Trang 1 Đõy là bài giảng mụn Giải tớch hàm số một biến dành cho sinh viờn năm thứ nhất của hầu hết cỏc Khoa trừ Khoa Kinh tế, Khoa Cơ khớ, Khoa Điện – Điện tử của Trường đại học thủy lợi
Đây giảng mơn Giải tích hàm số biến dành cho sinh viên năm thứ hầu hết Khoa (trừ Khoa Kinh tế, Khoa Cơ khí, Khoa Điện – Điện tử) Trường đại học thủy lợi Giáo trình Giải tích hàm biến (Lưu hành nội bộ) Sách dịch, Bộ Mơn Tốn Trường Đại học Thủy Lợi biên dịch (đã chỉnh lý lần thứ năm 2010) CÁCH ĐÁNH GIÁ ĐIỂM Bài giảng mơn Điểm q trình: chiếm 40% tích +Giải Điểm chuyên cần hàm biến + Điểm tích cực TS NGUYỄN HỮU THỌ + Điểm Kiểm tra kỳ (1 KT 50 phút) Điểm kiểm tra cuối kỳ: chiếm 60% Điểm học phần = ĐQT + ĐThi 2021-2022 Bµi sè BỘ MƠN TỐN HỌC – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 Bài số Hàm số biến giới hạn tính liên tục I Hm s mt bin Định nghĩa hàm số Cho tập hợp D E : D ⊆ ℝ, E ⊆ ℝ , t−¬ng øng f : D E cho tơng ứng phần tử x ∈ D víi mét phÇn tư nhÊt y ∈ E đợc gọi hàm số biến số thực + Tập D đợc gọi miền xác định, kÝ hiƯu D f cđa hµm sè f + TËp f (X ) đợc gọi miền giá trị, kí hiƯu Rf cđa hµm sè f + x ∈ Df : biÕn sè ®éc lËp ( hay ®èi sè) + f (x ) ∈ Rf : biÕn sè phô thuéc ( hay hàm số) + Cách viết: f : D → E hc x ֏ f (x ) hc y = f (x ) x ֏ y = f (x ) { Đồ thị hàm số: G f = (x , f (x ) x ∈ D } + Cách nhận biết đồ thị: Một đờng cong mặt phẳng tọa độ Oxy đồ thị hàm số đờng thẳng phơng với Oy cắt đờng cong nhiều điểm Đồ thị hàm số 2|P a g e Không đồ thị hàm số Bi ging mụn Gii tớch hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 II Giới hạm hàm số VÝ dơ: XÐt hµm sè y = f (x ) = x − x + Ta lập bảng giá trị hàm số điểm x gần x0 = + NhËn xÐt : x → x = giá trị hàm số f (x ) → , vµ ta nãi r»ng hàm số có giới hạn x x = + Chó ý: Hµm sè y = f (x ) không xác định x = a , nhiên phải xác định điểm thuộc lân cận điểm Chẳng hạn: xét hàm số y = f (x ) = x , hàm số không xác định x = , nhiên theo bảng giá trị x2 dới ta nhận thấy x giá trị hàm số dần tới 0, Định nghĩa giới hạn hàm sè 3|P a g e Bài giảng mơn Giải tích hm mt bin TS Nguyn Hu Th 2021 -2022 Định nghÜa 1: Ta nãi hµm sè f (x ) cã giới hạn L (hữu hạn) x x vµ viÕt lim f (x ) = L nÕu víi bất x x kì dÃy {x n } mà x n → x th× lim f (x n ) = L n Định nghĩa 2: Theo ngôn ngữ - lim f (x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : x − x < δ ⇒ f (x ) − L < ε x →x Chó ý: Trong tìm giới hạn ta quan tâm đến x dần tới x xét x = x VÝ dô : Cho f (x ) = C , víi C lµ h»ng sè Chøng minh r»ng lim = C x →x ThËt vËy, cho tr−íc ε > , v× f (x ) = C , ∀x nên với bÊt k× > 0: x − x < δ , lu«n cã f (x ) − C = C − C = < ε VÝ dô : Cho f (x ) = x Chøng minh lim f (x ) = x x →x ThËt vËy, cho tr−íc > 0, chän = víi x − x < δ → f (x ) − x = x − x < ε (ĐPCM) Định nghĩa a) b) c) d) lim f (x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃A > : ∀x > A ⇒ f (x ) − L < ε x →+∞ lim f (x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃A > : ∀x < −A ⇒ f (x ) − L < ε x →−∞ lim f (x ) = +∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > : x − x < δ ⇒ f (x ) > E x →x lim f (x ) = −∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > : x − x < δ ⇒ f (x ) < −E x →x =0 x →+∞ x VÝ dô : Chøng minh r»ng lim TÝnh chÊt cđa giíi h¹n hàm số Định lí : Cho lim f (x ) = L1, lim g(x ) = L2 ; L1, L2 hữu hạn Khi đó: x a a) lim( f (x ) ± g(x )) = L1 ± L2 b) lim(Cf (x )) = CL1, (C = const ) c) lim( f (x ).g(x )) = L1.L2 d) lim NhËn xÐt 4|P a g e x →a x →a x →a x →a x →a f (x ) L1 = , (L2 ≠ 0) g(x ) L2 ( víi A ®đ lín vµ E ®đ lín) Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 a) Cho Pn (x ) = an x + an −1x + + a1x + a th× lim Pn (x ) = Pn (x ) x →x b) Cho R(x ) = a + a1x + + an x n b0 + b1x + + bm x m = Pn (x ) Qm (x ) th× lim R(x ) = x →x Pn (x ) Qm (x ) , (Qm (x ) ≠ 0) c) Khi L1;2 = ±∞ , ta nhận đợc giới hạn dạng vô định Định lí nói chung không Ví dụ 4: Ta cã ( ) lim x − 2x x + = lim(x ) − lim(2x x ) + lim(1) = 16 − 2.4.2 + = x →4 x →4 ( x →4 x →4 ) lim x − x + x3 −x + 13 − + x →1 lim = = = −3 x →1 x2 − 12 − lim x − VÝ dô 5: Ta có: x ( ) Định lí: Giả sư hµm sè f (x ), g(x ) vµ h(x ) thoả mÃn bất đẳng thức: f (x ) g(x ) ≤ h(x ), l©n cËn cđa x Khi ®ã: nÕu lim f (x ) = lim h(x ) = L th× lim g (x ) = L x →x x →x x →x Định lí : Cho f (x ) hàm số xác định, tăng (giảm) x + (hoặc x → −∞ ); ®ã nÕu f (x ) bị chặn nghĩâ M : f (x ) M, x D (hoặc bị chặn dới nghÜa lµ ∃m : f (x ) ≥ m, ∀x ∈ D) ∃ lim f (x ) = L x →+∞ (x →−∞) Giíi h¹n mét phÝa a) VÝ dô: XÐt L = lim− x →3 2x x −3 , x < a − x → a ⇔ → x a x < - NhËn xÐt: Khi x → 3− ⇔ th× 2x → x − < vµ x − → x → Nh− vËy: L = lim− x →3 2x = −∞ x −3 x > - NhËn xÐt: Khi x → 3+ ⇔ th× 2x → x − > vµ x − → x → Nh− vËy: L = lim− x →3 2x = +∞ x −3 Tõ ta nhận thấy rằng: có hàm số có giới hạn phía b) Định nghĩa: 5|P a g e th× Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 + Ta nãi hàm số y = f (x ) có giới hạn trái L x = a víi ∀ε > nhá tïy ý, ∃δ > cho với điểm x thuộc lân cận trái a ta phải có f (x ) − L < ε Ký hiÖu : lim− f (x ) = L x a Lân cận trái ®iĨm a + Ta nãi hµm sè y = f (x ) có giới hạn phải L x = a vµ chØ víi ∀ε > nhá tïy ý, ∃δ > cho víi nh÷ng điểm x thuộc lân cận phải a ta ph¶i cã X Ký hiƯu: lim+ f (x ) = L Lân cận phải điểm a x a ∃ lim− f (x ) x →a c) Định lý: Tồn lim f (x ) = L vµ chØ ∃ lim+ f (x ) x →a x →a lim f (x ) = lim f (x ) = L x →a − x →a + 1 VÝ dô 6: Ta cã : lim− e x −1 = , ®ã lim+ e x −1 = +∞ , ®ã không tồn giới hạn x x →1 x →1 −x , x < f (x ) = 3 − x , ≤ x < (x − 3)2 , x > VÝ dơ 7: XÐt hµm sè : + Ta cã lim− f (x ) = lim− −x = , x →0 x →0 lim− f (x ) = lim(3 − x) = , − x →3 x →3 lim f (x ) = lim(3 − x) = − x → 0+ x →0 lim+ f (x ) = lim( x − 3)2 = + x →3 + Nh− vËy hµm số giới hạn x x →3 lim f (x ) = x Ví dụ 8: Tìm a , b để hàm sè sau cã giíi h¹n x → ± π : −2 sin x , x ≤ − π π π f (x ) = a sin x + b, − < x < 2 π cos x , x ≥ π + NhËn xÐt: vỊ hai phÝa cđa x = hàm số đợc xác định công thức khác nhau, hàm số có giíi h¹n x → ± 6|P a g e π vµ chØ Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ lim− f (x ) = lim+ f (x ) lim−(−2 sin x ) = lim+(a sin x + b) x →− π x →− π π π x →− x →− 2 ⇔ lim− f (x ) = lim+ f (x ) lim−(a sin x + b) = lim+(cos x ) π π x → π x → π x→ x→ 2 2 = −a + b a = −1 ⇔ ⇔ a + b = b = + VËy: Hµm sè cã giíi h¹n x → ± π nÕu a = − 1, b = Bµi tËp vỊ nhµ: Tr.88, 91 Đọc trước Mục: 2.3, 2.4 , 2.5 Chuẩn bị cho Bài số Giới hạn dạng vô định Hàm số liên tục 7|P a g e 2021 -2022 Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ Bài số GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH TNH LIấN TC Vấn đề: Khi giới hạn có dạng vô định tìm đợc giá trị giới hạn theo cách nào? Giải quyết: Ta tìm cách biến đổi để khử dạng vô định I Một số ví dụ khử dạng vô định Ví dụ : TÝnh lim x →1 Ta cã: xn − xm − (D¹ng ) xn −1 (x − 1)(1 + x + + x n −1 ) + x + + x n −1 = = x m − (x − 1)(1 + x + + x m −1 ) + x + + x m −1 xn − 1 + x + + x n−1 n = lim = x →1 x m − x →1 + x + + x m−1 m VËy lim 1− x −1 x VÝ dô 2: TÝnh lim x →0 Ta cã: (D¹ng ) 1−x −1 1− x −1 −1 1−x −1 −1 −1 = = → lim = lim = x →0 x →0 x x x ( − x + 1) 1−x +1 1−x +1 VÝ dô 3: TÝnh lim x →0 1+x − 1+x x (D¹ng ) Ta cã: lim x →0 + x − + x − 1+x − 1+x 1+ x −1+1− 1+ x = lim = lim − x → x → x x x x + x −1 + x −1 = lim − x →0 x ( (1 + x )2 + + x + 1) x ( (1 + x )4 + (1 + x )3 + (1 + x )2 + + x + 1) = 1 − = 15 (áp dụng đẳng thức a n = (a − 1)(a n −1 + a n −1 + + a + 1) ) VÝ dô 4: TÝnh lim x →+∞ 8|P a g e x+ x x +1 ( D¹ng ∞ ) ∞ 2021 -2022 Bài giảng mơn Giải tích hàm biến x+ x Ta cã: lim x →+∞ x +1 TS Nguyễn Hữu Thọ 1+ x = lim x →+∞ 1+ x+ x − x = = (v× x VÝ dô 5: TÝnh lim x + x − x x →+∞ Ta cã: → x → +∞ vµ x → x → +∞ ) x ( D¹ng ∞ − ∞ ) x + x −x x = x+ x + x = x+ x + x 1+ +1 x → lim x + x − x = lim x →+∞ x →+∞ 1+ = +1 x VÝ dô 6: TÝnh lim − x →1 1 − x − x ( Dạng ) Đặt x = y Khi ®ã: 1− x − 1− x = 3(1 + y ) − 2(1 + y + y ) + 2y − = = 2 1−y 1−y (1 − y )(1 + y )(1 + y + y ) (1 + y )(1 + y + y ) + 2y = = lim → lim − x →1 1 − x − x x →1 (1 + y )(1 + y + y ) Giới hạn điển h×nh: lim x →0 VÝ dơ 7: lim x →0 sin x =1 x sin x tan x = 1.1 = = lim ⋅ x →0 x x cos x x sin x sin − cos x = lim = VÝ dô 8: lim = lim 2 x →0 x → x → 2 x x x 2 VÝ dô 9: lim x →0 sin mx sin mx nx m m m = lim ⋅ ⋅ = 1.1 = x → sin nx sin nx n n n mx − cos x cos 2x (1 − cos x ) cos 2x + − cos 2x = lim x →0 x →0 − cos x − cos x VÝ dơ 10: lim ( ¸p dơng đẳng thức 1- ab = (1-a)b + 1- b) 9|P a g e 2021 -2022 Bài giảng môn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 − cos 2x x2 = 1+ 4⋅ = = lim cos 2x + ⋅ ⋅ x →0 − cos x (2x ) Giới hạn điển h×nh: lim 1 + = lim (1 + x )x = e x →∞ x →0 x x x2 x − ( Dạng vô định ) Ví dụ 11: lim x →+∞ x + 1 −2x x +1 2x x +1 − lim − x +1 x →+∞ = lim 1 − =e = e−2 = x →+∞ x + 1 e ( Dạng vô định ) Ví dụ 12: lim(1 + sin x )x x →0 = lim (1 + sin x )sin x x →0 sin x x =e sin x x →0 x lim cos x x = e = e = e VËy lim x →0 cos 2x II Vô bé, vô lớn(t c) Định nghĩa: + Hàm số f (x ) đợc gọi mét v« cïng bÐ (VCB) x → x nÕu lim f (x ) = x →x + Hàm số f (x ) đợc gọi mét v« cïng lín (VCL) x → x nÕu lim f (x ) = ∞ x →x NhËn xÐt: i) NÕu f (x ) lµ mét VCB x x VCL x → x f (x ) ii) x hữu hạn vô Ví dụ : y = sin x lµ VCB x → y = − cos x lµ VCB x → So sánh vô bé Giả sử f (x ); g(x ) VCB x x f (x ) → th× f (x ) VCB có bậc cao g(x ) x →x g(x ) a) NÕu lim b) NÕu lim x →x f (x ) = ⇒ f (x ) vµ g(x ) lµ VCB tơng đơng, kí hiệu: g(x ) Ví dô : Ta biết sin x ; − cos x lµ VCB x → 10 | P a g e f (x ) ∼ g(x ) Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 Ví dụ Tiêu chuẩn chuỗi đan dấu chuỗi (1) (2) hội tụ Hơn ta cịn có 1 1 1 π − + − + = ln − + − + = Ví dụ Xác định tính hội tụ chuỗi đan dấu sau (−1)n +1n ∑ 1000 + 5n n =1 ∞ (a ) ∞ (b) ∑ (−1) n =2 n +1 ln n n Giải: (a) Chuỗi phân kỳ (b) Chuỗi chuỗi đan dấu với an = + Xét hàm số ln x x f (x ) = ln n n có đạo hàm f / (x ) = − ln x x2 + Đạo hàm âm với x > e , f (x ) giảm x > e , an ≥ an +1 , ∀n ≥ ln n = n →∞ n →∞ n + Theo tiêu chuẩn Leibniz chuỗi cho hội tụ + Mặt khác lim an = lim II Chuỗi lũy thừa A Chuỗi hàm Dạng: ∞ ∑ u (x ) , u n =1 n n (x ), n = 1, 2, 3, hàm số biến x Điểm x thuộc tập xác định chuỗi hàm x ∈ ∩ Dn , n = 1, 2, Dn tập xác định hàm n số u n Với x thuộc tập xác định ta có chuỗi số chuỗi hàm ∞ ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ an =∑ un (x ) , chuỗi số hội tụ (phân kỳ) ta nói ∑ u (x ) hội tụ (phân kỳ) x n =1 n Tập hợp tất điểm mà chuỗi hàm ∞ ∑ u (x ) n =1 n hội tụ gọi miền hội tụ chuỗi hàm Ví dụ 1: Chuỗi hàm ∞ ∑x n =1 + x + x + + x n + n =0 + Hội tụ với x : x < đó: ∞ ∑x n =0 n = 1−x + Phân kỳ với x : x ≥ Một chuỗi hàm có ý nghĩa miền hội tụ Tuy nhiên việc tìm miền hội tụ chuỗi hàm không đơn giản, chương trình học quan tâm tới dạng chuỗi hàm đặc biệt: Chuỗi lũy thừa 88 | P a g e Bài giảng môn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 B Chuỗi lũy thừa Định nghĩa Dạng: Chuỗi luỹ thừa chuỗi hàm có dạng sau: ∞ ∑a x n n n =0 = a + a1x + a2x + + an x n + (1) hệ số an hệ số x biến Chú ý :+ Mọi chuỗi lũy thừa hội tụ điểm x = Ví dụ 1: + Chuỗi hàm ∞ ∑ + xn , n =0 (−1)n +1 ∑ + n 2x : Không chuỗi lũy thừa n =0 ∞ + Chuỗi cấp số nhân : ∞ ∑x n =0 n =1 + x + x + + x n + chuỗi lũy thừa với a n =, n = 1, 2, + Chuỗi hàm: + 3x + 5x + chuỗi lũy thừa với : 0, n = 2k + an = , k = 0,1,2, n + 1, n = 2k ta viết : + 3x + 5x + = ∞ ∑ (2n + 1)x 2n n =0 Sự hội tụ chuỗi lũy thừa a) Bổ đề Abel Nhận xét: + Rõ ràng chuỗi luỹ thừa hội tụ với x = + Có chuỗi hội tụ x = , ví dụ chuỗi ∑n x n n = x + 22 x + 33 x + 44 x Thật : Để ý với giá trị x ≠ ta có nx > n đủ lớn, với xo phần tử thứ n : un = (nx )n không tiến tới chuỗi hội tụ xn x2 x3 = 1+x + + + hội tụ với giá trị x n! 2! 3! Thật : - Tại x = : Ta có chuỗi số hội tụ - Với x ≠ ta có chuỗi số ∑ | un (x ) | (*) dương, xét tỉ số : + Xét chuỗi : ∑ un (x ) =∑ un +1(x ) un (x ) = ( x n ) x 0n +1 / n + ! n /n! = x0 n +1 (n + 1)! n! x0 n = x0 n +1 →0 suy tổng riêng S n = ∑ uk (x ) tạo thành dãy giảm, từ chuỗi số (*) hội tụ, tức chuỗi hàm k =0 hội tụ x ≠ 89 | P a g e ∑ u (x ) n Bài giảng môn Giải tích hàm biến + Xét chuỗi cấp số nhân : TS Nguyễn Hữu Thọ ∞ ∑x n 2021 -2022 =1 + x + x + + x n + hội tụ khoảng x < , phân kỳ n =0 x ≥ nằm ngồi khoảng Bổ đề Abel: + Nếu chuỗi lũy thừa ∑a x n n hội tụ x ≠ , hội tụ tất điểm x thoả mãn x < x0 + Nếu chuỗi lũy thừa phân kỳ x phân kỳ tất điểm x thoả mãn x > x x1 |x| > |x1|: phân kỳ x0 x0 |x| < |x0|: hội tụ R |x| > |x1|: phân kyø Nhận xét Cho chuỗi luỹ thừa ∑ an x n , phát biểu sau đúng: i Chuỗi hội tụ với x = ii Chuỗi hội tụ với x iii Tồn số thực R > cho chuỗi hội tụ với x < R | phân kỳ với x > R Mọi chuỗi lũy thừa ∑a x n n có bán kính hội tụ R , ≤ R ≤ +∞ , chuỗi hội tụ với x < R | phân kỳ với x > R Nếu R = : chuỗi hội tụ x = , R = +∞ chuỗi hội tụ với x Khoảng hội tụ –R Phân kỳ b Cơng thức tính bán kính hội tụ 90 | P a g e a R Bán kính h/tụ Phân kỳ Bài giảng mơn Giải tích hàm biến Cho chuỗi lũy thừa sau: R = lim n →+∞ an an +1 ∑a x n n TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 , gọi R bán kính hội tụ Khi đó, R tính hai cơng thức hoặc: R = lim n →+∞ n an c Quy tắc tìm miềm hội tụ chuỗi lũy thừa Bước + Tìm bán kính hội tụ R , - Nếu R = : Miền hội tụ tập điểm {O } , - Nếu R = +∞ : Miền hội tụ toàn tập số thực ℝ - Nếu < R < +∞ suy chuỗi lũy thừa hội tụ (−R, R ) , sau chuyển xuống bước Bước Kiểm tra tính hội tụ chuỗi hai đầu mút Bước Kết luận Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi: +∞ xn x2 x3 = x + + + ∑ n2 22 n =1 Giải: + Tìm bán kính hội tụ: ta có R = lim n →+∞ an an +1 / n2 (n + 1)2 = lim =1 n →+∞ / (n + 1)2 n →+∞ n2 = lim R = suy chuỗi lũy thừa hộ tụ (− 1,1) + Tại x = chuỗi trở thành ∑n , chuỗi p − chuỗi