(Luận án tiến sĩ) phương pháp tiếp cận vi mô ginzburg landau đối với sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết mà công bố luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2019 Tác giả: Nguyễn Văn Hinh luan an Lời cám ơn Trước hết, xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Trí Lân, người thầy tiếp nhận tôi, quan tâm sát sao, thực ý tưởng giúp đỡ nhiều q trình làm NCS Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS TS Nguyễn Toàn Thắng, người thầy thứ hai tiếp nhận hướng cho tơi để định hình mục tiêu nghiên cứu luận án, đồng thời giáo viên hướng dẫn luận án Tiếp theo, xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo lãnh đạo Học viện Khoa học Công nghệ, môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán Viện Vật Lý tạo điều kiện học tập, nghiên cứu cho trình làm NCS Tơi chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, đồng nghiệp khoa Khoa học bản, trường Đại học Công nghiệp Hà Nội giúp đỡ nhiều vật chất tinh thần thời gian làm NCS Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn tồn thể gia đình, bạn bè đồng hành, động viên giúp đỡ nhiều suốt trình theo đuổi thực ước mơ luan an Danh mục chữ viết tắt GL(Ginzburg-Landau) HS (Hubbard-Stratonovich) BCS (Bardeen-Cooper-Schrieffer) HFB (Hatree-Fock-Bogoliubov) SC (Superconductivity) : : : : : Ginzburg-Landau Hubbard-Stratonovich Bardeen-Cooper-Schrieffer Hatree-Fock-Bogoliubov Siêu dẫn FM (Ferromagnetism) : Sắt từ AFM (Antiferromagnetism) PM (Paramagneticsm) N (Normal) SDW (Spin-density-wave) CDW (Charge-density-wave) : : : : : Phản sắt từ Thuận từ Dẫn thường Sóng mật độ spin Sóng mật độ điện tích luan an Danh sách hình vẽ 1.1 Giản đồ pha U Ge2 xác định số đo độ từ hóa áp suất Tc nhiệt độ Curie Tx xác định nơi chuyển pha hai pha sắt từ FM1 FM2 có độ phân cực từ khác Tsc nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn [85, 38] 1.2 Giản đồ pha P − T CeRhIn5 với pha phản sắt từ (kí hiệu AFM, vùng màu xanh) siêu dẫn (kí hiệu SC, vùng màu vàng) xác định từ số đo nhiệt dung riêng khơng có từ trường ngồi Khi Tc < TN có tồn pha đồng tồn AFM+SC Khí Tc > TN trật tự phản sắt từ đột ngột biến [92, 32] 1.3 Hiệu ứng hút hai điện tử trao đổi phonon [42] 1.4 Phổ chuẩn hạt Khe lượng quan sát trạng thái siêu dẫn (ở đỉnh) trạng thái dẫn thường (ở đáy) sinh tham số trật tự hệ [42] 1.5 “Tính đối xứng bị phá vỡ” Sự tiến triển trật tự kết tinh bên giọt nước hình cầu dẫn tới hình thành bơng tuyết, làm giảm tính đối xứng từ đối xứng cầu tới đối xứng sáu nếp gấp [21] 1.6 (a) Trong kim loại thường, khơng có trật tự tầm xa (b) Bên nhiệt độ Curie TC sắt từ, spin điện tử hàng để tiến triển tham số trật tự sắt từ Kết kim loại có moment từ hữu hạn (c) Bên nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn, điện tử kết cặp với tiến triển tham số trật tự siêu dẫn Kết kim loại biểu hiệu ứng Meissner, đẩy từ trường khỏi bên lịng [21] 1.7 (a) Năng lượng tự Landau F (ψ) hàm nhiệt độ tham số trật tự Ising Các đường cong dịch chuyển thẳng đứng (b) Tham số trật tự ψ hàm nhiệt độ trường hữu hạn h > trường nhỏ h = 0+ [21] 1.8 Giản đồ pha trường Một đường bậc kéo dài dọc theo trục trường không, h = đến điểm tới hạn Tham số trật tự cân đổi dấu vượt qua đường ranh giới pha (a) Đồ thị ba chiều cho thấy gián đoạn theo tham số trật tự hàm trường ψ (b) Đường ranh giới pha hai chiều cho thấy đường bậc [21] luan an 29 34 42 43 45 46 Danh sách hình vẽ 1.9 Sự phụ thuộc lượng tự vào tham số trật tự (a) tham số trật tự Ising ψ = ψ1 , cho thấy hai cực tiểu mức lượng (b) tham số trật tự phức ψ = ψ1 + iψ2 = |ψ| eiφ , lượng tự Landau hình thành “thế mũ Mexican” cực tiểu lượng tự hình thành vành trạng thái có lượng phụ thuộc vào pha φ tham số trật tự đồng [21] 1.10 Nghiệm sóng đơn phương trình GL (a) Sự tiến hóa ψ chiều tương đương với hạt vị trí ψ, chuyển động nghịch đảo V [ψ] = −fL [ψ] Một sóng đơn tương đương với “sự nảy” cực đại ψ = ±ψ0 V [ψ] (b) Đường mà hạt mô tả phát triển theo thời gian “t” ≡ x xác định phụ thuộc không gian tham số trật tự ψ [x] [21] 