Skkn rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua định lý viét

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN CHO HỌC SINH THƠNG QUA ĐỊNH LÝ VIÈTE Người thực hiện: Nguyễn Thanh Hải Chức vụ: Giáo viên SKKN mơn: Tốn MỤC LỤC THANH HỐ NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giới thiệu định lý 2.3.2 Các ví dụ 2.3.3 Bài tập củng cố 12 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 16 3.1 Kết luận 16 3.2 Kiến nghị 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 skkn 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Định lý Viète định lý quen thuộc với em học sinh, có lẽ quen thuộc định lý Pitago hình học vậy, từ cấp em làm quen với định lý sử dụng suốt q trình học bậc phổ thơng Tuy nhiên em sử dụng thành thạo dạng phát biểu cho phương trình bậc hai Một số em học sinh khá, giỏi trình học tập gặp toán phức tạp phải sử dụng tới định lý Viète cho phương trình bậc cao hay gặp phương trình bậc ba Cùng với xu hướng thi tốt nghiệp THPT theo hình thức trắc nghiệm, vấn đề tốn THPT nói chung khai thác cách tối đa, lời giải, cách tiếp cận phong phú đa dạng, lời giải, hướng tiếp cận nhanh gọn, nhạy bén đặt lên hàng đầu, phương pháp kỹ cần hệ thống để luyện cho hệ học sinh Mặt khác kỳ thi HSG cấp tỉnh chủ đề liên quan tới điều kiện nghiệm phương trình bậc ba chủ đề hay quan tâm Trong chương trình lớp 12, có nhiều dạng tốn liên quan tới hàm số bậc ba, tương giao đồ thị định lý Viète cho phương trình bậc ba lại khai thác nhiều hơn, đa dạng hơn, phong phú Để góp phần thuận lợi cho học sinh trình tiếp thu chủ động chiếm lĩnh kiến thức Trong phạm vi viết này, xin đưa vài ý tưởng áp dụng định lý Viète phương trình bậc ba vào việc đề giải tốn, sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua định lý Viète”, theo tinh thần đổi phương pháp dạy học, giúp em phát triển lực tư phát vấn đề cách mạch lạc, xác, hiệu quả, nhanh gọn 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nội dung chương trình hình học THPT, toán dành cho học sinh khá, giỏi từ xây dựng thao tác cần thiết để giúp học sinh quy lạ quen, tiếp cận tốn nhanh chóng hiệu quả, đồng thời sở để giáo viên “chế” tập hay, lạ, độc đáo kích thích hứng thú học tập 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là: skkn - Phương pháp giải toán dựa vào định lý Viète (là toán gần gũi, ví dụ tập SGK…) giúp cho người học có cách tiếp cận vấn đề thật nhanh, qua vài động tác chuyển dạng tốn quen thuộc dần hình thành nên kỹ năng, phương pháp giải tốn phong phú cho thân - Cũng cở sở đó, giáo viên thêm bớt giả thiết, chuyển đổi giả thiết tương đương để có tốn mới, điều thực kích thích khả sáng tạo người tạo hứng thú học tập cho học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan, nghiên cứu chương trình giáo khoa môn - Phương pháp nghiên cứu thực tế: Thông qua việc dạy học phân môn Đại số, Giải tích THPT, thân rút số nhận xét phương pháp giải toán giúp học sinh rèn luyện kỹ làm - Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy kiểm tra khả ứng dụng học sinh, minh chứng cho thấy khả giải vấn đề nhanh gọn học sinh giải toán liên quan tới phương trình, tương giao giao đồ thị hàm số, NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm - Phương trình dạng tốn quan trọng xun suốt chương trình học Tốn phổ thơng, kỳ thi vào lớp 10 học sinh không cịn lạ dạng tốn liên quan tới định lý Viète Để nối tiếp cho dạng toán quen thuộc này, sáng kiến nhằm “tạo cũ” để tạo hứng thú học tập từ đầu, qua giúp em phát triển kỹ tư duy, suy luận lô-gic - Các tập SGK phần mức đơn giản, có khó thường lời giải dài dịng, gây khó cho học sinh ảnh hưởng đến tốc độ làm học sinh thi - Thông thường dạng toán em hay gặp vỏn vẹn phương trình, gặp nhiều trở nên khơ khan khơng kích thích việc học đừng nói đến việc rèn luyện cho em thêm số kỹ - Vì tính phổ biến định lý Viète, tơi ln tìm tịi, sưu tầm, sáng tác để có hệ thống ví dụ phong phú