hội tụ (−1)n , chuỗi đan dấu hội tụ tiêu chuẩn Leibniz n2 + Do khoảng hội tụ chuỗi toàn khoàng − 1;1 + Tại x = −1 chuỗi trở thành ∑ Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau ∑ n +2 n x = + x + x + n 3 Giải: + Tính bán kính hội tụ: Trường hợp ta có lim n →+∞ an an +1 n + 3n +1 n +2 = lim = = R n n →+∞ n + n →+∞ n + 3 = lim R = , suy chuỗi hội tụ (− 3, 3) + Tại x = chuỗi trở thành: + + + : phân kỳ + T ại x = −3 chuỗi trở thành − + + : phân kỳ + Vậy khoảng hội tụ (−3; 3) Ví dụ i) Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau 91 | P a g e Bài giảng mơn Giải tích hàm biến ∑ (−1)n TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 x 2n x2 x4 = 1− + − (2n )! 2! ! Giải: + Ta không áp dụng cách trực tiếp Ví dụ nửa hệ số chuỗi y y2 + Đặt y = x chuỗi viết dạng: − + − (**) 2! ! Ta tìm miền hội tụ (**) + Tính bán kính hội tụ: R = lim n →+∞ an an +1 = lim n →+∞ / (2n )! (2n + 2)! = lim = lim (2n + 1)(2n + 2) = +∞ n n →+∞ →+∞ / (2n + 2)! (2n )! R = +∞ chuỗi (**), nên chuỗi (**) hội tụ với y ≥ + Vậy nên chuỗi ban đầu hội tụ với x , khoảng hội tụ cần tìm (−∞; +∞) ii) Tìm khoảng hội tụ chuỗi sau x 2n +1 x3 x5 = + + ∑ n +∞ x 2n +1 x 2n +1 x 2n +1 Giải: + Với x ∈ ℝ ta có chuỗi số: ∑ với an = ; an +1 = (***) n n +1 n n =1 + Xét: lim n →∞ an +1 an = lim n →∞ x 02n +3 n (n + 1) x 2n +1 = x 02 + Chuỗi (***) hội tụ −1 < x < , phân kỳ x < − 1; x0 > +∞ (−1)2n +1 = −∑ phân kỳ n n =1 n =1 n +∞ + Tại x = : ta có chuỗi số ∑ phân kỳ n =1 n + Vậy miền hội tụ chuỗi cho (−1;1) + Tại x = −1 : ta có chuỗi số +∞ ∑ Chú ý : Nếu a số thực, chuỗi ∞ ∑ a (x − a ) n n =0 n = a + a1(x − a ) + a2 (x − a )2 + gọi chuỗi luỹ thừa tâm a + Chúng ta đặt z = x − a , (2) trở thành + Nếu ∑a z n n ∑a z n n (*) (**) chuỗi luỹ thừa z có miền hội tụ chẳng hạn [ − R; R) tức (3) hội tụ hội tụ với −R ≤ z < R , ta có a − R ≤ x < a + R [a − R;a + R) khoảng hội tụ (*) R bán kính hội tụ chuỗi (*) + Do ta thường xét chủ yếu tới chuỗi luỹ thừa Ví dụ Tìm miềm hội tụ chuỗi lũy thừa 2n +∞ 1 + (x − 2)n (4) ∑ n n =1 1 Giải : + Đặt y = (x − 2) ta có chuỗi ∑ 1 + y n n n =1 +∞ 92 | P a g e 2n (5) Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 Xét chuỗi (5) : + Ta có R = , từ chuỗi (5) hội tụ (− 1,1) + Tại y = −1 , chuỗi (5) phân kỳ + Tại y = , chuỗi (5) phân kỳ + Do chuỗi (5) có miền hội tụ (− 1,1) + Vậy chuỗi (4) hội tụ miền (1, 3) Đạo hàm tích phân chuỗi lũy thừa (TỰ ĐỌC) ∑a x Xét chuỗi luỹ thừa hội tụ với bán kính hội tụ dương R , với x nằm miền hội tụ định nghĩa f (x ) tổng chuỗi: n n +∞ f (x ) = ∑ an x n =a + a1x + a 2x + + an x n + (1) n =0 Khi ta có khẳng định sau : (i) Hàm số f (x ) định nghĩa (1) liên tục khoảng mở (−R; R) (ii) Hàm số f (x ) lấy đạo hàm (−R; R) , đạo hàm d d +∞ f (x ) = ∑ an x n = a1 + 2a2x + 3a 3x + + nan x n−1 + (2) dx dx n =0 (iii) Nếu x ∈ (−R; R) ta có : ∫ x x ∞ ∫ ∑ a t dt =a x + a x f (t )dt = n n =0 n 1 + a2x + + an x n +1 + n +1 Chú ý : Như : miền miền hội tụ chuỗi lũy thừa, chuỗi lũy thừa hàm khả vi vô hạn, x ∞ x d d +∞ f (x ) = ∑ an x n ∫ f (t )dt = ∫ ∑ ant ndt hội tụ khoảng (−R; R) dx dx n =0 n =0 Khẳng định (trong miền hội tụ) chuỗi lũy thừa, chuỗi hàm điều chưa Ví dụ 6: Xét chuỗi hàm ∑ ∞ n =1 (sin nx ) / n : + Chuỗi hàm hội tụ với x ∈ ℝ + Lấy đạo hàm phần tử cho ta chuỗi cos nx , điều chuỗi phân n kỳ với x Ví dụ Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa hàm số ln(1 + x ) d ln(x + 1)) = ( dx 1+x + Mà với |x| < ta có = − x + x − x + x − + (−1)n x + 1+x + Tiếp theo sử dụng (iii) với để ý ln(1 x ) x , thu : Lời giải: + Ta có 93 | P a g e Bài giảng mơn Giải tích hàm biến x ln (1 + x ) = TS Nguyễn Hữu Thọ ∞ x2 x3 x n +1 xn dt = x − + − + (−1)n + == ∑ (−1)n +1 1+t n +1 n n =1 ∫ Ví dụ Tìm khai triển thành chuỗi lũy thừa tan−1 x d Lời giải: + Ta có tan−1 x = dx + x2 + Mà , x < ta có = − x + x − + (−1)n x 2n + 1+x ( ) ∫ + Áp dụng (iii) : tan−1 x = x =x− dt = + t2 ∫ x Lời giải: +Ta nhận thấy : + Do : (1 − t + t − t + )dt x3 x5 x7 + + + = Ví dụ Tìm biểu diễn chuỗi luỹ thừa hàm ∞ ∑ (−1)n n =0 x 2n +1 , 2n + với x < 1 (1 x ) (1 x )3 d = dx 1 − x (1 − x ) +∞ = ∑ x n với x , 1−x n =0 + Ta lại có d = (1 + x + x + + x n + ) = + 2x + 3x + x n −1 + dx (1 − x ) ∞ = ∑ n =1 + Tương tự : ∞ ( ) nx n−1 = ∑ n + x n n =0 d d = = (1 + 2x + 3x + + nx n −1 + ) 2 dx (1 − x ) dx (1 − x ) 3.2x 4.3x n(n 1)x n 2 + Do vậy: 1 = 2 + 3.2x + 4.3x + + n(n − 1)x n −2 + 2 (1 − x ) ∞ (n + 2) (n + 1) n(n − 1) n −2 x = xn ∑ ∑ n =2 n =0 ∞ = ∞ Ví dụ 10 Tìm tổng chuỗi sau : x + 4x + 9x + = ∑ n 2x n n =1 Lời giải: + Chuỗi có bán kính hội tụ R , nên chuỗi hội tụ đến hàm số f (x ) với x < + Do ta viết : f (x ) = x + 4x + 9x + + n 2x n + = xg (x ) 94 | P a g e 2021 -2022 Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 g (x ) = + 22 x + 32 x + + n 2x n −1 + + Mặt khác: ( ) d d x + 2x + 3x + + nx n + = dx dx ( ) x + 2x + 3x + + nx n −1 + + Theo Ví dụ : + 2x + 3x + + nx n−1 + = (1 − x ) d x = + x Vậy: f (x ) = x + x + Nên: g (x ) = dx ( (1 − x ) ) ( ) − x − x g (x ) = III Chuỗi Taylor Cho hàm số f (x ) có đaoh hàm cấp x = a , chuỗi Taylor f (x ) x = a : f (a ) + +∞ f '(a ) f ''(a ) f (n )(a ) f (n )(a ) (x − a ) + (x − a )2 + + (x − a )n + = ∑ (x − a )n (1) 1! 2! n! n ! n =0 Khi a = ta có chuỗi Maclaurint : f (0) + +∞ (n ) f '(0) f ''(0) f (n )(0) n f (0) n x+ x + + x + = ∑ x 1! 2! n! n! n =0 (2) Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ với bán kính hội tụ R > miền hội tụ, chuỗi lũy thừa hội tụ tới hàm f (x ) , ta có : f (x ) = f (a ) + +∞ f '(a ) f ''(a ) f (n )(a ) f (n )(a ) (x − a ) + (x − a )2 + + (x − a )n + = ∑ (x − a )n 1! 2! n! n! n =0 : f (x ) = f (0) + +∞ (n ) f '(0) f ''(0) f (n )(0) n f (0) n x+ x + + x + = ∑ x , 1! 2! n! n! n =0 (3) (4) Và ta nói hàm số f (x ) khai triển thành chuỗi Taylor (hoặc chuỗi Maclaurint) + Số an = f n (a ) f n (0) (hoặc an = ) gọi hệ số Taylor f (x ) khai triển (3) (2) n! n! f '(0) f ''(0) f (n )(0) n x+ x + + x + Rn (x ) 1! 2! n! + Chuỗi Taylor vế phải (4) hội tụ f (x ) : lim Rn (x ) = + Phần dư Rn (x ) (trong khai triển (4)) : f (x ) = f (0) + n →∞ + Công thức chung tiện lợi cho Rn (x ) Rn (x ) = f (n +1)(c) n +1 x , với < c < x (n + 1)! Ví dụ 1: Tìm chuỗi Taylor f (x ) = e x chứng minh hội tụ tới f (x ) = e x với x e f ’ x e f ’’ x e f x Lời giải: + Ta có: 95 | P a g e x 1 f ’ 0 f ’’ 1 f x x Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ + Ta nhận chuỗi Maclaurint hàm số : + x + 2021 -2022 ∞ xn x + + x n + = ∑ 2! n! n =0 n ! + Xét phần dư Rn (x ) , đặt M = max ec = e x , với x ∈ ℝ : [0;x] n +1 x f (n +1)(c) n +1 ec Rn (x ) = x = x n +1 ≤ M → n → ∞ (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! + Như chuỗi Maclaurint hội tụ hàm f (x ) = e x , ta có : ex = + x + ∞ xn x + + x n + = ∑ 2! n! n =0 n ! Ví dụ 2: Tìm chuỗi Taylor f (x ) sin x chứng minh hội tụ tới sin x với x Lời giải: + Ta có sin x f ’ x cos x f ’’ x sin x f ’’’ x cos x f ’ 0 f ’’ f ’’’ f f x + Chuỗi Taylor f (x ) = sin x x − + Với ∀x ta có : f (n 1) x sin x 1 ∞ x3 x5 x 2n +1 x 2n +1 + − + (−1)n + = ∑ (−1)n 3! 