Bài tập Toán cao cấp Chương I:Đại số tuyến tính: 1)Tìm hạng của ma trận: A=(aij )mn Phương pháp: Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A……….-->A'''''''''''''''' ma trận A'''''''''''''''' có dạng hình thang r(A)=r(A'''''''''''''''') = số hàng khác 0 của ma trận A'''''''''''''''' a) A= Biến đổi về ma trận: đổi chỗ hàng 2 và hàng 3:được ma trận hình thang A''''''''''''''''= r(A)=r(A'''''''''''''''') =2 b) Tìm a sao cho: A= có r(A)=3 Phép biến đổi sơ cấp đưa về ma trận A'''''''''''''''' = Hàng thứ 3 luôn khác 0 với mọi a r(A)=3 với mọi a. c)A= Đổi chỗ hàng 1 và 2 sau đó dưa về ma trận A'''''''''''''''' = r(A)=r(A'''''''''''''''') =3 d)Tìm hạng của một hệ véc tơ:Cho hệ véc tơ: S={ x=(1,2,3), u=(2,4,6), v=(1,2,4) } Hạng của hệ véc tơ cũng là hạng của ma trận Atương ứng sau: A= (3 vec tơ của S là 3 cột của ma trận A).Biến đổi A thành ma trận hình thang: A''''''''''''''''= r(A)=r(A'''''''''''''''') =2 Hệ véc tơ S có hạng bằng 2 2)Giải hệ PT theo phương pháp Gauss: a) x1 - 3x2 + 4x3 = 7 -2x1 + x2 - 2x3 = -2 Đưa về ma trận: -x1 +2x2 + 2x3 = -2 x1 =1, x2 =2, x3 =3 b) x1 + 3x2 - x3 + x4 = 0 2x1 - x2 + 2x3 + x4 = 1 Đưa về ma trận: -x1 + x2 + x3 +3x4 = 2 x1 + 3x3 +4x4 = 3 c) x1 - 3x2 -4x3 = 7 -x1 +2x2 + x3 = 6 Đưa về ma trận: 2x1 + x2 -2x3 = - 2 x2+3x3 = 0 có Hệ vô nghiệm d) x1 - 3x2 + 4x3 = 7 - x1 + 2x2 + x3 = 6 Đưa về ma trận: 2x1 + x2 - 2x3 = -2 x1 =1, x2 =2, x3 =3 e) x1 - 3x2 + 4x3 = 7 - x1 + 2x2 + x3 = 6 Đưa về ma trận: có Hệ có vô số nghiệm, hệ tương ứng với ma trận bậc thang cuối: x1 - 3x2 + 4x3 = 7 Hệ tương đương: : x1 - 3x2 = 7 - 4x3 -x2 + 5x3 = 13 -x2 = 13- 5x3 ¬Đạt x3=t ( t: hằng số tuỳ ý) ta có: : x1 - 3x2 = 7 - 4t -x2 = 13- 5t Hệ có nghiệm: ( với t là hằng số tuỳ ý) 3) a)Xác định a để hệ PT sau có nghiệm không tầm thường: a x1 - 3x2 + x3 = 0 2 x1 + x2 + x3 = 0 3x1 + 2x2 - 2x3 = 0 Có D= = = =1.(-1)2+2 =-4a-20 Hệ PT có nghiệm không tầm thường b)Giải hệ PT: x1 - x2 + 2x3 = 0 2x1 + 5x2 - x3 = 0 Biến đổi ma trận về ma trận Hệ có vô số nghiệm:Từ ma trận cuối ta có hệ PT; x1 - x2 + 2x3 = 0 hệ tương đương: x1 - x2 = 2x3 7x2 -5 x3 = 0 7x2 = 5 x3 Đặt x3=t ( hằng số tuỳ ý) ta có : : x1 - x2 = t 7x2 = 5 t hệ có nghiệm: với t tùy ý 4) Tìm ma trận nghịch đảo theo 2 phương pháp: a) A = A-1 = b)A= A-1= c) A-1 = d) A = A-1 = e) A-1 = 5)Cho các véc tơ: x=(0,0,0), u=(2,3,5), v=(3,7,8), w=(1,-6,1) Hãy biểu diễn x thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ : u,v,w Ta viết x= k1u +k2v+k3w (2k1,3k1,5k1)+ (3k2,7k2,8k2)+ (k3,-6k3,k3)=(0,0,0) Giải hệ: 2k1 +3k2 + k3 = 0 3k1 + 7k2 -6k3 = 0 5k1 + 8k2 +k3 = 0 Biến đổi ma trận về ma trận hình