Skkn một số giải pháp giúp học sinh khắc phục sai lầm trong giải phương trình vô tỉ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC SAI LẦM TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ MỤC LỤC Người thực hiện: Trần Trung Tình Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Toán skkn MỤC LỤC Mở đầu 1.1.Lý chọn đề tài…………………………………………………………….1 1.2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………………… 1.3.Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………… 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………2 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm……………………………………2 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………….2 2.3 số giải pháp giúp học sinh khắc phục sai lầm giải phương trình vơ tỉ ……………… 2.3.1 Hướng dẫn học sinh sử dụng biến đổi phương trình dạng: … 2.3.2 Hướng dẫn học sinh sử dụng biến đổi phương trình dạng: 2.3.3 Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 2.3.4 Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp xuất biểu thức liên hợp 12 2.3.5 Hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ phương pháp đánh giá 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường…………………………………… 15 3.Kết luận kiến nghị……………………………………………………….16 3.1.Kết luận…………………………………………………………………….16 3.2.Kiến nghị………………………………………………………………… 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO .17 skkn Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu biết vài cách giải thơng thường tốn đơn giản Tuy nhiên thực tế tốn giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng THCN, em gặp lớp toán phương trình vơ tỉ mà có số em biết phương pháp giải trình bày chưa gọn gàng, sáng sủa chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao hành trình bày phần cuối chương IV hạn hẹp có tiết lý thuyết giới thiệu sơ lược ví dụ đơn giản Đặc biệt chương trình chuẩn lớp 10 lại đơn giản Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn học nhanh nhẹn thục Trong năm gần đây, kì thi trung học phổ thơng Quốc gia ln xuất toán cực trị, tương giao hàm hợp mức độ vận dụng vận dụng cao, gặp toán học sinh khó khăn việc tìm định hướng tính tốn để đáp số khơng sử dụng máy tính cầm tay để giải tốn Từ thực tế nên tơi lựa chọn vấn đề “một số giải pháp giúp học sinh khắc phục sai lầm giải phương trình vơ tỉ” mong muốn phần giúp học sinh có kiến thức tự tin giải tốt vấn đề phương trình vơ tỉ Tài liệu nhằm giúp cho học sinh lớp 10 rèn kỹ định hướng giải phương trình vơ tỉ từ khắc phục khó khăn, sai lầm gặp tốn phương trình vơ tỉ Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức phương trình mà học sinh học, học sinh cảm thấy hứng thú học gặp dạng toán Tài liệu giúp học sinh học tập thuận tiện Đây tài liệu tham khảo tốt cho học sinh giáo viên để luyện thi ôn tập thi trung học phổ thơng Quốc gia 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề số giải pháp giúp học sinh khắc phục sai lầm giải phương trình vô tỉ Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát đâu skkn điều kiện cần đủ Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm biến đổi Hy vọng với đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải lớp toán giải phương trình vơ tỉ 1.3 Đối tượng nghiên cứu Phương trình vơ tỉ Nội dung nằm sách giáo khoa Đại số 10 Xây dựng toán phương trình vơ tỉ giải pháp giúp học sinh khắc phục sai lầm giải phương trình vơ tỉ 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 10 năm học - Thời gian nghiên cứu: Năm học 2021– 2022 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn Muốn học tốt môn toán em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn phương trình vơ tỉ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm skkn Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp tốn giải phương trình vơ tỉ, có nhiều tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Học sinh trường THPT Yên định bên cạnh học sinh có nhận thức tốt cịn khơng học sinh nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức Khi gặp tốn phương trình vơ tỉ chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi, phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số 10 khơng nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần Khi giảng dạy cho học sinh tơi nhận thấy: a Khi gặp tốn: Giải phương trình: (1) (Ví dụ trang 60 Đại số 10 Chương trình chuẩn) Sách giáo khoa đại số 10 giải sau: Điều kiện (1) x  (*) Khi đó: (1)  Phương trình cuối có nghiệm Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) Mặt khác, số học sinh cịn có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x  (*) để lấy nghiệm nghiệm phương trình Theo tơi cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ skkn dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện điều kiện cần đủ b Khi gặp tốn: Giải phương trình: Học sinh thường đặt điều kiện sau bình phương hai vế để giải phương trình Điều ý học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện c Khi gặp tốn: Giải phương trình Một số Học sinh có lời giải sai sau: Ta có: Nhận xét: Đây toán đơn giản giải mắc sai lầm mà khơng đáng có Rõ ràng khơng phải nghiệm phương trình Chú ý rằng: qua điều kiện là: bị bỏ d Khi gặp tốn: Giải phương trình: : Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thông e Khi gặp tốn: Giải phương trình Một số HS có lời giải sai sau: x    x  2    2  x  x  10  x  x   x  5 x  2   x    x  2  x  2   3x  x   10  x  14 Vậy phương trình cho vơ nghiệm skkn Nhận xét: Rõ ràng nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vơ nghiệm Cần ý rằng: Lời giải xét thiếu trường hợp Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải toán phương trình vơ tỉ 2.3 số giải pháp giúp học sinh khắc phục sai lầm giải phương trình vơ tỉ Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề học sinh với giải pháp cụ thể giúp học sinh khắc phục sai lầm qua rèn luyện kĩ biến đổi giải phương trình chứa ẩn dấu 2.3.1 Hướng dẫn học sinh sử dụng biến đổi phương trình dạng: Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi Chú ý: Không cần đặt đồng thời nên phương trình dạng (2) ta nên chọn hàm số đơn giản làm điều kiện Bài tốn 1: Giải phương trình Bài giải Ta có Vậy nghiệm phương trình Chú ý: Các biểu thức bậc hai nhị thức bậc nên ta chọn biểu thức làm điều kiện skkn Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta chọn biểu thức làm điều kiện Ta có: Vậy phương trình cho có hai nghiệm Bài tốn 2: Giải phương trình x   x   x   x  16 (1)  x2  x x  =  2x  x (2) Bài giải Ta có : (1) x   x 1  2x   x   x      x   x  x     x 1     x 1  x  x    x  Vậy phương trình cho vơ nghiệm Chú ý: Học sinh đưa lời giải sai sau Ta có: x   x   x   x  16  x   x   x   4 x  4  x   x  x   2x     x   2x  x  Phương trình cho có nghiệm x = A B  Cần để ý rằng: A  A C   B C 7  x  x x    3  x  x  x   Điều kiện:  (*) Với điều kiện (*) hai vế PT (2) khơng âm, nên bình phương hai vế ta  x(2 x  4)   2  x    2   x ( x  5)  x  16 x  16   x  x  16 x  16  skkn 2  x    2  x    x  1    ( x  1)( x  16)     x  4  thoả mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm phương trình Chú ý: Hệ điều kiện (*) phức tạp nên ta không cần giải cụ thể 2.3.2 Hướng dẫn học sinh sử dụng biến đổi phương trình dạng: Phương pháp: Giáo viên cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải khơng âm Nên phương trình: Điều kiện điều kiện