Tiểu luận tiểu sử, công trình nghiên cứu của nhà toán học lobatchevsky và chứng minh mệnh đề

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIÊN GIANG KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN TIỂU LUẬN BÀI TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN Học phần: CƠ SỞ HÌNH HỌC Mã học phần: A27013 KIÊN GIANG – 2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIÊN GIANG KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN MSSV: 210720 TIỂU SỬ, CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU CỦA NHÀ TỐN HỌC LOBATCHEVSKY VÀ CHỨNG MINH MỆNH ĐỀ BÀI BÁO TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN Học phần: Cơ Sở Hình Học Mã học phần: A27013 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN ThS NGUYỄN THỊ KIM HOA KIÊN GIANG – 2022 KHOA SƯ PHẠM VÀ XHNV BỘ MƠN SƯ PHẠM CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc PHIẾU ĐÁNH GIÁ BÀI TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN Họ tên giảng viên: …………………………………………………………………… Họ tên sinh viên:.…………………………………… .…… MSSV: …………… Tên báo cáo: …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Ý KIẾN NHẬN XÉT Hình thức trình bày báo cáo: Nội dung báo cáo: Điểm số (theo thang điểm 10; lẻ 0,5):………………………………… ……………., ngày tháng năm 20 … GIẢNG VIÊN Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de LỜI MỞ ĐẦU Hình học nói chung môn học thú vị sinh viên Lịch sử phát triển Hình học lâu đời với ý tưởng phục vụ nhu cầu sống người Đến giai đoạn Euclide, người ta mở rộng thêm hiểu biết với tác phẩm “Nguyên lý” tiếng có tất 13 Tác phẩm “Nguyên lý” trình bày cách xây dựng mơn Hình học phương pháp tiên đề Trong tác phẩm, tác giả nêu định nghĩa, định đề tiên đề Trong có định đề có nội dung quan trọng vấn đề đặt định đề Euclide có phải định đề hay khơng? Hay chứng minh định lý? Việc tìm lời giải cho tốn thu hút nhiều nhà Toán học thời gian dài Và chưa làm sáng tỏ ngày 6/2/1826, vấn đề giải nhà Toán học người Nga, Lobachevsky (1792–1856), ơng trình bày nghiên cứu khoa Tốn – Lý trường đại học Ka–zan (Nga) Lobachevsky chứng minh rằng: chứng minh định đề Định đề định đề khơng phải định lý Từ đó, ơng giữ nguyên định đề Euclide thay định đề mệnh đề phủ định, dựa vào chứng minh định lý hệ thống Hình học mà ngày ta gọi Hình học phi Euclide hay Hình học Lobachevsky Tiểu luận trình bày gồm chương: + Chương I: Tiểu sử nhà tốn học Lobatchevski + Chương II: Các cơng trình nghiên cứu tiêu biểu nhà toán học Lobatchevski + Chương III: Chứng minh số mệnh đề Tiểu luận thực hoàn thành trường Đại Học Kiên Giang với hướng dẫn nhiệt tình Nguyễn Thị Kim Hoa Nhân dịp xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới hướng dẫn, quý thầy cô khoa Sư phạm trường Đại học Kiên Giang, cảm ơn bạn lớp B021ST giúp hồn thành tiểu luận suốt q trình học tập Xin chúc quý thầy cô dồi sức khoẻ, hạnh phúc công tác tốt Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu khoa học nên tiểu luận khó tránh khỏi thiếu sót, mong bảo q thầy bạn Tôi xin chân thành cảm ơn ! iv Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de DANH MỤC KÝ HIỆU : góc hình thành hai tia : Góc đo : độ : đoạn thẳng : Vng góc : Hằng số pi : Tương đương : Tam giác : Lớn : Bé : Bằng : Vectơ : Giao : cung AB v Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de DANH MỤC HÌNH Hình 11 Hình 11 Hình 11 Hình 12 Hình 13 Hình 13 Hình 15 Hình 15 Hình 16 Hình 10 16 Hình 11 17 Hình 12 19 Hình 13 19 Hình 14 20 Hình 15 20 Hình 16 22 Hình 17 23 Hình 18 23 Hình 19 24 Hình 20 24 Hình 21 24 Hình 22 25 Hình 23 25 Hình 24 26 Hình 25 27 Hình 26 27 vi Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Hình 27 28 Hình 28 29 Hình 29 29 Hình 30 30 vii Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU iv DANH MỤC KÝ HIỆU .v DANH MỤC HÌNH vi MỤC LỤC viii NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC CHƯƠNG 2: TRÌNH BÀY CƠNG TRÌNH TIÊN ĐỀ V (TIÊN ĐỀ LOBATCHEVSKI) .4 MƠ HÌNH POINCARÉ CỦA HÌNH HỌC LOBATCHEVSKI TRONG HÌNH HỌC LOBATCHEVSKY: .6 HÌNH HỌC LOBATCHEVSKY: Định nghĩa khơng gian Lobachevsky hình học Lobachevsky Một số quy ước .6 Các định nghĩa Khái niệm vng góc Phương trình phép dời hình Hn Khoảng cách hai điểm Hn .8 Góc hai đường thẳng .9 MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN MẶT PHẲNG POINCARE 10 MẪU ĐĨA POINCARE VÀ HÌNH HỌC LOBACHEVSKY .10 MẶT PHẲNG HYPERBOLIC TRONG MẪU ĐĨA POINCARE 11 Định nghĩa điểm mặt hyperbolic .11 Định nghĩa đường mặt hyperbolic 11 Khoảng cách mêtric mặt hyperbolic .12 Định nghĩa khoảng cách hyperbolic từ A đến B 12 Những đường thẳng song song 13 Định lý Lobachevsky 14 viii Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Định lý (Tổng góc tam giác Hyperbolic) 16 Định lý 17 Định lý 17 Định lý Pythagorean Hyperbolic 17 MẪU NỬA TRÊN MẶT PHẲNG POINCARE .17 Các định nghĩa 17 a) Điểm 17 b) Đường thẳng 17 c) Phép nghịch đảo 17 d) Góc 18 e) Sự đoạn thẳng góc mẫu nửa mặt phẳng Poincare 18 + Mệnh đề 19 CHƯƠNG 3: CHỨNG MINH CÁC MỆNH ĐỀ .22 Mệnh đề 22 Mệnh đề 22 Mệnh đề 24 Mệnh đề 25 Mệnh đề 26 Mệnh đề 27 Mệnh đề 27 Mệnh đề 28 Mệnh đề 28 Mệnh đề 10 .29 Mệnh đề 11 .30 KẾT LUẬN .31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ix Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC  Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1/12/1792 – 12/2/1856) nhà tốn học Nga, người có cơng lớn việc xây dựng hình học phi Euclide, bước phát triển khỏi hình học cổ điển, tạo sở toán học cho lý thuyết tương đối rộng sau Lobachevsky sinh Nizhny Novgorod, Nga Bố Ivan Maksimovich Lobachevsky, thư ký văn phòng luật, mẹ Praskovia Alexandrovna Lobachevskaya Cha ông năm 1800, sau đó, mẹ ơng rời đến Kazan Tại đó, ông theo học trường Kazan Gymnasium, tốt nghiệp năm 1807 sau trường Đại học Kazan Tại đây, ông tiếp xúc với Martin Bartels (1769 – 1833), bạn Carl Friedrich Gauss Năm 1811, ông chứng vật lý toán học trường ĐHTH Kazan Năm 1814, ông bắt đầu công tác giảng dạy năm 1822, thức trở thành giảng viên trường ĐHTH Kazan Năm 1818, ông mời làm viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Kazan Ông giữ nhiều chức trách khác trường năm 1846.  