thang: Hệ có vô số nghiệm : 2k1 +3k2 + k3 = 0 2k1 +3k2 =- k3 k2 -3k3 = 0 k2 =3k3 Đặt k3= t k2 =3t, , k1= -5 Vậy x= -5tu + 3tv + +tw b)Các véc tơ sau là độc lập hay phụ thuộc tuyến tính: u=(2,3,1), v=(3,-1 ,5), w=(1,-4,3) Xét k1u +k2v+k3w = θ (2k1,3k1,k1)+ (3k2,-7 k2,5k2)+ (k3,-4k3,3k3)=(0,0,0) Hệ: 2k1 +3k2 + k3 = 0 3k1 - 7k2 -4k3 = 0 k1 + 5k2 +3k3 = 0 =-35≠0 Hệ chỉ có 1 nghiệm tầm thường k1=k2=k3= 0 hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
Bài tập Tốn cao cấp Chương I:Đại số tuyến tính: 1)Tìm hạng ma trận: A=(aij )mn Phương pháp: Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A………. >A' ma trận A' có dạng hình thang r(A)=r(A') = số hàng khác ma trận A' 1 1 1 1 a) A= 2 Biến đổi ma trận: 0 0 đổi chỗ hàng hàng 3:được 3 0 0 1 1 ma trận hình thang A'= 0 r(A)=r(A') =2 0 0 1 1 b) Tìm a cho: A= có r(A)=3 a a 1 1 1 Hàng thứ khác Phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A' = 0 a a 8 với a r(A)=3 với a 1 c)A= 1 Đổi chỗ hàng sau dưa ma trận 2 4 1 A' = r(A)=r(A') =3 0 6 d)Tìm hạng hệ véc tơ:Cho hệ véc tơ: S={ x=(1,2,3), u=(2,4,6), v=(1,2,4) } Hạng hệ véc tơ hạng ma trận 1 Atương ứng sau: A= (3 vec tơ S cột ma trận A).Biến đổi A thành 4 1 ma trận hình thang: A = 0 r(A)=r(A') =2 Hệ véc tơ S có hạng 0 0 ' 2)Giải hệ PT theo phương pháp Gauss: a) x1 - 3x2 + 4x3 = -2x1 + x2 - 2x3 = -2 Đưa ma trận: -x1 +2x2 + 2x3 = -2 1 13 x1 =1, x2 =2, x3 =3 0 b) 1 0 0 0 x1 + 3x2 - x3 + x4 = 2x1 - x2 + 2x3 + x4 = -x1 + x2 + x3 +3x4 = x1 + 3x3 +4x4 = 1 0 1 Đưa ma trận: 51 43 x1 58 t 0 x 4t 7 12 x3 t 0 x t c) x1 - 3x2 -4x3 = -x1 +2x2 + x3 = 6 Đưa ma trận: 2x1 + x2 -2x3 = - x2+3x3 = 1 13 0 25 75 có r ( A) 3 , khác r ( A ) 4 Hệ vô nghiệm 0 11 d) x1 - 3x2 + 4x3 = - x1 + 2x2 + x3 = 6 Đưa ma trận: 2x1 + x2 - 2x3 = -2 1 13 x1 =1, x2 =2, x3 =3 0 25 75 e) x1 - 3x2 + 4x3 = - x1 + 2x2 + x3 = 6 Đưa ma trận: 1 có r ( A) r ( A ) 2 Hệ có vơ số nghiệm, hệ tương ứng với ma 13 trận bậc thang cuối: x1 - 3x2 + 4x3 = Hệ tương đương: : x1 - 3x2 = - 4x3 -x2 + 5x3 = 13 -x2 = 13- 5x3 Đạt x3=t ( t: số tuỳ ý) ta có: : x1 - 3x2 = - 4t -x2 = 13- 5t x1 32 11t Hệ có nghiệm: x 13 5t ( với t số tuỳ ý) x t 3) a)Xác định a để hệ PT sau có nghiệm khơng tầm thường: a x1 - 3x2 + x3 = x1 + x2 + x3 = 3x1 + 2x2 - 2x3 = a a6 a6 a6 1 = =1.