Đinh Ngọc Thanh Bùi Lê Trọng Thanh Huỳnh Quang Vũ GIẢI TÍCH HÀM || f ||p Bài giảng Bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 31 tháng 12 năm 2022 ii Đây là t[.]
Bài giảng GIẢI TÍCH HÀM || f ||p Đinh Ngọc Thanh Bùi Lê Trọng Thanh Huỳnh Quang Vũ Bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 31 tháng 12 năm 2022 ii Đây tóm tắt số nội dung lí thuyết danh sách tập dùng cho môn MTH10403 Giải tích hàm Khoa Tốn - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Giải tích hàm mơn sinh viên có hiểu biết không gian vô hạn chiều Các kiến thức cần thiết cho nhiều chuyên ngành tốn lí thuyết lẫn ứng dụng Đây nơi mà khả tiếp thu sử dụng lí luận tốn học trừu tượng xác tiếp tục rèn luyện kiểm tra Phần đông sinh viên học mơn từ học kì thứ tư Tóm tắt nội dung học phần: khơng gian mêtríc (nhắc lại), khơng gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục định lý chúng, không gian Hilbert Dấu ✓ tập để lưu ý người đọc tập đặc biệt có ích quan trọng, nên làm Những phần có đánh dấu * tương đối khó hơn, không bắt buộc Biên soạn: Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ (người biên tập, email: hqvu@hcmus.edu.vn) Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Các góp ý vui lịng gởi cho người biên tập Bản tài liệu này, mã nguồn, có https://sites.google.com/view/hqvu/teaching Tài liệu dùng quyền Public Domain (CC0) http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, áp dụng được, khơng dùng quyền Creative Commons Attribution 4.0 International License http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Mục lục Giới thiệu 1 Khơng gian mêtríc 1.1 Mêtríc 1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục 1.3 Khơng gian mêtríc 1.4 Không gian compắc không gian đầy đủ 1.5 Bài tập 12 Không gian định chuẩn 15 2.1 Không gian vectơ 15 2.2 Không gian định chuẩn 17 2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 20 2.4 Không gian ℓ 𝑝 23 2.5 Không gian hàm bị chặn không gian hàm liên tục 25 2.6 Không gian 𝐿 𝑝 31 2.7 Các đề tài khác 35 2.8 Bài tập 38 Ánh xạ tuyến tính liên tục 47 3.1 Chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục 47 3.2 Tính chuẩn 50 3.3 Ánh xạ tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều 52 3.4 Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục 55 3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt 56 3.6 Định lý Hahn–Banach 57 3.7 Các đề tài khác 60 3.8 Bài tập 61 iii MỤC LỤC iv Không gian Hilbert 4.1 Khơng gian tích 4.2 Không gian Hilbert 4.3 Phép chiếu vng góc 4.4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 4.5 Họ trực chuẩn 4.6 Một ứng dụng: Chuỗi Fourier 4.7 Bài tập 69 69 76 78 82 84 93 95 Hướng dẫn học tiếp 104 Gợi ý cho số tập 105 Tài liệu tham khảo 107 Chỉ mục 109 Giới thiệu Vào kỉ 18, 19, phát triển vượt bậc châu Âu thời đại Khai sáng Cách mạng công nghiệp thúc đẩy khảo cứu học thuật thực dụng Trong có khảo cứu Bernoulli, Euler, Lagrange, Fourier nhiều người khác tượng vật lí, truyền sóng truyền nhiệt Trong khảo sát này đối tượng cần tìm hàm số, chẳng hạn nhiệt độ hàm số vị trí thời điểm, tượng thường miêu tả phương trình hàm Nghiên cứu phương trình đưa đến việc tính chất tập hợp hàm chiếm vị trí trung tâm Chẳng hạn để biết phương trình có nghiệm hay khơng dẫn tới khảo sát ánh xạ tập hợp hàm, hay việc xấp xỉ nghiệm dẫn tới nhu cầu đưa cách đo độ khác biệt hàm Đáng ý nhiều tập hợp hàm có cấu trúc khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều, ví dụ tập hợp đa thức hay tập hợp hàm số liên tục Từ có nhu cầu khảo sát khái niệm giải