Hàm Khả Vi.pdf

Hàm khả vi 1 Công thức Lagrange 1 Cực trị 1 Hàm f I  ℝ đạt cực đại tại a  I0   > 0  0 <  x – a  < , f(x) < f(a)  Cực tiểu, Cực trị = Cực đại  cực tiểu 2 Các tính chất của cực trị  Tính địa[.]

Hàm khả vi Công thức Lagrange Cực trị Hàm f : I  ℝ đạt cực đại a  I0   > :  <  x – a  < , f(x) < f(a)  Cực tiểu, Cực trị = Cực đại  cực tiểu Các tính chất cực trị  Tính địa phương chặt  Cực trị phân cách khoảng tăng, giảm  Phân biệt với TLN, BN TLN=CD TLNCD CT > CD TBNCD TBN=CT CDR (Bổ đề Fermat) f(a  I ) cực trị  f ’(a)  Ví dụ Khảo sát cực trị a = 1) y = x2 2) y = x3 3) y = | x | Maple (1) f’(a) =  Cực trị  dừng + kì dị = tới hạn  Điểm tới hạn HSC = dừng + ghép Công thức Lagrange (Định lý Roll) ∈ C([ , ])  ’  ( , ) ( ) = ( ) ∃ ∈ ( , ) ( )=0  (Định lý Lagrange) ∃ ∈ ( , ) ∈ C([ , ])   ’  ( , ) ( )= ( ) ( ) Maple (2) Ví dụ Cho y = x3 – x Tìm c  [0, 2] ? Giải  f thỏa mãn giả thiết f(0) = 0, f(2) = 6, k = f’(x) = 3x2 – =  c= √ ( )  ( ) =3 x=± √  [0, 2] (Công thức số gia hữu hạn) 1) Cho f  C1(I, ℝ) [a, a + h]  I f(a + h) – f(a) = h.f’(a + h) với   (0, 1) 2) Cho f  C1([a, b], ℝ) : m  f’(x)  M m(b – a)  f(b) – f(a)  M(b – a) Ví dụ CMR  n  ℕ*,  ln +  Giải  f(x) = ln(x) thuộc lớp C1 [n, n+1]  f’(x) =    ln(n + 1) – ln(n) = ln(1 + )  Qui tắc L’hopital (Định lý Cauchy) , ∈ C([ , ]) ∃ , Ỵ ( , )  ( ) ≠ ∃ ∈ ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) = ) (Qui tắc L’Hopital) 1) Cho (x), (x) ⎯⎯ →  → ( ) =ℓ  ( )  → ( ) ( ) = ℓ 2) Cho A(x), B(x) ⎯⎯  →  → ( ) ( ) =ℓ   → ( ) ( ) = ℓ Khử dạng vô định ( ) ( )  Dùng a =  ℓ =   Chỉ điều kiện cần  Qui ước viết → ( ) ( ) ( = ) →  Các trường hợp khác khơng dùng Ví dụ Tính giới hạn 1) → Giải  x – sin x , x3 ⎯⎯ → ( ) ( ) ( )  ℓ = 2) 4) 6) ( ) = → ( ( ) = → ) 3) → 5) → → = → → → Giải  u = xx = exlnx ⎯⎯ e0 = → → → ln = ( ) = → → (− ) = ( ) ln = =  y= ln y(x) = (xx – 1)ln x = ⎯⎯ → ℓ = e0 = Ví dụ Tính giới hạn 1) → Giải 1)  2) ( ) = → =! → → Giải ( )  ℓ = → = → tan ⎯⎯⎯⎯  → → = → =1 ℓ Khai triển Taylor Khai triển Taylor Cho f  Cn(I, ℝ) a  I0  Đa thức Taylor a ( ) Tn(x) = ( ) +  Phần dư ! ( )( ( − )+ ⋯+ ) ! ( − ) Rn(x) = f(x) – Tn(x) Maple (3) Công thức khai triển hữu hạn 1) (Công thức Taylor) ( f(x) = Tn(x) + ( )( ) )! ( − ) với c  (a, x) 2) (Công thức Maclaurin) Với a =  I0 ( )( f(x) = ∑ 0) ! + o(xn) Maple (4) Khai triển Maclaurin Hàm mũ 1) f(x) = ex, ex = + f(n)(x) = ex, + ! + … + ! f(n)(0) = + ( ! ) 2) Thay x –x e–x = − ! + ! + … + ( ) ! + ( Hàm lượng giác 1) ch(x) = (ex + e–x) = 1+ ! + … + ( 2) sh(x) = (ex – e–x) )! + ( ) ) + = + … + ( ! + … + ! − ( ) ( )! + ( ) − 4) sin(x) = = ) + 3) cos(x) = = 1− + ( )! + … + ( ! ( ) + ( )! ) Hàm nhị thức 1) f(x) = (1 + x)m với m  ℚ f(n)(x) = m(m–1) (m–n+1)(1 + x)m–n, f(n)(0) = m[n] m (1 + x) = + ! + ⋯+ [ ] ! + ( ) 2) m = –1 = – x + x2 – x3 + + (–1)nxn + o(xn) 3) Thay x –x = + x + x2 + x3 + + xn + o(xn) 4) Thay x x2 = – x2 + x4 – x6 + + (–1)nx2n + o(x2n) Các hàm khác 1) ln(1 + x) = ∫ = − + … + ( ) ( ) + ( ) 2) arctan(x) = ∫ = − + … + + ( )