(-1)2+2 Có D= 1 = =-4a-20 1 1 1 Hệ PT có nghiệm không tầm thường D 0 4a 20 0 a 5 b)Giải hệ PT: x1 - x2 + 2x3 = 2x1 + 5x2 - x3 = 1 r ( A) r ( A ) 2 Biến đổi ma trận A ma trận Hệ có vơ số nghiệm:Từ ma trận cuối ta có hệ PT; x1 - x2 + 2x3 = hệ tương đương: x1 - x2 = 2x3 7x2 -5 x3 = 7x2 = x3 Đặt x3=t ( số tuỳ ý) ta có : : x1 - x2 = t x1 t 5t 7x2 = t hệ có nghiệm: x với t tùy ý x3 t 4) Tìm ma trận nghịch đảo theo phương pháp: a) A= A-1 = 1 0 1 -1 b)A= 1 A = 1 1 1 c) A-1 = A-1 = d) A = e) A-1 = 5)Cho véc tơ: x=(0,0,0), u=(2,3,5), v=(3,7,8), w=(1,-6,1) Hãy biểu diễn x thành tổ hợp tuyến tính véc tơ : u,v,w Ta viết x= k1u +k2v+k3w (2k1,3k1,5k1)+ (3k2,7k2,8k2)+ (k3,-6k3,k3)=(0,0,0) Giải hệ: 2k1 +3k2 + k3 = 3k1 + 7k2 -6k3 = 5k1 + 8k2 +k3 = 2 Biến đổi ma trận A ma trận hình thang: r ( A) r ( A ) 2 0 0 Hệ có vơ số nghiệm : 2k1 +3k2 + k3 = k2 -3k3 = 2k1 +3k2 =- k3 k2 =3k3 Đặt k3= t k2 =3t, , k1= -5 Vậy x= -5tu + 3tv + +tw b)Các véc tơ sau độc lập hay phụ thuộc tuyến tính: u=(2,3,1), v=(3,-1 ,5), w=(1,-4,3) Xét k1u +k2v+k3w = θ (2k1,3k1,k1)+ (3k2,-7 k2,5k2)+ (k3,-4k3,3k3)=(0,0,0) Hệ: 2k1 +3k2 + k3 = 3k1 - 7k2 -4k3 = k1 + 5k2 +3k3 = A 3 =-35≠0 Hệ có nghiệm tầm thường k1=k2=k3= hệ véc tơ độc lập tuyến tính Chương II Phép tính vi phân hàm biến 1)Tìm giới hạn sau: cos x lim a), xlim x sin x n 2 n b) lim ( ) = n n 1 cos x 2 cos x lim lim x x x = x x x= sin cos sin cos 2 2 n lim (1+ lim 1 ) = n n n2 n2 1 2 x= sin 2 n2 3n n2 = e0= x sin x 1 cos x lim sin lim 7, lim = 2 x x x x x2 x2 2 2 x 1 2 lim = x 1 e 2x 1 2x 1 2)So sánh vô bé, vô lớn: ( x) (x) VCB bậc thấp 1) ( x ) 3 x x ( x) 5 x x 0 , xét lim x ( x) (x ) (Hay (x ) VCB bậc cao (x) ) ( x) ex x ( x ) x lim 1 (x) VCB 2) ( x) e x 0 , xét lim x ( x) x x tưong đưong (x) ( x) (x) VCL bậc 3) ( x ) x x x ( x ) x x xét lim x ( x) cao (x) 2x 8, lim x 2x 1 x 1 = lim x 2x 1 x 1 x ( x) x ( x ) lim lim x 1 xét =0 (x ) 3 x ( x) x ( x 1) ( x 1) x 1 bậc thấp (x ) x 1 4) ( x ) Hàm liên tục 1, Xét liên tục hàm số: sin x x 0 a, f(x) = x 1 x 0 Giải: Khi x hàm sơ cấp nên liên tục x 0,tại x = ta có: lim x hàm liên tục với số thực x sin x 1 f (0) x x sin khix 0 x b, f(x) = khix 0 f(x) = x sin liên tục x 0 , x = x lim x sin x 1 0 (vì sin 1 ) x x x khix c), f(x) = x a khix 0 (a số cho trước) Giải: f(x) liên tục x 0 f(x) hàm số sơ cấp x 0 Xét x=0 có: f(0) = a; xlim = a, xlim = f(x) liên tục bên phải x=0 với a: xlim f(x) = f(0) = a 0 0 0 f(x) liên tục bên trái x=0 khi xlim f(x) = f(0) a= 0 Vậy: - Nếu a = f(x) liên tục với x - Nếu a 1 f(x) bị gián đoạn x=0 x x x 1 d), g(x) = x k x 1 * )g(x) liên tục giá trị x 1 g ( x) = lim Tại x=1 có xlim (x2 -3x + ) = -1 1 1 lim g ( x) = lim (2 x k ) k x 1 x *)Hàm g(x) liên tục x = khi k+2 = -1 k = -3 x khix 1 e), f(x) = ax khix 1 *)f(x) liên tục x 1 x = ta có lim f ( x) = lim ( x 1) 2 lim f ( x) = lim (3 ax ) 3 a ; f(1) = 1+1 = x x x x *)Để f(x) liên tục x=1 ta phải có: 2=3-a a=1 2), Xét liên tục x = -2 x2 x f(x) = x x = -2 0 x2 x2 f ( x ) = lim lim