51 3.1 Các lựa chọn khác cho phép biến đổi Hubbard-Stratonovich để tách cặp số hạng tương tác hai hạt tổng quát Hình bên trái: tách cặp theo kênh “mật độ”; hình giữa: tách cặp theo kênh “kết cặp” “Cooper”; hình bên phải: tách cặp theo kênh “trao đổi” 91 48 4.1 Một minh họa giản đồ T − P UGe2 tính cho Ts = 0, Tf = 52K, Pc = 1.6GP a, γ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867 Miền pha FS làm đậm Đường nét liền biểu thị đường chuyển pha loại hai FM-FS 134 4.2 Giản đồ pha mặt phẳng (t, r) γ = 0.49, δ = 0.84 136 luan an Mục lục Lời cam đoan Lời cám ơn Danh mục chữ viết tắt Danh sách hình v˜ e MỞ ĐẦU 1 TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan đồng tồn trật tự từ siêu dẫn hệ fermion nặng 1.1.1 Hiện tượng đồng tồn pha từ - siêu dẫn vật liệu fermion nặng 1.1.2 Một số quan sát thực nghiệm hợp chất Fermion nặng 1.1.3 Nghiên cứu lý thuyết hợp chất Fermion nặng 1.2 Sắt từ kim loại 1.2.1 Trật tự sắt từ hệ moment từ định xứ 1.2.2 Trật tự từ hệ spin linh động 1.3 Siêu dẫn lý thuyết BCS 1.3.1 Lược sử đời phát triển siêu dẫn 1.3.2 Lý thuyết BSC siêu dẫn 1.3.3 Lý thuyết BCS tổng quát 1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau chuyển pha 1.4.1 Lý thuyết Landau 1.4.2 Lý thuyết Ginzburg-Landau I: Trật tự Ising 1.4.3 Lý thuyết Ginzburg-Landau II: Trật tự phức siêu chảy 1.4.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau cho siêu dẫn 1.5 Thảo luận 4 10 11 19 22 22 27 33 39 40 49 52 55 58 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VI MÔ GINZBURG-LANDAU 2.1 Phương pháp hàm Green 2.1.1 Các hàm Green 2.1.2 Phương trình chuyển động cho hàm Green 2.1.3 Ứng dụng hàm Green cho lý thuyết siêu dẫn sắt từ 2.2 Phương pháp tích phân phiếm hàm 2.2.1 Biến số Grassmann 59 59 60 62 64 69 70 i luan an Mục lục 2.2.2 Hamiltonian hình thức luận 2.2.3 Áp dụng cho hệ siêu dẫn BCS 2.2.4 Phiếm hàm Ginzburg-Landau thành 2.3 Thảo luận phần 72 74 84 88 THIẾT LẬP PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG GINZBURG-LANDAU NHIỀU THÀNH PHẦN 3.1 Mơ hình ba tham số trật tự 3.1.1 Hamiltonian hình thức luận 3.1.2 Khử tham số kết cặp 3.1.3 Phiếm hàm Ginzburg-Landau ba thành phần 3.2 Các mơ hình đơn giản 3.2.1 Kênh mật độ 3.2.2 Kênh trao đổi 3.2.3 Kênh Cooper 3.3 Thảo luận 89 89 89 94 110 111 111 112 114 115 SỰ ĐỒNG TỒN TẠI CÁC TRẬT TỰ SẮT TỪ VÀ SIÊU DẪN TRONG CÁC HỢP CHẤT FERMION NẶNG 4.1 Nguồn gốc vi mô phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 4.2.1 Phiếm hàm lượng tự Ginzburg-Landau cho siêu dẫn sắt từ 4.2.2 Giản đồ pha từ gần phiếm hàm Ginzburg-Landau 4.3 Thảo luận 117 118 125 125 131 136 Phụ lục 142 A Tính hệ fermion hiệu dụng bậc hai kết cặp với trường phụ 143 B Khai triển hàm mũ chứa đạo hàm 151 C Các phép đạo hàm lên hàm mũ 163 Tài liệu tham khảo 177 ii luan an MỞ ĐẦU Trong chất sắt từ nhiệt độ Curie, Tc , spin điện tử hàng để tạo độ từ hóa Trong thời gian dài người ta cho tính siêu dẫn khơng hợp với tính sắt từ Quan điểm bén rễ từ lý thuyết vi mô siêu dẫn xuất 1957 Bardeen, Cooper, Schrieffer (BCS) Trong phạm vi lý thuyết BCS chuẩn, ngưng tụ siêu dẫn hình thành tác động lực hút dao động mạng liên kết điện tử có spin đối song thành cặp Cooper singlet Khi nguyên tử tạp chất từ đặt vào chất siêu dẫn truyền thống, trường cục bao quanh nguyên tử tạp chất ngăn cản hình thành cặp Cooper singlet [15], điều gây sụt giảm nhanh chóng nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn Tsc Tuy nhiên, vào khoảng năm 1980, người ta nhận thấy điều kiện đặc biệt trật tự siêu dẫn đồng tồn với trật tự phản sắt từ [86], spin điện tử lân cận xếp thành cấu hình đối song Chẳng hạn, chất phản sắt từ fermion nặng, mô men từ lưu động khơng có hiệu ứng làm giảm kết cặp lên cặp Cooper singlet tương tác trao đổi trung bình khơng Quan sát điện trở kháng không trạng thái sắt từ HoMo6 S8 đăng Lynn cộng [57], Genicon cộng [31] Rồi sau đó, thí nghiệm nhiễu xạ neutron tinh thể singlet HoMo6 S8 tiến hành Rossat cộng [71] xác nhận thêm lần quan sát Họ nhận thấy T < 0, 60K, với làm lạnh chậm, pha sắt từ xuất Cường