Nhà tốn học Gauss mời ơng làm viện sĩ nước Viện Hàn lâm Khoa học Gottingen.  Về đời riêng, ơng lấy Varvara Alexivna Moisieva năm 1832 có với bà bảy người con.  Ơng hưu (hay bị bãi nhiệm) năm 1846, từ sức khỏe ơng giảm cách nhanh chóng Cuối cùng, ông bị mù vĩnh viễn, phải đọc cho người khác chép PANGE "OMETRRIE" tiếng lịch sử hình học giới.  Từ năm 1815 ông đeo đuổi phát minh hình học xây dựng dựa sở phủ định tiên đề Euclide Các nhà tốn học đương đời chưa hiểu ơng ơng đeo đuổi cùng! Cho đến năm 1840, Gauss công nhận thành công phát minh ơng tứ Gauss nhà tốn học trẻ thới gọi hình học ơng hình học ảo Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Nếu M’ nghịch đảo M M nghịch đảo M’ Vậy phép nghịch đảo trùng với phép biến hình đảo ngược + Trong phép nghịch đảo điểm ngồi vịng trịn (S) biến thành điểm trong, điểm thành điểm + Mỗi điểm (S) trùng với điểm ngịch đảo + Hình nghịch đảo vòng tròn vòng tròn + Nếu phép biến hình tạo nên tích số chẵn phép nghịch đảo ta có ba điểm bất biến (nghĩa điểm biến thành nó) phép biến hình phép biến hình đồng + Trong phép biến hình tạo nên tích số lẻ phép nghịch đảo,nếu ta có ba điểm bất biến phép biến hình phép nghịch đảo vịng trịn qua ba điểm + Nếu hai vịng trịn cắt góc chúng góc tạo nên hình nghịch đảo chúng phép nghịch đảo d) Góc Góc tập hợp hai tia phi Euclide xuất phát từ điểm e) Sự đoạn thẳng góc mẫu nửa mặt phẳng Poincare Bây ta định nghĩa khái niệm “ở giữa” đường thẳng phi Euclide: Cho điểm A, B, C đường thẳng phi Euclide (biểu diễn nửa vòng tròn a) Ta nói điểm B (theo nghĩa phi Euclide) A C B A C (theo nghĩa Euclide) nửa vịng trịn a, nói cách khác, thứ tự điểm đường thẳng phi Euclide trùng với thứ tự điểm nửa vòng tròn Euclide biểu diễn đường thẳng Trong trường hợp mà nửa vịng trịn biểu diễn đường thẳng phi Euclide khơng suy biến thành tia Euclide ta xác định thứ tự điểm đường thẳng phi Euclide sau: Giả sử nửa vòng tròn a, tâm O (O điểm phi Euclide biểu diễn đường thẳng phi Euclide) Ta lấy đường thẳng Euclide u song song với x Mọi đường thẳng Euclide qua O (trừ x) cắt nửa vòng tròn a điểm M, đường thẳng u điểm M’ mà ta gọi điểm tương ứng M Như điểm A, B, C đường thẳng phi Euclide biểu diễn nửa vòng tròn a, điểm B (theo nghĩa phi Euclide) A C Khi điểm A’, B’, C’ tương ứng đường thẳng Euclide u, điểm B’ A’ C’ Hình 12 19 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Theo định nghĩa thứ tự điểm đường thẳng phi Euclide trùng với thứ tự điểm nửa vòng tròn Euclide biểu diễn đường thẳng phi Euclide Vì vậy, đoạn thẳng phi Euclide AB biểu diễn cung có đầu mút A B nửa vòng tròn, tia Euclide xuất phát từ điểm O biểu diễn cung OX mà đầu