tài liệu học tập môn phương pháp tính

Sai số tuyệt đối 2. Sai số tương đối 3. Sai số quy tròn 4. Sai số của hàm Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH (f(x) = 0) 1. Phương pháp chia đôi 2. Phương pháp lặp 3. Phương pháp Newton 4. Đánh giá sai số củaSai số tuyệt đối 2. Sai số tương đối 3. Sai số quy tròn 4. Sai số của hàm Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH (f(x) = 0) 1. Phương pháp chia đôi 2. Phương pháp lặp 3. Phương pháp Newton 4. Đánh giá sai số củaSai số tuyệt đối 2. Sai số tương đối 3. Sai số quy tròn 4. Sai số của hàm Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH (f(x) = 0) 1. Phương pháp chia đôi 2. Phương pháp lặp 3. Phương pháp Newton 4. Đánh giá sai số củaSai số tuyệt đối 2. Sai số tương đối 3. Sai số quy tròn 4. Sai số của hàm Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH (f(x) = 0) 1. Phương pháp chia đôi 2. Phương pháp lặp 3. Phương pháp Newton 4. Đánh giá sai số của

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG o0o TÀI LIỆU HỌC TẬP TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 A NỘI DUNG KIỂM TRA GIỮA KỲ Chương 1: SAI SỐ Sai số tuyệt đối Sai số tương đối Sai số quy tròn Sai số hàm Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH (f(x) = 0) Phương pháp chia đôi Phương pháp lặp Phương pháp Newton Đánh giá sai số phương pháp Chương 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (Ax = b) Phương pháp A = L.U Phương pháp Cholesky Phương pháp lặp 3.1 Phương pháp Jacobi 3.2 Phương pháp Gauss - Seidel 3.3 Đánh giá sai số phương pháp TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 Chương 1: SAI SỐ Sai số tuyệt đối , đó: A số (hay số xác), a số gần đúng, � − � ≤ ∆� ∆a sai số tuyệt đối ∆a khơng nhất, nhỏ tốt (độ xác cao) Ta có: a − ∆a ≤ A ≤ a + ∆a , nhiên ta thường viết dạng A = a ± ∆a Sai số tương đối �� = �−� � ≈ ∆� (a ≠ 0, A ≠ 0), � đó: �� sai số tương đối Sai số tương đối khơng có đơn vị, thường biểu diễn dạng % Sai số quy tròn (hay sai số làm tròn) Số gần a quy tròn thành a* � − � ∗ = ��∗ Các quy tắc , đó: �a∗ sai số quy tròn 4.1 Quy tắc bán (hay quy trịn thơng thường) Quy tắc q bán sử dụng đáp số CON SỐ 4.2 Quy tắc làm tròn Quy tắc làm tròn sử dụng đáp số bất đẳng thức: số nhỏ làm tròn lên, số lớn làm tròn xuống ↑a≤x≤b↓  Quy tròn lên cách quy tròn để số tăng lên đến giá trị gần  Quy tròn xuống cách quy tròn để số giảm đến giá trị gần  Lưu ý: Nếu đáp số SAI SỐ ln QUY TRỊN LÊN Sai số tuyệt đối số quy tròn ∆�∗ = ∆� + ��∗ , đó: ∆a∗ sai số tuyệt đối số quy trịn Cơng thức tính sai số hàm Xét hàm số f(x1, x2, , x3) với