ò π 1−x2 √ + Ò f (x, y)dy + x f (x, y)dy 0√ y2 Ò 32 32 I10 = π ñ ¾º º ¾ ¾ 1)2(arctan − π4 )º 2) 43 ln 2º 3)4º 4) 25 º 5) πa2 º 6) 3π º √ 7)2(18 − 135) 8)3 ủ ắ ẵà IOx = ab3 16 ắà IOx = 16 IOy = a3 b ¸ 16 IO = (a2 +b2 )ab º 16 IOy = ẵ ắ ắ ... − ? ?1 , x1 + ? ?1 ) → (y1 − ? ?1 , y1 + ? ?1 ) Ò ? ?1 < ǫ × Ĩ Ĩ (x1 − ? ?1 , x1 + ? ?1 ) × (y1 − ? ?1 , y1 + ? ?1 ) ⊆ (x0 − δ, x0 + δ) → (y0 − α, y0 + α) à f1 (x) = f (x), ∀x ∈ (x1 − ? ?1 , x1 + ? ?1 ) Ĩ Ú Ý¸ Ú Đ... ∆x1 ∆x1 g f (x1 + ∆x1 , , xn + ∆xn ) − g f (x1 , , xn ) = ∆x1 g f (x1 + ∆x1 , , xn + ∆xn ) − g f (x1 , x2 + ∆x2 , , xn + ∆xn ) = ∆x1 g f (x1 , , xn? ?1 , xn + ∆xn ) − g f (x1 , , xn ) + + ∆x1... (x1 , , xn? ?1 , xn + ∆xn ) − f (x1 , , xn ) f (x1 , , xn? ?1 , xn + ∆xn ) − f (x1 , , xn ) ì x1 ẵ ể ịØ Ø Ð Ị Ø đĐ × Úđ Ĩ ∆x1 → 0¸ Ø Ị Ị ∂h ∂g ∂f1 ∂g ∂f2 ∂g ∂fm = + + + x1 f1 x1 f2 x2 fm x1