mút X nằm đường thẳng x ( X không kể điểm tia phi Euclide) • Sự đoạn thẳng góc mẫu nửa Poincare Hình 13 Ta quy ước xét phép nghịch đảo vòng tròn trực giao với đường thẳng x Với phép nghịch đảo điểm nằm nửa mặt phẳng biến thành điểm nửa • Ta nói đoạn phi Euclide AB đoạn phi Euclide A’B’ có dãy phép nghịch đảo cho tích chúng biến cung trịn Euclide AB thành cung trịn Euclide A’B’ • Cũng vậy, góc phi Euclide (h, k) gọi góc phi Euclide (h’, k’) có dãy phép nghịch đảo cho tích chúng biến cạnh góc thứ thành cạnh góc thứ hai Chú ý : Các góc theo định nghĩa khơng theo nghĩa mà ta hiểu Hình học Euclide góc cong Trái lại cung tròn biểu diễn đoạn phi Euclide hồn tồn khơng theo nghĩa Euclide phép nghịch đảo giữ ngun góc khơng giữ ngun kích thước hình + Mệnh đề Một phép nghịch đảo phương diện phi Euclide phép đối xứng đường thẳng Chứng minh Giả sử AB cung tròn biểu diễn đoạn thẳng phi Euclide Gọi S giao điểm đường thẳng Euclide AB với x (giả thiết chúng cắt nhau) Vẽ tiếp tuyến SC cung AB Ta có: SA.SC = SC2 Nên phép Hình 14 nghịch đảo nửa vịng trịn u tâm S, bán kính SC biến A thành B, biến B thành A, cịn C bất biến Vậy cung AB biến thành nó, cung AC thành cung BC, cung BC thành cung AC 20 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Vì hai cung AC BC nghịch đảo nên chúng biểu diễn hai đoạn phi Euclide Nói cách khác C trung điểm đoạn phi Euclide AB Ta lại có: AB trực giao với nửa vịng tròn u Vậy u biểu diễn đường trung trực đoạn phi Euclide AB, hay A B đối xứng (theo nghĩa phi Euclide) đường thẳng phi Euclide biểu diễn u Bây ta xét vài kiện Hình học Lobachevsky thể nửa mặt phẳng Euclide : Hình 15 Cho đường thẳng phi Euclide dạng nửa vòng tròn a trực giao x, điểm A nằm a Các đường thẳng phi Euclide qua A không cắt đường thẳng cho biểu diễn nửa vòng tròn qua A trực giao với x, khơng cắt nửa vịng trịn a Trong tất đường phải có hai giới tuyến gọi hai đường song song với đường cho theo hai hướng đường Trên hình vẽ, đường song song biểu diễn hai nửa vòng tròn b b2 tiếp xúc với nửa vòng tròn a hai đầu mút X X2 Vì điểm Euclide đường thẳng x, không kể điểm phi Euclide nên ta phải xem đường thẳng phi Euclide b1, b2 khơng có điểm chung với đường thẳng phi Euclide a Qua A ta vẽ nửa vòng tròn trực giao với x, cắt nửa vịng trịn a P góc vng Cung AP biểu diễn đường vng góc phi Euclide hạ từ A xuống đường thẳng phi Euclide a, góc mà tạo nên với cung b góc song song đoạn thẳng AP Trong Hình học Lobachevsky, AP phân giác góc tạo hai đường thẳng phi Euclide b1 b2 (suy từ phép nghịch đảo) Tuy nhiên, Hình học Euclide, hai góc tạo cung AP với hai cung b b2 phải chứng minh vất vả Vì vậy, ta chứng minh số định lý Hình học Euclide nhờ vào hình học phi Euclide Chẳng hạn định lý sau hình học Euclide “Nếu tam giác có ba cạnh ba cung trịn thuộc ba vịng trịn có tâm thẳng hàng tổng góc tam giác nhỏ hai vng” tương ứng với định lý: “Tổng góc tam giác nhỏ hai vng” hình học