cần đủ điều kiện Bài tốn 3: Giải phương trình (1) (2) Không cần đặt thêm Bài giải Ta có:  29 Vậy nghiệm phương trình (1) x = Nhận xét: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Ta giải sau: Ta có: skkn Vậy nghiệm phương trình (2) Bài tốn 4: Giải phương trình (1) (2) Bài giải , Khi phương trình (1) tương đương với phương trình: Điều kiện: +) +) Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình (1) là: Nhận xét: Có thể đưa ln phương trình (1) dạng sử dụng phép biến đổi , dẫn đến phương trình bậc bốn (nhẩm nghiệm ) tìm nghiệm phương trình Tuy nhiên với cách trình bày ta thu hai phương trình dạng đơn giản Nhận xét: Trong phương trình (2) bình phương hai vế cho ta phương trình bậc đầy đủ không nhẩm nghiệm nên học sinh thường bế tắc Tuy nhiên ta hướng dẫn học sinh biến đổi dạng có hai phương trình dễ Giải: Điều kiện: từ , Khi ta có: PT(2) Giải hai phương trình đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: skkn Bài tốn 5: Giải phương trình (1) Bài giải Điều kiện: Khi PT(1) Vậy phương trình có ba nghiệm Nhân xét: Bài tốn HS giải mắc sai lầm sau: Ta có: Vậy phương trình cho có nghiệm Học sinh kết luận với hai nghiệm thoả mãn phương trình Mà khơng ngờ phương trình cho cịn có nghiệm thoả mãn 0 A   A B  A B   A B A    A B A  Chú ý rằng: Lời giải bỏ sót trường hợp Như gặp toán thuộc dạng nêu học sinh chủ động cách đặt vấn đề giải: điều kiện phương trình gì? đặt gì? biến đổi biến đổi tương đương? biến đổi biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối dựa vào điều kiện nào? skkn 2.3.3 Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Trước hết giáo viên cần làm cho học sinh nhận thấy mục đích phương pháp đặt ẩn phụ chuyển phương trình cho phương trình hệ phương trình biết cách giải Bài tốn 6: Giải phương trình Bài giải Nhận xét: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, ta bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó giải Tuy nhiên ta ý biểu thức biểu thức dấu sai khác số nên ta giải tốn sau: Đặt Phương trình trở thành: t    t  +) Với (thoả mãn ) phương trình vơ nghiệm +) Với Vậy nghiệm phương trình là: Chú ý: Nếu học sinh loay hoay tìm điều kiện để biểu thức xác định làm toán phức tạp dễ tính tốn sai Từ giáo viên tổng qt cách dạng phương trình sau: Điều kiện: Đặt , phương pháp chung đặt , Khi ta có: Phương trình trở thành: +) Với Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình cho Bài tốn 7: Giải phương trình 10 skkn (1) (2) Bài giải Điều kiện: , Đặt ; Khi phương trình cho trở thành: +) Với Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình Điều kiện: , Đặt Khi PT(2) trở thành: +) Với tm suy nghiệm Nhận xét: Các phương trình (1) (2) giải ví dụ có dạng nên ta chọn cách đặt Bài tốn 8: Giải phương trình (1) (2) (3) Bài giải Ta có PT(1) ; Đặt ta phương trình: (*) Xem PT(*) phương trình bậc hai t; x tham số ta có: PT (*) có hai nghiệm nên +) Với +) Với PT vô nghiệm 11 skkn Vậy PT cho có nghiệm Nhận xét: + Trong phương trình (1) ta chọn cách đặt ẩn phụ không biểu diễn triệt để ẩn x qua t Cách đặt giải thuận lợi bình phương biểu thức + Khi giải phương trình vơ tỉ đơi ta cịn chọn hai ẩn phụ để đưa phương trình cho phương trình Điều kiện: (**) Để ý: nên: PT(1) Đặt Khi ta có: + Với + Với (Vơ lý) Đối chiếu điều kiện (**) Vậy PT(2) có nghiệm Điều kiện: (***) Ta có Đặt , ta có: +) Với +) Với Đối chiếu điều kiện (***) Vậy PT(3) có nghiệm Có phương trình cách đặt ẩn phụ để chuyển phương trình cho hệ phương trình tốn sau 2.3.4 Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp xuất biểu thức liên hợp 12 skkn Bài tốn Giải phương trình sau: (1) (2) (3) Bài giải Ta có PT(1) Khi ta có: PT(1) Phương