Thuvienhoclieu com so hoc 6 chuyen de 5 chu de 1 dinh nghia tinh chat so nguyen to hop so

thuvienhoclieu.com ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 1:ĐỊNH NGHĨA,TÍNH CHẤT,SỐ NGUN TỐ,HỢP SỐ PHẦN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1,chỉ có ước -Số nguyên tố nhỏ vừa số nguyên tố chẵn số -Không thể giới hạn số nguyên tố tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số ngun tố vơ hạn -Khi số ngun tố nhân với tích chúng khơng số phương -Ước tự nhiên nhỏ khác số tự nhiên coi số nguyên tố -Để kết luận số tự nhiên a số nguyên tố , cần chứng minh a không chia hết cho số ngun tố mà bình phương khơng vượt q a -Nếu tích -Đặc biệt ( số nguyên tố) ( số nguyên tố) -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: -Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố đơn vị 2.HỢP SỐ -Hợp số số tự nhiên lớn lơn có nhiều ước nguyên dương -Để chứng tỏ số tự nhiên hợp số,chỉ cần ước khác -Ước số nhỏ khác hợp số số ngun tố bình phương lên khơng vượt -Một hợp số tổng ước (khơng kể nó) gọi là: Số hoàn chỉnh -Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách (không kể thứ tự thừa số) 3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com -Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn nguyên tố với - Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố - Hai số nguyên tố khác nguyên tố - Các số nguyên tố khác nguyên tố - Các số - nguyên tố nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố ngun tố sánh đơi 4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT - Định lí Đirichlet: Tồn tai vơ số số ngun tổ p có dạng: - Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên - Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn đến số tự nhiên có số nguyên tố tổng số nguyên tố PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Tính chất đặc trưng số nguyên tố cách nhận biết số nguyên tố,hợp số I.Phương pháp giải - Dựa vào dấu hiệu chia hết tính chất số nguyên tố ,hợp số, để giải toán chứng minh giải thích - Thơng qua việc phân tích xét hết khả xảy ra, đối chiếu với giả thiết định lý, hệ học để loại bỏ trường hợp mâu thuẫn nhận biết đâu số nguyên tố, hợp số II.Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng: a, Mọi số nguyên tố vượt có dạng: b, Mọi số nguyên tố vượt có dạng: Lời giải: a, Gọi -Nếu số tự nhiên lớn Khi hay có dạng hợp số thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Suy số nguyên tố Vì có dạng nên suy số nguyên tố vượt có dạng: (đpcm) b, Gọi số tự nhiên lớn 3.Khi -Nếu hay -Nếu Suy hợp số hợp số số nguyên tố Vì có dạng có dạng nên suy số nguyên tố vượt có dạng: (đpcm) Bài 2: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số nguyên tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn Bài 3: Tổng số ngun tố 2003 khơng ? Lời giải: Ta thấy 2003 số lẻ nên 2003 tổng hai số nguyên tố hai số phải số chẵn Vậy số lại 2001 2001 lại khơng số ngun tố Vậy tổng hai số ngun tó khơng thể 2003 Bài 4: Cho cho 12 hai số nguyên tố lớn Chứng minh tổng chúng chia hết Lời giải: Ta thấy TH1: Mà TH2: số nguyên tố lớn nên có dạng số lớn nên hợp số ( Trái với GT, loại ) Khi thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 5: Cho số nguyên tố hai nguyên tố hay hợp số số nguyên tố Hỏi số cịn lại số Lời giải: -Nếu hợp số -Nếu hợp số -Nếu không chia hết cho Vậy số chia hết cho hợp số Vậy số lại hợp số Bài 6: Hai số số ngun tố hay khơng ? Vì ? Lời giải: Vì số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3.Mà nguyên tố nên không chia hết cho Mà Từ số nên suy số , phải chia hết cho Hai số số nguyên tố Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3,trong số sau lớn số trước đơn vị.Chứng minh Lời giải Các số nguyên tố lớn nên có dạng Có số mà có dạng nên tồn hai số thuộc dạng, hiệu chúng ( hết cho ( theo nguyên lý Drichlet ) Mặt khác hết cho chia hết cho hiệu hai số lẻ.Vậy ) chia chia Bài 8: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số nguyên tố sinh đơi chia hết cho Lời giải: Gọi số nguyên tố lơn lẻ nên thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Mà số nguyên tố lớn nên Dạng Từ có dạng khơng xảy hợp số (Loại) ĐPCM , Bài 9: Cho hai số nguyên tố lớn Hỏi số nguyên tố hợp số ? Lời giải: Ta thấy số nguyên tố lớn nên TH1: Mà có dạng số lớn nên hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: Khi Mà số lớn nên Bài 10: Cho hợp số hai số nguyên tố lớn Hỏi số nguyên tố hay hợp số ? Lời giải: Ta thấy TH1: Mà TH2: số nguyên tố lớn nên p có dạng số lớn nên hợp số ( Trái với GT, loại ) Khi Mà số lớn nên hợp số Bài 11: Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải: số nguyên tố Giả sử hợp số Nếu Nhưng với Vậy có dạng có ước nguyên tố cho p chia hết cho ( Vô lý ) số nguyên tố Bài 12: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư Tìm biết khơng số ngun tố Lời giải: Gọi số ngun tố ( ) Ta có: Vì số nguyên tố nên r không chia hết cho Số nguyên dương không số nguyên tố nhỏ 30 khơng chia hết cho Vậy có số Bài 13: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư Tìm r biết hợp số Lời giải: Gọi số nguyên tố ( ) Ta có: Vì số ngun tố nên không chia hết cho Số nguyên dương hợp số nhỏ 42 không chia hết cho Vậy có số 25 Bài 14: Trong dãy số tự nhiên tìm 1997 số liên tiếp mà khơng có số ngun tố hay khơng ? Lời giải: Chọn dãy số: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com …… ………… Như vậy: Dãy số gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp khơng có số số nguyên tố Bài 15: Trong dãy số tự nhiên tìm hay khơng ? số liên tiếp mà khơng có số ngun tố Lời giải: Chọn dãy số: nên hợp số nên hợp số nên hợp số …… ………… nên Như vậy: Dãy số gồm có hợp số số tự nhiên liên tiếp khơng có số số nguyên tố Bài 16: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố cịn lại số ngun tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn Bài 17: Chứng minh tổng lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên tố Lời giải: Số nguyên tố Với Với chia cho 30 dư là: tương tự với tương tự với , , , , thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Suy Giả sử số nguyên tố lớn Khi số nguyên tố nên Dạng 2:Tìm số nguyên tố p để thỏa mãn điều kiện I.Phương pháp giải - Trong số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho - Nắm tính chất đặc trưng số nguyên tố để giải toán II.Bài toán Bài 1: Tìm số nguyên tố cho số sau số nguyên tố: a, b, Lời giải: a, Vì số nguyên tố 10;14 hợp số có dạng -Nếu hợp số (Loại) -Nếu hợp số (Loại) -Nếu Vậy (vì b, Vì số nguyên tố) (đều số nguyên tố,thỏa mãn) số nguyên tố số nguyên tố có dạng -Nếu hợp số (loại) -Nếu hợp số (loại) -Nếu hợp số (loại) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com -Nếu hợp số (loại) -Nếu mà số nguyên tố nên số nguyên tố (thỏa mãn, lấy) Vậy số nguyên tố Bài 2: Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố Lời giải: Gọi số lẻ liên tiếp là: Trong số lẻ liên tiếp ln có số chia hết cho -Nếu tố) (vì số nguyên tố) -Nếu (vì số nguyên tố) -Nếu số nguyên tố) (vì số ngun tố) (Loại khơng số ngun (Loại -1 khơng phải số tự nhiên) (Thỏa mãn Vậy số tự nhiên lẻ cần tìm 3,5,7 Bài 3: Tìm số nguyên tố cho vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Lời giải: Giả sử số ngun tố cần tìm ta có ( số nguyên tố ) Để số ngun tố chẵn Giả sử có hai số số chẵn có hai số số Ta có: Ta thấy số nguyên tố lẻ liên tiếp Theo câu a Thử lại: Vậy số cần tìm thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 4:Tìm để dãy số chứa nhiều số nguyên tố Lời giải: -Nếu Ta có dãy số có số nguyên tố -Nếu Ta có dãy số có số nguyên tố -Nếu Ta có dãy số có số nguyên tố -Nếu Dãy số chẵn liên tiếp Có số nguyên tố Có số nguyên tố Có số nguyên tố gồm số lớn bao gồm số lẻ liên tiếp sơ Vì số dãy lớn nên suy số chẵn liên tiếp hợp số số lẻ liên tiếp tồn số chia hết cho số hợp số Vậy giá trị cần tìm Bài 5: Ta gọi số nguyên tố liên tiếp nguyên tố liên tiếp cho số ngun tố khác Tìm số số nguyên tố Lời giải: +Nếu khác mà số nguyên tố chia dư dư ( hay dư -1 ) chia dư chia hết cho Vậy tồn số TH1: Ba số nguyên tố 2, 3, Khi hợp số ( Loại ) TH2: Ba số nguyên tố 3, 5, Khi số nguyên tố ( Thỏa mãn ) Vậy số nguyên tố liên tiếp cần tìm là: Bài 6: Tìm số nguyên tố cho: Lời giải: Vì r số lẻ ( số nguyên tố ) có số lẻ số chẵn Giả sử số chẵn chẵn ( số nguyên tố ) thuvienhoclieu.com Trang 10