Bài Tự Đọc ĐỊNH THỨC CẤP & MỘT SỐ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG CỦA ĐỊNH THỨC Định Thức Cấp Xét ma trận vuông cấp sau a11 a A 21 a31 a41 a12 a22 a13 a23 a32 a42 a33 a43 a14 a24 a34 a44 Định thức A gọi định thức cấp ký hiệu a11 a12 a13 a a a det( A) A 21 22 23 a31 a32 a33 a41 a42 a43 a14 a24 a34 a44 Để tính định thức này, người ta thường dùng cơng thức khai triển theo dịng khai triển theo cột sau Khai triển theo dòng i : A ( 1)i 1 Di1 ( 1)i 2 Di ( 1)i 3 Di ( 1)i 4 Di Khai triển theo cột j : A (1)1 j a1 j D1 j (1)2 j a2 j D2 j ( 1)3 j a3 j D3 j ( 1) 4 j a4 j D4 j Dij định thức thu từ A cách xóa dịng i xóa cột j (nghĩa xóa dịng & xóa cột chứa phần tử aij ) Và để ý Dij định thức cấp Trong thực hành, được, thường khai triển theo dòng (hoặc cột) cho dịng (hoặc cột) có chứa nhiều số 1 1 1 Bài tập minh họa : Tính định thức D 1 2 1 2 Hướng dẫn giải : Quan sát định thức cho, ta thấy cột có chứa nhiều số Vì vậy, ta nên khai triển theo cột Khai triển theo cột 2, ta có : 1 1 1 D ( 1)1 1 2 ( 1)4 ( 2) 1 1 2 Xóa dịng cột A 1 Xóa dịng cột A ThS Đào-Bảo-Dũng Trang Bài Tự Đọc Vậy : D ( 3) ( 12) ( 2) 18 Một Số Tính Chất Quan Trọng Của Định Thức Tính chất : Với ma trận Ann A AT Tính chất : Nếu đổi chỗ hai dịng, ta có định thức có giá trị ngược dấu với định thức cũ Tính chất : Nếu định thức có hai dịng giống tỷ lệ định thức có giá trị Tính chất : Nếu nhân số vào dịng định thức, ta có định thức có giá trị gấp lần định thức cũ Tính chất : Định thức ma trận tam giác có giá trị tích phần tử thuộc đường chéo Tính chất : Nếu cộng thêm vào dòng k lần dịng khác, ta có định thức có giá trị định thức cũ Tính chất : Với ma trận Ann Bnn A.B A B Chú ý : Nhờ tính chất 1, nên tính chất đến tính chất ta thay “dịng” “cột" Từ tính chất 4, ta có hệ sau : k Ann k n A với k a1 Ví dụ (tính chất 2) : b1 c1 a2 b2 c2 a3 c1 b3 b1 c3 a1 c2 b2 a2 c3 b3 (đổi chỗ dịng dịng 3) a3 Ví dụ (tính chất 3) : 6 0 2019 2020 2021 (vì dịng dịng giống nhau) 1 2020 10 2021 20 3 2022 30 (vì cột cột tỷ lệ nhau) a1 Ví dụ (tính chất 4) : k b1 c1 a2 b2 c2 a3 ka1 b3 kb1 c3 kc1 a2 b2 c2 a3 a1 b3 b1 c c1 ka2 kb2 kc2 a3 a1 b3 b1 c3 c1 a2 b2 c2 ka3 kb3 với k kc3 Ví dụ (tính chất 4) : Với , , ta có ThS Đào-Bảo-Dũng Trang Bài Tự Đọc a1 a2 b1 b2 c1 c2 a3 a1 a2 b3 b1 b2 c c1 c2 a3 a1 b3 b1 c3 c1 a2 b2 c2 a3 a1 b3 b1 c3 c1 a2 b2 c2 ka3 kb3 kc3 Ví dụ (hệ tính chất 4) : Xét ma trận A33 có A 2 Khi 3 A ( 3)3 A 54 Ví dụ (tính chất 5) : 1 1 2 0 3 0 24 Ví dụ (tính chất 7) : Với Ann A AT A AT (do tính chất 7) Mà AT A (do tính chất 1) nên suy A AT A Một số tập minh họa : 1 Bài tập : Tính D 1 2 1 1 2 1 Ta sử dụng tính chất để tính định thức cấp bốn D định thức cấp Cách thực sau Dùng tính chất (dòng trừ hai lần dòng 1, dòng cộng dòng 1, dòng cộng hai lần dòng 1) : 1 1 1 D 2 3 1 Khi đó, khai triển theo cột ta có : 11 D ( 1) 1 2 60 1 1 1 m 1 Bài tập : Tính định thức D với m tham số 1 m 1 1 m Ta sử dụng tính chất để tính định thức cấp bốn D định thức cấp Cách thực sau Dùng tính chất (dịng trừ dịng 1, dịng trừ dòng 1, dòng trừ dòng 1) : ThS Đào-Bảo-Dũng Trang Bài Tự Đọc 1 1 1 1 m 1 m 1 0 D 1 m 0 m 1 1 m 0 m 1 Áp dụng tính chất (định thức ma trận tam giác), ta có : 1 1 m1 0 ( m 1)3 0 m1 0 0 m1 1 1 m 1 Vậy : D ( m 1) 1 m 1 1 m a b c b c a Bài tập : Tính định thức D c a b bc ca ab 1 với a , b , c Ta sử dụng số tính chất định thức để tính D Cách thực sau Dùng tính chất (cộng cột 2, cột vào cột 1), ta có : abc b c abc c a D abc a b 2( a b c ) c a a b abc b c abc c a Ta thấy abc a b 2( a b c) c a a b 1 1 có cột tỷ lệ với cột 4, nên theo tính chất : abc b c abc c a abc a b 2( a b c) c a a b 1 0 Vậy : D với a , b , c ThS Đào-Bảo-Dũng Trang