trình có nghiệm Vì Vậy phương trình có nghiệm Điều kiện: ; Ta có PT(2) Vì: Vậy phương trình có nghiệm Điều kiện: PT(3) Ta có PT(*) Mà: nên PT(*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm 13 skkn Chú ý: Ở toán ta nhẩm nghiệm nên thêm bớt để sau nhân, chia với biểu thức liên hợp xuất nhân tử chung 2.3.5 Hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ phương pháp đánh giá Bài toán 10 Giải phương trình sau: (1) (2) (3) Bài giải Ta có PT(1) Vậy phương trình có nghiệm Chú ý: Ở ta dẫ sử dụng tính chất: Giải phương trình: Điều kiện: ; Khi ta có: Lại có: Nên PT(2) Vậy phương trình có nghiệm Nhận xét: Ta sử dụng phương pháp đánh giá Điều kiện: nên phương trình (3) ; Ta có: 14 skkn Nên PT(3) Đối chiếu điều kiện, Phương trình có nghiệm Bài tậptự luyện Giải phương trình sau: 10 11 12 13 14 15 17 16 18 19 21 20 22 23 24 25 26 27 28 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho đồng nghiệp thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư 15 skkn logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp tốn giải phương trình vơ tỉ từ phức tạp đưa dạng đơn giản, giải cách dễ dàng, học sinh biết dạng toán phân biệt điều kiện điều kiện cần đủ phương trình, ta có phép biến đổi tương đương, ta có phép biến đổi hệ lưu ý đến việc loại bỏ nghiệm ngoại lai phương trình Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh khối 10 khối 12 hệ THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy mơn Tốn Các thầy học sinh sử dụng tốn đề tài làm toán gốc để đặt giải tập cụ thể Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, ôn tập cho em học sinh lớp 12 ôn thi kiểm tra lực số Trường Đại học THPT Quốc Gia, học sinh đồng tình đạt kết cao, nâng cao khả giải phương trình vơ tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học từ trung bình hay trung bình trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Đợt đầu học theo SGK tiến hành kiểm tra cả hai lớp với nội dung có kết quả thu được sau: Điểm Giỏi Điểm Khá Điểm TB Điểm yếu Lớp Sĩ số Số Hs % Số Hs % Số Hs % Số Hs % 10A3 42 7,1 9,5 20 47,6 15 35,5 10A8 43 2,3 9,2 15 35,0 23 53,5 Sau một thời gian dạy theo chuyên đề tiếp tục tiến hành kiểm tra cả hai lớp với nội dung có kết quả thu được sau: Điểm Giỏi Điểm Khá Điểm TB Điểm yếu Lớp Sĩ số Số Hs % Số % Số Hs % Số Hs % Hs 10 42 12 28,6 27 64,3 7,1 0 10 43 7,0 10 23,3 25 58,1 11,6 Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Trên giải pháp mà đúc rút trình giảng dạy trường THPT Yên Định 16 skkn Như thấy phương pháp nêu có hiệu cao Theo tơi dạy phần tốn giải phương trình vơ tỉ giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt Trong chương trình giáo dục phổ thơng nói chung kỳ thi thức trường THPT Bộ Giáo Dục mơn Tốn tơi thấy phần phương trình vơ tỉ hay có đề thi kiểm tra lực số trường Đại học, vấn đề đáng quan tâm ý cho đa số học sinh giáo viên việc ôn luyện thi THPT Quốc Gia ôn luyện kì thi đánh giá lực số trường Đại học Tơi thấy vấn đề có nhiều khả để nghiên cứu mở rộng hơn, sâu lĩnh vực nghiên cứu khoa học Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi để sáng kiến kinh nghiệm ngày hoàn thiện ứng dụng thực tế tốt Tôi xin chân thành cảm ơn 3.2 Kiến nghị Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày thán năm 2022 CỦA THỦ TRƯỞN ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trần Trung Tình TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Đại số 10 Nhà xuất giáo dục [2] Sách Bài tập Đại số 10 Nhà xuất giáo dục 17 skkn [3] Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia Bộ Giáo dục & Đào tạo [4] Các đề thi thử THPT Quốc gia từ năm 2019 đến năm 2021 trường THPT toàn quốc 18 skkn