BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Độc lập Tự do Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC Môn thi TOÁN CAO CẤP THỐNG KÊ Thời gian làm bài 180 phút Câu 1 Một k[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC Mơn thi: TỐN CAO CẤP THỐNG KÊ Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Một kĩ sư nơng nghiệp có hạt đậu có hạt loại 1, hạt loại 2, biết hơm qua người gieo hạt, Hơm người lại lấy tiếp hạt để gieo 1.1 Hãy tính xác suất để hạt đậu lấy hôm hạt loại 1.2 Giả sử hơm người lấy hạt loại 1, tính xác suất để hơm qua người gieo hạt đậu loại Câu 2: Một viện nghiên cứu Cơng nghệ sinh học có phịng thí nghiệm nhau, xác suất thực thành cơng thí nghiệm phịng 0.6, 0.7 0.8 Một thực tập sinh chọn phòng thí nghiệm tiến hành thí nghiệm độc lập gien ung thư 2.1 Hãy tính xác suất để thí nghiệm có thí nghiệm thành cơng 2.2 Gọi X số thí nghiệm thành cơng thí nghiệm Hãy lập bảng phân phối xác suất X, tính kì vọng phương sai Câu 3: Để điều tra suất giống đậu Hà lan, người ta tiến hành điều tra suất 100 mảnh ruộng sở gieo trồng Việt Nam Kết cho bảng số liệu sau đây: Năng suất (tạ/ha) 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 Số mảnh 10 17 25 20 10 3.1 Với độ tin cậy 95%, ước lượng suất trung bình giống đậu Hà lan khoảng tin cậy đối xứng 3.2 Cho biết suất tối đa giống đậu 3.3 Theo số liệu cơng bố trồng Hà lan, giống đậu có suất 32.5 tạ/ha Theo Anh (chị) suất giống đậu trồng sở gieo trồng Việt Nam có giảm khơng? Cho biết t 0.95 =1.96, t0.975 =1.645 Câu 4: Trong phịng thí nghiệm, người ta tiến hành nghiên cứu tác dụng loại thuốc độc với loại gia súc cách tiêm liều độc theo rõi thời gian sống gia súc loại, kết sau: X-Liều độc(mg) Y- Thời gian sống(giờ) 22 17 15 12 4.1 Hãy xác định mối tương quan liều độc thời gian sống gia súc 4.2 Xác định phương trình đường thẳng hồi quy mô tả mối tương quan thời gian sống liều độc 4.3 Nếu tiêm liều độc 5.5 mg theo Anh (chị) sau gia súc chết? Ghi chú: + Đề thi không tham khảo tài liệu + Cán coi thi không giải thích thêm ĐÁP ÁN MƠN THI: TỐN CAO CẤP THỐNG KÊ Câu số Đặt A0 biến cố hạt loại 1, hạt loại : C40C42 p( A0) = = 28 C8 Đặt A1 biến cố hạt loại 1, hạt loại : p( A1) = C41C41 16 = 28 C82 Đặt A2 biến cố hạt loại 1, hạt loại : p( A2) = C42C40 = 28 C82 Hệ A0, A1, A2 hệ đầy đủ 1.1 Đặt B biến cố hạt hôm loại 1, áp dụng công thức xác suất toàn phần p ( B) = p ( A0) p ( B / A0) + p( A1) p( B / A1) + p ( A2) p( B / A2) C42 C20 C41 C21 C40 C22 p( B / A0) = = ; p( B / A1) = = ; p( B / A2) = = 2 15 15 15 C6 C6 C6 6 16 Từ p( B) = 28 15 + 28 15 + 28 15 = 0.4048 1.2 Áp dụng công thức Bayes p ( A0 / B ) = p( A0) p( B / A0) 66 = = 0.211745 p ( B) 28 15 0.4048 Câu Đặt A1 biến cố chọn phịng thí nghiệm Đặt A2 biến cố chọn phịng thí nghiệm Đặt A3 biến cố chọn phịng thí nghiệm P( A1) = p( A2) = p( A3) = , Hệ A1,A2,A3 hệ đầy đủ Đặt B0 biến cố thí nghiệm thành cơng, áp dụng cơng thức tồn phần p( B0) = p( A1) p( B0 / A1) + p( A2) p( B0 / A2) + p( A2) p( B0 / A3) = (C30 0.600.43 + C30 0.700.33 + C30 0.800.23 ) =0.033 Đặt B1 biến cố thí nghiệm thành cơng p( B1) = (C 0.6 0.4 + C 0.7 0.3 + C 0.8 0.2 ) =0.191 3 3 Đặt B2 biến cố thí nghiệm thành cơng p( B 2) = (C 0.6 0.4 + C 0.7 0.3 + C 0.8 0.2 ) =0.419 3 2 2 Đặt B3 biến cố thí nghiệm thành cơng p( B3) = (C 0.6 0.4 + C 0.7 0.3 + C 0.8 0.2 ) =0.357 3 3 3 3 3 2.1 Xác suất để thí nghiệm có thí nghiệm thành công 0.419 2.2 X nhận giá trị X=0, 1, 2, Bảng phân phối xác suất xk pk 0.033 0.191 0.419 0.357 Kỳ vọng E(X) =2.1 Phương sai D(X) = 0.67 Câu số Lập bảng tính tốn X = 29 1; S ' = 8.758257 ; 3.1 Khoảng tin cậy đối xứng ( X t S' n ) với t = 1.96 Từ khoảng tin cậy đối xứng khoảng (27.38338;3081662) 3.2 Năng suất tối đa giống đậu cận phải khoảng tin cậy với t = 1.645 Từ suy Năng suất tối đa giống đậu 30.54 tạ/ha 3.3 Đặt mệnh đề H0: Năng suất không thay đổi H1: Năng suất giảm Trường hợp kiểm định phía 29.1 − 32.5 X − Tính T = S ' / n = 8.758257 / 10 = 3.88 Kết luận mệnh đề H1 mệnh đề tức khẳng định giống đậu hà lan gieo trồng Việt Nam có suất giảm Câu số 4: Lập bảng tính tốn i =1 4.1 xi = 45; yi = 84; i =1 Hệ số tương quan R ( x, Y ) = xi yi = 260; i =1 XY − X Y D( X ) D(Y ) i =1 x 2i = 285; y i = 1230 i =1 = −0.978 Kết luận X Y đại lượng tương quan nghịch biến với mức độ tương quan chặt 4.2 Phương trình đường thẳng hồi quy có dạng Y=AX+B A= XY − X Y = −2.66667; B = Y − A X = 22.6666 D( X ) Vậy phương trình đường thẳng hồi quy Y= 2.66667X+22.6666 4.3 Nếu tiêm liều độc 5.5mg sau 7.9999 gia súc chết Ghi chú: + Nếu học viên viết công thức, tính tốn sai trừ 25% tổng số điểm câu + Các kết tính tốn cuối làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC Mơn thi: TỐN CAO CẤP THỐNG KÊ Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Sinh học phân trường hợp trẻ sinh đôi thành hai loại: sinh đôi thật tức hai đứa trẻ trứng sinh sinh đôi giả hai đứa trẻ trứng sinh Biết sinh đơi thật hai đứa trẻ ln giới tính cịn sinh đơi giả tỷ lệ giới 50% Ngẫu nhiên gặp hai đứa trẻ sinh đơi giới tính, tính xác suất để hai đứa trẻ trứng sinh biết theo thống kê giới trường hợp sinh đơi tỷ lệ sinh đơi thật chiếm 80% Câu 2: Để tuyển chọn sinh viên du học nước ngồi, thí sinh phải trải qua vịng kiểm tra độc lập trình độ ngoại ngữ Biết xác suất để thí sinh vượt qua vịng độc lập 80% khơng vượt qua trực tiếp vịng bắt buộc phải kiểm tra lại Chọn thí sinh cho tiến hành kiểm tra, tính xác suất để sinh viên vượt qua vịng khơng có vịng bị kiểm tra q hai lần Câu 3: Một nhân viên phịng thí nghiệm phải tiến hành thí nghiệm độc lập, biết xác suất thực thành cơng thí nghiệm thứ 0.7, thí nghiệm thứ hai 0.8 thí nghiệm thứ ba 0.9 Gọi X biến ngẫu nhiên đặc trưng cho số lần thực thành cơng thí nghiệm a Hãy lập bảng phân phối xác suất X b Tính kỳ vọng, phương sai vẽ đồ thị hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Câu 4: Để xác định tỷ lệ nhiễm virus H5N1 gà địa phương vào thời điểm tháng 4/2008, người ta tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 500 gà địa phương thấy có 50 bị nhiễm virus H5N1 Với độ tin cậy 95% a Hãy ước lượng tỉ lệ số gà bị nhiễm virus H5N1 khoảng tin cậy đối xứng b Giả sử số gà địa phương 10.000 Hãy cho biết thời điểm tháng 4/2008, địa phương có