độ từ trường pha sắt từ tăng lên sau đạt bão hòa khoảng T = 0, 4K, biểu thị nhiệt độ này, thăng giáng nhiệt khơng đáng kể Vật liệu có chuyển pha siêu dẫn T = 1, 82K chuyển pha từ T = 0, 67K vùng lân cận tái nhập tới trạng thái dẫn thường [57] Sự khám phá lần chất sắt từ UGe2 [74] có tính siêu dẫn (Tsc < Tc ) năm 2000 gây ngạc nhiên lớn Trong vật liệu này, chuyển siêu dẫn xảy nhiệt độ Tsc ngập sâu trạng thái sắt từ, tức hẳn nhiệt độ Curie Tc , mà không loại trừ trật tự sắt từ (ta gọi chất siêu dẫn sắt từ) Về sau, ba chất siêu dẫn sắt từ khác phát UIr [7], URhGe [10] UCoGe [44] Các vật liệu có đặc điểm chung trật tự sắt từ định mơ men từ 5f Uranium có đặc tính lưu động mạnh Thêm nữa, tính siêu dẫn xuất gần với từ tính khơng ổn định Sự đồng tồn tính siêu dẫn sắt từ vật liệu hiểu dạng mơ hình thăng giáng spin: Ở vùng lân cận điểm tới hạn lượng tử sắt từ, thăng giáng từ then chốt dàn xếp tính siêu dẫn cách ghép cặp điện tử thành cặp Cooper spin-triplet [25, 56], trạng thái kết cặp bình đẳng spin (L = 1, Sz = 1; L = 1, Sz = −1 L = 1, Sz = 0) Trong năm gần chứng phong phú cho thấy chế kết cặp bất thường tồn chất sắt từ có tính siêu dẫn [73, 29, 61] luan an MỞ ĐẦU Theo sát kết mà nhóm nghiên cứu nước thu được, Việt Nam GS Đỗ Trần Cát người triển khai nghiên cứu lý thuyết pha siêu dẫn pha sắt từ UGe2 dựa tính chất kết cấu trúc vùng lượng thu kết thú vị [20, 19] Các thành viên nhóm Hệ tương quan mạnh, Trung tâm Vật lý lý thuyết, Viện Vật lý bắt đầu nghiên cứu đồng tồn hai pha từ siêu dẫn UGe2 từ năm 2006 Họ thu kết bước đầu hai pha từ FM1 FM2 UGe2 [87] đề xuất chế siêu dẫn dựa trao đổi kích thích từ tách trường tinh thể mức Uranium định xứ [88] Với khám phá chất sắt từ siêu dẫn chủ đề nghiên cứu lĩnh vực từ tính siêu dẫn vạch Nghiên cứu chất sắt từ siêu dẫn giúp làm sáng tỏ thăng giáng từ làm mà kích thích tính siêu dẫn, tính chất mà chủ đề trung tâm chạy xuyên suốt họ vật liệu ngày đa dạng chất siêu dẫn fermion nặng, siêu dẫn đồng nhiệt độ Tsc cao chất siêu dẫn khám phá gần có thành phần FeAs [47] Cái nhìn lạ đóng vai trị chủ chốt sáng tạo vật liệu siêu dẫn Tuy nhiên, vấn đề hiểu chất thực chế đồng tồn tính siêu dẫn với sắt từ phức tạp, lời giải đầy đủ chưa có Đã có đề xuất kết hợp thăng giáng spin ngang dọc đóng vai trị quan trọng kể đến việc nghiên cứu vấn đề [83] Abrikosov [5] Mineev cộng [60] đề cập tính siêu dẫn sóng s kết từ tương tác điện tử điều đình mơ men định xứ trật tự có tính sắt từ Trong năm gần đây, nghiên cứu thực nghiệm khảo sát phụ thuộc chuyển pha vào áp suất từ trường ngoài, cơng trình lý thuyết nhóm nghiên cứu Đức, Mỹ, Nga, Nhật, Bulgaria tập trung tìm chế chuyển pha, chất pha phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha moment từ hóa tự phát vào thơng số vật liệu Nhiều chế chuyển pha khác đề xuất như: sóng điện tích sóng spin [90], trao đổi magnon [48], tương tác trao đổi mức định xứ [5] Tuy nhiên chất pha siêu dẫn (singlet hay triplet) chưa rõ, chế gây trật tự từ gây tranh cãi (do moment định xứ hay điện tử linh động), nguyên nhân gây siêu dẫn chưa xác định rõ ràng (do trao đổi phonon hay magnon hay sóng điện tích) Đặc biệt phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha độ từ hóa vào áp suất chưa nghiên cứu lý thuyết Tóm lại lý thuyết đồng tồn hai pha siêu dẫn sắt từ thách thức người nghiên cứu vật lý [22, 53] Bởi vậy, chọn hướng nghiên cứu làm chủ điểm với tiêu đề luận án: “Phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau đồng tồn pha hệ nhiều hạt” Sự xem xét thúc đẩy thực phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới lý thuyết hiệu dụng dựa trường kết cặp biểu diễn dạng tham số trật tự theo kênh khác Mục đích luận án hình thành phiếm hàm Ginzburg-Landau (GL) mà mơ tả đồng tồn nhiều pha Trong nghiên cứu chúng tôi, thông qua phép biến đổi HubbardStratonovich (HS), Hamiltonian tách thành kênh khả dĩ, nhận phiếm hàm phụ thuộc vào tham số trật tự Vì chúng tơi đến biểu diễn chung phiếm hàm GL cho hệ ba tham số trật tự thông qua tính tốn dựa vào hàm Green Dựa toán