1 1 dinh thuc tính chat

Bài Tự Đọc  ĐỊNH THỨC CẤP & MỘT SỐ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG CỦA ĐỊNH THỨC Định Thức Cấp Xét ma trận vuông cấp sau  a11  a A   21  a31   a41 a12 a22 a13 a23 a32 a42 a33 a43 a14   a24  a34   a44  Định thức A gọi định thức cấp ký hiệu a11 a12 a13 a a a det( A)  A  21 22 23 a31 a32 a33 a41 a42 a43 a14 a24 a34 a44  Để tính định thức này, người ta thường dùng cơng thức khai triển theo dịng khai triển theo cột sau  Khai triển theo dòng i : A  ( 1)i 1 Di1  ( 1)i 2 Di  ( 1)i 3 Di  ( 1)i 4 Di  Khai triển theo cột j : A  (1)1 j a1 j D1 j  (1)2  j a2 j D2 j  ( 1)3 j a3 j D3 j  ( 1) 4 j a4 j D4 j Dij định thức thu từ A cách xóa dịng i xóa cột j (nghĩa xóa dịng & xóa cột chứa phần tử aij ) Và để ý Dij định thức cấp Trong thực hành, được, thường khai triển theo dòng (hoặc cột) cho dịng (hoặc cột) có chứa nhiều số 1 1 1 Bài tập minh họa : Tính định thức D  1 2 1 2 Hướng dẫn giải : Quan sát định thức cho, ta thấy cột có chứa nhiều số Vì vậy, ta nên khai triển theo cột Khai triển theo cột 2, ta có : 1 1 1 D  ( 1)1   1 2  ( 1)4  ( 2)  1 1 2 Xóa dịng cột A 1 Xóa dịng cột A  ThS Đào-Bảo-Dũng Trang Bài Tự Đọc  Vậy : D  ( 3)  ( 12)  ( 2)   18 Một Số Tính Chất Quan Trọng Của Định Thức  Tính chất : Với ma trận Ann A  AT  Tính chất : Nếu đổi chỗ hai dịng, ta có định thức có giá trị ngược dấu với định thức cũ  Tính chất : Nếu định thức có hai dịng giống tỷ lệ định thức có giá trị  Tính chất : Nếu nhân số  vào dịng định thức, ta có định thức có giá trị gấp  lần định thức cũ  Tính chất : Định thức ma trận tam giác có giá trị tích phần tử thuộc đường chéo  Tính chất : Nếu cộng thêm vào dòng k lần dịng khác, ta có định thức có giá trị định thức cũ  Tính chất : Với ma trận Ann Bnn A.B  A B Chú ý :  Nhờ tính chất 1, nên tính chất đến tính chất ta thay “dịng” “cột"  Từ tính chất 4, ta có hệ sau : k Ann  k n A với k   a1 Ví dụ (tính chất 2) : b1 c1 a2 b2 c2 a3 c1 b3   b1 c3 a1 c2 b2 a2 c3 b3 (đổi chỗ dịng dịng 3) a3 Ví dụ (tính chất 3) : 6 0 2019 2020 2021 (vì dịng dịng giống nhau) 1 2020 10 2021 20  3 2022 30 (vì cột cột tỷ lệ nhau) a1 Ví dụ (tính chất 4) : k  b1 c1 a2 b2 c2 a3 ka1 b3  kb1 c3 kc1 a2 b2 c2 a3 a1 b3  b1 c c1 ka2 kb2 kc2 a3 a1 b3  b1 c3 c1 a2 b2 c2 ka3 kb3 với k   kc3 Ví dụ (tính chất 4) : Với  ,  ,    ta có  ThS Đào-Bảo-Dũng Trang Bài Tự Đọc  a1  a2 b1  b2 c1  c2 a3 a1  a2 b3   b1  b2 c c1 c2 a3 a1 b3   b1 c3 c1 a2 b2 c2 a3 a1 b3   b1 c3 c1 a2 b2 c2 ka3 kb3 kc3 Ví dụ (hệ tính chất 4) : Xét ma trận A33 có A  2 Khi 3 A  ( 3)3 A  54 Ví dụ (tính chất 5) : 1 1 2 0 3 0      24 Ví dụ (tính chất 7) : Với Ann A AT  A AT (do tính chất 7) Mà AT  A (do tính chất 1) nên suy A AT  A  Một số tập minh họa : 1  Bài tập : Tính D  1 2 1 1 2 1 Ta sử dụng tính chất để tính định thức cấp bốn D định thức cấp Cách thực sau Dùng tính chất (dòng trừ hai lần dòng 1, dòng cộng dòng 1, dòng cộng hai lần dòng 1) : 1 1 1 D 2 3 1 Khi đó, khai triển theo cột ta có : 11 D  ( 1) 1   2  60  1 1 1 m 1  Bài tập : Tính định thức D  với m   tham số 1 m 1 1 m Ta sử dụng tính chất để tính định thức cấp bốn D định thức cấp Cách thực sau Dùng tính chất (dịng trừ dịng 1, dịng trừ dòng 1, dòng trừ dòng 1) :  ThS Đào-Bảo-Dũng Trang Bài Tự Đọc  1 1 1 1 m 1 m 1 0 D  1 m 0 m 1 1 m 0 m 1 Áp dụng tính chất (định thức ma trận tam giác), ta có : 1 1 m1 0  ( m  1)3 0 m1 0 0 m1 1 1 m 1 Vậy : D   ( m  1) 1 m 1 1 m a b c b c a  Bài tập : Tính định thức D  c a b bc ca ab 1 với a , b , c   Ta sử dụng số tính chất định thức để tính D Cách thực sau Dùng tính chất (cộng cột 2, cột vào cột 1), ta có : abc b c abc c a D abc a b 2( a  b  c ) c  a a  b abc b c abc c a Ta thấy abc a b 2( a  b  c) c  a a  b 1 1 có cột tỷ lệ với cột 4, nên theo tính chất : abc b c abc c a abc a b 2( a  b  c) c  a a  b 1 0 Vậy : D  với a , b , c    ThS Đào-Bảo-Dũng Trang