khoảng gà bị nhiễm virus H5N1 c Theo số liệu tháng 11/2007 tỉ lệ nhiễm virus H5N1 12% Theo Anh (chị) tỷ lệ vào tháng 4/2008 có giảm không? Cho biết t0.95 =1.96, t0.975 =1.645 Câu 5: Để nghiên cứu lượng Protêin chứa hạt lúa mỳ với suất lúa, người ta tiến hành điều tra 10 ruộng kết sau: Năng suất (xi) 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 Tỷ lệ Prôtein (yi) 10.0 10.2 11.0 10.5 12.0 12.2 12.5 12.6 12.7 12.8 a Hãy xác định mối tương quan hai đại lượng X Y b Xác định phương trình đường thẳng hồi quy mô tả mối tương quan Y theo X c Xác định gần giá trị Y(14.0) Ghi chú: + Đề thi không tham khảo tài liệu + Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN MƠN THI: TỐN CAO CẤP THỐNG KÊ Câu số Đặt A1 biến cố sinh đôi thật, p(A1)=0.8 Đặt A2 biến cố sinh đôi giả, p(A2)=0.2 Hệ A1,A2 hệ đầy đủ Đặt B biến cố trẻ sinh đơi giới tính Áp dụng công thức Bayes p(A2/B) = p(A2) p(B/A2)/[ p(A1) p(B/A1) + p(A2) p(B/A2)] = 0.2 0.5/(0.8 1+0.2 0.5)=0.111 Câu số Đặt Ak biến cố thí sinh phải kiểm tra lại k vịng , p ( Ak ) = C5k 0.2 k 0.85−k , k = 0,1,2,3,4,5 Hệ {Ak} hệ đầy đủ Đặt B biến cố thí sinh khơng kiểm tra lại q lần vịng Áp dụng cơng thức xác suất toàn phần 5 k =0 k =0 k =0 p( B) = p( Ak ) p( B / Ak ) = C5k 0.2 k 0.85−k 0.8k =0.85 C5k 0.2 k Câu số Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị 0,1,2,3 p(X=0)=0.3 0.2 0.1=0.006 p(X=1)= 0.7 0.2 0.1+0.3 0.8 0.1+0.3 0.2 0.9=0.092 p(X=2)= 0.7 0.8 0.1+0.7 0.2 0.9+0.3 0.8 0.9=0.398 p(X=3)= 0.7 0.8 0.9=0.504 a Bảng phân phối xác suất xk pk 0.006 0.092 0.398 0.504 b Kỳ vọng E(X) = 0.092+2 0.398+3 0.504 = 2.406 Phương sai D(X) = 0.092+4 0.398+9 0.504-2.406 2.406 = 0.449 c Hàm phân phối xác suất đồ thị x 0, 0.006 x 1, F ( x) = 0.098 x 2, 0.496 x 3, x Câu số Theo giả thiết ta có m=50, n=500, W=m/n=0.1 a Khoảng tin cậy đối xứng tỷ lệ khoảng W (1 − W ) W t với t = 1.96 n Vậy khoảng tin cậy tỷ lệ gà nhiễm virus khoảng (0.073704-0.126296) b Số gà bị nhiễm virus địa phương từ 0.073704 10.000 đến 0.126296 10.000 Tức từ 737 đến 1263 c Theo giả thiết p=0.12, q=1-p=0.88, W=0.1 Đặt mệnh đề H0: tỷ lệ gà nhiễm virus thời điểm 4/2008 so với 11/2007 không thay đổi H1: Tỷ lệ gà nhiễm virus thời điểm tháng 4/2008 có giảm Trường hợp kiểm định phía Tính Vì = W−p = pq n = 1.376 t = 1.645 0.1 − 0.12 = 1.376 0.12 0.88 500 Kết luận mệnh đề H0 mệnh đề tức tỷ lệ gà nhiễm virus H5N1 chưa có xu hướng giảm Câu số 5: Lập bảng tính tốn 10 10 10 10 10 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 xi = 112.5; yi = 117.5; xi2 = 1286.25; yi2 = 1390.27; xi yi = 1335.35 a Hệ số 10 r ( X ,Y ) = x y i =1 i i tương 10 10 i =1 i =1 − 101 xi yi 10 10 xi − 101 xi i =1 i =1 2 10 10 yi − 10 yi i =1 i =1 quan = 0.95539 Kết luận X Y đại lượng tương quan đồng biến với mức độ tương quan chặt b Phương trình đường thẳng hồi quy có dạng Y=AX+B A= 10 10 10 i =1 i =1 i =1 xi yi − 101 xi yi 10 x − xi i =1 i =1 10 i 10 10 10 i =1 i =1 = 0.65333; B = 101 yi − A 101 xi = 4.4 Vậy phương trình đường thẳng hồi quy Y=0.653X+4.4 c Giá trị Y(14.0) 0.6533 14 +4.4=13.5462 Ghi chú: Nếu học viên viết cơng thức, tính tốn sai trừ 