Bài giảng toán cao cấp 2

Bài giảng TOAN CAO CAP ( Tóm lược ) Vi tích phân hàm biến , vi phân hàm nhiều biến , tích phân bội 2,3 , phương trình vi phân NỘI DUNG CHÍNH Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Giới hạn liên tục hàm hai biến Đạo hàm riêng vi phân cấp Ứng dụng: tính gần Đạo hàm riêng vi phân cấp cao Công thức Taylor Đạo hàm theo hướng Gradient Đạo hàm riêng vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng vi phân hàm ẩn Ứng dụng đạo hàm riêng Cực trị tự hàm f(x,y) Điều kiện đủ qua Δ dạng toàn phương 10 Cực trị có điều kiện Định lí Lagrange, điều kiện đủ dạng toàn phương 11 Giá trị lớn nhất, bé hàm f(x,y) miền đóng, bị chặn Chương Tích phân bội Các mặt bậc 2 Tích phân kép Định nghĩa cách tính Đổi biến tích phân kép Đổi sang tọa độ cực Ứng dụng tích phân kép Tích phân bội Định nghĩa cách tính Đổi biến tích phân bội Đổi sang tọa trụ, tọa độ cầu Ứng dụng tích phân bội Chương Phương trình vi phân Các khái niệm Bài toán Cauchy, nghiệm tổng quát Phương trình vi phân cấp PTVP có biến phân ly, PTVP đẳng cấp, PTVP toàn phần, PTVP tuyến tính cấp PTVP Bernoulli PTVP cấp giảm cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao Chương VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN I Giới hạn dãy số ( ) Định nghĩa : Ta gọi ánh xạ u : N ⟶ R dãy số ký hiệu Ví dụ : ; ; … Giới hạn dãy số Định nghĩa : a Dãy số : ( ) có giới hạn (hay tiến dần tới ) n tiến dần vô | Ký hiệu : hay đơn giản ⟶ ⟶ b Dãy số gọi tiến dần tới số L dãy số hay ⟶ ⟶ c Dãy số gọi tiến dần tới : d Dãy số gọi tiến dần tới | tiến dần tới , ký hiệu : : Tính chất : Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương tổng hiệu tích thương giới hạn giới hạn bên phải “tồn số thực” ( nhanh ta nói “tồn hữu hạn” ) Giới hạn dạng u(n) mũ v(n) : ( ) ( ) ⟶ a Nói chung : u ⟶ a v ⟶ b ( a ,b R , a > ) u mũ v tiến tới a mũ b b Để tính ( ) ( ) ta lấy loga Ne-pe vế sử dụng công thức : ⟶ ⟶ ( ) ( ) = ⟶ [ ( ) ] ( ) Dãy vô bé dãy vô lớn Định nghĩa : a Dãy số gọi vô bé ⟶ b Dãy số gọi vô lớn | | ⟶ Một số kết 1) ⟶ √ | | 2) ⟶ [ 3) ⟶ 4) ⟶ ( ) 5) √ ⟶ 6) Dãy vô lớn xếp theo cấp “cao dần” : với , a > ( p số dương ?) ( Có nghĩa giới hạn thương dãy sau dãy trước tiến dần tới ) “Dần tới 0” có giới hạn Ví dụ : , thương dãy trước dãy sau ⟶ ⟶ II Giới hạn hàm số Hàm số sơ cấp hàm số siêu việt Các hàm số : , , , , , … hàm số sơ cấp Nếu hàm số có từ hàm cách áp dụng số hữu hạn phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa ,lấy hàm hợp lấy hàm ngược gọi hàm số sơ cấp Các hàm hàm số sơ cấp gọi hàm siêu việt Tuy định nghĩa xác giáo trình đề cập đến loại hàm số siêu việt nên hàm số