Giải tích hàm là một trong những môn ở đó sinh viên có những hiểu biết đầu tiên về các không gian vô hạn chiều. Các kiến thức này là cần thiết cho nhiều chuyên ngành toán cả lí thuyết lẫn ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng sau đây để nắm rõ chi tiết hơn về không gian mêtríc (nhắc lại), không gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục, không gian Hilbert.
Bài giảng GIẢI TÍCH HÀM || f ||p Đinh Ngọc Thanh Bùi Lê Trọng Thanh Huỳnh Quang Vũ Bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày tháng năm 2023 ii Đây tóm tắt số nội dung lí thuyết danh sách tập dùng cho môn MTH10403 Giải tích hàm trình độ đại học Khoa Tốn - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Giải tích hàm mơn sinh viên có hiểu biết khơng gian vô hạn chiều Các kiến thức cần thiết cho nhiều chun ngành tốn lí thuyết lẫn ứng dụng Đây nơi mà khả tiếp thu sử dụng lí luận tốn học trừu tượng xác tiếp tục rèn luyện kiểm tra Phần đơng sinh viên học mơn từ học kì thứ tư trở sau Tóm tắt nội dung học phần: khơng gian mêtríc (nhắc lại), khơng gian định chuẩn, ánh xạ tuyến tính liên tục định lý chúng, không gian Hilbert Dấu ✓ tập để lưu ý người đọc tập đặc biệt có ích quan trọng, nên làm Những phần có đánh dấu * tương đối khó nâng cao so với yêu cầu chung môn học Biên soạn: Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ (người biên tập, email: hqvu@hcmus.edu.vn) Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Các góp ý vui lịng gởi cho người biên tập Bản tài liệu này, mã nguồn, có https://sites.google.com/view/hqvu/teaching Tài liệu dùng quyền Public Domain (CC0) http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, áp dụng được, khơng dùng quyền Creative Commons Attribution 4.0 International License http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Mục lục Giới thiệu 1 Khơng gian mêtríc 1.1 Mêtríc 1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục 1.3 Không gian compắc không gian đầy đủ 1.4 Bài tập 14 Không gian định chuẩn 17 2.1 Không gian vectơ 17 2.2 Không gian định chuẩn 19 2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 23 2.4 Không gian ℓ 𝑝 26 2.5 Không gian hàm liên tục 28 2.6 Không gian 𝐿 𝑝 34 2.7 Các đề tài khác 39 2.8 Bài tập 42 Ánh xạ tuyến tính liên tục 53 3.1 Chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục 53 3.2 Tính chuẩn 56 3.3 Ánh xạ tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều 59 3.4 Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục 62 3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt 63 3.6 Định lý Hahn–Banach 64 3.7 * Các đề tài khác 68 3.8 Bài tập 70 Khơng gian Hilbert 4.1 Khơng gian tích 77 77 iii iv MỤC LỤC 4.2 Phép chiếu vng góc 4.3 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 