5! (2n + 1)! (2n + 1)! n =0 f (n 1) x cos x nên f ( n +1) (c ) ≤ với c n +1 x f (n +1)(c) n +1 x nên : Rn (x ) = ≤ → n → ∞ (n + 1)! (n + 1)! + Vậy : sin x = x − ∞ x3 x5 x 2n +1 x 2n +1 + − + (−1)n + = ∑ (−1)n với ∀x 3! 5! (2n + 1)! (2n + 1)! n =0 Ví dụ 3: Tương tự với x ta có : f (x ) = cosx = − e −x = − x + ∞ x4 x6 x 2n x 2n − + + (−1)n + = ∑ (−1)n 2! 3! n! n! n =0 x3 x5 x7 1 dx = x − + − + = − + − + 5.2! 7.3! 5.2! 7.3! 0 1 ∫e ∞ x2 x4 x 2n x 2n + − + (−1)n + = ∑ (−1)n 2! ! (2n )! (2n )! n =0 −x −1x e Chú ý: Xét hàm f (x ) = 0 96 | P a g e x ≠0 x =0 Bài giảng mơn Giải tích hàm biến 2021 -2022 TS Nguyễn Hữu Thọ hàm liên tục có đạo hàm cấp x , đạo hàm triệt tiêu cấp x , tức f (n )(0) với n nguyên dương Điều có nghĩa đồ thị f (x ) trơn vơ hạn gốc Khi chuỗi Maclaurint f (x ) hội tụ với x hội tụ tới f (x ) x Như vậy, hàm khả vi vô hạn x , khơng thiết khai triển chuỗi Taylor Một số khai triển cần nhớ ∞ = − x + x − x + = ∑ (1)n +1 x n ; −1 < x < 1+x n =0 ∞ = + x + x + x + = ∑ x n , 1−x n =0 −1 < x < ln(1 + x ) = x − ∞ x2 x3 (−1)n +1 x n , + − = ∑ n n =1 −1 < x ≤ ; tan−1 x = x − ∞ x3 x5 (−1)n x 2n +1 + − = ∑ , 2n + n =0 −1 ≤ x ≤ ; ex = + x + ∞ x2 x3 xn + + = ∑ , 2! 3! n =0 n ! ∀x ∈ ℝ ; sin x = x − ∞ x3 x5 (−1)n x 2n +1 + − = ∑ , 3! 5! n =0 (2n + 1) ! cos x = − ∞ x2 x4 (−1)n x 2n + − = ∑ , 2! ! n =0 (2n )! ∀x ∈ ℝ ; ∀x ∈ ℝ IV Các phép toán chuỗi lũy thừa (tự đọc) ∑ a x = a + a x + a x + a x + có miền hội tụ x < R g(x ) = ∑ b x = b + b x + b x + b x + có miền hội tụ x < R Khi tổng chúng hội tụ x < {R ; R } Phép cộng : Cho f (x ) = n n n n 2 1 3 2 −1 thành chuỗi lũy thừa, sau tìm miền hội tụ x − 5x + 1 −1 1 1 = − Giải : + Ta có f (x ) = = − − − 2 2 − x − x x x x − 5x + − − Ví dụ 4: Khai triển f (x ) = + Ta có: = 1−y +∞ ∑y n y < , nên , n =0 +∞ x = ∑ , x − n =0 n 97 | P a g e x < hay x < 2 Bài giảng môn Giải tích hàm biến +∞ x = ∑ , x n =0 − n + Do f (x ) = TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 x < hay x < 3 +∞ −1 − x n với x < = ∑ n + n + x − 5x + n =1 Phép nhân(TỰ ĐỌC) Giả sử có hai chuỗi khai triển luỹ thừa: f (x ) = ∑ an x n = a + a1x + a2x + a 3x + g(x ) = ∑ bn x n = b0 + b1x + b2x + b3x + có miền hội tụ x < R Ta nhân chuỗi cách tương tự nhân hai đa thức Như được: f (x )g(x ) = a 0b0 + (a 0b1 + a1b0 ) x + (a 0b2 + a1b1 + a2b0 ) x + ∞ n = ∑ ∑ akbn −k x n n =0 k =0 Ví dụ 5: Tìm chuỗi Taylor e x sin x Lời giải x2 x3 x3 x5 + Với ∀x ta có : e x = + x + + + : s inx = x − + + 2! 3! 3! 5! + Như ∀x ta có : x2 x3 x3 x5 e x s inx = 1 + x + + + x − + + 2! 3! 3! 5! x3 x4 x3 x5 =x− + + x − + + − + 6 12 = x + x + x + 3 Phép chia (TỰ ĐỌC) + Hai chuỗi luỹ thừa chia cho trình tựa phép chia đa thức đại số + Đối với chuỗi luỹ thừa, số hạng xếp theo tăng dần luỹ thừa, thay cho xếp theo giảm dần luỹ thừa đa thức Ví dụ 6: Tìm chuỗi Taylor tanx cách chia chuỗi sinx cho chuỗi cosx Lời giải: + Với ∀x ta có : sin x = x − 98 | P a g e ∞ x3 x5 x 2n +1 x 2n +1 + − + (−1)n + = ∑ (−1)n 3! 