riêng siêu dẫn sắt từ luan an MỞ ĐẦU hệ fermion nặng dựa Uranium, chúng tơi rút biểu diễn thức cho phiếm hàm GL, sau sử dụng để nghiên cứu đồng tồn sắt từ siêu dẫn hệ UGe2 đồng thời tạo đồ thị cho thấy phụ thuộc tham số trật tự biểu thị miền pha cân Nội dung luận án trình bày chương: Chương 1, tổng quan Chương này, phần đầu trình bày tổng quan đồng tồn trật tự từ siêu dẫn hệ fermion nặng Phần lý thuyết sắt từ lý thuyết siêu dẫn Phần cuối trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau chuyển pha Chương 2, phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau Chương này, mục 2.1 chúng tơi trình bày tổng quan phương pháp hàm Green với ứng dụng cho hệ sắt từ siêu dẫn Mục 2.2, chúng tơi phát triển tốn siêu dẫn BCS việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để tính hàm phân bố hệ, thiết lập phiếm hàm lượng Ginzburg-Landau thành phần cho siêu dẫn BCS Chương 3, thiết lập phiếm hàm lượng Ginzburg-Landau nhiều thành phần Chương này, phần đầu xây dựng mơ hình ba tham số trật tự thiết lập phiếm hàm lượng Ginzburg-Landau cho ba tham số trật tự, phần sau xây dựng số mô hình đơn giản tương ứng với kênh riêng biệt Chương 4, đồng tồn trật tự sắt từ siêu dẫn hợp chất fermion nặng Trong chương này, trước tiên chúng tơi trình bày cách tiếp cận vi mô để rút phiếm hàm lượng GL hai thành phần Tiếp theo, dựa toán riêng siêu dẫn sắt từ hệ fermion nặng dựa Uranium, rút biểu diễn thức cho phiếm hàm GL hai tham số trật tự sắt từ siêu dẫn triplet sau sử dụng để nghiên cứu đồng tồn pha sắt từ siêu dẫn hệ UGe2 luan an 4.1 Nguồn gốc vi mô phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần ta viết lại phương trình (4.12) (4.13) dạng bậc hai chặt chẽ spinor bốn thành phần Ψ, đưa vào sau:  Ψ k+ Ψ † q   q k+  =  =  ψ↑ (k + q2 ) ψ↓ (k + q2 ) ψ↑† (−k + q2 ) ψ↓† (−k + q2 ) ψ↑† (k + q2 ) ψ↓† (k + q2 ) ψ↑ (−k + q2 ) ψ↓ (−k + q2 ) T , (4.14)  , (4.15) Bây giờ, Hamiltonian trường trung bình viết lại dạng song tuyến tính HM F = − X † q M2 |∆|2 q + , Ψ k+ D(k, k′ , q)Ψ k′ − , τ + k,k′ ,q 2 Vex VC     (4.16) D(k, k′ , q) ma trận cấp × cho bởi,   D(k, k′ , q) =    −ǫ↑↑ − Φ↑↑ −Φ↑↓ F↑↑ F↑↓ −Φ↓↑ −ǫ↓↓ − Φ↓↓ F↓↑ F↓↓ ∗ ∗ F↑↑ F↑↓ ǫ↑↑ + Φ↑↑ Φ↑↓ ∗ ∗ F↓↑ F↓↓ Φ↓↑ ǫ↓↓ + Φ↓↓      (4.17) Trong phương trình (4.17), hai khối ma trận bậc hai nằm đường chéo ma trận D(k, k′ , q) tương ứng hệ siêu dẫn triplet thuần, hai khối ma trận nằm đường chéo chứa trường sóng mật độ spin M kết cặp fermion hai vùng điện tử lỗ trống Ở đây, để đơn giản cách viết ký hiệu ngắn sau sử dụng: Fσσ′ = 2γC2 ∆σ1 σ2 (−k′ , k, q, τ ), ∗ ∗ ′ Fσσ ′ = 2γC ∆σ σ (−k, k , −q, τ ) 2 (Φ)σσ′ = γex [(M.σ)∗σ′ σ (−k, −q) + (M.σ)σσ′ (k, q)] (4.18) Để nhận lượng tự do, ta bắt đầu với hàm phân bố tắc lớn hệ Nó biểu diễn theo tích phân phiếm hàm sau Hàm phân bố tắc lớn hệ biểu diễn theo tích phân phiếm hàm sau Z= ✂ h i    [Dψ] Dψ † exp −  ✂β dτ " XX σ h i  #  ψσ† (k, τ )∂τ ψσ (k, τ ) + H ψ † , ψ (τ ) k 121 luan an   (4.19) 4.1 Nguồn gốc vi mô phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần Với Hamiltonian trung bình phương trình (4.16), tích phân phiếm hàm phương trình (4.19) có dạng Gaussian, trường fermion lấy tích phân Khi lượng tự GL nhận theo cách dễ dàng, mang đến M2 |∆|2 + − F =+ Vex VC ✂ ln det [G0 ]−1 Ω   (4.20) Trong phương trình (4.20) hàm Green được✁ cho [G0 ]−1 (k, k′ , q) = iωn I4×4 + P P P P P D(k, k′ , q), I4×4 ma trận đơn vị cấp 4×4, Ω ≡ β1 ωn V1 k σi =↑,↓ α=e,h qi ,ωνi ký hiệu tổng theo xung lượng, tần số Matsubara, spin số vùng điện tử lỗ trống Ở đây, tần số Matsubara boson ký hiệu ων = 2νπT , ν = 0, ±1, ±2, , tần số Matsubara fermion ký hiệu ωn = (2n + 1) πT , n = 0, ±1, ±2, Nhiệt độ nghịch đảo thể tích hệ ký hiệu tương ứng β = 1/kB T V Vex số tương tác trao đổi VC số kết cặp siêu dẫn triplet Các đóng góp logarithmic phương trình (4.20) khai triển hàm số (một hệ toán tử vết), nghĩa  ln det 12 [G0 ]−1   1 [G0 ]−1   h i−1 X Tr [G]N , + ln [Ge0 ]−1 + ln Gh0 + = ln N ≥1 = Tr ln (4.21) [G] N = (−1)N −1 N1 " Ge 0 Gh ! Φee F eh F he Φhh !