Xét xlim = 2 x x x x lim f ( x) lim x x x2 = lim x 1 x x 2 x lim f ( x) lim f ( x) điều khác f(-2) x 2 x f(x) không liên tục x = -2 3) Xác định a để 2x x≠0 f(x) = 3x a 1 x = liên tục x = Giải: f(0) = a+1 2x lim f ( x) = lim ( x 1)( x 1) = lim = x x x x( x 1) 3 x( x 1) a+1 = a = f(x) liên tục x = 3 ĐẠO HÀM VI PHÂN Tính đạo hàm hàm số: 1, f(x) = xx x x Giải: lấy ln hai vế: lnf(x) = lnxx Đạo hàm vế f ' ( x ) = (x x lnx)’ =(x x )’lnx + x x (ln x) f ( x) đặt u = x x = e ln x x =e x ln x u’ = ( x x )’ = (e xln x )’ = e x ln x (xlnx)’ = e x ln x (lnx +1) = xx (lnx +1) f’(x) = f(x) x x (ln x 1) ln x x x = 2, cho f(x) = = xx x x x (ln x 1) ln x x x 1 x sin , tìm df 12 x 6 x cos ( x 6) x 6 ta có: f’(x) = df(x) = f’(x)dx = 12 ' x 6 x 6 x 6 sin cos x 12 x 6 x 6 ' x cos ( x 6) x 6 3) f(x) = (sinx) cos x tìm df(x) lnf(x) = cosxlnsinx (lnf(x)’ = f ' ( x) - sinxlnx + cos x ) f ( x) sin x cos x cos x cos x sin x ln x f’(x) = f(x) (- sinxlnx + ) = (sinx) sin x sin x cos x df(x) = f’(x)dx = (sinx) cos x sin x ln x dx sin x QUY TẮC LƠPITAN: Tìm giới hạn ln x lim lim 1, x x ln x = x ( Lo pi tan) lim =0 x 2x 2 x 2, A = (sinx) x , lnA= xlnsinx lim lnA = lim x =0 x ln sin x cos x x cos x lim lim = ( Lo pi tan) x sin x x sin x x x = lim (xcosx) x 2 ln arctgx 2 ( Lo pi tan) lim x lim artgx dang 3, lim xln = x x x 1 arctgx. x x = -2/π lim x x2 ( sau Lo pi tan ) arctgx x 4, lim (cos2x) x (dạng ) x Ta có: lim (cos2x) x x =e x2 lim ln cos x x (Dạng o* ) 3 ln cos x ln cos x lim Vì lim (dạng ) 2 x x 0 x x = ( Lo pi tan) lim x lim 5, x Vì = (tgx) x (Dạng 0 ) Ta có lim x lim x lim x nên 3 ( sin x).2 sin x lim lim (cos2x) x = e x x cos x 2x 2x lim ( x ) ln tgx (tgx) x = e x 2 (2 x ) lntgx = lim x ln tgx ( 2 x ) (Dạng 0*∞) (Dạng ) 1 lim (2 x ) lim (2 x ) lim 4(2 x ) tgx cos2 x = x 0 x 2 sin x cos x = x 2 sin x cos x 2 sin x 2(2 x ) lim x (tgx) = e 1 CÔNG THỨC TAY LO ( 3) ( 4) 1, Viết số hạng đầu khai triển Mac lo ranh của:f(x) = xe x Tính f ( 0) ; f ( 0) X2 X3 Đặt X = 3x e X = 1+ X + r3 ( X ) 2! 3! x 27 x 3x r3 ( X ) x Thay X = 3x f(x) = xe = x f ((03)) 9x3 9x ( 3) = x+ 3x r3 ( X ) f ( ) 27 2 3! 2 f ((04)) 4!9 ( 4) 108 f(0) 4! 2, Viết số hạng đầu khai triển ( 3) ( 4) Mac – lo – ranh: f(x) = xln (1+4x) Tính f ( 0) , f ( 0) Đặt X = 4x X2 X3 X4 X rn( x ) f(x) = x 2! 3! 4! = 4x x Có f ((03)) 3! f ((03)) 3! 16 x 64 x 256 x x rn( x ) = x 2! 3! 4! 64 x 64 x5 rn( x ) f ((03)) 8.3! 48 f ( 3) 1 f ( 0) 3!6 f (5) (0) ( 4) (0) 4! 