Giới hạn của hàm một biến đạo hàm riêng của hàm hai biến

GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN.. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN.. ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNGSinh viên thực hiện: HÀ HỒNG ANH HOÀNG VIỆT ANHNGUYỄN THẾ ANH PHẠM VIỆT AN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH 20221BS6002057

CHỦ ĐỀ: PHẦN 1 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN.

PHẦN 2 ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Sinh viên thực hiện: HÀ HOÀNG ANH HOÀNG VIỆT ANH

NGUYỄN THU CHANG BÙI MINH CHÍ

NGUYỄN VĂN ĐÀM

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: NGUYỄN THỊ QUỲNH

Hà Nội,tháng 12 năm 2022

Bảng Đánh Giá Tiêu Chí Làm Việc NhómTiêu chí

Tên thành

viên

Sựnhiệttìnhthamgiacôngviệc

Đưa ra ýkiến và

ý tưởnglàm bài

Giao tiếp

và phốihợp tốtvớithànhviênkháccùnggiảiquyếtvấn đềchung

Tổ chứcvàhướngdẫn cảnhóm

Hoànthànhcôngviệc hiệuquả

Tổngđiểmđượcđánhgiá bởi

A chotừngthànhviên(TĐa)

Nguyễn Văn

Đàm

Tên thành viên TĐ= Tổng điểm

được đánh giábởi tất cả cácthành viên trong

nhóm

Điểm trung bình

= TĐ/(5xsốthành viên)

Hệ số cá nhân (Dựa vào bảngqui đổi*)

bình

Hệ số cá

nhân

BẢNG QUI ĐỔI RA HỆ SỐ CÁ NHÂN(*)

Mục lục

Nội dung Trang

LỜI MỞ ĐẦU 6

PHẦN NỘI DUNG BÁO CÁO 7

Phần 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN 7

1 Giới hạn hàm số: 7

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

2 Đạo hàm riêng 8

a) Đạo hàm riêng cấp một:

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

b) Đạo hàm riêng cấp cao:

Bài 1 :

Bài 2: 10

Bài 3: 11

Bài 4: 11

Phần 2: ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG 12

1 Bài toán cực trị 12

a) Ứng dụng của cực trị tự do trong thực tế để giải quyết một số bài toán kinh tế 12

Bài 1 : 12

Bài 2: 13

b) Ứng dụng của cực trị có điều kiện trong giải quyết một số bài toán kinh tế: 14

Bài 1: 14

Bài 2: 15

2 Tích phân suy rộng 16

a) Tích phân suy rộng loại một: 16

Câu 1: 16

Câu 2: 17

b) Tích phân suy rộng loại hai: 17

Câu 1: 17

Câu 2: 17

KẾT LUẬN 18

 Tài liệu tham khảo: 18

LỜI MỞ ĐẦU

ời đầu tiên,chúng em xin được gửi lời cảm ơn trân thành tới Thầy Cô trường Đại học Công nghiệp Hà Nội đã dìu dắt chúng em từ những ngày đầu ở một môi trường học tập mới.Và đối với môn giải tích nói riêng,chúng em gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Quỳnh đã luôn tận tình hỗ trợ, hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của chúng em trong suốt quá trình học cũng như trong quá trình nhóm chúng em hoàn thành báo cáo

Việc học tập là vô cùng quan trọng: Học để có kiến thức, hiểu biết, được phát triển toàn diện và trở thành người có ích cho gia đình và xã hội Và trong suốt chặng đường

ấy, Toán học luôn được xem là một trong những môn quan trọng nhất, được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu Không những gắn liền 12 năm học trở thành môn điều kiện trong các kỳ thi quan trọng, mà Toán học còn đi tiếp với chúng ta trên chặng đường Đại học , còn gắn liền trong cuộc sống hằng ngày, rèn luyện tư duy logic, xử lý vấn đề…

Xuất phát từ thực tế đó, nhóm chúng em đã tâm huyết nghiên cứu và thực hiện đề tài được giao:

PHẦN 1 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN.

PHẦN 2 ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Qua đó, đề tài sẽ tìm hiểu cụ thể hơn về các định nghĩa, giới hạn của hàm số các công thức về giớ hạn hàm số và công thức về đạo hàm cũng như các ứng dụng cực trị của hàm hai biến số trong các lĩnh vực và tích phân suy rộng Tuy nhiên, dù nhóm chúng

em đã rất nỗ lực cùng với mong muốn thiết tha sẽ hoàn thành tốt đề tài này ,xong quá trình thực hiện có thể vẫn không tránh khỏi sự sai sót.Chúng em mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô để đề tài của chúng em được hoàn thiện

hơn Nhóm chúng em xin trân thành cảm ơn!

L

PHẦN NỘI DUNG BÁO CÁO Phần 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN.