sai số tương ứng biến ∆x1 , ∆x2 , , ∆xn Khi sai số hàm là:  ∆� = �� � �=� ��� ∆�� , đó: ∆f sai số tuyệt đối, Đặc biệt hàm biến f(x,y) ∂f ∂xi đạo hàm riêng TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009  ∆�(x,y) = �� �� ∆� + �� �� ∆� Sai số tuyệt đối hàm �� = ∆� � TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa Khoảng �, � gọi khoảng cách ly nghiệm (k.c.l.n) khoảng phương trình f(x) = có nghiệm Định lý Xét hàm f(x) có đạo hàm �, � Nếu: 1) f’(x) > f’(x) n ≥ ���� ( �(�−�) �� −�� ) 4.3 Phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến) 4.3.1 Nội dung: Đưa f(x) = dạng lặp đặc biệt x = x 4.3.2 Sai số: Công thức sai số tổng quát:  Quy ước chọn điểm x0 sau: �� − �� < - Chọn x0 = a a điểm Fourier f(a).f’’(a) > - Chọn x = b b điểm Fourier f(b).f’’(b) > (Chỉ có a b điểm Fourier) �(�) �' (�) �(�� ) �(�) = �(�) TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 Chương 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH A ma trận tam giác trên: Tính nghiệm từ lên A ma trận tam giác dưới: Tính nghiệm từ xuống Phương pháp nhân tử L.U (Quan trọng)* 3.1 Nội dung: Phân tích ma trận A = L.U L (low) ma trận tam giác dưới, U (up) ma trận tam giác Việc giải hệ phương trình tuyến tính đưa giải hệ phương trình dạng tam giác Ax = b A = L.U L.U.x = b Đặt U.x = y => L.y = b (Hệ phương trình tam giác dưới) Giải tìm y => U.x = y (Hệ phương trình tam giác trên) Giải tìm x 3.2 Cách giải để tìm L, U từ ma trận A  Quy ước: l11 = l22 = l33 = nghiệm (Doolitte)  Cách tìm L U theo Doolitte: Để tìm L, U ta nhân ma trận L với U theo trình tự nhân hàng với cột từ trái sang phải từ xuống VD: L 0 3.3 Nhận xét 0 −2 −1 U = −2 −7 −8 A 14 30 1) Hàng U hàng A 2) Cột L cột A chia cho a11 3) U11 = D1 U22 = �� U33 = �� �� �� Với D1, D2, D3 định thức cấp 1, 2, ma trận A TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 4) (Dùng để lập trình phần mềm máy tính): Trong phương pháp LU, tổng số phép toán cần thực �3 Phương pháp Cholesky (Quan trọng)* 4.1 Nội dung: Phân tích ma trận A dạng A = B.BT B ma trận tam giác 4.2 Nhận xét 1) Cách tìm B tương tự phương pháp LU số phép tính giảm lần 2) Phương pháp Cholesky không quy ước đường chéo ma trận B 3) Khi lấy bậc quy ước lấy số học, không dùng đại số 4) B11 = �� �� B22 = �� �� B33 = �� Với B11, B22, B33 định thức cấp 1, 2, ma trận A 5) Phương pháp Cholesky dùng A ĐỐI XỨNG XÁC ĐỊNH DƯƠNG VD: 1 2 B 0 0 BT = 1 5 A Phương pháp lặp (Quan trọng)* 14 5.1 Định nghĩa (Chuẩn ma trận) � � ∞= ��� ( �≤�≤� ∞=  Chú ý: � � ∞,1 ��� ( �≤�≤� � �=� � �=� ��� ) ��� ) (Chuẩn vô hạn, chuẩn hàng) (Chuẩn 