4.4 Họ trực chuẩn 4.5 * Khai triển Fourier 4.6 Bài tập 85 89 90 100 102 Hướng dẫn học tiếp 111 Gợi ý cho số tập 113 Tài liệu tham khảo 115 Chỉ mục 117 Giới thiệu Vào kỉ 18, 19, phát triển vượt bậc châu Âu thời đại Khai sáng Cách mạng công nghiệp thúc đẩy khảo cứu học thuật thực dụng Trong có khảo cứu Bernoulli, Euler, Lagrange, Fourier nhiều người khác tượng vật lí, truyền sóng truyền nhiệt Trong khảo sát này đối tượng cần tìm hàm số, chẳng hạn nhiệt độ hàm số vị trí thời điểm, tượng thường miêu tả phương trình hàm Nghiên cứu phương trình đưa đến việc tính chất tập hợp hàm chiếm vị trí trung tâm Chẳng hạn để biết phương trình có nghiệm hay khơng dẫn tới khảo sát ánh xạ tập hợp hàm, hay việc xấp xỉ nghiệm dẫn tới nhu cầu đưa cách đo độ khác biệt hàm Đáng ý nhiều tập hợp hàm có cấu trúc khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều, ví dụ tập hợp đa thức hay tập hợp hàm số liên tục Từ có nhu cầu khảo sát khái niệm giải tích hội tụ liên tục không gian vô hạn chiều Môn Giải tích hàm miêu tả sơ lược ngắn gọn giải tích khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều Từ đầu kỉ 20 Giải tích hàm định hình phát triển nhanh chóng, vừa phát triển nội toán học, vừa nhu cầu khoa học kĩ thuật Ngày Giải tích hàm trở thành phần tốn học mơn Giải tích hàm trở thành mơn sở chương trình đào tạo đại học ngành tốn MỤC LỤC Chương Khơng gian mêtríc Khơng gian mêtríc phát triển tương tự khơng gian Euclid, tập hợp có khoảng cách Ở chương ôn tập số tính chất khơng gian mêtríc có liên quan tới mơn giải tích hàm Những nội dung có mơn Giải tích 2, người học nên ơn tập, đọc lại giáo trình [17, 18] nhiều tài liệu khác [4], [10] Trong phần nhắc lại nhấn mạnh việc hiểu ý nghĩa khả liên hệ phần kiến thức không kiểm tra tính đắn mệnh đề Một số mệnh đề quan trọng với mơn Giải tích hàm khơng kết mà cịn lý luận giải thích chứng minh, người học nên làm lại để củng cố 1.1 Mêtríc Mêtríc nghĩa khoảng cách ¹ Một khơng gian mêtríc tập hợp có khoảng cách phần tử Khoảng cách tổng quát cần có tính chất tổng kết từ khoảng cách Euclid không gian R𝑛 mà ta sử dụng môn học trước 1.1.1 Định nghĩa Cho 𝑋 tập hợp không rỗng Một ánh xạ 𝑑:𝑋×𝑋 → R (𝑥, 𝑦) ↦→ 𝑑 (𝑥, 𝑦) gọi mêtríc 𝑋 tính chất sau thỏa với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋: (a) 𝑑 (𝑥, 𝑦) ≥ 0, 𝑑 (𝑥, 𝑦) = ⇐⇒ 𝑥 = 𝑦 (xác định dương), (b) 𝑑 (𝑥, 𝑦) = 𝑑 (𝑦, 𝑥) (đối xứng), (c) 𝑑 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑 (𝑥, 𝑧) + 𝑑 (𝑧, 𝑦) (bất đẳng thức tam giác) ¹Trong tiếng Anh từ metric có nghĩa “cách đo”, có họ hàng với từ metre (mét) CHƯƠNG KHƠNG GIAN MÊTRÍC 𝑥 𝑦 𝑧 Hình 1.1.2: Bất đẳng thức tam giác Cặp (𝑋, 𝑑) gọi khơng gian mêtríc hay khơng gian có khoảng cách Mỗi phần tử tập 𝑋 cịn gọi điểm Khơng gian mêtríc (𝑋, 𝑑) hay viết vắn tắt 𝑋 mêtríc 𝑑 ngầm hiểu khơng cần xác định cụ thể 1.1.3 Ví dụ (khơng gian Euclid R𝑛 ) Với 𝑛 ∈ Z+ , tập hợp R𝑛 = {(𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 ) | 𝑥 ∈ R, 𝑥 ∈ R, , 𝑥 𝑛 ∈ R} với mêtric Euclid 𝑑 ((𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 ), (𝑦 , 𝑦 , , 𝑦 𝑛 )) = (𝑥1 − 𝑦 ) + (𝑥2 − 𝑦 ) + · · · + (𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 ) gọi không gian Euclid thực 𝑛-chiều Đặc biệt 𝑛 = khơng gian mêtríc Euclid R có mêtríc thông thường cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số thực, 𝑑 (𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|, khoảng cách hai số thực, vốn quen gọi đường thẳng Euclid Việc khoảng cách Euclid thỏa bất đẳng thức tam giác kiểm sau Xét bất đẳng thức 𝑑 (𝑥, 𝑦) + 𝑑 (𝑦, 𝑧) ≥ 𝑑 (𝑥, 𝑧) tức 𝑛 (𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 ) 2 𝑛 (𝑧𝑖 − 𝑦𝑖 ) + 𝑖=1 (𝑧𝑖 − 𝑥𝑖 ) ≥ 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 Viết 𝑎𝑖 = (𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 ), 𝑏𝑖 = (𝑧𝑖 − 𝑦𝑖 ) bất đẳng thức trở thành 𝑛 𝑖=1 𝑎𝑖2 𝑛 + 𝑖=1 𝑏𝑖2 𝑛 (𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 ) ≥ 𝑖=1 (1.1.4) 104 CHƯƠNG KHÔNG GIAN HILBERT (c) Dùng câu (b), chứng tỏ 𝑇 ánh xạ tuyến tính liên tục tính chuẩn 𝑇 4.6.12 Kiểm phiếm hàm tuyến tính liên tục tìm chuẩn, dùng phương pháp tích trong: 𝑇 : 𝐿 ((0, 1)) → R ∫ 𝑓 ↦→ 𝑓 (𝑥)𝑥 𝑑𝑥 Phép chiếu vng góc 4.6.13 Cho 𝐻 không gian Hilbert cho 𝑀 khơng gian vectơ 𝐻 Chứng tỏ bao đóng 𝑀 𝑀 không gian Hilbert 4.6.14 Cho 𝐻 khơng gian tích 𝑀 ⊂ 𝐻 Chứng tỏ 𝑀 ⊥ không gian vectơ đóng 𝐻 4.6.15 Cho 𝑀 khơng gian đóng khơng gian Hilbert 𝐻 𝑀 ≠ 𝐻 Chứng tỏ 𝑀 ⊥ ≠ {0} 4.6.16 ✓ Cho 𝐻 khơng gian tích 𝑥 ∈ 𝐻 (a) Chứng tỏ 𝑥 ⊥ nhân phiếm hàm 𝑦 ↦→ 𝑇 (𝑦) = ⟨𝑦, 𝑥⟩, tức 𝑥 ⊥ = ker 𝑇 = 𝑇 −1 ({0}) (b) Chứng tỏ 𝑥 ⊥ khơng gian vectơ đóng 𝐻 (c) Cho 𝑀 ⊂ 𝐻 Chứng tỏ 𝑀⊥ = 𝑥⊥ 𝑥∈𝑀 (d) Suy 𝑀 ⊥ khơng gian vectơ đóng 𝐻 (e) Chứng tỏ 𝑀 ⊥ = 𝑀 ⊥ 4.6.17 ✓ Cho 𝐻 không gian Hilbert Cho ∅ ≠ 𝑀, 𝑁 ⊂ 𝐻 Điều sau đúng? (a) 𝑀 ⊥ ≠ ∅ (b) 𝑀 ⊂ 𝑁 =⇒ 𝑀 ⊥ ⊂ 𝑁 ⊥ (c) 𝑀 ⊂ 𝑁 =⇒ 𝑁 ⊥ ⊂ 𝑀 ⊥ (d) 𝑀 ⫋ 𝑁 =⇒ 𝑁 ⊥ ⫋ 𝑀 ⊥ (e) 𝑀 ⊥ = 𝑀 ⊥ 4.6 BÀI TẬP 105 (f) 𝑀 ⊥ = ⟨𝑀⟩ ⊥ 4.6.18 Cho 𝑀 khơng gian vectơ đóng không gian Hilbert 𝐻 Chứng tỏ 𝑥 ⊥ 𝑀 ∥𝑥∥ = 𝑑 (𝑥, 𝑀) Kết cịn khơng bỏ giả thiết 𝑀 đóng? 4.6.19 Cho 𝑀 khơng gian vectơ đóng khơng gian Hilbert 𝐻 Chứng tỏ 𝑀 = (𝑀 ⊥ ) ⊥ Kết khơng bỏ giả thiết 𝑀 đóng? 4.6.20 Trong không gian Hilbert 𝐻 cho 𝑎 ≠ Chứng tỏ 𝑑 (𝑥, 𝑎 ⊥ ) = | ⟨𝑥, 𝑎⟩ | ∥𝑎∥ Ứng dụng, không gian Euclid R3 tìm lại cơng thức cho khoảng cách từ điểm 𝑝 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) tới mặt phẳng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 4.6.21 Cho 𝑀 khơng gian đóng khơng gian Hilbert 𝐻 Cho 𝑥 ∈ 𝐻 Chứng tỏ chiếu 𝑥 xuống 𝑀 Cụ thể chứng tỏ 𝑦 𝑦 thuộc 𝑀 thỏa (𝑥 − 𝑦 ) ⊥ 𝑀 (𝑥 − 𝑦 ) ⊥ 𝑀 𝑦 = 𝑦 , theo bước sau: (a) Chứng tỏ (𝑦 − 𝑦 ) ⊥ 𝑀 (b) Chứng tỏ (𝑦 − 𝑦 ) ⊥ (𝑦 − 𝑦 ) (c) Chứng tỏ 𝑦 − 𝑦 = 4.6.22 Chứng minh Mệnh đề 4.2.6 4.6.23 ✓ Với 𝑛 ∈ Z+ cố định gọi 𝑀 tập tất dãy số thực từ phần tử thứ (𝑛 + 1) trở đi, tức 𝑀 = {(𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 , 0, 0, ) | 𝑥 , , 𝑥 𝑛 ∈ R} (a) Hãy kiểm 𝑀 không gian vectơ ℓ , khơng gian định chuẩn ℓ Hãy xác định số chiều 𝑀 (b) Chứng minh 𝑀 tập đóng ℓ Hỏi 𝑀 có không gian Hilbert không? (c) Xét ánh xạ 𝑃 𝑀 : ℓ2 → 𝑀 𝑥 = (𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 , ) ↦→ (𝑥 , 𝑥 , , 𝑥 𝑛 , 0, ) Như ánh xạ 𝑃 𝑀 giữ lại 𝑛 tọa độ 𝑥, tọa độ lại gán thành Hãy kiểm 𝑃 𝑀 ánh xạ tuyến tính (d) Hãy kiểm với 𝑥 ∈ ℓ (𝑥 − 𝑃 𝑀 𝑥) ⊥ 𝑀 Vậy 𝑃 𝑀 phép chiếu từ ℓ xuống 𝑀 106 CHƯƠNG KHÔNG GIAN HILBERT (e) Chứng tỏ ∥𝑃 𝑀 𝑥∥ ≤ ∥𝑥∥ (f) Chứng tỏ 𝑃 𝑀 ánh xạ tuyến tính liên tục (g) Hãy tìm không gian trực giao 𝑀, tức 𝑀 ⊥ (h) Hãy tìm Im𝑃 𝑀 ker 𝑃 𝑀 , tức tập ảnh tập nhân 𝑃 𝑀 4.6.24 Xét không gian Hilbert 𝐿 ([0, 1], R) trường thực Cho 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥 , ≤ 𝑥 ≤ (a) Tính ∥ 𝑓 ∥ 𝐿 ∥𝑔∥ 𝐿 (b) Tính ⟨ 𝑓 , 𝑔⟩ 𝐿 (c) Tính 𝑃𝑔 𝑓 (d) Tìm ℎ ∈ 𝐿 ( [0, 1], R) cho ℎ ≠ ℎ ⊥ 𝑔 4.6.25 Xét không gian Hilbert 𝐻 = 𝐿 ([0, 1], R) Gọi 𝑀 tập hợp tất hàm [0, 1] (a) Chứng tỏ 𝑀 không gian vectơ 𝐻 (b) Chứng tỏ {1} sở trực chuẩn 𝑀 (c) Vì 𝑀 khơng gian vectơ đóng 𝐻? (d) Cho hàm 𝑓 (𝑥) = 𝑥 Tìm 𝑃 𝑀 𝑓 4.6.26 Trong khơng gian Hilbert 𝐿 ( [0, 1], R) cho 𝑓 (𝑡) = 𝑡 (a) Đặt 𝑀 = {𝑥 ∈ 𝐿 ([0, 1]) | ∫1 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 0} Chứng tỏ 𝑀 = ⟨1⟩ ⊥ (b) Tìm hình chiếu 𝑓 khoảng cách từ 𝑓 tới 𝑀 4.6.27 ✓ Trong không gian Hilbert 𝐿 ([0, 1], R) tìm sở trực chuẩn cho không gian vectơ sinh hàm 1, 𝑡, 𝑡 4.6.28 ✓ Trong không gian Hilbert 𝐿 ( [0, 1], R) cho 𝑓 (𝑡) = 𝑡 Tìm hình chiếu 𝑓 khoảng cách từ 𝑓 tới không gian vectơ 𝑀 với 𝑀 tập hợp đa thức có bậc nhỏ hay 4.6 BÀI TẬP 107 Họ trực chuẩn 4.6.29 Trong ℓ xét họ 𝐸 = (𝑒 𝑛 ) 𝑛∈Z+ vectơ 𝑒 𝑛 = (0, , 0, 1, 0, ), 𝑛 ∈ Z+ , với số tọa độ thứ 𝑛 𝑒 𝑛 Cho 𝑥 = (1, 212 , 312 , , , ) 𝑛2 (a) Kiểm 𝐸 họ trực chuẩn ℓ (b) Kiểm 𝑥 ∈ ℓ (c) Kiểm 𝑥 = ∞ 𝑛=1 ⟨𝑥, 𝑒 𝑛 ⟩𝑒 𝑛 (d) Giải thích 𝑥 khơng phải tổ hợp tuyến tính hữu hạn phần tử 𝐸, giới hạn dãy phần tử tổ hợp tuyến tính hữu hạn phần tử 𝐸 4.6.30 Trong không gian Hilbert 𝐿 ( [0, 1], R): (a) Chứng minh họ 𝐸 = {1, sin 2𝜋𝑥, cos 4𝜋𝑥} họ trực giao (b) Gọi 𝑀 khơng gian tuyến tính sinh họ 𝐸 trên, tìm hình chiếu 𝑃 𝑀 𝑓 với 𝑓 (𝑥) = 𝑥 4.6.31 Trong không gian Hilbert 𝐿 ( [0, 2𝜋], R), trực chuẩn hóa họ (cos, sin) 4.6.32 ✓ Trên 𝐿 ([0, 2𝜋], R), với 𝑛 ∈ Z+ , đặt 𝑒 𝑛 (𝑡) = √ cos(𝑛𝑡), 𝜋 𝑓𝑛 (𝑡) = √ sin(𝑛𝑡) 𝜋 Hãy kiểm tính tốn trực tiếp họ 𝐿 ([0, 2𝜋], R) √1 , 𝑒 𝑛 , 𝑓 𝑛 2𝜋 | 𝑛 ∈ Z+ họ trực chuẩn 4.6.33 Cho (𝑎 , · · · , 𝑎 𝑛 ) sở tuyến tính R𝑛 𝛼1 , · · · , 𝛼𝑛 𝑛 số thực dương Với 𝑥 = 𝑛 𝑖=1 𝑥 𝑖 𝑎 𝑖 𝑦 = 𝑛 𝑖=1 𝑦 𝑖 𝑎 𝑖 R𝑛 ta đặt 𝑛 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝛼𝑖 𝑥𝑖 𝑦 𝑖 𝑖=1 Chứng minh 𝑓 tích vơ hướng R𝑛 , với tích vơ hướng R𝑛 không gian Hilbert, (𝑎 , · · · , 𝑎 𝑛 ) họ trực giao, (𝛼1−1/2 𝑎 , · · · , 𝛼𝑛−1/2 𝑎 𝑛 ) họ trực chuẩn 4.6.34 Cho (𝑒 𝑖 ) 𝑖=1, ,𝑛 họ trực chuẩn khơng gian tích 𝐻 họ (𝑐 𝑖 ) 𝑖=1, ,𝑛 F Chứng minh 𝑛 𝑖=1 𝑐 𝑖 𝑒 𝑖 = 𝑛 𝑖=1 |𝑐 𝑖 | 108 CHƯƠNG KHÔNG GIAN HILBERT 4.6.35 Chứng tỏ khơng gian tích họ trực giao họ độc lập tuyến tính 4.6.36 Cho (𝑒 𝑛 ) 𝑛∈Z+ họ trực chuẩn không gian Hilbert 𝐻 (𝑐 𝑛 ) 𝑛∈Z+ ∈ ℓ Chứng minh: (a) Chuỗi ∞ 𝑛=1 𝑐 𝑛 𝑒 𝑛 ∞ 𝑛=1 𝑐 𝑛 𝑒 𝑛 (b) = hội tụ 𝐻 ∞ 𝑛=1 |𝑐 𝑛 | 4.6.37 Cho (𝑒 𝑛 ) 𝑛∈Z+ họ trực chuẩn không gian Hilbert 𝐻 Chứng tỏ với 𝑥 ∈ 𝐻: (a) ∞ 𝑛=1 | ⟨𝑥, 𝑒 𝑛 ⟩ | ≤ ∥𝑥∥ (b) lim𝑛→∞ ⟨𝑥, 𝑒 𝑛 ⟩ = 4.6.38 Giả sử 𝐸 họ trực chuẩn cực đại không gian Hilbert 𝐻, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 Chứng tỏ ∀𝑒 ∈ 𝐸, ⟨𝑥, 𝑒⟩ = ⟨𝑦, 𝑒⟩ 𝑥 = 𝑦 4.6.39 Trong không gian định chuẩn ℓ gọi 𝑒 = (1, 0, ), 𝑒 = (0, 1, 0, ) Chứng tỏ tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục 𝑓 ℓ cho 𝑓 (𝑒 ) = 𝑓 (𝑒 ) = 0, hai cách sau: (a) Dùng Định lý Hahn–Banach (b) Xét phiếm hàm tuyến tính khơng gian tích đại diện 𝑒 4.6.40 Cho 𝐻 không gian Hilbert (𝑒 𝑛 ) 𝑛∈Z+ dãy trực chuẩn 𝐻 Đặt 𝑀 = ⟨((𝑒 𝑛 ) 𝑛∈Z+ )⟩ bao tuyến tính tập (𝑒 𝑛 ) 𝑛∈Z+ , tức không gian vectơ 𝐻 gồm tất tổ hợp tuyến tính phần tử tập (𝑒 𝑛 ) 𝑛∈Z+ (a) Chứng minh với 𝑥 ∈ 𝐻, 𝑥 ∈ 𝑀 ∞ 𝑥= ⟨𝑥, 𝑒 𝑘 ⟩𝑒 𝑘 𝑘=1 (b) Cho ( 𝑓𝑛 ) 𝑛∈Z+ dãy trực chuẩn 𝐻 đặt 𝑁 = ⟨(( 𝑓𝑛 ) 𝑛∈Z+ )⟩ bao tuyến tính tập ( 𝑓𝑛 ) 𝑛∈Z+ , Chứng minh 𝑀 = 𝑁 với 𝑛 ∈ Z+ ∞ 𝑒𝑛 = ⟨𝑒 𝑛 , 𝑓 𝑘 ⟩ 𝑓 𝑘 𝑘=1 ∞ 𝑓𝑛 = ⟨ 𝑓𝑛 , 𝑒 𝑘 ⟩𝑒 𝑘 𝑘=1 Kết tương tự kết ta biết Đại số tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều: Hai vectơ sinh không gian vectơ vectơ sở tổ hợp tuyến tính vectơ sở 4.6 BÀI TẬP 109 Khai triển Fourier 4.6.41 Tìm khai triển Fourier hàm: 0, ≤ 𝑥 < 𝜋2 , (a) 𝑓 (𝑥) = 1, 𝜋2 ≤ 𝑥 ≤ 32𝜋 , 0, 32𝜋 < 𝑥 ≤ 2𝜋 𝑥, ≤ 𝑥 < 𝜋2 , 𝜋 3𝜋 (b) 𝑓 (𝑥) = 𝜋 − 𝑥, ≤ 𝑥 ≤ , 𝑥 − 2𝜋, 32𝜋 < 𝑥 ≤ 2𝜋 𝑎0 4.6.42 Cho 𝑓 ∈ 𝐿 ([0, 2𝜋]) ∞ 𝑛=1 + (𝑎 𝑛 cos(𝑛𝑡) + 𝑏 𝑛 sin(𝑛𝑡)) khai triển Fourier 𝑓 Áp dụng Đẳng thức Parseval, chứng tỏ 𝑎 20 ∞ + 𝑛=1 𝑎 2𝑛 + 𝑏 2𝑛 = 𝜋 ∫ 2𝜋 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 4.6.43 Tìm khai triển Fourier hàm 𝑓 (𝑥) = 𝑥2, ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, (𝑥 − 2𝜋) , 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 Áp dụng đẳng thức Parseval, chứng tỏ ∞ 𝑛=1 𝜋4 = 𝑛4 90 Các toán khác 4.6.44 * Trong không gian định chuẩn ℓ gọi 𝑒 = (1, 0, ), 𝑒 = (0, 1, 0, ), 𝑒 = (0, 0, 1, )… Chứng tỏ dãy (𝑒 𝑛 ) 𝑛≥1 hội tụ yếu (xem 3.8.36) không hội tụ 4.6.45 * Cho 𝐻 𝐾 hai không gian Hilbert trường F Giả sử 𝑇 : 𝐻 → 𝐾 ánh xạ tuyến tính liên tục Với 𝑦 ∈ 𝐾, đặt với 𝑥 ∈ 𝐻: 𝑓 (𝑥) = ⟨𝑇𝑥, 𝑦⟩ (a) Chứng tỏ 𝑓 phiếm hàm tuyến tính liên tục 𝐻 (b) Áp dụng định lý biểu diễn Riesz, chứng tỏ tồn phần tử 𝐾, đặt 𝑇 ∗ 𝑦, thỏa ∀𝑥 ∈ 𝐻, 𝑓 (𝑥) = ⟨𝑥, 𝑇 ∗ 𝑦⟩ 110 CHƯƠNG KHÔNG GIAN HILBERT (c) Chứng tỏ 𝑇 ∗ ánh xạ tuyến tính liên tục từ 𝐾 vào 𝐻 Toán tử 𝑇 ∗ , xác định tính chất ⟨𝑇𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑇 ∗ 𝑦⟩ , ∀𝑥 ∈ 𝐻, ∀𝑦 ∈ 𝐾, gọi toán tử liên hợp 𝑇 4.6.46 * Đây kết tính tốn chuẩn ánh xạ tuyến tính R𝑛 Cho 𝑇 : R𝑛 → R𝑛 tuyến tính Gọi 𝑇 ∗ tốn tử liên hợp 𝑇, định nghĩa ⟨𝑇𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑇 ∗ 𝑦⟩ với tích vơ hướng Euclid (a) Chứng tỏ ma trận biểu diễn [𝑇 ∗ ] ma trận liên hợp ma trận [𝑇] (b) Chứng tỏ ánh xạ tuyến tính 𝑇 ∗𝑇 có 𝑛 giá trị riêng thực không âm (c) Chứng tỏ tồn sở trực chuẩn {𝑒 𝑖 | ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} gồm vectơ riêng 𝑒 𝑖 ứng với trị riêng 𝜆𝑖 𝑇 ∗𝑇 Hãy kiểm với chuẩn Euclid ∥·∥ 𝑛 ∥𝑇𝑥∥ 22 = ⟨𝑇 ∗𝑇𝑥, 𝑥⟩ = 𝑖=1 𝑛 = 𝑖=1 𝑥 𝑖 (𝑇 ∗𝑇)(𝑒 𝑖 ), 𝑛 𝑥𝑖 𝑒𝑖 𝑖=1 𝜆𝑖 𝑥 𝑖2 ≤ max 𝜆𝑖 ∥𝑥∥ 22 𝑖 √ (d) Hãy kiểm ∥𝑇 ∥ = max1≤𝑖 ≤𝑛 𝜆𝑖 𝜆𝑖 giá trị riêng 𝑇 ∗𝑇 Hướng dẫn học tiếp Bên cạnh khảo cứu chuyên sâu đề tài xuất mơn học này, Giải tích hàm cịn nhiều đề tài lớn chưa xuất định lý Baire, định lý Banach–Steinhaus, trị riêng phổ tốn tử, tốn tử đặc biệt, khơng gian đối ngẫu, đại số tốn tử Người đọc xem qua tài liệu nâng cao [2], [3], [6], [9], [11] Dưới danh sách số môn học lĩnh vực sử dụng phát triển nội dung mơn Giải tích hàm gợi ý mà người học học tiếp theo: • Giải tích phi tuyến, lý thuyết tốn tử: nghiên cứu sâu đề tài mơn Giải tích hàm • Giải tích thực: nghiên cứu sâu khơng gian 𝐿 𝑝 , không gian Sobolev, khai triển biến đổi Fourier, … • Phương trình đạo hàm riêng: Các phương trình đạo hàm riêng sử dụng rộng rãi để mơ hình hóa tượng tự nhiên xã hội • Giải tích số: lý thuyết xấp xỉ, phương pháp Garlekin, phương pháp phần tử hữu hạn, … để giải xấp xỉ nghiệm phương trình đạo hàm riêng • Tối ưu hóa: qui hoạch phi tuyến • Xử lí tín hiệu số Tin học • Giải tích hàm Thống kê 111 112 CHƯƠNG KHÔNG GIAN HILBERT Gợi ý cho số tập 2.8.12 Dùng tính chất dãy Cauchy dãy tổng riêng phần chuỗi 2.8.15 Chuỗi hội tụ phần tử với số đủ lớn phải nhỏ 2.8.31 Đổi biến 𝑢 = + 𝑒 𝑛𝑥 viết (𝑢−1)𝑢 = 𝑢−1 − 𝑢1 2.8.35 Dùng tính cộng đếm độ đo 2.8.37 Dùng Bất đẳng thức Cauchy 3.8.15 Dùng Định lý Ascoli 3.8.18 Dùng 3.8.17 3.8.20 Tham khảo mục 3.5 3.8.28 Áp dụng định lý Hahn–Banach cho không gian sinh vectơ 𝑦 − 𝑥 phiếm hàm tuyến tính 𝑓 định nghĩa cho 𝑓 (𝑦 − 𝑥) ≠ 3.8.29 Áp dụng Định lý Hahn–Banach cho không gian sinh vectơ 𝑥 phiếm hàm tuyến tính 𝑓 định nghĩa cho 𝑓 (𝑥) = ∥𝑥∥ Tương tự (hoặc dùng) Ví dụ 3.6.3 3.8.31 Áp dụng Định lý Hahn–Banach cho không gian sinh 𝑀 𝑥 phiếm hàm tuyến tính 𝑓 định nghĩa cho 𝑓 (𝑀) = {0}, 𝑓 (𝑥) ≠ Để thấy tính