50% tổng số điểm câu Các kết tính tốn cuối làm trịn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC Môn thi: TOÁN CAO CẤP THỐNG KÊ Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Một kĩ sư nơng nghiệp có hộp chứa 12 hạt giống loại có hạt giống loại hạt giống loại 2, biết hơm thứ người gieo hạt giống hộp Hôm thứ hai người tiếp tục lấy hạt giống hộp a Hãy tính xác suất để hạt giống có hạt giống loại b Giả sử hạt giống loại 1, tính xác suất để hơm thứ người gieo hạt giống loại Câu 2: Một người có địa ưa thích để truy cập vào mạng Internet tra cứu thông tin, xác suất truy cập thành công địa thứ 0.5, địa thứ hai 0.6 địa thứ ba 0.7 Một hơm người chọn địa truy cập vào mạng Internet a Tính xác suất để người truy cập thành cơng b Giả sử địa bất kỳ, người truy cập liên tiếp lần có lần thành cơng Tính xác suất để người truy cập địa thứ hai Câu 3: Một đề thi trắc nghiệm công nghệ sinh học gồm câu hỏi, câu có phương án trả lời có phương án trả lời Biết trả lời câu điểm, trả lời sai bị trừ điểm Một sinh viên làm cách chọn hú họa phương án trả lời, gọi X số điểm đạt a Hãy lập bảng phân phối xác suất X b Tính kỳ vọng, phương sai vẽ đồ thị hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X c Theo Anh (chị), trả lời hú họa chắn điểm? Câu 4: Để xác định chiều cao trung bình giống trồng tháng tuổi, người ta tiến hành đo thử 100 vườn ươm, kết thu cho bảng số liệu sau đây: Chiều cao (cm) 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 Số 12 20 30 15 10 2 Với độ tin cậy 95% a Hãy ước lượng chiều cao trung bình giống khoảng tin cậy đối xứng b Theo tiêu chuẩn quy định giống tháng tuổi cần đạt chiều cao 55cm Hãy cho biết giống vườn ươm đạt tiêu chuẩn quy định không? c Biết số giống vườn ươm 100.000 Hãy cho biết số tối thiểu vườn ươm có chiều cao 55cm Cho biết t0.95 =1.96, t0.975 =1.645 Câu 5: Để nghiên cứu mối quan hệ trọng lượng (X) thể người lượng huyết tương máu (Y), bệnh viện Đa khoa tiến hành điều tra 10 người thu kết sau: Trọng lượng(kg) 58.0 70.0 74.0 63.5 62.0 70.5 71.0 66.0 72.0 73.0 Huyết tương (lít) 2.75 2.90 3.20 2.76 2.61 3.0 2.90 2.78 3.10 3.30 a Hãy xác định mối tương quan trọng lượng huyết tương thể người b Xác định phương trình đường thẳng hồi quy mơ tả mối tương quan X theo Y c Theo Anh (chị), trọng lượng thể tăng lên 1kg lượng huyết tương tăng lên bao nhiêu? Ghi chú: + Đề thi không tham khảo tài liệu + Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN MƠN THI: TỐN CAO CẤP THỐNG KÊ Câu số Đặt A0 biến cố gieo hạt giống loại 1, loại 2, p( A0) = C60 C62 = C12 22 Đặt A1 biến cố gieo hạt giống loại 1, loại 2, p( A1) = C61 C61 12 = C122 22 Đặt A2 biến cố gieo hạt giống loại 1, loại 2, p( A2) = C62 C60 = C12 22 Hệ A1, A2 hệ đầy đủ a Đặt B biến cố lấy hạt giống có hạt giống loại 1, Khi BP biến cố hạt giống loại Áp dụng công thức xác suất toàn phần p(BP)=p(A0)p(BP/A0)+ p(A1)p(BP/A1)+ p(A2)p(BP/A2) 60 C C 12 C C C C p(B)=1-p(BP)= = + + = 66 22 C 22 C 22 C 66 10 5 10 10 b Đặt C biến cố hạt giống loại 1, áp dụng công thức Bayes: C63 C40 10 22 C103 p ( A2 / C ) = = 3 C6 C4 12 C5 C5 C4 C6 264 + + 3 22 C10 22 C10 