phi Euclide Sau xây dựng xong đối tượng mẫu nửa mặt phẳng Poincare ta kiểm tra lại tiên đề Hình học Hyperbolic thấy mẫu nửa mặt phẳng Poincare thỏa mãn tiên đề, cụ thể: + Tiên đề 1: Qua hai điểm nửa mẫu Poincare ta vẽ nửa đường trịn + Tiên đề 2: Một đường thẳng kéo dài vơ tận Thật vậy, ln tồn nửa đường tròn đường thẳng qua hai điểm mặt phẳng 21 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de + Tiên đề 3: Từ định nghĩa ta suy vẽ nửa đường trịn từ điểm bán kính (căn vào số đo khoảng cách, ta vẽ nửa đường tròn) + Tiên đề 4: Ta biết phép đẳng cự bảo tồn số đo góc Euclide, mà định nghĩa số đo góc khơng gian Hyperbolic giống số đo góc Euclide hai góc vng + Tiên đề 5: Cho đường l điểm Pl qua P có hai đường l1 l2 khơng cắt l 22 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de CHƯƠNG 3: CHỨNG MINH CÁC MỆNH ĐỀ  Mệnh đề Cho tam giác bất kì, tổng hai góc tùy ý ln nhỏ hai (góc) vng Hình 16 GIẢI Cho tam giác ABC Có thể phát biểu tổng hai góc chọn tùy ý tam giác ABC nhỏ hai vuông Kéo dài BC tới D Vì A CD góc ngồi tam giác ABC, lớn góc đối bên ABC [MĐ 1.16] Cộng góc ACB vào hai góc kề đối Như vậy, tổng góc A CD ACB lớn tổng ABC BCA Mà tổng A CD ACB lại hai góc vng [MĐ 1.13] Do đó, tổng ABC BCA phải nhỏ hai góc vng Tương tự, chứng tỏ tổng BAC ACB nhỏ hai góc vng, tổng C AB ABC Như vậy, tam giác bất kì, tổng hai góc tổ hợp tùy ý ln nhỏ hai góc vng Đây điều cần phải chứng minh Mệnh đề Mỗi đường thẳng a mặt phẳng (P) chia tất điểm không thuộc a mặt phẳng (P) hai lớp khơng rỗng cho hai điểm A, B thuộc hai lớp khác đoạn AB chứa điểm đường thẳng a, hai điểm A, A’ thuộc lớp đoạn AA’ khơng chứa điểm a Chứng minh 23 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Ta lấy (P) điểm C khơng thuộc a chia điểm mặt phẳng (P) (trù điểm thuộc a) làm hai lớp theo tiêu chuẩn sau đây: + Lớp thứ gồm điểm A (P) không thuộc a cho CA không chứa điểm a Điểm C thuộc lớp + Lớp thứ hai gồm điểm B mặt phẳng (P) không thuộc a cho đoạn "Cơ bản" chứa điểm a Khi ta cần chứng minh: (1) Mỗi lớp không rỗng Thật vậy, lớp thứ có điểm C gọi D điểm a thoe tiên đề (2.2) đường thẳng CD có điểm E cho D C E Vậy E thuộc lớp thứ hai (2) Bất kì điểm (P) (trù điểm a) thuộc lớp mà Thật vậy, điểm M bất kì, đoạn thẳng CM chứa điểm a không chứa điểm a Mỗi cặp điểm A, A’ lớp thứ xác định đoạn thẳng AA’ đoạn không chứa điểm a Thật vậy, C, A, A’ không thuộc đường thẳng đoạn AA’ chứa điểm a theo tiên đề Pasch hai đoạn CA CA’ phải chứa điểm a điều trái với giả thiết Còn C, A, A’ thuộc đường thẳng ta xét hai trường hợp sau: + Nếu C không A A’, ta giả sử A C A’, M điểm a A A’, theo định lí 2.2.4 điểm M C A’ điều trái với giả thiết Hình 18 + Nếu C A A’, điểm M thuộc đoạn AA’ theo định lí 2.2.6 thuộc CA CA’ Điều trái với giả thiết Hình 19 (4) Một cặp điểm B, B’ thuộc lớp thứ hai xác định đoạn thẳng BB’ không chứa điểm a 24 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de + Nếu