64 4!64 f ((04) ) 512 3 120 f ((05)) 40 3 3, Viết số hạng chuỗi Mac – lo – rin hàm f(x) = x e x Đặt X = -2x X2 X3 x x3 4 2 = x 1 x f(x) = xe X = x 1 X = x2x x x 21 3! Chương III Phép tính tích phân hàm biến TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I Dung phương pháp khai triển: = = 1 d (t 1) (t 1) 1 (t 1) 2� ( 1) 2(t 1) 1� �1 1 � 2� � �4 Tích phân suy rộng Tính tích phân suy rộng sau: too dx đặt a) I � x( x 1) F(t) = t dx �x( x 1) t� t 1 � x 2t dx ln ( -> F(t)= � = ln ln � � � x x 1) t 1 � x 1� 2t -> limt F( x ) = lim ln = ln -> I = ln2 t � t b) I = dx = x 1 b dx lim a x b a lim (arctga arctgb ) = a b 2) xét hội tụ tích phân sau: � dx �x (a >0) a a) Xét 1 A � A dx x 1 lim x dx lim = � A �� A � x a a a = lim ( A � A 1 a 1 ) �a1 � = �1 � � � 1 b) =1: � A dx dx lim � lim ln A ln a � A � x x A � a a = (Phân kỳ) Vậy: � dx �x (a > 0) hội tụ >1, phân kỳ a 3) Xét hội tụ tích phân sau: e a) I = dx e x x dx lim ta có: I = x x = a e e dx lim x x = a e e a e x dx = alim artge│ a = x ( e ) a lim ( artge – artgea)= artge TP hội tụ a b b dx dx e x dx lim lim b) I = x = blim artgex│ 1b = blim ( artgeb – artge) x b x x = b x e e e e (e ) = artge TP hội tụ dx lim = b xx c) I = b b b b dx lim dx = lim (ln│x││ - ln│x+1││ )= = b b x x 1 1 xx 3 lim (ln│b│-ln│b+1│-ln3+ln4)= lim (ln4/3-ln│ b │)=ln4/3 TP hội tụ b b b b b dx dx 1 lim dx = blim d) I = = blim ((ln│1-b│+ln│b/2│)=ln1/2 = b x ( x ) x x x x 2 2 TP hội tụ � e) dx �x 0,5 10 � dx �x /10 0,5 = 9/10 tích phân phân kỳ 4) Dùng dấu hiệu so sánh, xét hội tụ tích phân sau: � �x dx x 1 ; x x 1 � x x x 2 (do x �x �1) 1 ; = ( 3) x / 3x Phân kỳ = � dx �3x /3 1 -> Tích phân xét phân kỳ Chương IV Phép tính vi phân hàm nhiều biến ĐẠO HÀM , VI PHÂN 1.Cho hàm số: f(x,y)= artg 2, cho f e x y x f f f f f Tìm , , , , tìm df(x,y) y x y x y xy sin( x y ) tính df(0,0) x y f e sin( x y ) e x cos( x y ) x f e x y sin( x y ) e x y cos( x y ) y f ’x(0,0) = 1, f ’y(0,0) = -1 df (0,0) = dx – dy 3, tìm df(x,y), cho f(x,y) = arctg x y f’x = y x = y y x2 y f’y= - y x = y y x2 y df(x,y) = f’xdx + f’ydy = Tìm đạo hàm hàm ẩn: (ydx + xdy) x y2 Cho hàm F(x,y)= / x y ln( x y ) 0 Tìm y x / Tính F x x x2 y2 2x x y2 , F/y y x2 y2 2y x y2 dy F /x x / dx y Fy CỰC TRỊ HÀM BIẾN 1, Tìm cực trị hàm số sau a, f(x,y) = 4(x-y) – x2 – y2 - tìm điểm dừng fx(x, y) 4 - 2x 0 (2,-2) điểm dừng fy(x, y) - 2y 0 A = f’’xx = -2, B = f’’xy = 0, C = f’’yy = -2 AC - B2 = 0 (2, - 2) điểm cực đại Maxf(x,y) = A - b, f(x,y) = x3 + y3 – 3xy f’x = 3x2 – 3y = (0,0) (1,1) điểm dừng: f’y = 3y – 3x = f’’xx = 6x, f’’xy = 0, f’’yy = 6y * (0,0) A = f’’xx = 0, B f’’xy = 0, C = f’’yy = AC – B2 = chưa kết luận * (1,1) A = f’’xx = 6, B = f’’xy = 0, C = f’’yy = AC B2 36 0 (1,1) điểm cực tiểu A 6 c f(x,y) = x2 + y2 - xy – 2x + y f’x = 