Hàm Hai Biến.pdf

Hàm hai biến 1 Hàm hai biến 1 Tập ℝ2 1 Kí hiệu ℝ2 = { (x, y) x, y  ℝ }  (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’) (x, y) = (x, y)  A(a, b), X(x, y)  (Oxy) 2 Cho A(a, b), X(x, y)  ℝ2 và D  ℝ2  ||[.]

Hàm hai biến Hàm hai biến Tập ℝ2 Kí hiệu ℝ2 = { (x, y) : x, y  ℝ }  (x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’) (x, y) = (x, y)  A(a, b), X(x, y)  (Oxy) Cho A(a, b), X(x, y)  ℝ2 D  ℝ2  || X || = +  AX = || X – A || = XA  ( − ) +( − ) AX   d(D) = sup{ AB : A, B  D } D giới nội  d(D) <  Cho D  ℝ2 A  ℝ2  B(A, ) = { X  ℝ2 : AX <  } = (A) B*(A, ) = { X  ℝ2 : < AX <  } = (A*)  Điểm Điểm biên   (A)  D   (A)  D, (A)  ℝ2 – D    D0 , D D = D  D D0  D  D  D : mở  D = D0, D : đóng  D = D Cho D  ℝ2 A, B  D  D liên thông   (A, B)  D,  D  Miền = Mở / đóng + liên thơng Compact = Miền đóng + giới nội Hàm hai biến Cho miền D  ℝ2 Hàm hai biến f : D  ℝ, (x, y)  z = f(x, y)  Biến x, y, hàm z, miền D, đồ thị G(f) = { (x, y, f(x, y)) : (x, y)  D }  Quan hệ z = f(x, y) D = { (x, y)  ℝ2 :  f(x, y) <  } Ví dụ 1) z = x + y D = ℝ2 2) z = D:y0 Cho f : D  ℝ A(a, b)  D  Hàm riêng g(x) = f(x, b) h(y) = f(a, y)  f có tính chất   g, h có tính chất  Ví dụ Hàm f(x, y) = x2 – y2 O(0, 0)  Maple (1) g(x) = x2 đạt CT a = h(y) = – y2 đạt CD b =  f(x, y) không đạt cực trị O = (0, 0) Tập F(D, ℝ) = { f : D  ℝ } X(x, y)  D  (f + g)(X) = f(X) + g(X) (f  g)(X) = f(X)  g(X),  Hàm hợp định nghĩa sau  Hàm sơ cấp  hàm riêng hàm sơ cấp Đặt vấn đề tương tự với ℝn = { (x1, , xn) : xk  ℝ } Giới hạn Giới hạn Cho f : D  ℝ, A(a, b)  D ℓ  ℝ  lim f(X) = ℓ →    > 0,   > :  X  D, < || X – A || <   | f(X) – ℓ | <  Maple (2)  (x, y)    x   y   lim f(x, y) = ℓ  → → lim ( , )=ℓ → →  lim f(X) =  →  lim → ( ) =0 f(X) > +, f(X) < – Phân biệt với giới hạn hàm biến  ax = | x – a | AX = || X – A ||  x  a0 X  A theo hướng a+0 a–0 A Các tính chất tương tự hàm biến 1) f(x, y) ⎯⎯ ℓ  f(x, b) ⎯⎯ ℓ ( , ) → f(a, y) ⎯⎯ ℓ → 2) Tổng (hiệu), tích (thương) có giới hạn lim (f + g) =  lim f + lim g lim (f  g) = lim f  lim g lim = 3) Hàm hợp có giới hạn 4) Hàm sơ cấp có giới hạn bên D Ví dụ Khảo sát điểm gốc O(0, 0) 1) f(x, y) = Giải  f(x, 0) = ⎯⎯ → f(0, y) = –1 ⎯⎯ → –1 Hàm khơng có giới hạn 2) f(x, y) = Giải  f(x, 0) = ⎯⎯ 0, f(0, y) = ⎯⎯ → f(x, –x + x2) = → ( Hàm khơng có giới hạn = – + x ⎯⎯ –1  ) ( , ) 3) f(x, y) = Giải  | y | ⎯⎯  | f(x, y) |  ( , ) lim Hàm có giới hạn =0 ( , ) →( , ) Sự liên tục Cho f : D  ℝ A  D  f liên tục A lim f(X) = f(A)   f liên tục D  → f liên tục  X  D Tập C(D, ℝ) Các tính chất tương tự hàm biến 1) f(x, y) liên tục (a, b)  f(x, b) liên tục a f (a, y) liên tục b 2) Tổng (hiệu), tích (thương) liên tục 3) Hàm hợp liên tục 4) Hàm sơ cấp liên tục bên D Ví dụ Khảo sát tính liên tục hàm f(x, y) = (x, y)  (0, 0) f(0, 0) = Giải  D = ℝ2  (x, y)  (0, 0) hàm f liên tục  Tại (0, 0) +) f(x, x) = ⎯⎯ ( , ) +) f(x, –x) = − ⎯⎯ − ( , ) Hàm f không liên tục  f(x, 0) = f(0, y) = liên tục Cho hàm f liên tục compact D 1)  X  D, m  f(X)  M 2)  X1, X2  D : f(X1) = m, f(X2) = M 3)  m <  < M,  f(X  D) = 