cho giáo trình khơng phải loại hàm số sơ cấp Hai loại hàm số siêu việt : a ( ) ( ) ( ) ( ) b ( ) [ ( ) ( ) Ví dụ : ( ) ( ) , ( ) [ hàm số siêu việt ( ) loại nên hàm số sơ cấp Định nghĩa giới hạn hàm số Sau chữ A ký hiệu cho số thực , a Hàm số f(x) gọi có giới hạn x tiến dần tới A với dãy số mà ⟶ dãy số f( ) ⟶ ⟶ Ký hiệu : ( ) ⟶ b Hàm số f(x) gọi có giới hạn L x ⟶ A hàm số ( ) có giới hạn x ⟶A Ký hiệu : ( ) ( L số thực ) ⟶ c Hàm số f(x) gọi có giới hạn x ⟶ A với dãy số mà ⟶ dãy số f( ) ⟶ Ký hiệu : ( ) ⟶ d Hàm số f(x) gọi có giới hạn x ⟶ A x ⟶ A với dãy số mà ⟶ dãy số f( ) ⟶ ⟶ Ký hiệu : ( ) ⟶ Tính chất : 1) Nếu hàm số sơ cấp f(x) xác định doạn [b,c] chứa a f(x) ⟶ f(a) x ⟶ a 2) Giới hạn tổng hiệu tích thương hai giới hạn giới hạn tổng hiệu tích thương giới hạn giới hạn bên phải tồn hữu hạn ( nghĩa tồn số thực ,khác mẫu số ) 3) Giới hạn hàm hợp : Khi x ⟶ A u(x) ⟶ B x ⟶ B mà f(x) ⟶ L f(u(x)) ⟶ L x ⟶ A Nói cách khác : Nếu ( ) ( ) ( ( )) ⟶ ⟶ ⟶ Từ tính chất ta suy : Nếu ( ) : ⟶ ⟶ √ ( ) √ ( ) ⟶ ⟶ ( ) ⟶ ( ) ( ) ⟶ ⟶ ( ) … ( ) ( ) R , a > ) u mũ v tiến tới a mũ b : 4) Giới hạn hàm siêu việt u mũ v : a Nói chung : u ⟶ a v ⟶ b ( a ,b ( ) ⟶ b Để tính ( ) ⟶ ⟶ ( ) ⟶ ( ) ( ⟶ ( )) ⟶ ( ) ta lấy loga Ne-pe vế : ( ) ( ) ( ) ⟶ ( ) ⟶ ( ( ) ( )) Hoặc sử dụng công thức : ⟶ ( ) Một số kết 1) ( ) ⟶ 2) 3) ⟶ 4) ⟶ 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) …  ( = ⟶ [ ( ) ] ( ) với đa thức ( ) có bậc lớn hay ( ⟶ ( ) ) ) ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ Chú ý : Các công thức ta thay x biểu thức u(x) miễn dần tới giá trị tương ứng x Chẳng hạn với công thức ta có : ( ( )) ( )⟶ ( ) Có nghĩa : ( ) ⟶ ⟶ ( ( )) ( ) III Dạng xác định dạng vô định giới hạn Dạng xác định : 1) Nếu f(x) hàm số sơ cấp xác định a : ( ) dạng xác định ⟶ ( ) ⟶ ( ) 2) Các dạng giới hạn sau xác định ( kể dãy số ): ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) )( )( a > a < ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) Dạng vô định Các dạng giới hạn sau vô định : ) ( ) 1) ( ) 2) ( 3) 4) 5) 6) 7) Khi gặp giới hạn , Gặp dạng ta biến đổi dạng :( Gặp dạng hạn dạng ta dùng quy tắc L’Hospital ) , , ta lấy lô-ga nê-pe vế để đưa dạng lại đưa Ngồi dạng ⟶ ta cịn sử dụng cơng thức sau nói : ( ) ( ) ⟶ [ ( ) ] ( ) IV Hàm tương đương : Định nghĩa : u(x) gọi tương đương với v(x) x ⟶ A ký hiệu u(x) ~ v(x) : u(x)/v(x) ⟶1 x ⟶ A Tính chất : Xét q trình x ⟶ A ta có : a Nếu ( ) ( ) ⟶ b u(x) ~ v(x) ⟹ ( ) ( ) ( giới hạn tồn ) ⟶ ⟶ c u(x) ~ u(x) ; u(x) ~ v(x) ⟹ v(x) ~ u(x) ; u(x) ~ v(x) ~ w(x) ⟹ u(x) ~ w(x) (gọi tính chất : PX ,ĐX ,BC ) d u(x) ~ v(x) ⟹ k.u(x) ~ k.v(x) với số thực k e