2x – y – = f’y = 2y – x + = y’’xx = 2, f’’xy = -1, -> Điểm dừng (1, 0) F’’yy = -> AC – B2 = 2,2 – = > A=2>0 d Tìm cực trị hàm số f (x,y) = -> (1,0) điểm cực tiểu 4xy 25 10 miềm x > 0, y >0 x y 25 � 0 � x � � (2,5;1) điểm dừng 10 f ' y x 0� y � f ' x 4y f '' xx 25( x 2 ) ' 25( y x 3 50 ) x3 F’’xy = f '' yy 10 ( y 2 ) ' 20 y ( y x 3 trị điểm dừng : A 20 ) y3 20 3, 2,53 B = 0, C = 20 -> AC – B2 = 3,2 x 20 = 64 > A = 3,2 > e Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x2 – xy + y2 – 3y y’x = 2x – y, f’y = 2y – x = Điểm dừng M(0.0) y’’xx = 2l, f’’xy = 0, f’’yy = AC – B2 = > A= > (0,0) điểm cực tiểu y’’xx = 2l, f’’xy = 0, f’’yy = AC – B2 = 4> A=2>0 (0,0) điểm cực tiểu Bài tập PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Điểm (2,5; 1) điểm cực tiểu I, Phương trình phân ly biến số y’ + sin(x+y) = sin (x-y) Giải: dy + sin(x+y) = sin (x-y) dx sin( x y) sin( x y) dx +dy = 2cosxsinydx + dy = 2cosxdx + dy =0 dx coxdx + sin y = C 2sinx + dy sin ydy =C y sin d cos y sin - 1 cos 2sinx - 2sinx + ln cos y ln cos y = C 2sinx + cos y y C ln 1 c 2 y =C 1 cos y 1 cos y d cos y C 2, x2(1-y)dx + y2(1+x)dy = Giải: x dx y dy + =0 1 x 1 y x dx + 1 x y dy =0 1 y x x dx + y y dy x2 y2 x + ln x - ln y y= C 2 x2 – 2x + 2ln x 1 - y – 2y2 = C 1 y II, 1)Dạng y’ = f(ax +b) y’ = x y 1 đặt z = x+y+1 z ’ = y’ +1 →y’ = z’ – thay vào phương trình cho z’ – = z dz = 1+ dx z dx = 2tdt dz 1 z ; dz dx - 1 z ; đặt I = t 1 dt = 2t – 2ln t = z - 2ln dz 1 1 t = t z 1 →tích phân tổng quát: x- x y - 2ln(1+ x y )=C →I = 2) Phương trình dạng: z , z = t → z= t2 : y / =f(ax+by+c) z/ = a+by/ y/ = ( z/ -a)/b thay vào phương trình ta dz dz dx bf ( z ) a đươc: ( z/ -a)/b=f(z) PT VP z/ =bf(z)+a, bf ( z ) a dx 1: giải PT: y / = (8x+2y+1)2 Đặt z= 8x+2y+1, z/ = 8+2y / y / = z/ /2-4 z/ = +2z2 dz dz dz dx dx dx TPtổng quát: 2 2 z 4 2z 2z Đặtt z = ax+by+c arctg z 8x y x C arctg x C 2 2: y / = (x+y)2 Đặt z= x+y, , z/ = 1+y / y / = z/ -1 z/ -1= z2 dz dz dx TPtổng quát: dx arctgz x C 2 z 1 z 1 arctg ( x y ) x C y/ =(x+y-2)2 III, Phương trình đẳng cấp f( tx, ty ) = f(x,y) 1) xy’ = y+y(lny – lnx) Giải :giả sử x 0 y’ = Đặt z = y y ' y + ln (*) x x x y y = zx y’ = z’x + z x Thay vào (*): y’ = z+zlnz = z’x +zzlnz = z’x ; dx dz x - z ln z = C lnx – ln(lnz) = C lnz = x ,e c = C1x (C1 = e c ) ; 2) y’= - dz x = dx ln(lnz) = ln x _C z = e c1x y = e c1x x xy x Giải: y’= x zlnz - x y y y = y’= -( )Đặt = z y =zx, y’ = z’x+z = -(1+z) x x x dz dx dz TP vế: ln z ln Cx z (1 z ) x dx ln z C x 2 Cx C x 2y 1 2z 2z x ln Cx x C x x 2y 3)(x-y)ydx=x2dy Giải : Đưa PT về: y dy ( x y ) y y y Đặt =z y=zx x dx x x x y =zx, y’ = z’x+z=z-z2 , x dz dz dx z , dx x z x ln Cx ln Cx y z / 4) xy y xtg y x / Giải:Giả thiết x≠0, chia vế cho x: y y =zx, y’ = z’x+z=z+tgz x ln sin z ln x ln C sin y Cx x y y y tg Đặt =z y=zx x x x dz dx dz tgz , tgz x dx cos z dx sin z dz x y 5) y = x y / Giải: Đặt: z=y/x y= zx y/ = z/x+z z 2z z/x+z = dx dz 2z 2z dz , x x dx 2z 2z TP 2vế đựơc TP TQ: ln z ln Cx 2z x y ln ln Cx 2y x 6)Giải phương trình : 2x y x 2y a) y/ = b)2ydx-2xdy=- ydy IV Phương trình vi phân tuyến tính cấp Dạng y’ +p(x,y) = q(x) Nghiệm tổng quát có dạng:y = e p ( x ) dx C q ( x ).e.dx 2 y = 3x2; p(x) = - , q(x) = 3x2+ x x 1, y’ - p( x)dx = - x dx = x - 2ln +C 2 ln x dx = e ln x C 3x e ln x dx = e ln x C 3x x dx = x C x 2ln x C 3x e 2, y’ – 2x = - e x arcsinx p(x) = -2x, q(x) = - e x arcsinx p( x)dx = - 2 xdx - x 2 2 x x y = e x C e arcsin xe dx = e x C arcsin xdx tính I = arcsin xdx đặt u = arcsin x dx du x2 dv dx v x I = xarcsinx - xdx 1 x = xarcsinx + 2 1 x d 1 x = xarcsinx + x2 y = e x C arcsin x x PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP II Giải pt 1, y’’ – 3y’ + 2y = – x2 Giải:y’’ – 3y’ + 2y = k -3k+2 = k =1, k =2 (số không nghiệm) Nghiệm TQ pt y(x) = C1ex +C2e2x nghiệm riêng y*(x) hệ không nhất: y* = B0 + B1x + B2x2 y’ = B1 + 2B2x y’’ = 2B2 Thay vào pt cho: 2B2 – 3(B1+2B2x) + 2(B0 + B1x + B2x2) = – x2 2B2 - 3B1 + 2B0 + (2B1 – 6B2)x + 2B2x2 = – x2 đống hệ số: B0 2B2 3B1 2B0 1 - B 2 B1 0 B1 B2 B2 y = - - x- x 2 Nghiệm tổng quát y = C1e + C2e x 2x x 3x 2 2, y’’ + 3y’ = 2x – Giải:y’’ + 3y’ = k +3 k = k =0, k =-3 (số không nghiệm) - nghiệm TQ hệ ytn = C1 + C2e x Nghiệm riêng hệ không y* = x(B0 +B1x) = B0x + B1x2 y’ = B0 +2B1x y’’ = 2B1 thay vào pt cho: 2B1 + (B0 +2B1x) = 2x - B1 B1 3B0 B1 2 B 11 11 nghiệm TQ: y = C1 + C2e + x x 3, y’’ + 5y’ = -3x +2 Giải:y’’ + 5y’ = 2 +5 = =0, =-5 (số không nghiệm) nghiệm TQ: ytn = C1+C2e x y* = x(B0 +B1x) = B0x+B1x y’* = B0 +2B1x= B0x +B1x2 y’’(x) = 2B1, thay vào pt cho: 2B1 + (B0 + 2B1x) = - 3x +2 2B1 + 5B0 + 10 B1x = - 3x+2 B B0 2 10 B1 B1 = y* = 13 , B0 = 10 25 13 xx 25 10 nghiệm TQ: y(x) = C1 + C2e x + 4, y’’ – 9y = xe x 13 xx 25 10 Giải:y’’ – 9y = k - k = k =3, k =-3 ( 2 không nghiệm pt đặc trưng) ytn = C1e x (B0 + B1x) y’* = B1e2x + (B0 + B1x)e2x = (2B0 + B1 + 2B1x) e2x y’’* = 2B1e2x + (2B0 + B1 + 2B1x) 2e2x Thay vào pt cho tìm được: B0 = , B1 = 25 2x y* = x e 25 nghiệm TQ: y(x) = C1e x C2 e x 14 2x x e 55 5, y’’ – 2y’ + y = 3ex Giải:y’’ – 2y’ + y = k - 2k+ 1= k=1 nghiệm kép, ( 1 trùng với nghiệm này) ytn = C1ex + C2xex y* = x2exB0 y’* = 2B0 xex + B0 x2ex = ex (2B0 x + B0 x2) y’’* = ex (2B0 x + B0 x2) + ex (2B0 