#N , (4.22) Φee = −Φ, F eh = F Φhh = Φ, F he = F ∗ Ge = Ge0 Gh = Gh0 , toán tử vết hiểu tốn tử chéo hóa spin, xung lượng tần số mà phần tử ma trận cho hàm Green tự Fermion tự Lấy vết ma trận, giữ lại số hạng tham số trật tự kết cặp có spin, xung lượng tần số boson Matsubara khép kín, ta nhận kết sau: khai triển bậc 122 luan an 4.1 Nguồn gốc vi mô phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần ✂ Tr [G]1 Ω = XXX X α1 σ1 k,qi ωn ,ωνi = 2γd2 Gασ11σ1 Φσα11σα11 XXX X α1 σ1 k,qi ωn ,ωνi Gασ11σ1 (M.σ)σσ′ (k, q), (4.23) khai triển bậc hai ✂ Tr [G]2 Ω X X X X  α1 α α α α α  G σ1 σ Φ σ σ G σ σ Φ σ2 σ =− { α1 σ1 σ2 k,qi ωn ,ωνi X X X  X + σ1 σ2 k,qi ωn ,ωνi α1 , α2 α1 6= α2  = − γd2 h  2 X X    σi qi ,ωνi X α1 = e, h X k,ωn  Gασ11σ1 (k, ω n )Gασ21σ2 (k − q1 , ωn − ων1 )   i × (M.σ)∗σ1 σ2 (q1 , ων1 )(M.σ)σ2 σ1 (−q1 , −ων1 )      X X  1 2 2γ −  C  σi qi ,ωνi   h  Gασ11σ1 Fσα11σα22 Gασ22σ2 Fσα22σα11 } X α1 , α2 = e, h α1 6= α2     X  α1 α2 Gσ1 σ1 (k, ω n )Gσ2 σ2 (k − q1 , ω n − ων1 )   k,ωn  i × (∆)∗σ1 σ2 (q1 , ων1 )(∆)σ2 σ1 (−q1 , −ων1 ) , khai triển bậc ba 123 luan an (4.24) 4.1 Nguồn gốc vi mô phiếm hàm Ginzburg-Landau hai thành phần ✂ Tr [G]3 Ω = XX X e e eh h he Gσ1 σ1 Φee σ1 σ2 Gσ2 σ2 Fσ2 σ3 Gσ3 σ3 Fσ3 σ1 σi k,q3 ωn ,ων3 +3  XX X σi k,q3 ωn ,ων3 =− h he e eh Ghσ1 σ1 Φhh σ1 σ2 Gσ2 σ2 Fσ2 σ3 Gσ3 σ3 Fσ3 σ1  X X   γd2  σi qi ,ωνi  −2 γd2   2 X 2γC2 2γC2 k,ωn 2 X k,ωn h  Geσ1 σ1 (k, ωn )Geσ1 σ1 (k, ωn )Ghσ3 σ3 (k − q3 , ωn − ων3 )   Ghσ1 σ1 (k, ωn )Ghσ1 σ1 (k, ωn )Geσ3 σ3 (k − q3 , ωn − ων3 )  i ×(M.σ)σ1 σ1 (0, 0) (∆)∗σ1 σ3 (q3 , ων3 )(∆)σ3 σ1 (−q3 , −ων2 ) , (4.25) khai triển bậc ✂ Tr [G]4 Ω =− +4  X X X X α1 =e,h σi =↑,↓ k,qi ωn ,ωνi X α1 , α2 = e, h α1 6= α2 X + α1 , α2 = e, h α1 6= α2 =− × − h X X X X X σi =↑,↓ k,qi ωn ,ωνi X X X σi =↑,↓ k,qi ωn ,ωνi  γd2 σi qi ,ωνi Gασ11σ1 Φσα11σα21 Gασ21σ2 Φσα21σα31 Gασ31σ3 Φασ31σα41 Gασ41σ4 Φσα41σα11 4 X X α1 =e,h k,ωn Gασ11σ1 Φσα11σα21 Gασ21σ2 Φσα21σα31 Gασ31σ3 Fσα31σα42 Gασ42σ4 Fσα42σα11 Gασ11σ1 Fσα11σα22 Gασ22σ2 Fσα22σα31 Gασ31σ3 Fσα31σα42 Gασ42σ4 Fσα42σα11 Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ21σ2 (k − q1 , ωn − ων1 ) ×Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ41σ4 (k − q3 , ωn − ων3 ) ih (M.σ)∗σ1 σ2 (q1 , ων1 )(M.σ)σ2 σ1 (−q1 , −ων1 ) X X σi qi ,ωνi h  2 γd2  2 2γC2 X α1 , α2 = e, h α1 6= α2 X k,qi  ! Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ21σ2 (k − q1 , ωn − ων1 ) ×Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ42σ4 (k − q3 , ωn − ων3 ) ih i × (M.σ)∗σ1 σ2 (q1 , ων1 )(M.σ)σ2 σ1 (−q1 , −ων1 ) (∆)∗σ1 σ4 (q3 , ων3 )(∆)σ4 σ1 (−q3 , −ων3 ) − X X σi qi ,ωνi h  4 2γC X α1 , α2 = e, h α1 6= α2 X k,qi i (M.σ)∗σ1 σ4 (q3 , ων3 )(M.σ)σ4 σ1 (−q3 , −ων3 ) Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ22σ2 (k − q1 , ωn − ων1 ) ×Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ42σ4 (k − q3 , ωn − ων3 ) ih i × (∆)∗σ1 σ2 (q1 , ων1 )(∆)σ2 σ1 (−q1 , −ων1 ) (∆)∗σ1 σ4 (q3 , ων3 )(∆)σ4 σ1 (−q3 , −ων3 ) 124 luan an ! ! 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 (4.26) Ở gần điểm tới hạn, tham số trật tự sắt từ siêu dẫn đề nhỏ, gần phiếm hàm lượng tự GL thỏa mãn Trong trường hợp này, cách khai triển tác dụng hiệu dụng theo tham số trật tự {M, ∆} tới bậc bốn, bao gồm số hạng phép tính đối xứng hệ giữ lại số hạng đơn giản đủ để nhận kết không tầm thường, ta nhận phiếm hàm lượng tự Ginzburg-Landau với tham gia hai tham số mô tả mối quan hệ pha sóng mật độ spin pha siêu dẫn f (M, ∆) = αf |M.σ|2 + βf |M.σ|4 + αs |∆|2 + βs |∆|4 +uf s (M.σ) |∆|2 + vf s |M.