V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⟹ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v(x) g(x) khác ( ( )) f u(x) ~ v(x) ⟹ ( ( )) u(x) , v(x) > Vô lớn , vô bé Định nghĩa : Khi x ⟶ A , u(x) gọi VÔ CÙNG BÉ ( VÔ CÙNG LỚN ) u(x) ⟶ ( |u(x)| ⟶ ) Tính chất : Xét q trình 1) Tổng, hiệu , tích hai vơ bé vơ bé 2) tích vơ bé với số khác o vô bé 3) Tích vơ lớn số khác vơ lớn 4) Tích vơ lớn vô lớn Nhưng tổng , hiệu vô lớn chưa vô lớn 5) Tích đại lượng bị chặn với vô bé vô bé 6) … Một số kết : Cho ( ) , ( ) đồng thời vô lớn x ⟶ đồng thời vô bé x ⟶ Khi ta có : ( ) ) 1) Nếu ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 2) Nếu ( ) VCB : ( ) VCL : ( ) ( ) 3) (VCL m > n …> p > ,a ≠ ) 4) (VCB m > n …> p > , c ≠ ) Quy tắc thay ( áp dụng cho giới hạn thương – tương tự quy tắc L’Hopital ) ( ) ( ) ( ) x ⟶ A Nếu ( ) ⟶ ⟶ Dãy vô bé tương đương : Khi x ⟶ A u(x) vơ bé ta có dãy tương đương sau : ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) Ngoài : ( )) ( ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( Thêm : ( ( )) √ ( ) ( ) ( ) VI ( ( )) ( ) √ Các phương pháp tìm giới hạn Phương pháp khử : Chia tử mẫu cho biểu thức gây nên dạng vơ định Phương pháp địa phương hóa : Thường chia tử số mẫu số cho Sau biến đổi áp dụng tính chất giới hạn tổng tổng giới hạn , giới hạn thương thương giới hạn …Rồi tính riêng giới hạn thành phần Phương pháp thay ( vô lớn ,vô bé tương đương ) Nhớ không thay phận tử số hay phận mẫu số ! Phải thay nguyên tử số nguyên mẫu số hai ! Phương pháp L’Hôpital ( Lơ-pi-tan) ( Guillaume de L'Hơpital – nhà tốn học Pháp 1661-1704 ) Giới hạn thương vô bé vô lớn L thương đạo hàm có giới hạn L ( xem phần đạo hàm ) Trước hết phải có thói quen lựa chọn phương pháp Sau phải nắm vững kết , có kỹ biến đổi có kỹ thay ! h Ví dụ ( phương pháp thay vô bé tương đương ) [ ( ⟶ )] ⟶ Vì : ( ) ( ( ) Ví dụ ( phương pháp thay vô lớn tương đương ) √ ⟶ ⟶ Ví dụ ( phương pháp thay vơ bé tương đương ) ( ) ( ( ⟶ ) ) ⟶ Vì : ( ) ( ) : ( ) ) Ví dụ : Tìm giới hạn : ( ) ( ) ( ⟶ ) Cách : Thay tương đương : ( ) ( ) ( ⟶ ) ⟶ Cách : Địa phương hóa : Chia tử mẫu cho x mũ đưa tổng , hiệu ,thương giới hạn : ( ( )) ( ) ( ) Ví dụ : Tìm giới hạn : ⟶ Cách : Sử dụng công thức : ⟶ ⟶ [ ) ( ) ( ) ⟶ ( [ ( ) ⟶ ( ) ] ⟶ ] ( ) ⟶ [ ] [ ] ⟶ Cách : Sử dụng công thức : ⟶ ( )) ( ( ) với điều kiện ⟶ ( ) Ta có : ⟶ ⟶ Cách : Đặt I = ⟶ ( ) ( ⟶ ) ( ) ( ⟶ ( ⟶ ( ) ) (( ) Lấy ln ( lô-ga Nê-pe ) vế : ) ) ⟶ ( ) ⟶ ( ( ( ) ( )) ) ⟶ ⟶ ⟶ ⟶ ⟹ ⟹ (*) sử dụng quy tắc L’ Hôpital VII Liên tục Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a,b) chứa điểm Hàm số gọi liên tục ⟺ Hàm số gọi liên tục