lạ, thể tính ưu việt giải tốn áp dụng định lý Viète, từ truyền dạy cho học sinh, phương pháp đơn giản dễ làm, phương pháp mà học sinh cảm thấy phấn chấn học, skkn phương pháp giải nhanh gọn nhờ quy lạ quen Khẳng định cho em thấy phải nắm vững kiến thức bản, bám sát chương trình SGK, khơng sa đà vào kiến thức “cao siêu” – xa rời chương trình tốn phổ thơng - Thực tế áp dụng SKKN vào giảng dạy nhận thấy học sinh thích thú, phấn chấn giải tốn khó mà vài bước phân tích, kết nối đưa dạng học, mà lâu nghĩ phải dùng kiến thức cao siêu Điều mang đến tự tin cho học sinh tạo hứng thú nghiên cứu, tìm tịi, phát triển tư cách nghiêm túc - Giáo viên có thêm nhiều ý tưởng để đề, sáng tạo tập phong phú tự luận trắc nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Mảng kiến thức mà đề tài nghiên cứu liên quan tới dạng tốn phương trình, kiến thức trọng tâm tốn phổ thông Lượng kiến thức khai thác nhiều đa dạng, mảng kiến thức nâng cao truyền đạt làm cho em thấy lan man, phương hướng, chán nản, chưa nói đến sau học xong em phương pháp nào? kỹ gì? Do phần người giáo viên cần phải có hệ thống tập minh hoạ cho phương pháp trọng tâm, dạng toán quan trọng Đặc biệt làm cho em phải cảm thấy tự tin gặp tốn có tham số, có bậc cao - Khi gặp phương trình bậc cao (bậc 3) em thường ngại, lâu hay dùng định lý Viète với phương trình bậc hai Nhưng câu hỏi kỳ thi tốt nghiệp THPT thường xuất toán tương giao hàm số bậc cao có liên quan đến việc đánh giá hoành độ giao điểm, thường làm em lúng túng hay điểm câu vậy, mặt khác định lý Viète cho tốn HSG tài liệu viết nhiều, với mức độ thi Đại học lại ít, viết SKKN để truyền dạy, bổ sung vào hành trang tri thức cho em học sinh mình, qua giúp phát triển lực tư cho em skkn Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giới thiệu định lý ĐỊNH LÝ Viète: Cho phương trình: , có nghiệm ( kể nghiệm bội) Khi đó: Từ định lý Viète ta có nhận xét nhanh sau: - Nếu phương trình có ba nghiệm phân biệt - Nếu phương trình có nghiệm kép - Nếu đồ thị hàm số bậc ba cắt đường thẳng ba điểm phân biệt có hồnh độ khơng phụ thuộc vào hệ số 2.3.2 Các ví dụ đường thẳng (giá trị Ví dụ 1: Cho phương trình với tham số Tìm tất giá trị để phương trình có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt tự lập thành cấp số cộng, suy Theo định lý Viète Từ Thay vào phương trình: Điều kiện đủ (thử lại):  Với  Với Kết luận: phương trình theo thứ (thỏa mãn) phương trình (khơng thỏa mãn) skkn Ví dụ 2: Tìm tất giá trị thực tham số cắt đồ thị hàm số để đường thẳng ba điểm A, B, C phân biệt cho Lời giải: Gọi Do ba nghiệm phương trình tương giao trung điểm đoạn nên Theo định lý Viète Từ suy Thay nghiệm vào thấy với Do tốn trở thành tìm điều kiện để Ta tìm điều kiện để có ba nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác , điều tương đương Kết luận: Ví dụ 3: Gọi điểm thuộc cắt điểm , biết tiếp tuyến (khác ) Tìm giá trị nhỏ Lời giải: Giả sử tiếp tuyến hoành độ giao điểm Theo đề có hai nghiệm tiếp điểm) Theo định lý Viète Khi ta có phương trình nghiệm nghiệm kép (do dẫn đến: , skkn đẳng thức xảy Kết luận: Ví dụ 4: Cho hàm số thị , xét điểm Tiếp tuyến độ tọa độ thứ hai Tiếp tuyến cắt có hồnh độ điểm thứ hai cắt có tọa độ khác điểm thứ hai Cứ tiếp tục thế, tiếp tuyến khác thuộc đồ Tìm cắt biết có tọa khác có điểm Lời giải: Áp dụng định lý Viète cho trường hợp nghiệm bội ta có tiếp tục quy trình ta dãy số dễ thấy cấp số nhân có số hạng đầu Suy Thay vào biểu thức Kết luận: công bội ta được: Ví dụ 5: Cho hàm số có điểm cực trị Tìm tất giá trị tham số để phương trình có ba nghiệm phân biệt Lời giải: Khơng tổng quát ta cần xét với skkn y A  C f  xCD  B I x2 xCD O x0 x1 xCT x f  xCT  Một tính chất đồ thị hàm số bậc ba là: Điểm uốn trung điểm hai điểm cực trị, Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt khi Áp dụng định lý Viète cho trường hợp nghiệm bội phương trình suy ra: Tương tự cho trường hợp nghiệm bội