C, B, B’ không thẳng hàng đoạn CB, CB’ chứa điểm M M’ đường thẳng a Đường thẳng a cắt đoạn BB’ N điểm N phải nằm đoạn MM’ Thật vậy, N M M’ theo tiên đề Pasch tam giác CMM’ đường thẳng B’N cắt CM B, nghĩa B C M Điều trái với giả Hình 20 thiết M B C Chứng minh tương tự, ta có điểm M nằm đoạn NM’ điểm M’ nằm đoạn MN Như ba điểm M, M’, N khơng có điểm hai điểm kia, điều mâu thuẫn với định lí 2.2.2 (5) Mọi cặp gồm hai điểm A B thuộc hai lớp khác xác định đoạn thẳng AB chứa điểm a Thật vậy, theo giả thiết đoạn "Cơ bản" chứa điểm M a Nếu C, A, B không thuộc đoạn thẳng theo tiên đề Pasch CA AB phải chứa điểm a Theo giả thiết CA không chứa nên AB chứa điểm a Hình 21 Nếu C, A, B thẳng hàng điểm M a phải C B Mặt khác theo định lí 2.2.9 điểm M a chia tất điểm lại đường thẳng CB thành hai lớp, lớp nằm phía M Do điểm A phải nằm phía điểm C M, nghĩa đoạn AB chứa điểm M a Mệnh đề Nếu A, B hai điểm nằm hai cạnh h, k góc tia xuất phát từ góc O thuộc miền góc cắt đoạn AB Ngược lại, tia nối đỉnh góc với điểm đoạn AB thuộc miền góc Chứng minh Gọi A, B điểm nằm cạnh h, k góc l tia xuất phát từ điểm O nằm miền góc Trên tia h’ bù với tia h, ta lấy điểm C tùy ý cho O C A Gọi l’ tia Hình 22 bù với tia l đường thẳng l* đường thẳng chứa l l’ Áp dụng tiên đề Pasch tam giác ABC, ta có đường thẳng l* 25 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de cắt CB cắt AB Vì đường thẳng l* khơng có điểm thuộc miền góc nên l* cắt cạnh AB Hơn tia l’ khơng có điểm thuộc góc l cắt cạnh AB điểm M nên tia Ngược lại với điểm M thuộc đoạn AB tia OM thuộc miền góc điểm M thuộc miền tia l nằm phía đường thẳng hh’ đường thẳng kk’ Mệnh đề Nếu hai tam giác ABC A’B’C’ có AB=A’B’, AC=A’C’, BC=B’C’ hai tam giác GIẢI Hình 23 Theo giả thiết AB=A’B’, AC=A’C’ nên để chứng minh tam giác ABC tam giác A’B’C’ ta cần chứng minh Giả sử khác theo tiên đề (3.4) ta có tia A’P’ phía B’ tia A’C’ cho tia A’P’ khác với tia A’B’ Trên tia A’P’ theo tiên đề (3.1) có điểm có cho Do đó, ta có Theo định lí 2.3.3 ta Bây ta dựng tam giác A’B’C’ nằm khác phía đường thẳng A’C’ có 26 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de ta có cân nên Theo định lí 2.3.5 tam giác tam giác cân nên Áp dụng định lí 2.3.6 (nói góc tương ứng nhau) ta có Mặt khác ta lại có nên cách dựng ta có (3.4), tia phải trùng với tia mà theo theo tiên đề có nghĩa Vậy Mệnh đề Nếu hai đường thẳng cắt chúng tạo góc đối đỉnh Giải Cho hai đường thẳng AB CD cắt điểm E Có thể phát biểu góc AEC góc DEB góc CEB góc AED Vì AE cắt đường thẳng CD tạo thành hai góc CEA AED, tổng chúng hai góc vng [MĐ 1.13] Thêm nữa, DE cắt đoạn thẳng AB tạo thành hai góc AED DEB, tổng chúng hai góc vng [MĐ 1.13] Nhưng tổng Hình 24 CEA AED [được chứng tỏ] góc vng Do đó, tổng AED debDEB [TĐ 1] Trừ AED từ hai lượng trên, Phần lại CEA với phần cịn lại BED [TĐ 3] Tương tự, chứng minh CEB DEA Như vậy, hai đường thẳng cắt chúng tạo thành góc đối đỉnh Đây điều