=> I=lim

x →0

¿

e x + x−1 ×

e x + x−1 x

=elimx→0

e x +x−1 x

+ y2 ) 2 × e

+ y2 ) 2 = −2 y

(x2

+ y2 ) 2× e

b) Đạo hàm riêng cấp cao:

Bài 1 :

Cho hàm số z(x , y)=√3(x2+ y2)2

. Tính A =z ' ' x2+z ' ' y2+) z x '=(3

3 ).2x(x2+ y2

)

−4 3

= 4

3.(x2+ y2

)

−1 3

−8

9 x2.(x2+ y2

)

−4 3

= 4

3.(x2+ y2)−13

−8

9 y2.(x2+ y2)−43+) A= z x2

−8

9 x2.(x2+ y2

)

−4 3 +4

3.(x2+ y2

)

−1 3

−8

9 y2.(x2+ y2

)

−4 3

=> A =16

9 .(x2+ y2

)

−1 3

a) Ứng dụng của cực trị tự do trong thực tế để giải quyết một

số bài toán kinh tế

ĐỀ BÀIBài 1 :

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai sản phẩm Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là Q1 = 800 – 2P1 +P2 và Q2 = 960 + P1 – P2 Hàm tổng chi phí của hai sản phẩm là C = 320Q1 + 480Q2 +150 Tính sản lượng mỗi loại để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

Vậy doanh nghiệp nên sản suất 320 sản phẩm loại một và 400 sản phẩm loại hai để thu được lợi nhuận tối đa là 678250

Bài 2:

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại linh kiện máy tính với hàm chi phí là

+2Q1 Q2+Q2 2

+20 Biết hàm cầu đối với hai loại linh kiện đó là

Q1=40−0,5 p1 và Q2=40− p2 Xác định cơ cấu sản xuất (Q1,Q2)và giá bán từng sản phẩm để lợi nhuận thu được là tối đa

Giải:

Từ giả thiết ta có: p1=80−2 Q1 , p2=40−Q2

Bài toán dẫn đến việc tìm cực trị của hàm lợi nhuận:

π=(80−2 Q1)Q1+(40−Q2)Q2−(Q1

2

+2Q1 Q2+Q 2

2 +20) ¿−3 Q12

Vậy doanh nghiệp sản xuất 12 linh kiện loại một và 4 linh kiện loại hai với giá linh kiện loại một loại hai lần lượt là 56 và 36 thì thu được lợi nhuận lớn nhất là 540

b) Ứng dụng của cực trị có điều kiện trong giải quyết một số bài toán kinh tế:

để doanh thu đạt cực đại

Giải :-Bài toán dẫn tới việc tìm cực trị của hàm lợi nhuận

λ=−15 có det(H) =50 >0 => M(52,32) là điểm cực đại

Lợi nhuận lớn nhất là : 20220 (triệu)

Vậy trung tâm thương mại nên quảng cáo trên đài phát thanh 52 phút và trên đài truyền hình 32 phút để thu được doanh thu lớn nhất 20220 triệu đồng

Bài 2 :

Một cửa hàng tiện lợi dự định nhập 100 thùng sữa về bán với hai loại sữa Milo

và TH Biết rằng cửa hàng bán sữa Milo với giá 312 nghìn đồng một thùng, sữa TH

là 314 nghìn đồng một thùng Hãy xác định số thùng sữa mỗi loại mà cửa hàng cần nhập để lợi nhuận thu được lớn nhất Giả sử tổng chi phí nhập sữa cho bởi

x2+ xy+ 3 y2 ( nghìn đồng)

GiảiGọi số thùng sữa Milo và TH cửa hàng dự định nhập là x , y khi đó x + y=100

Lợi nhuận thu được là f =312 x+314 y−x2

−xy−3 y2 (nghìn đồng)Bài toán đưa về việc tìm cực trị hàm số:

Vậy hàm số đạt cực đại tại (x , y)=(83,17) và f max=22067

Vậy khi cửa hàng tiện lợi nhập 83 thùng sữa Milo và 17 thùng sữa TH thì lợi nhuận thuđược tối đa và bằng 22067 nghìn đồng

√2−x2 dx

KẾT LUẬN

❖ Giới hạn, đạo hàm riêng và ứng dụng cực trị của hàm hai biến số

và tích phân suy rộng là những phần quan trọng của toán học Nhờ có kiến thức toán học về đạo giới hạn và sự liên tục của hàm một biến,đạo hàm riêng của hàm hai biến,ứng dụng của cực trị hàm nhiều biến mà ta có thể giải được một số bài toán liên quan đến xét tính liên tục của hàm số việc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các bài toán kinh tế,tích phân suy rộng ta có thế tính diện tích hình thang cong Nó không chỉ hữu ích cho việc rèn luyện tư duy, tính cẩn thận và trung thực của học sinh mà còn có thể vận dụng trực tiếp cho ngành nghề sau này,đối đặc biệt đối vớingành công nghệ thông tin chúng em rèn luyện được tư duy lôgic

và nhạy bén sẽ rất thuận lợi trong công việc Các kiến thức này còn giúp nâng cao kỹ năng giải quyết các vấn đề của cuộc sống đặt ra nhằm hoàn thiện hơn cho việc hình thành nhân cách sau này để trở thành công dân có ích cho xã hội

 Tài liệu tham khảo:

 Trang : https://qlht.haui.edu.vn/course/view.php?id=24460 của Trường Đại Học Công Nghiệp Hà Nội

 Kênh: Giang Lê https://www.youtube.com/@user-qq8kk7qc9ftrên Youtube

 Trang: https://www.mathway.com/