phương trình suy ra: Do *Lưu ý: Những kết hay nhầm Ví dụ 6: Tìm tham số biệt Lời giải: để phương trình thỏa mãn có ba nghiệm dương phân Lập bảng biến thiên hàm số skkn Phương trình Với Với trình Hay có ba nghiệm dương phân biệt ba nghiệm thỏa mãn nghiệm phương trình , cịn ba nghiệm phương trình nghiệm phương Theo định lý Viète giả thiết có hệ Từ tìm (Thỏa mãn Kết luận: Ví dụ 7: Cho hàm số điểm điểm hoành độ Lời giải: ) (khác có đồ thị Các đường thẳng ) Xác định hệ số Dễ thấy Parabol qua ba điểm Suy ba điểm giao có phương trình đồ thị qua cắt đồ thị biết tổng Nên Áp dụng định lý Viète ta Suy ra: Vậy skkn Kết luận: Ví dụ 8: Cho hàm số Biết đường thẳng ba điểm phân biệt Tiếp tuyến ba điểm đồ thị điểm (tương ứng khác ba điểm thẳng hàng Lời giải: Gọi tọa độ thứ hai tiếp tuyến cắt đồ thị cắt ) Chứng minh cắt điểm Theo định lý Viète thì: Do , nhân hai vế với biến đổi ta Suy thuộc đường thẳng có phương trình Làm tương tự ta suy thuộc Do ba điểm thuộc đường thẳng có phương trình , tức ba điểm thẳng hàng Ví dụ 9: Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên hình vẽ Với số nguyên thuộc khoảng phương trình Lời giải: Có cặp để có bốn nghiệm phân biệt ? Đặt phương trình cho trở thành , cho giá trị ngược lại Nên số nghiệm phương trình số nghiệm phương trình phương trình số nghiệm skkn 10 Do yêu cầu tốn tương đương với tìm số cặp để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt (do hàm số chẵn) Điểm uốn đồ thị trung điểm hai điểm cực trị có hồnh độ Suy Xét phương trình có nghiệm đơn Từ bảng biến thiên cho nhận thấy nghiệm kép Theo định lý Viète thì: Như phương trình Lại hàm số đồng biến khoảng Từ dựa vào đồ thị hàm số dẫn đến: nên suy Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ứng với hai TH sau: TH1: nên có 14 cặp TH2: nên có cặp Kết luận: Có 18 cặp Ví dụ 10: Cho hàm số thẳng tiếp tuyến chéo hình vẽ có đồ thị hình vẽ, đường Tính diện tích phần gạch Lời giải: Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Theo định lý Viète suy ra: Xét phương trình tương giao đồ thị skkn đường tiếp tuyến 11 Phương trình có nghiệm kép nghiệm đơn Áp dụng định lý Viète cho phương trình ta Xét biểu thức Do đa thức bậc ba có nghiệm kép , Nên suy ra: Mặt khác , từ tìm Suy diện tích phần gạch chéo Ví dụ 11: Cho hàm số bậc ba có đồ thị điểm thuộc cho tiếp tuyến cắt hai Tiếp tuyến lại cắt điểm thứ hai lượt diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng và Chứng minh Lời giải: Khơng giảm tổng qt ta cần xét Gọi hồnh độ điểm trình Khi phương trình có nghiệm lý Viète: hay điểm thứ Gọi lần , đường thẳng Giả sử (nghiệm kép) Mặt khác Dẫn đến tính có phương Theo định Lập luận hoàn toàn tương tự ta thu Do nên suy (đpcm) skkn 12 Ví dụ 12: Cho số thực dương Chứng minh Lời giải: Từ Suy thỏa mãn: ba nghiệm phương trình Phương trình viết lại: Do nghiệm với nên Dẫn đến: Nếu Vậy (vô lý) (đpcm) 2.3.3 Bài tập củng cố Câu Tìm tất giá trị tham số để đồ thị hàm số cắt đường thẳng điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Câu Tìm tất giá trị tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân: Câu Giả sử với hai số dương phương trình nghiệm lớn Xác định giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ ( để biểu thức có đạt giá trị số nguyên dương cho trước) Câu Cho hàm số bậc ba có cực đại cực tiểu Gọi điểm cực đại đồ thị hàm số, tiếp tuyến đồ thị hàm số cắt đồ thị Khi tính Câu Cho hàm đa thức bậc có đồ thị hình vẽ Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ cắt đồ thị điểm thứ hai cắt skkn 13 trục điểm có hồnh độ vẽ) Tính tích phân Biết diện tích phần gạch chéo Câu Cho hàm số có đồ thị qua điểm Các đường thẳng lượt điểm (khác thỏa mãn ) Gọi lại cắt đồ thị lần điểm có hồnh độ Tính giá trị biểu thức Câu Cho hàm số với phân qua điểm biệt thỏa ba điểm thẳng hàng Tìm mãn để đường Câu Cho hai số thực dương nghiệm Chứng minh rằng: a) tham số Biết đồ thị hàm số có ba điểm thẳng (hình phương trình