Đạo hàm

Đạo hàm Đạo hàm cấp Đạo hàm điểm Cho f : I  ℝ a  I  Đạo hàm điểm a : f’(a) =  Đạo hàm bên phải (trái) : f’p/t(a) = ( ) ( ) → ( ) ( ) →± Các tính chất 1) f’(a)   f(x) – f(a) ~ f’(a)(x – a) 2)  f’(a)  f liên tục a 3)  f’(a)  f’p(a) = f’t(a) ≤ Tính f’(0) ? ( − 1) > Ví dụ Cho f(x) = Giải  a = 0, f(0) = +) h < : +) h > : ( ) ( ( ) ) = ( ) ⎯⎯⎯ = f’t(0) → = ⎯⎯⎯ –2 = f’p(0) →  ∄ f’(0) Maple (1) Đạo hàm số đo biến thiên hàm theo biến  x = x – a, y = f(x) – f(a), ∆ ∆  s = s(t), t  ∆ ∆ ∆ ∆ = vtb ⎯⎯ v(t) = s’(t) → = wtb ⎯⎯ w(t) = v’(t) = s”(t) → =? Đạo hàm hệ số góc tiếp tuyến  ∆ ∆ = tan() ⎯⎯ → f’(a) = tan() Maple (2)  Phương trình tiếp tuyến y = f’(a)(x – a) + f(a)  Phương trình pháp tuyến y=− ( ) (x – a) + f(a) Đạo hàm cấp Cho f : I  ℝ  Hàm có đạo hàm I   f’(x  I) Đạo hàm cấp f’ : I  ℝ, x  f’(x) Tập C1(I, ℝ) ≤ Ví dụ Cho f(x) = ( Tính f’(x) ? − 1) > Giải  x < 0, f(x) = ex x > 0, f(x) = (x – 1)2  f’(x) = ex  f’(x) = 2(x – 1) ∄ f’(0) <  f’(x) = 2( − 1) > (Thác triển đạo hàm) f ∶ I  ℝ liên tục f’ ∶ I – {a} ℝ liên tục   f’(x) = ℓ  f’(a) = →  f’t(a) = f’(a–0) f’p(a) = f’(a+0) → f’(x) Qui tắc tính đạo hàm Các qui tắc tính 1) Tổng (hiệu), tích (thương), hàm hợp, hàm ngược hàm có đạo hàm có đạo hàm a) (u + v)’ = u’ + v’ b) (u.v)’ = u’.v + u.v’ c) z’(x) = z’(y).y’(x) d) ( )= = ( ) 2) Hàm sơ cấp thuộc lớp C1 bên I Đạo hàm hàm mũ 1) y = ex  y’(a) = y’ = ex = → = ea → 2) Suy y = ln(x) y’ = y = ax y’ = ax lna y = loga(x) y’ = y = x y’ = x–1 Đạo hàm lượng giác 1) y = cos(x)  y= ( + ) y’ = – sin(x) 2) Suy y = sin(x) y’ = cos(x) y = cos( – x) = cosu(x) y = tan(x) y’ = y = arcsin(x) y’ = √ y = arctan(x) y’ = Đạo hàm hyperbole 1) y = ch(x)  y= ( ) + y’ = sh(x) 2) Suy y = sh(x) y’ = ch(x) y = th(x) y’ = y = arcsh(x) y’ = √ Ví dụ Tính đạo hàm y = u(x)v(x) với u, v  C1 Giải  Hàm f  C1 < u(x)  y = uv  ln y = v ln u  Đạo hàm hai vế = v’.ln u + v y’ = y(v’.ln u + v ) Đạo hàm cấp cao Đạo hàm f(n–1) đạo hàm cấp n f”(x) = { f’(x) }’, …, f(n)(x) = { f(n–1)(x) }’ Tập Cn(I, ℝ) Các qui tắc tính 1) Tổng (hiệu), tích (thương), hàm hợp, hàm ngược hàm có đạo hàm cấp n có đạo hàm cấp n a) (u + v)(n) = u(n) + v(n) ( ) (uv)(n) = ∑ b) ( ) (Leibniz) 2) Hàm sơ cấp thuộc lớp C bên I Tính đạo hàm cấp cao 1) y = ln(1 + x) Giải  f  C x > –1 y = ln(1 + x), y’ = y” =  y (k) ( = ( )…( (  y )( ( )( = (−1) ) ) ) ) y(k+1) = ((−1) (n) ( , y”’ = ) , = (−1) ( )! ( ) ( )! ( ) , ( )! ( ) )′ = (−1) ( )! ( ) 2) y = x2 cos x Giải  u = x2  C ℝ u’ = 2x, u” = 2, u(3) = =  v = cos x  C ℝ v’ = cos(x + ), , v(n) = cos(x + n )  y(n) = (u.v)(n) = u.v(n) + u’.v(n–1) + u”.v(n–2) + + + = 3) y = arctan x x = Giải  f  C ℝ y’ =  (1 + x2)y’ =  (u.v)(n–1) = (1 + x2)y(n) + n(2x).y(n–1) + ( ) (2)y(n–2) =  x=0 y(n)(0) + n(n – 1)y(n–2)(0) = y(0) = y’(0) = = y(n)(0) = = ( ) ( −1 + 1)! = +