22 C103 Câu số Đặt A1 địa 1, A2 địa 2, A3 địa 3, p(A1)= p(A2)= p(A3)=1/3 Hệ A1,A2,A3 hệ đầy đủ a Đặt B biến cố truy nhập thành công Áp dụng cơng thức xác suất tồn phần: p(B)=p(A1) p(B/A1)+ p(A2) p(B/A2)+ p(A3) p(B/A3) =1/3 0.5+1/3 0.6+1/3 0.7=0.6 b Đặt C biến cố truy nhập lần có lần thành cơng Áp dụng cơng thức Bayes C42 0.62 0.42 p( A2 / C ) = 1 2 C4 0.5 0.5 + C42 0.62 0.42 + C42 0.7 0.32 3 Câu số Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị X= -8, -1, 6, 13, 20 81 256 108 p( X = −1) = C41 0.251 0.753 = 256 54 p( X = 6) = C42 0.252 0.752 = 256 12 p( X = 13) = C43 0.253 0.751 = 256 p( X = 20) = C44 0.254 0.750 = 256 p( X = −8) = C40 0.250 0.754 = a Bảng phân phối xác suất xk -8 -1 13 20 pk 81/256 108/256 54/256 12/256 1/256 b Kỳ vọng E(X) =204/256 Phương sai D(X) = E(X2 )-E2(X) Hàm phân phối xác suất đồ thị x −8, 81 / 256 − x −1, 189 / 256 − x 6, F ( x) = 243 / 256 x 13, 255 / 256 13 x 20, x 20 1 Đồ thị c Số câu trả lời chắn giá tri Mod(X)=[np-q]+1=[40.25-0.75]+1=1 trả lời hú họa –1 điểm Câu số Lập bảng tính tốn X = 53.84, S = 2.8144 a Khoảng tin cậy đối xứng chiều cao khoảng S X t với t = 1.96 n Vậy chiều cao trung bình giống khoảng (53.511-54.168) b Đặt mệnh đề H0: Chiều cao giống trồng đạt tiêu chuẩn H1: Chiều cao giống trồng không đạt tiêu chuẩn Trường hợp kiểm định phía Tính = X − 53 84 − 55 = = 6.91457 S 2.8114 n 100 Vì = 6.91457 t = 1.645 Kết luận mệnh đề H1 mệnh đề tức chiều cao giống vườn ươm chưa đạt tiêu chuẩn quy định c Ta có m=70, n=100, w=0.7 Số tối thiểu 55cm W (1 − W ) (W − t ) 100.000 =62461.66 n Hay số tối thiểu khoảng 62462 Câu số 5: Lập bảng tính tốn 10 x i =1 i 10 10 10 10 = 680; yi = 29.3; x = 46496.5; y = 86.2806;. xi yi = 2001.36; i =1 i =1 i i =1 a Hệ i số 10 r ( X ,Y ) = x y i =1 i i tương 10 10 i =1 i =1 − 101 xi yi xi2 − 101 xi i =1 i =1 10 i =1 10 2 10 yi − 10 yi i =1 i =1 quan = 0.85157 10 Kết luận X Y đại lượng tương quan đồng biến với mức độ tương quan chặt b Phương trình đường thẳng hồi quy có dạng Y=AX+B A= 10 10 10 i =1 i =1 i =1 xi yi − 101 xi yi 10 x − xi i =1 i =1 10 i 10 10 10 i =1 i =1 = 0.034932; B = 101 yi − A 101 xi = 0.554639 Vậy phương trình đường thẳng hồi quy Y=0.034932X+0.554639 c Nếu trọng lượng tăng lên 1kg theo phương trình đường thẳng hồi quy suy lượng huyết tương tăng lên khoảng 0.034932 lít Ghi chú: Nếu học viên viết công thức, tính tốn sai trừ 50% tổng số điểm câu Các kết tính tốn cuối làm trịn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy ... tra 10 ruộng kết sau: Năng suất (xi) 9.0 9.5 10 .0 10 .5 11 .0 11 .5 12 .0 12 .5 13 .0 13 .5 Tỷ lệ Prôtein (yi) 10 .0 10 .2 11 .0 10 .5 12 .0 12 .2 12 .5 12 .6 12 .7 12 .8 a Hãy xác định mối tương quan hai đại lượng... hồi quy có dạng Y=AX+B A= 10 10 10 i =1 i =1 i =1 xi yi − 10 1 xi yi 10 x − xi i =1 i =1 10 i 10 10 10 i =1 i =1 = 0.65333; B = 10 1 yi − A 10 1 xi = 4.4 Vậy phương trình... virus H5N1 chưa có xu hướng giảm Câu số 5: Lập bảng tính tốn 10 10 10 10 10 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 xi = 11 2.5; yi = 11 7.5; xi2 = 12 86.25; yi2 = 13 90.27; xi yi = 13 35.35 a Hệ số 10 r ( X