σ|2 |∆|2 (4.27) Trong phương trình (4.27), hai số hạng mô tả phần lượng tự pha sắt từ chuẩn, hai số hạng mô tả tính siêu dẫn M = H = hai số hạng cuối mô tả tương tác tham số trật tự sắt từ M tham số trật tự siêu dẫn ∆ Các biểu thức vi mô hệ số GL tích hàm Green điện tử lỗ trống Chúng tính tổng theo tần số Matsubara xung lượng k Fermion dựa kỹ thuật khai triển chuỗi Taylor ứng dụng lý thuyết thặng dư 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 Trong mục biến đổi phiếm hàm phương trình (4.27) thành phiếm hàm giống với phiếm hàm GL tượng luận đề xuất Shopova Uzunov [78] phương trình (1.7) Sau chúng tơi sử dụng cách tiếp cận trình bày tham khảo [78] để nghiên cứu đồng tồn trật tự từ siêu dẫn hệ UGe2 khơng có từ trường ngồi 4.2.1 Phiếm hàm lượng tự Ginzburg-Landau cho siêu dẫn sắt từ Ở ta quan tâm đến pha đồng đều, nghĩa tham số trật tự d M không phụ thuộc vào tọa độ không gian x Vì vậy, ta khơng cần tính đến số hạng bất đẳng hướng bất biến Landau thêm vào với số hạng gradien phiếm hàm lượng tự GL siêu dẫn không truyền thống Để trình bày cách rõ ràng nghiên cứu đồng tồn trật tự siêu dẫn Meissner trật tự sắt từ, ta tập trung vào tốn riêng mà có đủ thơng tin từ 125 luan an 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 liệu thực nghiệm để tạo so sánh chi tiết tham số lý thuyết liệu thực nghiệm Bây ta xây dựng phiếm hàm lượng tự GL riêng cho UGe2 phương trình (4.27) Từ định nghĩa tham số trật tự mục 4.1, ta tìm ∆k ∆†k = |d|2 σ0 + i (d × d) σ (4.28) (M.σ) (M.σ)† = M σ0 UGe2 sắt từ có cấu trúc trực giao với mô men từ định hướng theo trục a tinh thể Nếu ta chọn hệ trục tọa độ x//b, y//c, z//a a trục dễ M = (0, 0, M ) Bởi ảnh hưởng trường trao đổi M mạnh, nên có phá vỡ kết cặp, có cặp Cooper với spin song song tồn Trong trường hợp ta viết véc tơ d dạng d = (d1 , d2 , 0), nghĩa spin cặp Cooper trỏ theo hướng M Khi ta có |M.σ|4 |∆|2 |∆|4 (M.σ) |∆|2 |M.σ|2 |∆|2 = M σ0 = φ2 σ0 − φ1 φ2 sin θ.σz = φ4 σ0 − (2φ1 φ2 sin θ)2 σ0 − 4φ2 φ1 φ2 sin θ.σz = M φ2 σz − 2M φ1 φ2 sin θ.σ0 = M φ2 σ0 − 2M φ1 φ2 sin θ.σz (4.29) φ = |d| ,φj = |dj |, θ = θ1 − θ2 góc pha số phức d1 = φ1 eiθ1 d2 = φ2 eiθ2 Thay biểu thức (4.29) vào phương trình (4.27), ta nhận phiếm hàm lượng tự Ginzburg-Landau cho siêu dẫn sắt từ triplet sau fGL (M, φ1 , φ2 , θ) = αf |M|2 σ0 + βf |M|4 σ0 +αs +βs h   φ21 + φ22 σ0 − 2φ1 φ2 sin θ.σz φ21 + φ22 h  2 i   +uf s |M| φ21 + φ22 σz − |M| φ1 φ2 sin θ.σ0 h   σ0 + 4φ21 φ22 sin2 θ.σ0 −4 φ21 + φ22 φ1 φ2 sin θ.σz  i +vf s |M|2 φ21 + φ22 σ0 − |M|2 φ1 φ2 sin θ.σz i i (4.30) Sử dụng điều kiện cân pha pha đồng √ tồn trật tự siêu dẫn sắt từ (pha FS), cho bởi: sin θ = −1, φ1 = φ2 = φ/ 2, ta viết lại phiếm hàm lượng tự GL (4.30) dạng rút gọn sau fGL (M, φ) = af M + bs bf M + as φ2 + φ4 + γ0 M φ2 + δ0 M φ2 2 126 luan an (4.31) 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 af = αf , bf = 2βf , γ0 = 2uf s , as = 2αs , bs = 8βs , δ0 = 2vf s (4.32) Phiếm hàm phương trình (4.31) giống hệt phiếm hàm GL tượng luận phương trình (1.7) đề xuất Shopova Uzunov [78] ta bỏ qua ảnh hưởng bất đẳng hướng từ cặp Cooper tinh thể, đồng thời giới hạn xem xét tham số trật tự đồng Tuy nhiên, cần nhấn mạnh phiếm hàm phương trình (4.31) có nguồn gốc vi mơ Nó xây dựng dựa lý thuyết trường trung bình hình thức luận tích phân phiếm hàm Các số cặp với tham số trật tự sắt từ siêu dẫn phiếm hàm vi mơ tích hàm Green tự điện tử lỗ trống, xác định từ mục 4.1 Chúng tính tổng theo tần số Matsubara fermion ωn véc tơ sóng k dựa kĩ thuật khai triển chuỗi Taylor ứng dụng định lý thặng dư sau: Gọi N (0) mật độ trạng thái mức lượng Fermi xác định N (0) ≡ Z(EF ) = 2π  2m ~2 3/2 1/2 EF = mkF π ~2 = 3n 2µ (4.33) Trong phần này, giới hạn nhiệt độ khơng thể tích vơ hạn hiểu V P k e (ξk ) limβ→∞ ∂f∂ξ k → 8π ✂ dk; k = −δ (ξk ) ! k2 kF2 = −δ − 2m 2m = − δ (|k| − kF ) vF (4.34) Thêm nữa, xung lượng trao đổi qi giả thiết nằm giới hạn sóng dài |qi | ≪ kF Chọn hệ tọa độ cầu không gian k với góc q k góc cực θ, ta có 127 luan an 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 = |k| |q| cos θ = |k| |q| λ; k.q 8π dk = 8π ✁ k ✂∞ ✂π ✂2π k dk sin θdθdϕ k=0 θ=0 ϕ=0 ✂∞ = 4π k dk ✂+1 dλ; k=0 (4.35) −1 |q|2 ≪ |q| vF 2m (4.36) Tiến hành lấy tích phân theo xung lượng tần số fermion Matsubara ta nhận αf = Vd  − γd2 = 2 Vd X α1 , α2 = e, h α1 6= α2 X X α1 Gσ1 σ1 (k, ω n )Gασ21σ2 (k − q1 , ωn − ων1 ) V k β ωn !# " ων1 vF |q1 | N (0) 1− arctan + vF |q1 | ων1 !