Một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá của biến đổi fourier

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN KIEU HIÊN M®T SO TÍNH CHAT CUA HÀM KHA VI VÔ HAN THÔNG QUA GIÁ CUA BIEN ĐOI FOURIER Chun ngành : TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS VŨ NH¾T HUY Hà N®i- 2014 Lài cám ơn Trưóc trình bày nđi dung chớnh cna luắn vn, tụi xin by to lịng biet ơn chân thành sâu sac cna tói TS Vũ Nh¾t huy, ngưịi t¾n tình giúp đõ chi bao tơi suot q trình hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tơi xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, cô giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia H Nđi v Khoa sau HQc, ó nhiắt tình truyen thu kien thúc tao đieu ki¾n giúp đõ tơi hồn thành khóa Cao HQc Tơi xin bày to lịng biet ơn đen gia đình, ban bè ln đ®ng viên khuyen khích tơi rat nhieu thịi gian nghiên cúu HQc t¾p Do mói làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa HQc cịn han che ve thịi gian thnc hi¾n nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Tác gia kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Hà N®i, năm 2014 Nguyen Kieu Hiên Mnc lnc Ma đau CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BAN VÀ KHƠNG GIAN HÀM SUY R®NG 1.1 Khơng gian hàm giam nhanh S (Rn) 1.2 Không gian hàm suy rđng tng chắm S J (Rn) 11 1.3 Đao hàm cna hàm suy r®ng 13 1.4 Giá cna hàm suy r®ng 13 1.5 Khơng gian hàm suy r®ng vói giá compact E J (Rn) 15 1.6 Tích ch¾p 17 1.7 Phép bien đői Fourier 17 1.7.1 Phép bien đői Fourier không gian hàm giam nhanh S (Rn) 18 1.7.2 Phép bien đői Fourier không gian hàm tăng ch¾m S J (Rn ) 25 1.7.3 Phép bien đői Fourier khơng gian hàm suy r®ng vói giá compact E J (Rn ) 26 M®T SO TÍNH CHAT CUA HÀM KHA VI VƠ HAN THƠNG QUA GIÁ CUA BIEN ĐOI FOURIER 28 2.1 Dáng đi¾u cna dãy đao hàm không gian Lp (R) 28 2.2 Dáng đi¾u cna dãy đao hàm cna hàm tuan hồn khơng gian Lp (π) .32 2.3 Dáng đi¾u cna dãy P - đao hàm khơng gian Lp (Rn) 34 2.4 Nghiên cúu tính chat phő cna dãy P - đao hàm bat thúc tích ch¾p .38 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham khao 42 Ma đau Bien đői Fourier m®t nhung hưóng nghiên cúu quan TRQNG cna Tốn HQc nói chung cna Giai tích nói riêng Phép bien đői Fourier m®t lóp nhung phép bien đői tích phân phő bien nhat, có úng dung r®ng rãi nhat Luắn ny e cắp túi nghiờn cỳu mđt so tính chat cna hàm kha vi vơ han thơng qua giá cna bien đői Fourier (GQI phő) Van đe có ý nghĩa rat lón đoi vói úng dung vào giai quyet nhung tốn khó khác Giai tích hàm, Phương trình vi phân đao hàm riêng, Lý thuyet hàm suy r®ng, Lý thuyet nhúng, Lý thuyet xap xi, lý