trái Hàm số gọi liên tục phải Định lý : Hàm số liên tục ⟶ ⟺ ⟺ ( ) ( ( ) ⟶ ( ) ⟶ ) ( ( ) ) hàm số vừa liên tục trái vừa liên tục phải Nếu hàm số liên tục điểm khoảng (a,b) ta nói hàm số liên tục khoảng (a,b) Hàm số gọi liên tục đoạn [a,b] liên tục khoảng (a,b) , liên tục trái b liên tục phải a Nếu f(x) khơng liên tục a ta nói f(x) gián đoạn hàm số gọi điểm gián đoạn Định lý : Hàm số gián đoạn khơng có giới hạn trái khơng có giới hạn phải có hai hai hai giá trị không ( ) Sự liên tục hàm số sơ cấp Định lý : Hàm số sơ cấp xác định đâu liên tục tai  Bài tốn xét tính liên tục Thơng thường tốn sau : Với giá trị k hàm số sau liên tục x=0 : ( ) [ Để giải tốn ta việc tính vế đẳng thức : ( ) ( ) ⟶ Rồi so sánh hai giá trị tìm Bài tập ( Giới hạn ) : ⟶ A/ 1/4 b/ 1/2 c/ -1 d/ Một đáp số khác Giới hạn ( ⟶ : ) a/ -3/2 B/ 3/2 c/ -1/2 d/ Một đáp số khác Giới hạn ( ⟶ : ) a/ 1/3 B/ 1/2 c/ -1 Giới hạn d/ Một đáp số khác ⟶ ( ) : a/ 4/3 b/ 5/6 C/ d/ Một đáp số khác Gía trị a để hàm số : ( ) [ liên tục x = a/ a= B/ a= c/ a = d/ M ột đáp số khác Hàm số : ( ) a/ x= -1 [ gián đoạn : b/ x= c/ x = d/Một đáp số khác VIII Đạo hàm Định nghĩa : Nếu f(x) xác định khoảng chứa a có đạo hàm A a ký hiệu : f’(a) = A Ví dụ : có đạo hàm A=4 : ( ) ⟶ Tính chất : ( ) ⟶ ⟶ ⟶ ( ) ( ) f(x) gọi ⟺ ( ⟺ ⟺ Ngoài : ) ( r ≠ ) ⟹ ⟹ Vậy điểm hình trịn D có tọa độ cực M=(r, ) thỏa mãn : ( ){ Nói cách khác miền D tọa độ vng góc biến thành miền D’ xác định (*) tọa độ cực Theo cơng thức đổi biến sang tọa độ cực ta có : ∬ ∬ √ √ ∬ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ | ∫ ∫ ( Để tiếp tục ta việc đổi biến tích phân xác định V Ứng dụng tích phân kép ) Diện tích hình phẳng D : ∬ ( ) Có thể mơ tả phương pháp tính diện tich hình phẳng tích phân lớp sau : B1 : Vẽ D B2 : Dựa vào hình vẽ tìm hàm mệnh đề ( ) dạng : { ( ) ( ) { cho M D⟺ ( ( ) ( ) ) B3 : Áp dụng công thức (2) , (4) (6) (**) Ví dụ : Tính diện tich hình chữ nhật biết chiều dài a chiều rộng b Ví dụ : Tính diện tich hình trịn có bán kính r Hình trịn chọn hình có tâm gốc tọa độ bán kính r Mỗi điểm M=(x,y) nằm hình trịn thỏa mãn phương trình : Có thể tính cách : Biểu diễn tọa độ Đề-các đổi biến số sang tọa độ cực Sau ta sử dụng phương pháp đổi biến số sang tọa độ cực : Đặt x= Ta có : (x,y) , y= với D⟺ ( ) ⟺ ⟺( ) ( ) ⟺ ⟺ Vậy miền D tọa độ vng góc biến thành D’ tọa độ cực xác định : { Do : ∬ ∬ Theo cơng thức (2) ta có : ∬ ∫ ∫ ∫ | Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng D giới hạn : ( ) ( ) Mỗi điểm M=(x,y) miền D thỏa mãn : ( ) ,( ) ) ( Đổi biến sang tọa độ cực ta có : ( ⟺ ( ) ( ⟺ ) ( ) ( ) ( ) { ) ( ) ( ) Biến φ bị ràng buộc : nên –π /2 ≤ φ ≤ π /2 Vậy miền D tọa độ đề-các biến thành miền D’ tọa độ cực xác định sau : { Theo cơng thức tính diện tích : ∬ ∬ ∫ ∫ ∫ | ( ∫ ) ∫ Thực diện tích miền D tính theo hình học , diện tích hình trịn : ( trừ diện tích hình trịn ( ) nên : ) 4π – 1π = 3π Thể tích hình trụ có đáy D nằm mặt phẳng xOy , mặt mặt có phương trình z = f(x,y) với (x,y) thuộc D : ∬ ( ) Ví dụ : Tính thể tích hình trụ V giới hạn mặt : , Miền D hình trịn tọa độ cực ta có : hàm f(x,y) ( ) ) ∬( D hình trịn nằm mặt phẳng xOy có bán kính ∫ ) ∫( ∫ ∫( ) Đổi biến sang Diện tích mặt cong có phương trình z = f(x,y) với (x,y) thuộc D với D nằm mặt phẳng xOy : ∬√ Ví dụ : Tính diện tích phần mặt Paraboloid z= giới hạn mặt trụ : Theo công thức : ∬√ ∬√ Khi vẽ hình ta thấy miền D hình trịn : Đổi biến sang tọa độ cực ta tích phân ∫ ∫√ ∫√ ∫ Đổi biến tích phân xác định : đặt đạt kết Khối lượng phẳng khơng đồng chất D (có khối lượng riêng điểm (x,y) thuộc D xác định công thức (x,y) ) ( hàm biến ) : ∬ ( Ví dụ : ) (x,y)=y , D tam giác ABC có toạ độ (o,a) , (-a,o) , (a,o) Toạ độ trọng tâm D x=(∬ ( ) ) ; y=(∬ ∬( ( ) ) ∬ ( ) ) ( ) ) Ví dụ : VI Tích phân bội 1.Định nghĩa ∭ ( ) { ∑ ( }⟶ ) Trong thể tích khối chia từ V ,còn V khối đóng bị chặn khơng gian Oxyz 2.Tính chất Tương tự tích phân xác định 3.Cách tính tích phân lớp Nếu V khối cho : ( ) ( ) { đường kính khối ( ) ( ) : ( ) ∭ ( ) ) ∫( ∫ ( ∫ ( ) VII ( ( ( ) ) ) ) Đổi biến số Đổi biến số tổng quát Đặt : { ( ( ( ) ) ) Ta có : ∭ ( ) ∭ ( ( | | , còn|J| giá trị tuyệt đối J ) ( Với ( ) ( gọi định thức Jacobi ) Đổi sang tọa độ trụ Đặt x=rcos y=rsin z=z , với ≤ ≤ r ≥ Khi J(r, ,z)=r ) ( ))| | , ∭ ( Ví dụ : Tính Đổi sang tọa độ cầu Đặt x = rsin cos y = rsin sin z = rcos , với ) ∭ ( ,0≤ ≤ ) r ≥ ( ) Và : ∭ ( VIII ) ∭ ( ) Ứng dụng tích phân bội ba ( 24.4.2012) Tính thể tích khối V : ∭ Tính khối lượng : Nếu vật thể (V) có khối lượng riêng điểm (x,y,z) ( ∭ ( ) khối lượng : ) Tính tọa độ trọng tâm (x,y,z) ∭ Khái quát ) ∭ ( ) ∭ ( ) Chương Phương trình vi phân I ( Định nghĩa Phương trình vi phân phương trình có chứa dạo hàm vi phân : ( ) ( ) ( ) ( ) Nghiệm Họ đường cong xác định phương trình : f(x,y,c,k…)=0 với c,k,…là số gọi họ đường cong nghiệm phương trình vi phân hàm ẩn y=f(x,c,k,…) x=g(y,c,k,…) (các hàm ngược nhau) xác định từ phương trình có đạo hàm vi phân thỏa mãn phương trình vi phân cho Phương trình : f(x,y,c,k…)=0 cịn gọi nghiệm tổng qt hay tích phân tổng quát phương trình vi phân Nếu phương trình f(x,y,c,k…)=0 tương đương với ( ) ta nói tìm nghiệm tổng qt dạng hàm tường minh ( ) Tuy nhiên thường ta tìm nghiệm tổng quát dạng ( ) hàm ẩn Ngồi có dường cong