# "  2 N (0) ων1 vF |q1 | 1+ arctan − − γd vF |q1 | ων1  2 γd2   2 N (0) |q| ων1 ≈ − γd2 ×π +O Vd vF |q1 | c 128 luan an !2  ; (4.37) 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 βf  = −2 γd2 × 4 X α1 , α2 = e, h α1 6= α2 ≈ −2  ×  4 γd2 X1X V k β ωn N (0) × ✂1 −1 dλ1 dλ3 ×  ×  4 γd2 N (0) × ✂1 −1 ! (iων1 − iων3 − vF |q1 | λ1 + vF |q3 | λ3 ) iων1 − (iων1 − vF |q1 | λ1 ) (iων1 − vF |q1 | λ1 )2 − −2 Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ21σ2 (k − q1 , ωn − ων1 ) ×Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ41σ4 (k − q3 , ωn − ων3 )  iων3  + (iων3 − vF |q3 | λ3 ) (iων3 − vF |q3 | λ3 )2 dλ1 dλ3 × (iων1 − iων3 + vF |q1 | λ1 − vF |q3 | λ3 ) iων1 − (iων1 + vF |q1 | λ1 ) (iων1 + vF |q1 | λ1 )2  iων3  − + (iων3 + vF |q3 | λ3 ) (iων3 + vF |q3 | λ3 )2 1 × vF |q1 | vF |q3 | !   !# "  π ων1 ων3 π + , × vF |q1 | vF |q3 | ≈ 4N (0) × (4.38) với trợ giúp phương trình (1.622.3) (1.644.2) từ tham khảo [36] để đạt đẳng thức cuối phương trình (4.37) (4.38) αs VC  2 − 2γC = =  2 2γC2 X α1 , α2 = e, h α1 6= α2 N (0) T ln TC   X X α1 (k, ωn )Gασ22σ2 (k − q1 , ωn − ων1 ) G V k β ωn σ1 σ1 +  2 2γC N (0) 2 ζ(3)υF2 q2 , 6π T 129 luan an (4.39) 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 TC =  2γωD π  C N (0) −V e (4.40) , với trợ giúp phương trình ( 3.527.3) từ tham khảo [36] để đạt dòng thứ hai đẳng thức (4.39) βs =− ×  4 2γC X1X V k β ωn X α1 , α2 = e, h α1 6= α2 Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ22σ2 (k − q1 , ωn − ων1 ) ×Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ42σ4 (k − q3 , ωn − ων3 ) " 4 β2 1 = − 2γC2 × 2N (0) ζ (3) π 31 − 192 |q3 | |kF | m ! !2 31 β4 ζ (5) − π 192 |q1 | |kF | m !2  β4 ζ (5) π4 (4.41) uf s  = 2γd2 2γC2 2  X X V k β ωn  −  = 2γd2 2γC2 2 Ghσ1 σ1 (k, ωn )Ghσ1 σ1 (k, ωn ) ×Geσ3 σ3 (k − q3 , ωn − ων3 ) Geσ1 σ1 (k, ωn )Geσ1 σ1 (k, ωn ) ×Ghσ3 σ3 (k − q3 , ωn − ων3 ) × 2N (0) β2 q2 ζ(3) ; π2 2m ! !   (4.42) vf s  = γd2 × 2  X 2γC2 2 α1 , α2 = e, h α1 6= α2 X1X V k β ωn Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ21σ2 (k − q1 , ωn − ων1 ) Gασ11σ1 (k, ωn )Gασ42σ4 (k − q3 , ωn − ων3 ) ! " β2 ζ (3) π2 # 31 β 31 β 2 − × ζ (5) (|q1 | vF ) − × ζ (5) (|q3 | vF ) 24 32 π 24 32 π =4  2 γd2  2 2γC2 N (0) (4.43) 130 luan an 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 4.2.2 Giản đồ pha từ gần phiếm hàm Ginzburg-Landau Từ tính tốn trên, dễ thấy as = Λs (T − Ts ), af = Λf (T − Tf ) Λs , Λf tham số dương Ts nhiệt độ tới hạn chuyển pha loại hai chuẩn xảy M = H = 0, Tf nhiệt độ tới hạn sắt từ Tham số γ0 chất siêu dẫn sắt từ lấy giá trị dương âm Nói chung, giá trị tham số (Ts , Tf , as , bs , af , bf , γ0 , δ0 ) phụ thuộc vào tham số nhiệt động nhiệt độ T áp suất P Như thảo luận trên, ta viết M = (0, 0, M ), M = ±|M| độ từ hóa dọc theo trục z Bởi tương đương mặt nhiệt động trạng thái vật lý hướng lên hướng xuống (±M ) nên phân tích thực với M ≥ Ở nhiệt độ chuyển sắt từ Tf giả thiết phụ thuộc vào áp suất P Khai triển Tf (P ) theo chuỗi Taylor quanh điểm Pc mà tiến tới khơng, giữ lại số ′ hạng không không đầu tiên, mang đến Tf (P ) = Tf (Pc − P ) = Tf (0) (1 − P/Pc ) Sự phụ thuộc tuyến tính Tf vào P phù hợp xác với phụ thuộc áp suất đo thực nghiệm U Ge2 Từ phương trình (4.31) ta tìm M = (Λf /bf )1/2 [Tf (P ) − T ]1/2 (4.44) Chúng ta định nghĩa lại lượng tự (4.31) dạng thuận tiện không thứ nguyên f = fGL / (bf M04 ), M0 = [Λf Tf /bf ]1/2 giá trị độ từ hóa M tương ứng với phân hệ từ khiết d = T h= P = andi Tf = Tf (0) Tham số trật tự giả định có tỉ lệ m = M/M0 ϕ = φ/ (bf /bs )1/4 M0 kết lượng tự trở thành f = rϕ2 + 21 ϕ4 + tm2 + 21 m4 + γϕ2 m + δϕ2 m2 (4.45) Các tham số không thứ nguyên t, r γ phương trình (4.45) cho r = κ T˜ − T˜s (P ) ; t = T˜ − T˜f (P ) = T˜ − + P˜   (4.46) 1/2 , γ = γ0 / [Λf Tf bs ]1/2 , δ = δ0 / (bs bf )1/2 P˜ = P/Pc κ = Λs bf /Λf b1/2 s T˜ = T /Tf , T˜f (P ) = Tf (P )/Tf T˜s = Ts (P )/Tf nhiệt độ thu gọn Bây giờ, ta áp đặt điều kiện pha cân ∂f (µ0 ) = 0, ∂µα (4.47) 131 luan an 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 pha bền ∂ f (µ0 ) > 0, ∂µα ∂µβ (4.48) (trong µα ≡ (M, ϕ1 , ϕ2 , θ1 , θ2 ) µ0 kí hiệu pha cân tương ứng với cực tiểu lượng tự do) lên hệ có lượng tự cho (4.45) để