tích hội tụ liên tục không gian vô hạn chiều Mơn Giải tích hàm miêu tả sơ lược ngắn gọn giải tích khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều Từ đầu kỉ 20 Giải tích hàm định hình phát triển nhanh chóng, vừa phát triển nội toán học, vừa nhu cầu khoa học kĩ thuật Ngày Giải tích hàm trở thành phần tốn học mơn Giải tích hàm trở thành mơn sở chương trình đào tạo đại học ngành toán MỤC LỤC Chương Khơng gian mêtríc Khơng gian mêtríc phát triển tương tự không gian Euclid, tập hợp có khoảng cách Ở chương ơn tập số tính chất khơng gian mêtríc có liên quan tới mơn giải tích hàm Phần lớn nội dung có mơn Giải tích 2, người học nên ơn tập, đọc lại giáo trình [15, 16] nhiều tài liệu khác Trong phần nhắc lại nhấn mạnh việc hiểu ý nghĩa khả liên hệ phần kiến thức khơng kiểm tra tính đắn mệnh đề Một số mệnh đề quan trọng với mơn Giải tích hàm khơng kết mà cịn lý luận giải thích chứng minh, người học nên làm lại để củng cố 1.1 Mêtríc Mêtríc nghĩa khoảng cách Một khơng gian mêtríc tập hợp có khoảng cách phần tử Khoảng cách tổng qt cần có tính chất tổng kết từ khoảng cách Euclid không gian R𝑛 mà ta sử dụng môn học trước 1.1.1 Định nghĩa Cho 𝑋 tập hợp không rỗng Một ánh xạ 𝑑:𝑋×𝑋 → R (𝑥, 𝑦) ↦→ 𝑑 (𝑥, 𝑦) gọi mêtríc 𝑋 tính chất sau thỏa với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋: (a) 𝑑 (𝑥, 𝑦) ≥ 0, 𝑑 (𝑥, 𝑦) = ⇐⇒ 𝑥 = 𝑦 (xác định dương), (b) 𝑑 (𝑥, 𝑦) = 𝑑 (𝑦, 𝑥) (đối xứng), (c) 𝑑 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑 (𝑥, 𝑧) + 𝑑 (𝑧, 𝑦) (bất đẳng thức tam giác) 1Trong tiếng Anh từ metric có nghĩa “cách đo”, có họ hàng với từ metre (mét) CHƯƠNG KHÔNG GIAN MÊTRÍC 𝑥 𝑦 𝑧 Hình 1.1.2: Bất đẳng thức tam giác Cặp (𝑋, 𝑑) gọi khơng gian mêtríc hay khơng gian có khoảng cách Mỗi phần tử tập 𝑋 cịn gọi điểm Khơng gian mêtríc (𝑋, 𝑑) hay viết vắn tắt 𝑋 mêtríc 𝑑 ngầm hiểu không cần xác định cụ thể 1.1.3 Ví dụ (khơng gian Euclid R𝑛 ) Với 𝑛 ∈ Z+ , tập hợp R𝑛 = {(𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 ) | 𝑥 ∈ R, 𝑥 ∈ R, , 𝑥 𝑛 ∈ R} với mêtric Euclid 𝑑 ((𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 ), (𝑦 , 𝑦 , , 𝑦 𝑛 )) = p (𝑥 − 𝑦 ) + (𝑥 − 𝑦 ) + · · · + (𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 ) gọi không gian Euclid thực 𝑛-chiều Đặc biệt 𝑛 = khơng gian mêtríc Euclid R có mêtríc thơng thường cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số thực, 𝑑 (𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|, khoảng cách hai số thực 1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục 1.2.1 Định nghĩa Cho khơng gian mêtríc (𝑋, 𝑑), 𝑎 ∈ 𝑋 số thực 𝑟 > Các tập 𝐵(𝑎, 𝑟) = {𝑥 ∈ 𝑋 | 𝑑 (𝑥, 𝑎) < 𝑟 } 𝐵′ (𝑎, 𝑟) = {𝑥 ∈ 𝑋 | 𝑑 (𝑥, 𝑎) ≤ 𝑟} 𝑆(𝑎, 𝑟) = {𝑥 ∈ 𝑋 | 𝑑 (𝑥, 𝑎) = 𝑟} gọi cầu mở, cầu đóng, mặt cầu tâm 𝑎 bán kính 𝑟 1.2.2 Định nghĩa Cho khơng gian mêtríc (𝑋, 𝑑) Tập 𝐴 ⊂ 𝑋 tập mở 𝑋 điểm thuộc 𝐴 có cầu 𝑋 tâm điểm chứa 𝐴 Bằng kí hiệu: ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∃𝑟 > 0, 𝐵(𝑥, 𝑟) ⊂ 𝐴 Nếu 𝑋 \ 𝐴 tập mở, ta nói 𝐴 tập đóng 𝑋 ... khảo sát khái niệm giải tích hội tụ liên tục không gian vô hạn chiều Mơn Giải tích hàm miêu tả sơ lược ngắn gọn giải tích khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều Từ đầu kỉ 20 Giải tích hàm định hình... Bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 31 tháng 12 năm 2022 ii Đây tóm tắt số nội dung lí thuyết danh sách tập dùng cho mơn MTH10403 Giải tích. .. nhanh chóng, vừa phát triển nội tốn học, vừa nhu cầu khoa học kĩ thuật Ngày Giải tích hàm trở thành phần tốn học mơn Giải tích hàm trở thành mơn sở chương trình đào tạo đại học ngành toán MỤC LỤC