5! (2n + 1)! (2n + 1)! n =0 Bài giảng mơn Giải tích hàm biến cosx = − TS Nguyễn Hữu Thọ ∞ x2 x4 x 2n x 2n + − + (−1)n + = ∑ (−1)n 2! ! (2n )! (2n )! n =0 + Ta có : tan x = x + x + x + 15 khoảng x < π Phép Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ với x < R f (x ) = ∞ ∑a x n =0 n n = a + a1x + a 2x + … g(x ) < R , ta tìm f g(x ) cách thay g (x ) cho x Ví dụ : + Ta biết = + x + x + x + , với −1 < x < 1−x Thay x −2x , ta 1−x 1 = = + (−2x ) + (−2x )2 + + 2x − (−2x ) = − 2x + 4x − ¸ với 2x < + Tương tự : ex = + x + x x 12 + + 2! 3! ¸ (3x )2 (3x )5 + − 3! 5! Giả sử hàm g(x) cho chuỗi luỹ thừa sin 3x = 3x − ∀x = 3x − 27 243 x + x − 3! 5! g(x ) = b0 + b1x + b2x + thay toàn chuỗi cho x nhận : f g (x ) = a + a1g (x ) + a 2g(x )2 + = a + a1 b0 + b1x + b2x + + a2 b0 + b1x + b2x + + Điều hoàn toàn g(x ) < R Ví dụ 8: Áp dụng phương pháp để tìm chuỗi Taylor e sin x tới số hạng chứa x Lời giải: + Với ∀x ta có: x2 x3 ex = + x + + + 2! 3! + Thể x sin x ta nhện được: 99 | P a g e ∀x 2021 -2022 Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 1 x3 x3 1 x3 1 x3 = + x − + + x − + + x − + + x − + + 6 3! ! 2! 1 x 1 = + x − + + x − x + + x + + x + + 24 1 = + x + x − x + e sin x ( Ví dụ 9: Khai triển hàm f (x ) = ) ( theo lũy thừa (x - 1) x +5 Giải : Cách : Áp dụng công thức khai triển Taylor x = Cách : + Ta có + Biến đổi : f (x ) = = − x + x − x + , với −1 < x < 1+x = , sau áp dụng cơng thức ta nhận : x + x −1 +1 f (x ) = +∞ (−1)n = ∑ n (x − 1)n với −5 < x < x + n =0 + Tại x = −5 : chuỗi phân kỳ, x = chuỗi hội tụ + Vậy miền hội tụ chuỗi vừa tìm : (−5;7 Bài tập nhà: Các Tr 394, 445, 455 Chuẩn bị đề cương Ôn tập 100 | P a g e 2021 -2022 ) Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN TẬP MƠN GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN (Thời gian: 90 phút) Đề số Câu Tìm gới hạn sau: L = lim x →0 sin2 x - cos x + x − sin2 (2x ) Câu Tính đạo hàm y hàm ẩn xác định bởi: x 3xy xy xy 10 điểm có hồnh độ x Câu Tính tích phân: I = ∫ x 2dx (1 + x )4 Câu Một máng nước làm từ ván, ván rộng 12 m Mặt cắt vng góc hình thang cân có cạnh đáy nhỏ chiều rộng ván, hỏi mặt cắt có đáy lớn để khả truyền tải máng đạt giá trị lớn ∞ ∑ (2018) (x + 2) Câu Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau: n 2n +1 n =0 Đề số 8x +3 2x + Câu Tìm gới hạn sau: A = lim x →+∞ 2x + Câu Tính vi phân hàm số: y = + x ln(1 − x ) Câu Tính tích phân: I = ∫ e x dx e x + e −x Câu Tính diện tích miền phẳng D nằm phía hình đường trịn r = sin θ nằm phía ngồi đường hình tim r = (1 − sin θ ) arccos +∞ n + Câu Xét hội tụ chuỗi số: ∑ 2018 + 2019 n =1 12n 101 | P a g e Bài giảng mơn Giải tích hàm biến TS Nguyễn Hữu Thọ 2021 -2022 Đề số eax − ebx f (x ) = x c Câu Cho hàm số: x ≠ x = Tìm số c để hàm số liên tục x = Câu Tính đạo hàm cấp n (nguyên, dương) hàm số: y = +∞ Câu Tính tích phân suy rộng: I = ∫ x ln xdx ( + x2 ) 1+x ln 1−x Câu Tính thể tích vật thể tròn xoay miền phẳng D giới hạn đường: ( ) y = sin x ; Ox ; Oy; π quay vòng xung quanh trục Oy 0≤x ≤ Câu Khai triển hàm số f (x ) = theo lũy thừa (x − 1) Sau xác định bán kính hội tụ −x chuỗi lũy thừa Đề số Câu Tính giới hạn sau: L = lim (cos x − x )sin 2x x →0 Câu Cho đường cong (C ) xác định phương trình: x + xy − y = Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong (C ) điểm có hồnh độ Câu Tính tích phân suy rộng sau định nghĩa +∞ I = ∫ dx x (x + 1) Câu Dùng phương pháp vỏ để tính thể tích khối trịn xoay miền phẳng giới hạn đường có phương trình x y + = 1, y = 0, x = quay vòng xung quanh Oy Câu Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau: ∞ ∑ (−1)n n =1 n + 4n (x − 1)n n + 5n HAVE GOOD EXAMINATIONS! 102 | P a g e