đồ thị hàm số ( ) có đạo hàm vi phân thỏa mãn phương trình vi phân mà khơng thuộc họ đường cong nghiệm f(x,y,c,k…)=0 gọi đường cong nghiệm kỳ dị ( ) ( ) gọi nghiệm kỳ dị Bài tốn Cauchy Đó tốn : “Tìm nghiệm phương trình vi phân (1) (2) thỏa mãn số điều kiện mà ta gọi điều kiện ban đầu : y(a)=b , y’(c)=d ,…” II Phương trình vi phân cấp 1 Bài tốn Cauchy cho phương trình cấp : Tìm nghiệm phương trình vi phân : ( ) thỏa mãn điều kiện y( )= Định lý tồn nghiệm tốn Cauchy : ) có đạo hàm riêng theo y liên tục miền mở D chứa điểm ( , ) tồn Nếu ( khoảng chứa cho khoảng tồn hàm ( ) thỏa mãn điều kiện : y( ) = Phương trình phân ly ( phương trình tách biến ) ( ) ( ) Cách giải : lấy tích phân vế Phương trình đẳng cấp Phương trình đẳng cấp phương trình dạng y’=f( ) hay x’ = f( ) Điều kiện x ( hay y ≠ ) Phương pháp giải : “Đặt u=y/x hay y=ux ,lấy đạo hàm hai vế theo x , thay vào phương trình đưa phương trình phân ly theo u x ” Ví dụ : Giải phương trình : Đặt : ⟺ Ta có : ⟹ ⟹ ⟹ Thay u’ ⟺ ⟺ Đây phương trình phân ly Lấy tích phân vế ta có: ⟺ | | ∫ ⟺ | | ∫ ∫ ( ) Thay u y/x ta nghiệm tổng quát phương trình : | | ( ) Bài tập thực hành Giải phương trình : ) ) ) ) Phương trình vi phân tồn phần P(x,y)dx +Q(x,y)dy = với điều kiện Phương pháp : Nghiệm tổng qt phương trình có dạng : U(x,y)=C với C R cho : ( B1 Tìm : U(x,y)= ∫ ( ) ) ( ) +C(y) với C(y) biểu thức chứa y mà ta phải tìm B2 Lấy đạo hàm riêng theo y , vế kết tìm thay ( B3 ) Giả sử ta kết C’(y) = C(y) = ∫ ( ) (y) ( không lấy số tích phân ) B4 Thay C(y) trở lại U(x,y) ta có nghiệm tổng qt U(x,y)=C Ví dụ : ( ) ( ) Đây phương trình vi phân tồn phần Ta phải tìm hàm U(x,y) cho Ta có : ( ) ∫( ) ( ) ( ) ( ) ⟹ ( ) ( ) ⟹ ( ) ⟹ ⟹ ( ⟹ ( ) ) ∫ ( ) Nghiệm tổng quát phương trình : Phương pháp : Sử dụng công thức nghiệm tổng quát sau : ∫ ( Trong ) ) số chọn cho tích phân có nghĩa Nếu nên chọn , ta có cơng thức nghiệm tổng quát : ∫ ( ( Ví dụ : ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ví dụ ) ∫( ) ) Ta có : ⟺ | + ⟺ ⟺ ⟺ ∫( | ) ( ) | | =C xy-1 Đặt C-2=K ta có nghiệm tổng qt phương trình vi phân cho : Ví dụ : Giải phương trình : ( ) ( ) ∫( ) ∫( Giải : Áp dụng cơng thức (*) ta có : ∫ ∫ | ) ( ) ∫ ( | ) ( | ) ( ) ∫ Vậy nghiệm tổng quát phương trình : Phương trình vi phân tuyến tính ( ) ( ) ( ) ( ) Công thức nghiệm : ∫ ( ) ( ) Khi tính tích phân ta khơng lấy số tích phân ( nghĩa lấy số tích phân ) Ví dụ 1: Bài tập thực hành 1) 2) 3) Phương trình Bernoulli (*) ( ) ( ) ⟹ ( Phương pháp : đặt Nhân vế với ( ( ) ) với α ≠ 0,1 ) ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⟺ ( ) ( ) ( ) ( ) Đây phương trình tuyến tính mà u đóng