1, chuẩn cột) ≥0 ∞,1 = � số lẻ quy ước làm tròn lên 5.2 Định nghĩa (Số điều kiện ma trận A) ��(A) = � � �−� � TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 �∞ (A) = � ∞ �−� ∞ Ý nghĩa số điều kiện:  k(A) � − �' ≈ � − �'  Chú ý: Số điều kiện làm tròn lên Phương pháp Jacobi (Quan trọng)* 6.1 Nội dung - Đưa hệ Ax=b dạng x = ϕx + g - Kiểm tra điều kiện � = q < (Chuẩn hàng cột) - Lấy x(0) vecto giá trị ban đầu tùy ý - Dãy lặp x(k) xây dựng theo công thức x(k + 1) = ϕx(k) + g 6.2 Đánh giá sai số �� �(�) − �� ≤ � �(�) − �� ≤ (Công thức tiên nghiêm) �(�) − �(�) �−� (Công thức hậu nghiệm) �(�) − �(�−�) �−� (Quy ước lấy theo chuẩn 1) 10�1 − �2 + 2�3 = �1 + 10�2 − �3 = VD: Xét hệ phương trình: 2�1 + 3�2 + 10�3 =− 10 (�+1) �1 (�+1) �2 (�+1) �3 � ∞ = (�) =− 0.1�1 = (�) (�) 0.1�2 − 0.2�3 + (�) (�) (*) + 0.1�3 + 0.5 (�) − 0.2�1 − 0.3�2 − 1.0 = �∞ = 0.5 < (Ax=b) (x = ϕx + g) Lấy x(0) vecto 0 0.25 �(0) = → �(1) = 0.5 → �(2) = 0.4 −1 −1.15 Khi tính bước lặp sau bước lặp trước dừng chương trình  Giải máy tính CASIO fx - 580VN x: (�+1) Ta gán giá trị �1 (�) (�) (�) biến �1 , �2 , �3 (�+1) , �2 (�+1) , �3 lần luợt thành biến D, X, Y gán thành biến A, B, C vào (*) ta được: TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 �−2� �= 10 −�+�+5 �= 10 −2�−3�−10 �= 10 Ta nhập vào máy tính sau: Bước 1: Lưu �(0) = 0 vào biến A, B, C Bước 2: Nhập dãy trình tự sau: �= �−2� 10 : �= −�+�+5 10 : �= −2�−3�−10 10 : A=D : B=X : C=Y *Lưu ý: Dấu = ta nhập [ALPHA] → [SOLVE]([CALC]) Dấu : ta nhập [ALPHA] → � �� ( ∎ ∎ ∎ ) Bước 3: Bấm [CALC] → Bấm [=] → Xuất � = � = −�+�+5 10 = 0.5 → Bấm [=] → Xuất � = Vậy ta tìm � (1) = 0.5 −1 �−2� 10 = → Bấm [=] → Xuất −2�−3�−10 10 = -1 Để tìm �(�) , �(�) , ta tiếp tục bấm [=] đến xuất D, X, Y tương ứng thỏa yêu cầu đề  Chú ý: Hệ phương trình + ẩn  Đánh giá sai số nghiệm x(3) phương pháp lặp Jacobi theo công thức hậu nghiệm với chuẩn vô hạn (trong ví dụ đầu tiên) �(3) − �� �∞ = 0.5 �∞ 1−�∞ = 0.5 1−0.5 ∞ ≤ =1 �∞ 1−�∞ �(3) − �(2) �(2) = ∞ = 0.04 0.25 0.4 −1.15 �(3) = 0.27 0.36 −1.17 0.02 � −� = −0.04 = 0.04 ∞ −0.02 15�1 − 2�2 = VD: Cho hệ phương trình Theo phương pháp Jacobi, 3�1 + 11�2 = (3) (2) TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 VD: Tìm đa thức nội suy từ bảng số liệu: x -1 y 1/3 Từ tính giá trị bảng x = 0.7 n=2 Bước 1: Ta tìm đa thức Lagrange �0 (�) = �1 (�) = �2 (�) = (�−�1 )(�−�2 ) (�0 −�1 )(�0 −�2 ) (�−�0 )(�−�2 ) (�1 −�0 )(�1 −�2 ) (�−�0 )(�−�1 ) (�2 −�0 )(�2 −�1 ) = = = �2 −� �2 −1 −1 �2 +� Bước 2: Thiết lập đa thức P(x) P(x) = y0 L0 (x) + y1 L1 (x) + y2 L2 (x) = Thay x = 0.7 vào P(x) => P(0.7) = 2.26 2x2 +4x+3 P(x) đa thức bậc  Giải máy tính CASIO fx - 580VN x cho ví dụ trên: Bước 1: Chọn “Thống kê”: Bấm [MENU]([SETUP]) → Bấm [6] → Bấm [3](y=a+bx+cx2) Bước 2: Nhập số liệu vào bảng x y -1 1/3 3 Sau nhập xong bấm [AC]([OFF]) Bước 3: Nhập 0.7 → Bấm [OPTN] → Bấm chọn xuống [ ∇ ] → Bấm [4](Hồi quy) → Bấm [6](�) → Bấm [=] Ta kết 2.26 *Chú ý: Ta sử dụng cách bấm máy toán cho bảng số liệu x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 15 TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 VD: Cho bảng số sau: 1.1 1.7 2.4 3.3 4.5 m a) Tìm m cho đa thức nội suy P(x) thỏa P(1.8) = 4.0 Cách 1: đa thức nội suy 1.1 1.7 1.8 2.4 3.3 4.7 4.0 m P(x) Sau có bảng số liệu mới, ta sử dụng máy tính để tìm m Cách bấm tương tự ví dụ *Lưu ý: ta sử dụng máy tính bảng số liệu Kết quả: m = -3.2 Cách 2: Tổng quát P(x) = y0 L0 (x) + y1 L1 (x) + y2 L2 (x) P(1.8) = y0 L0 (1.8) + y1 L1 (1.8) + y2 L2 (1.8) (*) Ta tính L0 (1.8), L1 (1.8), L2 (1.8); sau thay vào (*) ta tìm m Kết quả: m = -3.2 b) Tìm m cho đa thức nội suy P(x) thỏa P’(1.8) = 2.1 Ta có: �' (1.8) = �0 �'0 (1.8) + �1 �'1 (1.8) + �2 �'2 (1.8) (**) Ta tính �'0 (1.8) cách bấm máy: � (�−1.7)(�−2.4) �� (1.1−1.7)(1.1−2.4) Sau lưu kết vừa tìm vào biến A �=1.8 = −15 Tương tự tính �'1 (1.8), �'2 (1.8) lưu vào biến B C Thay biến A, B, C vào (**) ta tìm m 1.2 Phương pháp Newton tiến 1.2.1 Tỷ sai phân Tỷ sai phân bậc f x0 f[x0] Tỷ sai phân bậc f x0, x1 f[x0,x1] = �[�1 ]−�[�0 ] �1 −�0 Tỷ sai phân bậc f x0, x1, x2 f[x0,x1,x2] = 16 �[�1 ,�2 ]−�[�0 ,�1 ] �2 −�0 39 TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 1.2.2 Bảng tỷ sai phân VD: Cho bảng sau: x -1 y 1/3 Ta có: x y (Tỷ sai phân bậc 0) -1 1/3 Tỷ sai phân bậc f[x0,x1] = f[x1,x2] = 1−1/3 0−(−1) 3−1 1−0 Tỷ sai phân bậc = 2/3 f[x0,x1,x2] = 2/3 =2 1.3 Cơng thức tìm P(x) theo bảng tỷ sai phân TIẾN P(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)(x - x1) + a3(x - x0)(x - x1)(x - x2) + + an(x - x0)(x - x1)(x - x2) (x - xn-1) a0 = f[x0] a1 = f[x0, x1] a2 = f[x0, x1, x2] an = f[x0, x1, x2, , xn] VD: x y (Tỷ sai phân bậc 0) -1 1/3 Tỷ sai phân bậc f[x0,x1] = f[x1,x2] = 1−1/3 0−(−1) 3−1 1−0 Tỷ sai phân bậc = 2/3 f[x0,x1,x2] = 2/3 =2 a0 a1 17 a2 TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 P(x) = 1/3 + 2/3(x + 1) + 2/3(x + 1)(x - 0) = 2/3x2 +4/3x + 1.4 Cơng thức tìm P(x) theo bảng tỷ sai phân lùi P(x) = a0 + a1(x - xn) + a2(x - xn)(x - xn-1) + + an(x - xn)(x - xn-1) (x - x1) a0 = f[xn] a1 = f[xn, xn-1] a2 = f[xn, xn-1, xn-2] an = f[xn, xn-1, , x3, x2, x1, x0] VD: x y (Tỷ sai phân