Đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng Cho f : D  ℝ A(a, b)  D  Đạo hàm riêng (A) = lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) → (A) = lim → Kí hiệu ,  DHR = DH hàm riêng (a, b) = ( , )| (a, b) = ( , )| Cho f : D  ℝ  Hàm f có DHR D  có DHR  X  D  DHR cấp : D  ℝ, (x, y)  (x, y) : D  ℝ, (x, y)  (x, y) Tập C1(D, ℝ) Qui tắc tính hàm biến 1) Đạo hàm theo x xem y số ngược lại 2) Tổng (hiệu), tích (thương) có DHR 3) Hàm sơ cấp thuộc lớp C1 bên D Ví dụ Khảo sát tính chất C1 1) f(x, y) = x3 + y3 – 3xy Giải  f  C1(D = ℝ2) = 3x2 – 3y 2) f(x, y) = = 3y2 – 3x với x + y  f(0, 0) = Giải  Maple (1) Hàm f  C1( x + y  ) −( = =( ) ) , =( )  Tại (0, 0) ( , ) ( , ) = ⎯⎯ = (0, 0) = ⎯⎯ = (0, 0) → ( , ) ( , ) →  Hàm có DHR khơng liên tục (0, 0) 3) f(x, y) = với (x, y)  (0, 0) f(0, 0) = Giải  Maple (2) Hàm f  C1((x, y)  (0, 0)) ( z= ) + =− , ( = ) ( )  Tại (0, 0) | f(x, y) |  | y |2 ⎯⎯ ( , ) = f(0, 0) Hàm liên tục ( , ) ( , ) = ⎯⎯ = → ( , ) ( , ) = | | ⎯⎯ = → (0, 0) (0, 0) Hàm có DHR | (x, y) |  | x | ⎯⎯ = | (x, y) |  3| y | ⎯⎯ = ( , ) DHR liên tục ( , ) (0, 0) (0, 0) Hàm hợp Cho hàm (u, v) : D  ℝ2, (x, y)  (u(x, y), v(x, y))  E f : E  ℝ, (u, v)  f(u, v)  Hàm hợp g : D  ℝ, (x, y)  f(u(x, y), v(x, y)) (Đạo hàm hàm hợp) (u, v)  C1(D), f  C1(E)  + = g  C1(D) + = Cho hàm u : D  ℝ, (x, y)  (x, y)  I f : I  ℝ, u  f(u)  Hàm hợp g : D  ℝ, (x, y)  f(u(x, y))  u  C1(D), f  C1(I) = ( ) g  C1(I)  = ( ) Cho hàm (u, v) : I  ℝ2, x  (u(x), v(x))  E f : E  ℝ, (u, v)  f(u, v)  Hàm hợp g : I  ℝ, x  f(u(x), v(x))  (u, v)  C1(I), f  C1(E) g’(x) = ( )+  ( ) g  C1(I) Ví dụ Tính đạo hàm riêng 1) z = ln(x2 + y2) Giải  z = ln(u) với u = x2 + y2 f’(u) =  = , = 2x , = , = 2y = = 2) z = f(u, v) với u = sin(x) , v = cos(x) Giải =  ( , ), = ( , ) u’(x) = cos(x), v’(x) = –sin(x)  z’(x) = cos(x) – sin(x) 3) z = f(u, v) với u = x + y v = x – y Giải  = ( , ), = 1,  = = =1, + , ( , ) = 1, = = –1 – Hàm ẩn Cho f : D  ℝ  f(x, y) =  y = (x), x  I ? Ví dụ Tìm hàm ẩn 1) xy – x2 + = Giải  PT  ! y=x– với x   y  C1(ℝ – {0}) y’(x) = + (Đạo hàm hàm ẩn) Cho f  C1(D, ℝ), A(a, b)  D0 : f(A) = (A)  Khi  !   C1(I, J) : 1) f(x, y) = 2) ’(x) = − y = (x)  ( , ) ( ) ( )  Hàm (x) hàm ẩn, xác định f(x, y) = Ví dụ Khảo sát hàm ẩn x2 + y = 1) Giải  f(x, y) = x2 + y2 – f  C1(D = ℝ2) f’x = 2x, f’y = 2y   y0  y0 x2 + y =  y = y(x)  C1(y  0) y’(x) = −  y > (y < 0) x2 + y =  y’(x) = − 2) =− √ arctan(  C1(y > 0) y = √1 − ) = ln + Giải  f(x, y) = arctan( = , = + ) – ln 0   C1(x  0) x+y0  A(a, b  – a) PT  y = (x)  C1(a) y(x) = – y”(x) = − =− ( =− ( =− ) ) ( ( ) ) ( ) (Hàm nhiều biến) Cho f  C1(, ℝ), A(a, b, c)  0: f(A) = (A)  Khi  !   C1(D, J) : 1) f(x, y, z) = ( , , ) = − 2)  , ( , ) z = (x, y) ( , ) = − ( , ) Đạo hàm cấp cao Cho f : D  ℝ  DHR DHR cấp (n–1) DHR cấp n (x, y) = { ( , )} (x, y) = { ( , )} (x, y) = ( , ) (x, y) = ( , )  Các kí hiệu , , , Tập Ck(D, ℝ) Các tính chất đạo hàm biến 1) Tổng (hiệu), tích (thương) hàm lớp Ck 2) Hàm hợp hàm lớp Ck 3) C(D, ℝ)  Ck(D, ℝ)   C(D, ℝ) 4) Hàm sơ cấp thuộc lớp C bên D Ví dụ Tính DHR cấp hai f(x, y) = Giải  f  C( x + y  )  = ( ) = −( = −( , , ) = ) ( ) ( ) = , = ( ) Maple (3) (Định lý Schwarz) Cho f  C1(D, ℝ)  , liên tục  (x, y) = (x, y)  DHR cấp cao không phụ thuộc thứ tự đạo hàm Ví dụ Khảo sát hàm f(x, y) = , (x, y)  (0, 0) f(0, 0) = Giải  f  C(ℝ2 – (0, 0)) = ( ) , = ( )  Tại (0, 0) f(x, 0) = f(0, y) =  f x (0, 0) = f y (0, 0) = | (x, y) |  | x | ⎯⎯ (x, y) |  | y | , | ( , )  f  C1(ℝ2) ( , ) ( , ) = –1 ⎯⎯ –1 = → ( , ) ( , ) = ⎯⎯ = → (0, 0) (0, 0)  (0, 0)