vai trị hàm số , cịn x đối số Ví dụ : Bài tập thực hành 1) 2) 3) III Phương trình vi phân cấp hai Phương trình khuyết y’ y : y’’= f(x) (1) Cách giải : Lấy tích phân lần Ví dụ : Giải phương trình : y’’= cosx Ta có : y’= sinx + C ⟹ y= -cosx + Cx + K , C,K R Phương trình khuyết y : y’’= f(x,y’) (2) Cách giải : Đặt u=y’ ⟹ u’=y’’ (2) trở thành : u’=f(u,x) , phương trình vi phân cấp Ví dụ : Giải phương trình y’’= (2/x)y’ +x Đăt u=y’ ta có phương trình u’- 2u/x=x Đây phương trình tuyến tính cấp Phương trình không chứa x : y’’=f(y.y’) Cách giải : Đặt y’=u đưa phương trình vi phân cấp Ví dụ Phương trình cấp tuyến tính với hệ số : ay’’ +by’+cy = g(x) , a,b,c R, a ≠ Chia vế cho a , ta đưa phương trình dạng : y’’+py’+qy = f(x) (*) f(x) phương trình gọi : y’’+py’+qy=0 (1) Nghiệm tổng quát phương trình tùy thuộc vào nghiệm phương trình bậc sau mà ta gọi phương trình đặc trưng : (2) Nếu (2) có nghiệm phân biệt α , β nghiệm tổng quát (1) Nếu (2) có nghiệm kép α nghiệm tổng quát (1) ( ) Nếu (2) có nghiệm phức liên hợp nghiệm tổng quát (1) : ( ) Định lý : Nghiệm tổng quát (1) cộng với nghiệm riêng (*) cho ta nghiệm tổng quát (*) Khơng có cơng thức cho việc tìm nghiệm riêng (*) với hàm f(x) Sau ta xét số trường hợp đặc biệt f(x) : a ( ) ( ): Một nghiệm riêng phương trình khơng (*) có dạng : ( ) ( ) ( ) Tùy α không nghiệm ,là nghiệm đơn hay nghiệm kép phương trình đặc trưng ( ) b ( ) ( ( ) ): ( ) Một nghiệm riêng có dạng ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) tùy α+ βi có nghiệm phương trình đặc trưng hay không (s = max (n,m) ) ( ) ( ) c ( ) ( ): Trong hàm số : ( ) ( ) ( ) hàm trường hợp Nghiệm tổng quát phương trình bao gồm tổng nghiệm riêng pt có vế phải hàm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng BAI TAP ( ) ( ) ================================ ======== Bài tập ôn tập Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số : Tìm biểu thức vi phân tồn phần hàm số : √ Tìm biểu thức vi phân toàn phần cấp hàm số : ( ) Tính vi phân tồn phần cấp hàm số sau điểm M=(0,1) a b Tính gần giá trị biểu thức : =A = cos sin Tìm cực trị tự hàm số : Tìm cực trị có điều kiện hàm số : a với điều kiện b với điều kiện =1 Tìm giá trị lớn nhất&giá trị nhỏ hàm số : miền đóng tam giác OAB (kể cạnh) với O=(0,0) ; A=(0,4) ; B=(4,0) Tính : ∬( ) Với D : a Hình chữ nhật : ≤ x ≤ ≤ y ≤ b Hình thang cong : ≤ x ≤ √ c Hình xác định : d Hình xác định : y = 10 Tính diện tích hình phẳng D ( tích phân kép ) cho : a b c 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Thơng tin : Bernoulli họ nhiều nhà tốn học Pháp : Jakob Bernoulli -Johann Bernoulli -Daniel Bernoulli