bậc 0) -1 1/3 Tỷ sai phân bậc f[x0,x1] = f[x1,x2] = 1−1/3 0−(−1) 3−1 1−0 Tỷ sai phân bậc = 2/3 f[x0,x1,x2] = 2/3 =2 a0 a1 a2 P(x) = + 2(x - 1) + 2/3(x - 1)(x - 0) = 2/3x2 +4/3x +  Chú ý: 1) Kết tìm P(x) công thức nội suy Lagrange, Newton tiến, Newton lùi 2) Đối với toán bảng nội suy ta sử dụng cách (Công thức Lagrange, công thức Newton tiến, công thức Newton lùi) Nhưng để làm nhanh, ta làm sau: - Nếu tốn cho tồn HẰNG SỐ nên sử dụng NEWTON TIẾN, NEWTON LÙI - Nếu toán cho có chứa THAM SỐ nên sử dụng LAGRANGE Phương pháp bình phương cực tiểu 2.1 Nội dung: Từ bảng số liệu: x x1 x2 xn-1 xn y y1 y2 yn-1 yn 18 TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 Tìm hàm số có dạng biết trước cho tổng bình phương độ lệch so với bảng số liệu cho nhỏ  Trường hợp hàm số có dạng biết trước có dạng tổng quát: y = a.f(x) + b.g(x), f(x), g(x) cho trước; a, b số cần xác định Tổng bình phương độ lệch: � [� �(�� ) + �=1 �� �� �� �� � �=1 � �=1 � � =0 � �(�� ) − �� ]2 = �(�, �) đạt giá trị cực tiểu a, b thỏa hệ: =0 2[� �(�� ) + � �(�� ) − �� ] �(�� ) = 2[� �(�� ) + � �(�� ) − �� ] �(�� ) = � �=1 � �=1 �2 (�� ) + � � �=1 �(�� )�(�� ) = �(�� )�(�� ) + � � �=1 �2 (�� ) = � �=1 � �=1 �� �(�� ) �� �(�� ) 2.2 Đặc biệt: Hàm tuyến tính y = a + bx VD: Cho bàng số liệu sau: x 0.5 1.0 1.5 2.0 y 2.01 2.98 4.05 4.96 Tìm cơng thức dạng y = a + bx, theo phương pháp bình phương cực tiểu  Giải máy tính CASIO fx - 580VN x: Bước 1: Chọn “Thống kê”: Bấm [MENU]([SETUP]) → Bấm [6] → Bấm [2](y=a+bx) Bước 2: Nhập số liệu vào bảng Sau nhập xong bấm [AC]([OFF]) x y 0.5 2.01 2.98 1.5 4.05 2.0 4.96 19 TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 Bước 3: Bấm [OPTN]→ Bấm chọn xuống [∇] → Bấm [4](Hồi quy) → Bấm [1](a) → Bấm [=] Ta kết 1.02 Bấm [OPTN] → Bấm chọn xuống [ ∇ ] → Bấm [4](Hồi quy) → Bấm [2](b) → Bấm [=] Ta kết 1.984 Vậy y = 1.02 + 1.984x VD: Cho bảng số liệu sau: x 1.0 2.0 3.0 4.0 y 2.01 4.98 10.05 16.56 Tìm cơng thức dạng y = a + bx2 tho phương pháp bình phương cực tiểu  Chú ý: Đối với tốn tìm cơng thức khác dạng y = a + bx Ta đưa cơng thức dạng y = a + bx cách đặt ẩn t làm tương tự t = 1.0 4.0 9.0 16.0 4.98 10.05 16.56 x2 y 2.01 y = a + bt Kết quả: a = 1.1128; b = 0.9716 VD: Cho bảng số liệu: x 1.0 2.0 3.0 4.0 y 2.5 7.4 16.4 29.9 Tìm hàm y = a + b(x + 2) + c(x + 1)2 theo phương pháp bình phương cực tiểu => y = (a + b) + b(x + 1) + c(x + 1)2 Đặt t = x + 1; A = a + b; B = b; C = c => y = A + Bt +Ct2 Tính tương tự �=2 � =− 1.63 � = 2.15 � = 11.71 => � =− 5.93 � = 2.15 2.3 Dạng tổng quát: y = a.f(x) + b.g(x) VD: Cho bảng số liệu: x 