có ba b) skkn 14 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Như phần đặt vấn đề nêu, sáng kiến “Rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh thơng qua định lý Viète” phương pháp có kết hợp chặt chẽ tư lô-gic quy lạ quen (vận dụng giải toán), biến quen thành lạ (vận dụng đề) Sáng kiến tiếp cận toán cách sáng tạo hiệu quả, cho lời giải mạch lạc, ngắn gọn phù hợp với yêu cầu đổi phương pháp dạy học, kích thích tính tự học, tự nghiên cứu phát vấn đề Với tinh thần đó, q trình soạn, dạy dạng tốn tơi thực theo cách nêu định lý, rút nhận xét quan trọng, đưa hệ thống tập xếp từ dễ đến khó Kết thúc phần nhận thấy đạt hiệu cao, cụ thể: - Học sinh tỏ hứng thú giải toán, tập trung đào sâu suy nghĩ vấn đề, phát vấn đề hiệu hơn, nhanh - Giờ dạy tránh tính đơn điệu, nhàm chán theo lối mịn lâu - Học sinh có nhiều thay đổi tích cực phương pháp học tập tư giải toán Một số em – giỏi cịn rút nhiều nhận xét quan trọng tìm nhiều tốn có nhều ứng dụng hay  Một phần sáng kiến tạp chí THTT đăng số 528  Hiệu sáng kiến góp phần nâng cao kết điểm thi học sinh đánh giá cuối học kỳ năm học 2021-2022, sáng kiến dạy lớp 12B2 khơng dạy 12B1 (hai lớp có chất lượng tương đương đầu vào) Giỏi Khá TB Yếu Lớp Số HS SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 12B1 42 14.2 17 40.5 21.4 4.9 12B2 41 19.5 21 51.2 12 29.3 0 skkn 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua thời gian thực tế giảng dạy, nhận thấy chưa đưa chuyên đề vào giảng dạy, học sinh giải tập đơn giản Khơng biết phân tích tốn, đặc biệt toán mức độ VD VDC toán tương giao đồ thị hàm số Sau học chuyên đề học sinh làm tốt tập khó, em hứng thú say mê học tập Qua khảo sát kết học tập em tăng lên rõ rệt 3.2 Kiến nghị Để học sinh có kết cao kiểm tra, kỳ thi tốt nghiệp THPT, đặc thi trắc nghiệm, người thầy cần nghiên cứu, tìm tịi xây dựng phương pháp giải toán cho học sinh dễ hiểu cách giải ngắn Thầy giáo tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho học sinh, đồng thời động viên em em tiến Thầy giáo hướng dẫn cách tự đọc sách học sinh, động viên em học sinh giỏi đọc báo toán, tài liệu internet, tìm hiểu thêm cách giải khác Thầy giáo tăng cường luyện cho em chuyên đề đề thi, để em có nhiều thời gian tiếp cận tập dượt với dạng toán thi, từ đạt kết học tập cao Trong q trình dạy học nói chung, dạy – học Tốn nói riêng, việc giải tập; phân tích hướng giải; trả lời câu hỏi lại làm quan trọng việc hướng dẫn cho học sinh có óc phân tích – tổng hợp – khái quát phần kiến thức hết có cách học đắn cốt lõi vấn đề Chính người thầy ln phải suy nghĩ, trăn trở nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học, nâng cao hiệu giáo dục Trên vài kinh nghiệm nhỏ trình thực việc đổi phương pháp dạy học, đề tài không tránh khỏi hạn chế Rất mong đóng góp quý báu bạn bè, đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thanh Hải skkn 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa sách tập Toán chương trình chuẩn lớp 10, 11 12 Đề thi đại học năm 2008 đến 2010 Đề thi thử tốt nghiệp THPT SGD, trường nước năm gần Tạp chí THTT Đặc san THTT skkn 17 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: NGUYỄN THANH HẢI Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên dạy Tốn, trường THPT Triệu Sơn TT Tên đề tài SKKN Vận dụng đổi phương pháp dạy học vào dạy bài: “Ôn tập chương III – Quan hệ vng góc” Hình học 11 Nâng cao Giải phương trình hệ phương trình nhờ tính SLOVE máy tính Casio 570ES Phát triển lực tư cho học sinh thơng qua việc nghiên cứu dạng tốn tương giao đường thẳng đường tròn Một vài ứng dụng toán gốc việc đề giải tốn hình học khơng gian Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh Hoá C 2012-2013 Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh Hoá C 2013-2014 Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh Hoá C 2014-2015 Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh Hoá C 2017-2018 skkn 18