thuyet sóng nho Ngồi phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia làm hai chương: Chương 1: Các không gian hàm ban khơng gian hàm suy r®ng Chương trình bày nhung kien thúc ban ve khơng gian hàm ban, không gian hàm suy rđng, tớch chắp cna hm suy rđng, phộp bien i Fourier cna m®t hàm ban, cna hàm suy r®ng, đ%nh lý ket qua liên quan đen lu¾n văn làm so đe xây dnng n®i dung chương tiep theo Chương 2: M®t so tính chat cua hàm kha vi vô han thông qua giá cua bien đoi Fourier Chương phan cna lu¾n văn, trình bày tính chat cna hàm so qua hình HQc cna phő cho tốn tu vi phân, mơ ta dáng đi¾u cna dãy đao hàm, dãy đao hàm cna hàm tuan hồn, dãy P - đao hàm hình thành tù tốn tu vi phân trnc tiep thơng qua giá cna bien đői Fourier, bat thúc tích ch¾p cna hai hàm nhieu bien Chương CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BAN VÀ KHƠNG GIAN HÀM SUY R®NG Trong chương này, chúng tơi trình bày nhung khái ni¾m ket qua ban ve lý thuyet hàm suy r®ng phép bien đői Fourier (xem [1], [2], [6]) Chúng tơi chi rõ nhung khái ni¾m ket qua đưoc su dung o chương sau 1.1 Khơng gian hàm giam nhanh S (Rn) Trưóc nghiên cúu ve không gian hàm giam nhanh S (Rn), chi mđt so ký hiắu oc trỡnh by lu¾n văn Cho N = {1, 2, } t¾p so tn nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } t¾p so √ ngun khơng âm, R t¾p so thnc, C t¾p so phúc Đơn v% ao −1 = i Vói moi so tn nhiên n ∈ N t¾p +Zn = {α = (α1, , αn) | αj ∈ Z+, j = 1, 2, , n}, Rn không gian Euclid n chieu x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn vói chuan Euclid Σ Σ n ǁxǁ = n x2 1/2 , tích vơ hưóng xξ xjξj j ( j= ) = j= Vói moi k ∈ Z+ ký hi¾u t¾p sau Ck(R) = {u : R → C|u kha vi liên tuc đen cap k}, Ck(R) = {u : R → C|u ∈ Ck(R), suppu t¾p compact}, C ∞ (R) = ∩∞k=1 C k (R), C0∞ (R) = ∩∞k=10C k (R), suppu = {x ∈ R| u(x) ƒ= 0} ∫Rn Vói moi so thnc ≤ p < ∞, ký hi¾u p Lp(Rn) = {u : Rn → C|ǁuǁp = Σ1/p < +∞} |u (x) | dx Vói p = ∞, ký hi¾u L∞(Rn) = {u : Rn → C|ǁuǁ∞ = ess sup |u (x)| < +∞}, x∈R n n ess sup |u (x)| = inf{M > 0|m{x ∈ R ||u (x)| > M} = 0} x∈Rn Ký hi¾u F phép bien đői Fourier, f^ (hay Ff ) anh Fourier cna hàm f, giáf^cna anh Fourier (GQI phő) cna hàm f Các giói han supp lim m→∞ am, lim am, lim a m m→ ∞ ∞ m→∞ tương úng giói han, giói han trên, giói han dưói cna dãy hàm {am } m=1 Bây giò lúc ta có the phát bieu đ%nh nghĩa, đ%nh lý, đong thịi đưa ví du minh HQA đe làm rõ ve không gian hàm giam nhanh S (Rn ) Đ%nh nghĩa 1.1 Khơng gian S (Rn) t¾p hap S (Rn) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn) : sup xαDβϕ (x) < ∞ ∀α, β ∈ Z+n } x∈Rn Cho hàm ϕ ∈ S (Rn), lim ǁxǁ→ ∞ x αDβ ϕ (x) = ∀α, β ∈ Zn + Đieu dan đen hàm ϕ (x) hàm giam ve ǁxǁ → ∞ nhanh bat kỳ hàm có dang sau 1/P (x) , x ∈ Rn Vì v¾y, GQI S (Rn ) không gian hàm giam nhanh Ví dn 1.1 Khơng gian C0∞ (Rn ) không gian cua không gian hàm giam nhanh S (Rn) Chúng minh Xét hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) Khi đó, ta đ¾t suppϕ = K, K t¾p compact Rn Vói MQI x ∈/ K , suy Dβ ϕ (x) = ∀β ∈ Z+n Do sup xαDβϕ (x) = sup xαDβϕ (x) < ∞∀α, β ∈ +Zn x∈Rn x∈K Ta có đieu dan đen hàm ϕ ∈ S (Rn ), tù suy đưoc C0∞ (Rn ) không gian cna không gian hàm giam nhanh S (Rn) Chúng minh đưoc hồn thành Ví dn 1.2 Cho hàm so ϕ (x) = e−ǁxǁ , x ∈ Rn Khi ϕ hàm so thu®c khơng gian hàm giam nhanh S (Rn) Chúng minh Theo gia thiet, ta có ǁxǁ2 = x2 + x2 + nên n +x e ǁ =e −x1 −ǁx e −x2 .e −xn , x ∈ Rn M¾t khác Dβϕ (x) = Dβ e−x 2 Σ Dβ e−x 22 Σ Dβ e−x n n Σ = e−x1 e−x2 e−xn Q (x1, x2, , xn) n n = e−ǁxǁ Q (x1, x2, , xn) ∀β ∈ Z + , x ∈ R , Q (x1, x2, , xn) hàm chúa lũy thùa cna x1, x2, , xn Do xn−ǁxǁ , , , )e Zn x2 x D ϕ (x) = xαQ(x1 α β ∀α, β ∈ + Ta thay rang lim ta e−|t|2 = t→∞ Tù đây, suy V¾y nên, ta có l i vói MQI a ∈ R m ǁxǁ→∞ xαQ (x1 −ǁxǁ , , )xe = ∀α ∈ n n Z sup xαDβϕ (x) < ∞ ∀α, β ∈ Zn , , x2 x∈Rn + + dan đen ϕ hàm thu®c vào khơng gian hàm giam nhanh S(Rn) Chúng minh đưoc hoàn thành Đ%nh nghĩa 1.2 (Đ%nh nghĩa ve sn h®i tn khơng gian S (Rn)) ∞ Dãy hàm {ϕk } neu k=1 không gian S (Rn ) đưac GQI h®i tn đen hàm ϕ ∈ S (Rn ) lim sup xα(Dβϕk (x) − D β ϕ (x)) = ∀α, β ∈ Z+n k→∞ ϕk = ϕ x∈Rn Khi đó, ta viet S _ lim k→∞ Chú ý 1.1 Không gian hàm giam nhanh S (Rn) không gian cua không gian Lp (Rn) vái ≤ p ≤ ∞ Chúng minh Ta cHQN hàm ϕ ∈ S (Rn ) Hien nhiên hàm ϕ ∈ L∞ (Rn ) Nên ta chi can xét ≤ p < ∞ Theo đ%nh nghĩa, ta có ∫Rn |ϕ (x1, x2, , pxn)| dx1 dxn Σ Σ = ∫ |ϕ p 2 ) | + x + x , x , dx dx (x n , x n n 1 + Σ (1 + n R n x n ) |p + x ≤ sup |ϕ (x1, x2, , Σ + x2 x∈Rn n R n n dx dx (1.1) n + x21 (1 +2xn) Σ + x1 + x21 ∫ R M¾t khác ∫ Σ Σ dx1 d + ∫ (1 +n x ∫ n +∞ +∞ Σ dx1 x − ∞ − ∞ dx2 ∫ +∞ − ∞ dxn n n ǁHmǁ1 ≤ πn sup (1 + x2)(1 + x2) (1 + x2 ) Hm(x)., ... bày tính chat cna hàm so qua hình HQc cna phő cho tốn tu vi phân, mơ ta dáng đi¾u cna dãy đao hàm, dãy đao hàm cna hàm tuan hoàn, dãy P - đao hàm hình thành tù tốn tu vi phân trnc tiep thông qua. .. chat cna hàm kha vi vô han thông qua giá cna bien đői Fourier (GQI phő) Van đe có ý nghĩa rat lón đoi vói úng dung vào giai quyet nhung tốn khó khác Giai tích hàm, Phương trình vi phân đao hàm riêng,... đői Fourier khơng gian hàm tăng ch¾m S J (Rn ) 25 1.7.3 Phép bien đői Fourier khơng gian hàm suy r®ng vói giá compact E J (Rn ) 26 M®T SO TÍNH CHAT CUA HÀM KHA VI VÔ HAN THÔNG