cần phải chứng minh Mệnh đề Trong tam giác bất kì, cạnh lớn chắn góc lớn GIẢI 27 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Hình 25 Cho tam giác ABC với cạnh AC lớn cạnh AB Có thể phát biểu góc ABC lớn BCA Vì AC lớn AB, dựng AD với AB [MĐ 1.3], nối B với D Và ADB góc ngồi tam giác B CD nên lớn góc (khơng kể) DCB [MĐ.1.16] Mà cạnh AB cạnh AD nên góc ADB góc ABD [MĐ 1.5) Do đó, góc ABD lớn góc ACB Cuối cùng, góc ABC lớn góc ACB Như vậy, tam giác bất kì, cạnh lớn chắn góc lớn Đây điều cần phải chứng minh Mệnh đề Nếu tam giác có hai góc cạnh chắn chúng Giải Gọi ABC tam giác với góc ABC góc ACB Có thể phát biểu cạnh AB cạnh AC Hình 26 Vì AB khơng AC, chúng đoạn lớn Gọi AB đoạn lớn Đặt DB với AC đoạn cắt từ đoạn lớn AB [MĐ 1.3] Nối D với [ĐĐ.1] Theo đó, từ DB AC BC chung, hai cạnh DB, BC tương ứng với AC, CB, góc DBC góc ACB Như đáy DC đáy AB, tam giác DBC tam giác ACB [MĐ 1.4], nhỏ lớn Điều vơ lí [TĐ 5] Như AB khơng thể khơng AC AC Như vậy, tam giác có hai góc cạnh đối diện với chúng Đây điều cần phải chứng minh 28 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Mệnh đề Nếu đoạn thẳng đứng đoạn thẳng khác tạo thành hai góc, hai góc góc vng, tổng hai góc hai góc vng Giả định đoạn thẳng tùy ý AB đứng tựa lên đường thẳng CD tạo thành góc CBA ABD Có thể phát biểu góc CBA ABD hai góc vng, tổng hai góc hai góc vng Thực tế là, CBA ABD chúng hai góc vng [ĐN Hình 27 1.10] Cịn điều không đúng, gọi BE đoạn vuông góc với CD dựng từ điểm B [MĐ 1.11] Khi đó, CBE EBD vng Mặt khác, góc CBE (tổng) hai góc CBA ABE, thêm góc EBD vào hai lượng Vậy tổng CBE EBD tổng ba góc CBA, ABE, EBD [TĐ 2] Tương tự, từ DBA bảng DBE EBA, thêm ABC vào tổng hai góc Như vậy, tổng DBA ABC tổng ba góc DBE, EBA, ABC [TĐ 2] Nhưng biết tổng CBE EBD tổng ba góc Và thứ với thứ khác (TĐ 1] Nên tổng CBE EBD tổng DBA ABC Mà tổng CHE EBD hai (góc) vng Do đó, tổng ABD ABC hai góc vng loạn thẳng a đoạn đoạn ốc ông Như vậy, đoạn thẳng đứng tựa đoạn thẳng khác tạo thành hai góc góc vng tổng hai góc hai góc vng Đây điều cần phải chứng minh Mệnh đề Dựng đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng cho trước từ điểm cho trước không nằm đường cho trước Giải Gọi AB đoạn thẳng cho trước, C điểm cho trước không nằm AB Yêu cầu dựng đường thẳng vng góc với AB xuất phát từ C điểm không nằm AB Chọn điểm D ngẫu nhiên phía bên đường thẳng AB (so với C), dựng đường trịn EFG tâm C bán kính CD [ĐĐ 3], EG chia đơi điểm H Hình 28 29 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de [MĐ 10], nối C với G, C với H, C với E Có thể phát biểu đoạn CH dựng vng góc với đoạn thẳng AB từ điểm C khơng nằm đường AB Vì GH HE có HC cạnh chung, hai đoạn thẳng GH, HC với EH, HC, đáy CG đáy CE Do đó, góc CHG góc EHC [MĐ 1.8], chúng góc kề Nhưng đoạn thẳng đứng đường thẳng khác tạo thành hai góc kề nhau, góc góc vng, đoạn thẳng xét gọi vng góc với đường thẳng mà đứng tựa lên [ĐN 1.10] Như