liên tục 𝑓 , làm giống phần đầu chứng minh Định lý Hahn–Banach Vấn đề liên tục 𝑓 tương đương với việc tồn số thực 𝛼 > cho ∀𝑦 ∈ 𝑀, ∥𝑥 − 𝑦∥ > 𝛼, tức đồng nghĩa với 𝑑 (𝑥, 𝑀) = inf{𝑑 (𝑥, 𝑦) | 𝑦 ∈ 𝑀 } > 0, đồng nghĩa với 𝑥 khơng phải điểm dính 𝑀 3.8.32 Cách 1: Dùng 3.8.26, để thấy tính liên tục Λ làm giống phần đầu chứng minh Định lý Hahn–Banach, tham khảo 3.8.31 Cách 2: Lấy 𝑥 ∉ ker Λ Tồn cầu 𝐵(𝑥, 𝑟) cho 𝐵(𝑥, 𝑟) ∩ ker Λ = ∅ Giả sử Λ𝑥 > 0, dùng tính tuyến tính chứng tỏ Λ(𝐵(𝑥, 𝑟)) > 0, dẫn tới Λ(𝐵(0, 𝑟)) > −Λ𝑥, dẫn tới Λ bị chặn cầu tâm Cách 3: Giả sử 𝑓 không liên tục 0, có 113 114 CHƯƠNG KHƠNG GIAN HILBERT dãy (𝑥 𝑛 ) với ∥𝑥 𝑛 ∥ < 𝑛 Λ𝑥 mà |Λ(𝑥 𝑛 )| ≥ 𝜖 > Lấy 𝑥 ∉ ker Λ, đặt 𝑦 𝑛 = 𝑥 − Λ𝑥 𝑥𝑛 𝑛 𝑦 𝑛 ∈ ker Λ 𝑦 𝑛 → 𝑥, mâu thuẫn 3.8.33 Dùng 3.6.3 4.6.10 Dùng đẳng thức hình bình hành 4.6.12 Phiếm hàm cho tích 4.6.13 Xem 2.8.3 4.6.18 Dùng 4.2.6, dùng ý chứng minh 4.2.4 4.6.33 Các chuẩn R𝑛 tương đương 4.6.40 Xem 4.6.13 4.6.41 (a) + 𝜋 ∞ 𝑘+1 𝑘=0 (−1) 2𝑘+1 cos(2𝑘 + 1)𝑥 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng, Nhập mơn Giải tích, NXB Giáo dục, 1997 [2] H Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, 2011 Giáo trình cho bậc sau đại học [3] John B Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag, 1990 [4] Kenneth R Davidson and Allan P Donsig, Real Analysis with Real Applications, Prentice Hall, 2002 Giáo trình giải tích bậc đại học [5] Dương Minh Đức, Giáo trình Tốn Giải Tích (Tốn vi tích phân A1), NXB Thống kê, Tp Hồ Chí Minh, 2006 [6] Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2005 [7] Dương Minh Đức, Lý thuyết độ đo tích phân, NXB Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2006 [8] A N Kolmogorov, S V Fomin, Introductory real analysis, Dover, 1975 Dành cho bậc đại học Có dịch tiếng Việt [9] Erwin Kreyszig, Introductory functional analysis and applications, John Wiley and sons, 1978 Tương đối dễ hiểu cho bậc đại học, gần với giáo trình [10] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997 Có phần khơng gian định chuẩn Kiến thức giải tích bậc đại học [11] Peter D Lax, Functional analysis, Wiley-Interscience, 2002 Sách tham khảo cho trình độ sau đại học [12] W Rudin, Real and complex analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1986 115 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO [13] Bryan P Rynne and Martin A Youngson, Linear Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 2008 Giáo trình viết cho trình độ đại học [14] Elias M Stein and Rami Shakarchi, Fourier analysis, an introduction, Princeton University Press, 2002 [15] Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Lý thuyết độ đo xác suất, NXB Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2015 [16] Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2011 [17] Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hồng Qn, Giáo trình Giải tích 2, NXB Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, 2011 [18] Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Nguyễn Huy Tuấn, Giải tích 2, NXB Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, 2019 [19] Hồng Tụy, Hàm thực & Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [20] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on https://sites.google.com/view/hqvu/teaching Topology, Chỉ mục 𝐵(𝑆, 𝑋), 29 𝐶 (𝑋, 𝑌 ), 30 𝐶 ([𝑎, 𝑏]), 30 𝐸 ∗ , 62 𝐿(𝐸, 𝐹), 54 𝑀 (𝑆, 𝑋), 28 họ trực chuẩn, 90 bao đóng, bất đẳng thức Bessel, 91 Bất đẳng thức Buniakowski, bất đẳng thức Hölder, 37 Bất đẳng thức Minkowski, 21 bất đẳng thức Minkowski, 37 bị chặn, 12 Bổ đề Zorn, 65 không gian Banach, 21 C𝑛 , 19 chiếu, 86 chuẩn, 20 chuẩn Euclid, 20 chuẩn tương đương, 22 compắc, sở tuyến tính, 18 sở vectơ, 18 không gian vectơ con, 18 dày đặc, 16 dãy Cauchy, 10 dãy hội tụ, liên tục, giới hạn, mêtric Euclid, hàm đo được, 35 hầu khắp, 37 họ trực chuẩn cực đại, 94 họ trực giao, 90 hội tụ yếu, 76 hội tụ đều, 30 không gian (mêtríc) con, khơng gian có khoảng cách, không gian Euclid phức 𝑛-chiều, không gian Euclid thực 𝑛-chiều, không gian Hilbert, 84 không gian Hilbert tách được, 95 khơng gian mêtríc, khơng gian vectơ, 17 không gian vectơ vô hạn chiều, 18 không gian đo, 34 khơng gian đầy đủ hóa, 16 khơng gian định chuẩn, 19 không gian định chuẩn con, 21 không gian đối ngẫu, 62 khả tích, 35, 36 liên tục đều, 14 F𝑛 , 19 mêtríc, nhân, 75 117 118 nhân tốn tử tích phân, 63 phiếm hàm, 62 phân tích trực giao, 87 phép đẳng cấu metric, 61 phép đẳng cấu tôpô, 24 phép đẳng cự, 61 phép đồng phơi, 24 phần biên, phần trong, tốn tử compắc, 72 toán tử liên hợp, 110 trù mật, 16 tích phân, 35 tích phân Lebesgue, 36 tích trong, 77 tập mở, tập trực giao, 87 tập đóng, vectơ, 18 vng góc, 82 ánh xạ co, 15 ánh xạ tuyến tính bị chặn, 54 Đẳng thức Parseval, 96 Định lý Ascoli, 41 Định lý Banach–Steinhaus, 68 Định lý Bolzano-Weierstrass, 10 Định lý Hahn–Banach, 64 Định lý hội tụ bị chặn, 36 Định lý Stone–Weierstrass, 42 Định lý ánh xạ mở, 68 điểm, điểm biên, điểm bất động, 15 điểm dính, điểm trong, CHỈ MỤC đầy đủ, 11 đẳng cấu tích trong, 98 đẳng cấu tôpô, 25, 43 đồng liên tục, 41 đồng phôi, 25, 43 độ đo Lebesgue, 34 độ đo đếm, 34 độc lập tuyến tính, 18 ... Bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày tháng năm 2023 ii Đây tóm tắt số nội dung lí thuyết danh sách tập dùng cho mơn MTH10403 Giải tích hàm. .. sát khái niệm giải tích hội tụ liên tục không gian vô hạn chiều Môn Giải tích hàm miêu tả sơ lược ngắn gọn giải tích khơng gian tuyến tính vơ hạn chiều Từ đầu kỉ 20 Giải tích hàm định hình phát... Cho (