tìm kiếm pha có đồng tồn trật tự sắt từ siêu dẫn Khi r < 0, có số pha siêu dẫn (m = 0, ϕ > 0) số pha hỗn hợp khác (m 6= 0, ϕ > 0) Tuy nhiên chúng pha khơng bền, ta không xem xét chúng cách chi tiết Khi r > , nghĩa là, T > Ts , có ba pha bền: • pha dẫn thường (N): tồn ϕ = m = điều kiện bền t ≥ 0, r ≥ 0; • pha sắt từ (FM): tồn ϕ = 0, m = (−t)1/2 > 0, t < bền với điều kiện r ≥ r ≥ δt + γ (−t)1/2 ; • pha đồng tồn trật tự từ siêu dẫn (FS): cho sin θ = −1 (khi sin θ = 1, ta có miền pha khác√tương đương mặt nhiệt động ta không xem xét đây), ϕ1 = ϕ2 = ϕ/ tham số siêu dẫn thỏa mãn phương trình ϕ2 = −r + γm − δm2 , (4.49) độ từ hóa m nghiệm phương trình   − δ m3 + 3γδm2 +2(t − δr − γ2 )m + γr = (4.50) Các điều kiện bền cho miền pha FS cho phương trình (4.49) (4.50) κ(T˜s − T˜) + 2γm − δm2 ≥ 0, γm ≥ 0, 132 luan an 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2  − δ m2 + γδm + T˜ + t − δr ≥  Trước tiên ta vẽ đồ thị biểu thị phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha sắt từ siêu dẫn TF S (P ) vào áp suất Từ (4.49) điều kiện tồn pha FM, suy đường chuyển pha loại hai TF S (P ) tách pha FM FS thỏa mãn phương trình T˜F S (P˜ ) = T˜s + κδ t(T˜F S , P˜ ) + γ κ h −t(T˜F S , P˜ ) i1/2 (4.51) Khi T˜s = 0, đường cong T˜F S (P˜ ) cắt trục P˜ hai điểm có tọa độ: (P˜0C = 1− γδ2 ; T˜F S = 0) P˜0C ′ = 1; T˜F S = , có cực đại điểm (T˜m ; P˜m ) nhận cách đạo hàm hai vế phương trình (4.51) theo P˜ ∂ T˜F S = ∂ P˜ ∂ T˜S ∂ P˜ + 1− δ κ δ κ − + γ 2κ γ κ h h −t(T˜F S , P˜ ) −t(T˜F S , P˜ ) i−1/2 i−1/2 (4.52) Đặt ∂∂TPF˜S = 0, lưu ý ∂∂TP˜S = T˜S khơng phụ thuộc vào P˜ ta suy t(T˜m , P˜m ) = γ2 − 4δ Thế ngược giá trị vào (4.51) ta nhận tọa độ điểm cực đại đường cong T˜F S (P˜ ) ˜ ˜  T˜ m P˜m γ = T˜s + 4κδ = − T˜m − (4.53) γ2 4δ Để phác thảo giản đồ T − P UGe2 ta cần biết thông tin giá trị Pc ; Tf ; Ts ; γ/κ; δ/κ Từ giản đồ pha thực nghiệm [74, 43, 85, 38], ta có: Pc = 1, 6GP a, P0C = 1, 05GP a, Tf = 52K, Tm ≈ 0, 8K and Pm ≈ 1, 2GP a Các chứng thực nghiệm khơng có pha siêu dẫn tồn tách biệt với pha sắt từ UGe2 Điều ngụ ý nhiệt độ tới hạn Ts trạng thái siêu dẫn nhỏ, coi Ts = Sử dụng tham số này, với Ts = 0, ta nhận γ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867 Pm = 1.438GP a Các giá trị phù hợp tương kết thực nghiệm Giản đồ T − P UGe2 hình 4.1 Tiếp theo, ta tìm miền cân pha thông qua việc khảo sát phụ thuộc r vào t Từ điều kiện tồn pha FS (4.50), ta biểu diễn r hàm (m, t) γ, δ số 133 luan an 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 Hình 4.1.: Một minh họa giản đồ T −P UGe2 tính cho Ts = 0, Tf = 52K, Pc = 1.6GP a, γ/κ = 0.1089, δ/κ = 0.1867 Miền pha FS làm đậm Đường nét liền biểu thị đường chuyển pha loại hai FM-FS r(t) = m δm−γ/2 h (1 − δ ) m2 + 23 γδm + (t − i γ2 ) (4.54) Ở ta sử dụng thông tin cho cho ba pha khác để phác thảo giản đồ pha (t, r) biểu thị miền cân pha N, FM, FS Trước hết ta tìm biểu thức biểu thức lượng tự cân pha FS, FM Đặt điều kiện tồn pha FS, FM vào phương trình (4.45) thay r (4.54), ta nhận fF S = −    m m4 + γδm3 2 − δ (δm − γ/2) "  +2 t 1−δ   # ! γ2  γ2 m − 2γδtm + t t − −  fF M = − t2 (4.55) (4.56) Tiếp theo, ta tìm điểm ba mà giao điểm ba đường biên tách miền cân bền pha N, FM FS Tọa độ điểm ba thỏa mãn phương trình fF S = fF M = fN = (4.57) ta nhận tọa độ điểm ba sau 134 luan an 4.2 Sự đồng tồn trật tự siêu dẫn sắt từ UGe2 ( tB =0 γ2 rB = 4(δ+1) , (4.58) γ phải giá trị cân đường biên miền ổn định m = 2(δ+1) γ pha FM FS Đặt m = 2(δ+1) vào phương trình (4.54) ta nhận đường chuyển pha pha FM pha FS bậc dọc theo đường cân BC Nó cho phương trình r1 (t) = γ2 4(δ+1) (4.59) −t Mặt khác, đường chuyển pha pha FM pha FS nhận m = (−t)1/2 giá trị cân Vì đường cong chuyển pha pha FM pha FS cho hệ thức √ r2 (t) = γ −t + δt (4.60) Kết giao điểm C r1 (t) r2 (t) điểm tới hạn chuyển pha loại hai, có tọa độ   tC  rC γ = − 4(δ+1) 2 = (4.61) γ (2+δ) 4(δ+1)2 Đường biên miền pha cân ổn định FM N thỏa mãn phương trình fF M = fN = (4.62) suy t = (4.63) Đường chuyển pha pha N pha FS cho phương trình 135 luan an