vậy, CH dựng vng góc với đoạn thẳng AB cho trước từ điểm C cho trước không nằm đoạn AB Đây u cầu cần hồn thành Mệnh đề 10 Tìm tâm hình trịn cho trước Giải Hình 29 Gọi ABC hình trịn cho trước Hãy tìm tâm hình trịn ABC Vẽ đường thẳng AB cắt qua hình trịn ABC, chia đơi AB điểm D [MĐ 1.9] Từ điểm D, vẽ đoạn DC vng góc với AB [MĐ 1.11] Kéo dài CD đến E Và chia đôi CE F [MĐ 1.9] Có thể phát biểu (điểm) F tâm (hình trịn) ABC Như vậy, hai đường thẳng cắt chúng tạo thành góc đối đỉnh Đây điều cần phải chứng minh Giả sử thế, mà G tâm hình trịn, nối G với A, G với D G với B Bởi AD = DB DG chung nên hai đoạn AD, DG với hai đoạn BD, DG Và cạnh GA cạnh GB Vì chúng bán kính Nhưng vậy, góc ADG góc GDP [MĐ 1.8] Và đường thẳng đứng tựa lên đường thẳng khác tạo nên góc liền kề góc góc vng [ĐN 1.10] Do GDB góc vng Và FDB góc vng Bởi FDB GDP, góc lớn góc nhỏ Điều khơng thể (điểm) G khơng 30 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de phải tâm hình trịn ABC Tương tự, chứng minh khơng có điểm khác tâm hình tròn trừ điểm F Như vậy, điểm F tâm (hình trịn) ABC Mệnh đề 11 Nếu đoạn thẳng chia hai phần cách ngẫu nhiên tổng diện tích hình chữ nhật có cạnh đoạn thẳng phần (của nó) với diện tích hình vng có cạnh đoạn thẳng Giải Gọi AB đoạn thẳng chia cách ngẫu nhiên điểm C Có thể phát biểu diện tích hình chữ nhật có kích thước AB BC cộng với diện tích hình chữ nhật có kích thước BA AC diện tích hình vng có cạnh AB Dựng hình vng ADEB đoạn AB [MĐ 1.46], từ điểm C dựng đoạn CF song song với AD BE [MĐ 1.31] Khi đó, hình vng AE có diện tích tổng diện tích hình chữ nhật AF CE Hình vng AE hình vng có cạnh AB Hình chữ nhật AF có diện tích diện tích hình chữ nhật có cạnh BA AC, có cạnh DA AC, mà AD AB Hình chữ nhật CE có diện tích diện tích Hình 30 hình chữ nhật kích thước AB BC, BE AB Do diện tích hình chữ nhật có cạnh AB BC cộng với diện tích hình chữ nhật có cạnh BA AC diện tích hình vng có cạnh AB Vậy đoạn thẳng chia thành hai phần cách ngẫu nhiên tổng diện tích hình chữ nhật có cạnh đoạn thẳng phần (của nó) với diện tích hình vng có cạnh đoạn thẳng Đây điều cần phải chứng minh 31 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de KẾT LUẬN Sau hời gian làm việc nghiên cứu với hướng dẫn cô Nguyễn Thị Kim Hoa, thực hồn chỉnh đề tài nghiên cứu Tiểu luận cuối kì tơi trình bày tiểu sử cơng trình nghiên cứu nhà Tốn học Lobatchevsky, ngồi cịn có lý thuyết Hình học Lobatchevsky mẫu mặt phẳng Lobachevsky, mẫu đĩa Poincare mẫu nửa mặt phẳng Poincare Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu nên việc hoàn thành đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót hạn chế định, kính mong q thầy bạn góp ý kiến bảo Tơi chân thành cảm ơn ! 32 Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de Tieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.deTieu.luan.tieu.su cong.trinh.nghien.cuu.cua.nha.toan.hoc.lobatchevsky.va.chung.minh.menh.de