1.3 1.6 1.8 2.1 2.4 2.6 y 1.27 1.75 3.9 4.25 5.46 6.87 (i=6) Tìm hàm y = a + x2 + b cos x theo phương pháp bình phương cực tiểu  Chú ý: Đối với dạng tổng quát y = a.f(x) + b.g(x), ta tính sau: 20 TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 � � � �=1 � �=1 � (�� ) + � � �=1 �(�� )�(�� ) = �(�� )�(�� ) + � � �=1 �2 (�� ) = � �=1 � �=1 �� �(�� ) �� �(�� )  Giải máy tính CASIO fx - 580VN x dựa theo hệ phương trình trên: Bước 1: Nhập theo thứ tự sau: A = A + ( + X2 )2 : B = B + cos(X) + X2 : C = C + Y + X2 : D = D + cos(X)2 : E = E + Ycos(X) Trong đó: A = �2 (�� ); B = �(�� )�(�� ); C = �� �(�� ); D = �2 (�� ); E = �� �(�� ) Bước 2: Bấm [CALC] → Nhập A = → Nhập X = 1.3 → Nhập B = → Nhập C = → Nhập Y = 1.27 → Nhập D = → Nhập E = → Bấm [=] → Ta giá trị A, B, C, D, E lần thứ → Bấm [=] → Ta nguyên giá trị A, B, C, D, E lần thứ thay đổi giá trị x = 1.6 y = 1.75 → Bấm [=] →Ta giá trị A, B, C, D, E lần thứ hai → Bấm [=] → Ta nguyên giá trị A, B, C, D, E lần thứ hai thay đổi giá trị x = 1.8 y = 3.90 → Bấm [=] → Ta giá trị A, B, C, D, E lần thứ ba → Bấm [=] → Ta nguyên giá trị A, B, C, D, E lần thứ ba thay đổi giá trị x = 2.1 y = 4.25 → Bấm [=] → Ta giá trị A, B, C, D, E lần thứ tư → Bấm [=] → Ta nguyên giá trị A, B, C, D, E lần thứ tư thay đổi giá trị x = 2.4 y = 5.46 → Bấm [=] → Ta giá trị A, B, C, D, E lần thứ năm → Bấm [=] → Ta nguyên giá trị A, B, C, D, E lần thứ năm thay đổi giá trị x = 2.6 y = 6.87 → Bấm [=] → Ta giá trị A, B, C, D, E lần cuối (i=6) Bước 3: Ta giải hệ phương trình ẩn Trong A, B, C, D, E giá trị lần cuối �� + �� = � �� + �� = � Kết quả: X = a = 1.2043433; Y = b = -3.5950588 Nội suy Spline bậc (Khó nhất) (Thi làm sau cùng!!!) 3.1 Nội suy Spline bậc biên tự nhiên 3.1.1 Nội dung: x x0 x1 x2 xn-1 xn y y0 y1 y2 yn-1 yn 21 TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 Tìm hàm Sj(x) đa thức bậc xác định [xj, xj + 1]  j = 0: S0(x) = a0 + b0(x - x0) + c0(x - x0)2 + d0(x - x0)3  j = 1: S1(x) = a1 + b1(x - x1) + c1(x - x1)2 + d1(x - x1)3  j = 2: S2(x) = a2 + b2(x - x2) + c2(x - x2)2 + d2(x - x2)3  Sj(x) = aj + bj(x - xj) + cj(x - xj)2 + dj(x - xj)3 Sj(x) thỏa điều kiện sau: �0 ≤ � ≤ �1 �1 ≤ � ≤ �2 �2 ≤ � ≤ �3 A) Sj(xj + 1) = Sj + 1(xj + 1) = yj + B) Sj’(xj + 1) = �'�+1 (xj + 1) C) Sj”(xj + 1) = �"�+1 (xj + 1) D) S0”(0) = �"�−1 (xn) = (biên tự nhiên) h0 = x - x h1 = x2 - x1 h2 = x3 - x2 hj = xj + - xj a j = yj �� = (*) ��+1 − �� ��+1 − 2�� − ℎ� ℎ� 3ℎ� �� = (**) ��+1 − �� 3ℎ� (***) Các hệ số cj tìm từ hệ phương trình Ax = B h0 2(h0 + h1 ) h1 A= 0 0 0 x= c0 c1 cn−1 cn h1 2(h1 + h2 ) 0 B= 0 