Hàm Liên Tục.pdf

Hàm liên tục 1 Hàm liên tục 1 Cho f I  ℝ và a  I  Hàm liên tục tại a  lim �→� f(x) = f(a)  Hàm liên tục phải (trái)  lim �→�±� f(x) = f(a)  Hàm liên tục trên I  liên tục tại  x  I Tập C(I, ℝ[.]

Hàm liên tục Hàm liên tục Cho f : I  ℝ a  I  Hàm liên tục a  f(x) = f(a)  Hàm liên tục phải (trái) lim f(x) = f(a) lim →  → ±  Hàm liên tục I tục  x  I Tập C(I, ℝ) Maple (1)  liên Liên tục a 1) f liên tục a  liên tục phải, trái 2) f liên tục a, f(a) > ( )  f(x) > ( ) ( ) 3) f liên tục a | f(x) | ≤  ( ) M Các tính chất 1) f, g  C(I, ℝ)  f + g, f.g, f /g  C(I, ℝ) 2) f  C(I, ℝ) g  C(J, ℝ)  gof  C(I, ℝ) 3) f  C(I, ℝ)  f–1 : J  ℝ  f–1  C(J, ℝ) 4) Hàm sơ cấp liên tục bên I Các định lý (Trị lớn nhất, bé nhất) Cho f  C([a, b], ℝ)  x1, x2  [a, b] :  f(x1)  f(x)  f(x2)  min(f) = f(x1), max(f) = f(x2)  m  f(x)  M Maple (2) (Trị trung gian) Cho f  C([a, b], ℝ)  m <  < M,  c  (a, b) :  = f(c)  f(a)f(b) <   c  (a, b) : f(c) =0  f(x)   f(x) > f(x) <  f() = (Hàm ngược) Cho f  C(I, ℝ) đơn điệu thực Khi  f–1 : J = f(I) ℝ liên tục đơn điệu chiều với f (Thác triển liên tục) Cho f : I – {a}  ℝ liên tục cho lim f(x) = ℓ Khi → g : I  ℝ, x  g(x) = ( ) ≠ ℓ = liên tục I Phân loại gián đoạn Cho f : I  ℝ a  I̅  a gián đoạn  f không liên tục điểm a  Gián đoạn loại :  f(a+0), f(a–0) <  +) Bỏ qua : f(a+0) = f(a–0) +) Không bỏ qua  Gián đoạn loại : Phân loại điểm gián đoạn hàm sơ cấp  Tìm điểm biên, điểm ghép  Tính giới hạn điểm Ví dụ Phân loại điểm gián đoạn f(x) = Giải  D(f) : sin(x)   x  k  x = điểm gián đoạn loại lim = lim =1 → →  x = k  điểm gián đoạn loại hai lim = –, lim = + Maple (3) Khử dạng vô định Dạng ( )  lim → = lim →  QT L’hopital Ví dụ Tìm giới hạn lim → Giải  t=x–0  x=t+ sin(mx) = sin(mt + m) = (–1)m sin(mt) ~ (–1)m (mt) sin(nx) =  ℓ = lim (−1)( → ) ( ) ( ) Dạng ( ) ( = lim ( → ) ) =  lim = lim → = lim → →  QT L’hopital Dạng (0)  (.A) → .A = ( ) .A = Ví dụ Tìm √ − 1 ) Giải +1=  √ +1− √ → ( ) 1+ ~ 1+  ℓ= = + → − − =1 → Dạng (–)  (A – B) → ∞ ≁ × ∞ ~ A – B = B( – 1) ⎯⎯ → Ví dụ Tìm → − Giải  f(x) = sin x ~ x, sin x ~  ℓ= = → − =0 → Dạng (uv)  (00, 0, 1, 0) → +) → = AB ( +) (1) : ℓ= →  y = uv : ln y(x) = → ) → vln(u) Ví dụ Tìm giới hạn ℓ = → Giải  u= ⎯⎯⎯⎯ 1, v = 2x + ⎯⎯⎯⎯ → +  v(u – 1) = − ℓ=e –6 Ví dụ Tìm giới hạn → ⎯⎯⎯⎯ –6 → → Giải  u = x  0, v = xx –  ? → =0  ( ) xln x = = → → (–x) w = xx ⎯⎯⎯ e0 = → ( )  → xln x = = → ( ) = →  y= , ln y(x) = (exlnx – 1)ln x exlnx ~ + xlnx → ln y(x) = ℓ = → → xln2x = ( ) =1