x + 2B0 x) = ex(2B0 + 4B0 x +B0 x2 ) Thay vào pt cho: (2B0 + 4B0 x +B0 x2 )ex – 2(2B0 x + B0 x2) ex + x2Bex = 3ex B0 = 3 y* = x2 ex nghiệm TQ: y = C1e + C2e + x2 ex x x 6, y’’ – 4y’ + 3y = ex (x-1) Giải:y’’ – 4y’ +3y = k - 4k+3= k =1, k =3 ( 1 nghiệm ) ytn = C1ex + C2e3x y* = x ex (B0 + B1 x ) = xex.B0 + B1x2 ex y*’= B0ex + B0xex + B1xex +B1x2 ex = ex [B0 + (B0 +2B1)x +B1x2 ] y’’* = (B0 + 2B1 + 2B1 x) ex + ex [B0 + (B0 + 2B1 )x +B1x2 ] = ex [2B0 + 2B1 (B0 + 4B1 )x +B1x2 ] thay vào pt cho: ex [2B0 + 2B1 (B0 + 4B1 )x +B1x2 ] - 4ex [B0 +(B0 + 2B1 )x +B1x2 ] + 3xex (B0 + B1x )= ex (x-1) -2B0 +2B1 - 4B1x = x-1 B0 B1 1 B B 1 B y*= (B0 + B1x )cosx + (C0 + C1x )sinx y’* = B1cosx - (B0 + B1x )sinx + C1sinx + (C0 + C1x )cosx = (B1 +C0 + C1x )sinx - B1sinx + (C1- B0 + B1x )cosx = (2C1- B0 - B1x )cosx + (-2B1- C0 - C1x )sinx thay vào pt cho: (2C1- B0 - B1x )cosx + (2B1- C0 - C1x )sinx - (4B0 + B1x )cosx - (4C0 + 4C1x )sinx = 0.cosx +3sinx 2C1 B0 B1 x B0 B1 x 0 B1 C0 C1 x 4C0 4C1 x 3 x C1= y* = , B1 = C0 = 0, B0 = 25 3x sin x 25 nghiệm tổng quát: y = C1e2x - C2e-2x - 3x sin x 25 8, y’’ + y = 3sinx + 2cosx y’’ + y = k +1= 0, k = I , k =-i ( 0, 1, k m 0) i i nghiệm pt đặc trưng y* = xe0x [B0cosx + C0sinx] y’ = (B0cosx + C0sinx) + x (-B0sinx + C0cosx) = (B0 + C0) cosx + (C0 - B0x)sinx y’’ = C0cosx - (B0 + C0)sinx - B0sinx + (C0 - B0x)cosx = (2C0 - B0x)cosx - (2B0 + C0x)sinx thay vào pt cho: (2C0 - B0x)cosx - (2B0 + C0x)sinx + x(B0x + C0sinx = 2C0cosx - 2B0sinx = 3sinx + 2cosx C0 =1, B0 = y* = x( 3 cosx +sinx) nghiệm tổng quát y = C1cosx + C2sinx + x( cosx +sinx) 9) y// -y/ -2y =-2x2 -2x+2=4e3x 10) ) y// +3y/ -4y = 6e2x +2+6x-4x2 11) ) y// -3y/ +2y =2x2-6x+2+2e3x PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Giải PT sai phân: Tìm nghiệm tổng quát PT: x k 1 2 x k 6.2 k x C.2 k k 6k ĐS: ~ k Tìm nghiệm tổng quát PT: x k 1 2 x k k (k 2) x C.2 k k (1 k ) ĐS: ~ k Tìm nghiệm tổng quát PT: x k 1 x k k 2k Tìm nghiệm tổng quát PT: x k 1 2 x k 2k k x C.2 k k ĐS: ~ k 5) x k 1 3 x k 2k x k C.3 k k ĐS: ~ k 6) x k 1 x k (2 k ) k 7) x k 1 3 x k 4k ... Hệ có vơ số nghiệm:Từ ma trận cuối ta có hệ PT; x1 - x2 + 2x3 = hệ tương đương: x1 - x2 = 2x3 7x2 -5 x3 = 7x2 = x3 Đặt x3=t ( số tuỳ ý) ta có : : x1 - x2 = t x1 t 5t 7x2 = t hệ có. .. Đạt x3=t ( t: số tuỳ ý) ta có: : x1 - 3x2 = - 4t -x2 = 13- 5t x1 32 11t Hệ có nghiệm: x 13 5t ( với t số tuỳ ý) x t 3) a)Xác định a để hệ PT sau có nghiệm khơng tầm thường:... 3x2 + x3 = x1 + x2 + x3 = 3x1 + 2x2 - 2x3 = a a6 a6 a6 1 = =1.(-1)2+2 Có D= 1 = =-4a-20 1 1 1 Hệ PT có nghiệm khơng tầm thường D 0 4a 20 0 a 5 b)Giải hệ PT: x1 - x2