h2 hn−2 h1 3 hn−1 0 0 0 2(hn−2 + hn−1 ) hn−1 (a2 − a1 ) − (a1 − a0 ) h0 (a3 − a2 ) − (a2 − a1 ) h (an − an−1 ) − (an−1 − an−2 ) h2 hn−2 22 TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 VD: Nội suy Spline bậc biên tự nhiên bảng: x0 = x1 = x2 = x3 = y0 = y1 = y2 = y3 = Thiết lập bảng sau: a0 = b0 = c0 = d0 = a1 = b1 = c1 = d1 = -3 a2 = b2 = c2 = -6 d2 =2 a3 = c3 =  S0(x) = + 0(x - 0) + 0(x - 0)2 + 1(x - 0)3 0≤�≤1  S1(x) = + 3(x - 1) + 3(x - 1)2 - 3(x - 1)3 1≤�≤2  S2(x) = + 0(x - 2) + 6(x - 2)2 + 2(x - 2)3 Các hệ số cj tính theo hệ phương trình: 1 0 0 Bài toán cho biên tự nhiên: c0 = cn = S(1.5) = S1(1.5) ≤ � ≤ 0 1 2≤�≤3 �0 �1 �2 = −21 �3 3.2 Nội suy Spline bậc biên ràng buộc  Các điều kiện A, B, C giống với biên tự nhiên Chỉ khác điều kiện D: �'0 (�0 ) = �, �'�−1 (�� ) = � (Biên ràng buộc) �, � giá trị cho trước  Cơng thức tính a, b, d khơng đổi Chỉ thay đổi cơng thức tính c Hệ phương trình tìm cj: 2ℎ0 ℎ0 −−− −−− −−− −−− −−− −−− A −−− −−− −−− −−− −−− −−− ℎ�−1 2ℎ�−1 (�1 − �0 ) − 3� �0 ℎ0 −−− = −−− −−− −−− �� 3� − (�� − ��−1 ) x (x0, xn ≠ 0) Các phần bỏ trống giống biên tự nhiên 23 ℎ�−1 B TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 VD: Hàm S(x) Spline bậc nội suy theo bảng số liệu x y 2.5 Với điều kiện ràng buộc �'0 (3) = � = 2, �'0 (5) = � = 0.25 Tính gái trị hàm S(x) điểm x = Thiết lập bảng: a0 = 2.5 b0 = 2.0 a1 = 6.0 c0 = 0.5 d0 = -0.3125 c1 = -1.375 S0(x) = 2.5 + 2(x - 3) + 0.5(x - 3)2 - 0.3125(x - 3)3 S(4) = 4.6875 S’(4) = 2.0625 Các hệ số cj tính theo hệ phương trình: 2 �0 = �1 (6 − 2.5) − (2) 3 (0.25) − (6 − 2.5) 24 TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 Chương 5: TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM Tính gần tích phân xác định 1.1 Cơng thức hình thang 1.1.1 Nội dung: Chia đoạn [a, b] thành n phần bời điểm x0, x1, x2, ,xn với bước chia h = Ký hiệu: y(xi) = yi (�−�) � dtD = dtD1 + dtD2 + + dtDn h dt(D1) ≈ diện tích hình thang = [y0 + y1]  Cơng thức hình thang (mở rộng): I= b h h f(x)dx ≈ (y0 + 2y1 + 2y2 + + 2yn−1 + yn ) = y + yn + 2 a 1.1.2 Sai số: �(2) ℎ2 12 n−1 i=1 (� − �) �(2) = Max �" (�) �∈[�, �] 1.2 Công thức Simpson Chia đoạn [a, b] thành n phần n số chẵn (n = 2m)  Công thức Simpson: I= VD: Tính gần b a m m−1 h y(x)dx ≈ y0 + y2m + y2m−1 + y2k k=1 k=1 h ≈ yđầu + ycuối + ylẻ + ychẵn 0.6 �� 1−� theo công thức Simpson với số khoảng chia n = 0.6 ℎ �� ≈ [�0 + �6 + 4(�1 + �3 + �5 ) + 2(�2 + �4 )] ≈ 0.4700 1−� 25 yi TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 Tính gần đạo hàm cấp 1, 2.1 Tính gần đạo hàm cấp f(x0 + h) = f(x0 ) + f' (x0 ) h + f" (x0 ) f(x0 − h) = f(x0 ) − f' (x0 ) h + f" (x0 ) (1)-(2) => �' (�� ) ≈ �(�� +�)−�(�� −�) �� h2 h2 +R + R' (2) (Cơng thức sai phân hướng tâm) 2.2 Tính gần đạo hàm cấp (1)+(2) => �" (�� ) ≈ (1) �(�� +�)+�(�� −�)−��(�� ) �� 26 TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 Chương 6: GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giải gần phương trình vi phân cấp Bài tốn giá trị ban đầu Cho phương trình vi phân cấp 1: y’(x) = f(x, y(x)) với điều kiện ban đầu y(x0) = y0 Tìm giá trị y(b) với b 1.1 Phương pháp Euler Nội dung: chia đoạn [x0, b] thành n phần nhau, điểm chia x0, x1, x2, , xn = b bước chia h = b−x0 n , ký hiệu y(xi) = yi Công thức Euler: yi + = yi + h.f(xi, yi) VD: Phương trình y’(x) = + (x - y)2 với điều kiện ban đầu y(2) = Tính gần nghiệm y(2.6) với bước h = 0.2 y’ = f(x, y) y(x0) = y0 f(x, y) = + (x - y)2  Bấm máy tính: - Lưu 2→ X, → Y, 0.2 → F Nhập Y = Y + F(1 + (X - Y)2) : X = X + F Bấm [CALC] → [=] theo cách lặp máy tính x0 = y0 = x1 = 2.2 y1 = 7/5 x2 = 2.4 y2 = 1.728 x3 = 2.6 y3 = 2.0183168 1.2 Phương pháp Euler cải tiến Nội dung: Công thức Taylor bậc y i + = yi + �1 +�2 k1 = h.f(x0, y0) k2 = h.f(xi + h, yi + k1) (i = 0) => y1 = y0 + �� +�� � 27 TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 k1 = h.f(x0, y0) k2 = h.f(x0 + h, y0 + k1) VD: Giải phương trình y’ = + (x - y)2 với điều kiện ban đầu y(2) = ví dụ trước theo phương pháp Euler cải tiến với h = 0.2 Tìm y(2.6) = y3  Bấm máy tính: - Lưu 2→ X, → Y, 0.2 → F - Nhập A = F(1+(X - Y)2) : B = F(1 + ((X + F) - (Y + A))2) : Y = Y + X+F - �+� :X= Bấm [CALC] → [=] theo cách lặp máy tính x0 = y0 = x1 = 2.2 y1 = 1.364 x2 = 2.4 y2 = 1.68236194 x3 = 2.6 y3 = 1.971640265 1.3 Công thức Runge - Kutta Nội dung: Công thức Taylor bậc (i = 0) => y1 = y0 + � � (�� + ��� + ��� + �� ) k1 = h.f(x0, y0) k2 = h.f �� + k3 = h.f �� + � � � � , �� + , �� + k4 = h.f(x0 + h, y0 + k3) �� � �� � VD: Giải theo Runge - Kutta, cho phương trình y’ = + (x - y)2 thỏa điều kiện y(2) = Tìm y(2.2) = y1 với h = 0.2  Bấm máy tính: Bước 1: Lưu 0.2→ F Bước 2: Nhập F(1+(X - Y)2) Bước 3: Bấm [CALC] → Nhập giá trị x0 = 2, y0 = → Bấm [=] → k1 → Lưu vào A → Bấm B→ hướng lên → Thay giá trị x0 + 28 � , y0 + � → Bấm [=] → k2 → Lưu vào TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH - MT1009 Bấm → Bấm hướng lên → Thay giá trị x0 + � , y0 + � → Bấm [=] → k3 → Lưu vào C hướng lên → Thay giá trị x0 + F, y0 + C → Bấm [=] → k4 → Lưu vào D k1 = 0.4 → A k2 = 0.362 → B k3 = 0.3689122 → C k4 = 0.3381413863 → D Bước 4: Nhập + �+2�+2�+� => y(2.2) = 1.366660964 ≈ 1.3667 29