Giới hạn của hàm một biến đạo hàm riêng của hàm hai biến

GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN.. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN.. ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNGSinh viên thực hiện: HÀ HỒNG ANH HOÀNG VIỆT ANHNGUYỄN THẾ ANH PHẠM VIỆT AN

lOMoARcPSD|39222806 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH 20221BS6002057 CHỦ ĐỀ: PHẦN 1 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN PHẦN 2 ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG Sinh viên thực hiện: HÀ HOÀNG ANH HOÀNG VIỆT ANH NGUYỄN THẾ ANH PHẠM VIỆT ANH NGUYỄN THU CHANG BÙI MINH CHÍ NHỮ ĐÌNH CHIẾN NGUYỄN HỮU CHIỂU NGUYỄN VĂN ĐÀM LỚP: 2022DHCNTT04 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: NGUYỄN THỊ QUỲNH Hà Nội,tháng 12 năm 2022 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Bảng Đánh Giá Tiêu Chí Làm Việc Nhóm Tiêu chí Sự Đưa ra ý Giao tiếp Tổ chức Hoàn Tổng nhiệ kiến và và phối và thành điểm Tên thành ý tưởng hợp tốt công được viên t làm bài hướng việc hiệu đánh tình với dẫn cả giá bởi tha thành nhóm quả A cho m viên từng gia khác thành côn cùng viên g giải (TĐa) việc quyết vấn đề chung Hà Hoàng Anh Hoàng Việt Anh Nguyễn Thế Anh Phạm Việt Anh Nguyễn Thu Chang Bùi Minh Chí Nhữ Đình Chiến Nguyễn Hữu Chiểu Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Nguyễn Văn Đàm Tên thành viên TĐ= Tổng điểm Điểm trung bình Hệ số cá nhân Hà Hoàng Anh được đánh giá = TĐ/(5xsố (Dựa vào bảng bởi tất cả các thành viên) thành viên trong qui đổi*) nhóm Hoàng Việt Anh Nguyễn Thế Anh Phạm Việt Anh Nguyễn Thu Chang Bùi Minh Chí Nhữ Đình Chiến Nguyễn Văn Đàm TỔNG ĐIỂM ĐÁNH GIÁ CỦA CÁC THÀNH VIÊN Điểm [9;10] [8;9) [7;8) [6-7) [5-6) Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 trung bình Hệ số cá 1.2 1 0.8 0.6 0.4 nhân BẢNG QUI ĐỔI RA HỆ SỐ CÁ NHÂN(*) Mục lục Nội dung Trang LỜI MỞ ĐẦU 6 PHẦN NỘI DUNG BÁO CÁO 7 Phần 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN .7 1 Giới hạn hàm số: 7 Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 2 Đạo hàm riêng 8 a) Đạo hàm riêng cấp một: Bài 1: Bài 2: Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Bài 3: Bài 4: b) Đạo hàm riêng cấp cao: Bài 1 : Bài 2: 10 Bài 3: 11 Bài 4: 11 Phần 2: ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG 12 1 Bài toán cực trị 12 a) Ứng dụng của cực trị tự do trong thực tế để giải quyết một số bài toán kinh tế 12 Bài 1 : 12 Bài 2: 13 b) Ứng dụng của cực trị có điều kiện trong giải quyết một số bài toán kinh tế: 14 Bài 1: 14 Bài 2: 15 2 Tích phân suy rộng 16 a) Tích phân suy rộng loại một: 16 Câu 1: 16 Câu 2: 17 b) Tích phân suy rộng loại hai: .17 Câu 1: 17 Câu 2: 17 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 KẾT LUẬN .18  Tài liệu tham khảo: .18 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 LỜI MỞ ĐẦU L ời đầu tiên,chúng em xin được gửi lời cảm ơn trân thành tới Thầy Cô trường Đại học Công nghiệp Hà Nội đã dìu dắt chúng em từ những ngày đầu ở một môi trường học tập mới.Và đối với môn giải tích nói riêng,chúng em gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Quỳnh đã luôn tận tình hỗ trợ, hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của chúng em trong suốt quá trình học cũng như trong quá trình nhóm chúng em hoàn thành báo cáo Việc học tập là vô cùng quan trọng: Học để có kiến thức, hiểu biết, được phát triển toàn diện và trở thành người có ích cho gia đình và xã hội Và trong suốt chặng đường ấy, Toán học luôn được xem là một trong những môn quan trọng nhất, được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu Không những gắn liền 12 năm học trở thành môn điều kiện trong các kỳ thi quan trọng, mà Toán học còn đi tiếp với chúng ta trên chặng đường Đại học , còn gắn liền trong cuộc sống hằng ngày, rèn luyện tư duy logic, xử lý vấn đề… Xuất phát từ thực tế đó, nhóm chúng em đã tâm huyết nghiên cứu và thực hiện đề tài được giao: PHẦN 1 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN PHẦN 2 ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG Qua đó, đề tài sẽ tìm hiểu cụ thể hơn về các định nghĩa, giới hạn của hàm số các công thức về giớ hạn hàm số và công thức về đạo hàm cũng như các ứng dụng cực trị của hàm hai biến số trong các lĩnh vực và tích phân suy rộng Tuy nhiên, dù nhóm chúng em đã rất nỗ lực cùng với mong muốn thiết tha sẽ hoàn thành tốt đề tài này ,xong quá trình thực hiện có thể vẫn không tránh khỏi sự sai sót.Chúng em mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô để đề tài của chúng em được hoàn thiện hơn Nhóm chúng em xin trân thành cảm ơn! Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 PHẦN NỘI DUNG BÁO CÁO Phần 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN 1 Giới hạn hàm số: Tìm các giới hạn sau: 1) I = lim ⁡¿) 2) I = lim ⁡¿) 1 1 3) I =lim (ex + x )x 4) I =lim ( e3 x−cos 2 x) x x →0 x→∞ Lời giải: Câu 1 I= lim ⁡¿) Khi: x → 0 : sin x x e3x−1 3 x => I = lim ⁡¿)VCB lim ¿) = 1 ¿ x→0 3 Câu 2 I = lim ⁡¿) ( )( ) Ta có: I=lim 3 x−sin xx →0x L ¿ lim ¿ ¿ 0 x→0 0 Khi : x → 0 : 1−cos x x2 2 => I =lim ¿ x →0 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Câu 3 1 I =lim (ex + x )x x →0 1 ex+ x−1 lim ex +x−1 × Ta có: I =lim (1+ e +x−1) x xe +x−1 x =e x x→0 x →0 ( ) ex+x−1x→0 x L Đặt I 1=lim ¿ lim e x+1 = 2 0 x→0 1 0 => I = e2 Câu 4 1 I =lim ( e3 x−cos 2 x) x x→ ∞ Ta có: I =lim ( e3 x−cos 2 x) x1=exli→m∞ ln ⁡¿¿ ¿¿ ¿ x→∞ Đặt I 1=lim ln ⁡¿ ¿ ¿ x→∞ Áp dụng quy tắc kẹp ta có : lim 3x 1 =0 ,|cos 2 x|≤ 1 ,|sin2 x|≤1¿> lim 3 x sin 2 x = lim 3 x cos 2 x =0 x→∞ e x→∞ e x →∞ e =>I 1= 3+0 1−0 =3 => I = e3 2 Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp một: Cho các hàm hai biến sau tính đạo hàm riêng cấp một: 1) z (x , y )=ln ⁡¿ 2) 1 z (x , y )=e x2 + y2 3) z (x , y )=arctan ⁡¿) 4) z (x , y )= yln ⁡(arcsin (√ x)) Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Lời giải: Bài 1: Tính đạo hàm riêng của hàm sau: z (x , y )=ln ⁡¿ 2 2' ⁡(x +√x + y )x + z x' = ¿ ¿ 2 2' ⁡(x+√ x + y )y + z y' = ¿ ¿ Bài 2: 1 Tính đạo hàm riêng của hàm sau: z ( x , y )=e x2+y2 ' 1 x ' 2+ y2 1 −1 ×( x2 + y2 )x x2 + y2 ' 1 −2 x x2+ y2 1 + z x=( 2 2 ) × e = 2 2 2 ×e = 2 2 2×e x +y x (x +y ) (x +y ) 1 2 2' 1 1 ' x2+y2 −1×(x + y )y −2 y x2+ y2 + z y' =( 2 2 ) ×e = 2 2 2 = 2 2 2×e x +y y (x +y ) (x +y ) Bài 3: Tính đạo hàm riêng của hàm số sau:z (x , y )=arctan ⁡¿) +¿ zx' =¿ ¿ ' x × exy x exy +z y=¿ ¿ xy 2 = 1+(e ) 1+ e 2 xy Bài 4: Tính đạo hàm riêng hàm sau z (x , y )= yln ⁡(arcsin (√ x)) ' ' (arcsin (√ x ))x' + z x= y × ln ⁡(arcsin (√ x ))x= y × =y ׿¿¿ arcsin (√ x ) + z ' = ( y ' × ln ⁡( arcs in ( √ x ) )= ln ⁡( arcs in ( √ x ) ) y )y Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 b) Đạo hàm riêng cấp cao: Bài 1 : z (x , 32 y2)2 Tính A =z' 'x2+z' ' y2 Cho hàm số y)=√(x + −1 2 23 +) zx=(√( x + y ) )x= 2 x ( x + y ) ' 3 2 22' 2 3 { ( ) } −1 −1 ' zx''2 = 2 ( 2 x )'x ( x2+ y2) 3 +2 x ( x2+ y2) 3 x 3 ( ) ¿ 2 2 ( x2+ y2) 3−1 + 2 2 x −1 2 x ( x2+ y2) 3−4333 −1 −4 4 2 23 8 2 2 23 = (x +y ) − x (x +y ) 3 9 −1 2 23 +) z y=(√( x + y ) )x= 2 y ( x + y ) ' 3 2 22' 2 3 ( ) ( ) '' 2 2 2 3−1 ' 2 2 2 3−1 2 −1 −4 2 23 z y2= 2 y ( x + y ) = 2 ( x + y ) + 2 y 2 y ( x + y ) 3 y3 3 3 −1 −4 4 2 23 8 2 2 23 = (x +y ) − y (x + y ) 3 9 −1 −4 −1 −4 +) A= zx2 '' +z y2 '' = 4 ( x2+ y2) 3 − 8 x2 ( x2+ y2) 3 + 4 ( x2+ y2) 3 − 8 y2 ( x2+ y2) 3 3 9 3 9 −1 −4 2 23 8 2 23 8 2 2 = (x + y ) − (x +y ).(x +y ) 3 9 −1 −1 8 2 23 8 2 23 = (x + y ) − (x +y ) 3 9 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 −1 16 2 2 3 => A = ( x + y ) 9 Bài 2: z=xy +sin y Tính A=z ' ' x2+ z ' ' y2 Cho hàm số x ( ) ' y ' y y +) z ' x=(xy )x + sin = y− 2 cos xx x x ' −y ' y y y ' z ' ' x2=( y )x +( 2 ) cos - 2 (cos ) xx x x xx 2 y y y y y 2 y y y2 y ¿ 3 cos − 2 2 sin = 3 cos − 4 sin x x xx x x xx x ( ) ' y ' 1 y +) z ' y=( xy ) y+ sin =x + cos xy x x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 y ' 1 1 y −1 y z ' ' y2= x+ cos = −sin = 2 sin x xy x x xx x 2 y y y2 y 1 y ⇒ A=z ' ' x2+ z ' ' y2= 3 cos − 4 sin − 2 sin x xx xx x 2y y y y2 1 ¿ 3 cos −sin ( 4 + 2 ) x x xx x Bài 3: Cho hàm số z = ln(xy + x2) Tính z ' 'x2−z y2 ' ' +) z ' x= 2 y +2 x xy + x +z ' ' x2= 2 ( xy +x2)−( y +2 x ).( y +2 x) ( xy + x2)2 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 +) z ' y= xy + x2 x −x2 +z ' ' y2=( xy + x2)2 ' ' 2( xy + x2)−( y+ 2 x ) ( y +2 x ) + x2 2 xy +2 x2−4 x2−4 xy − y2+ x2 => z ' ' x2−z y2= 2 2= ( xy +x )22 (xy + x ) ( xy + x )22 −2 xy −x2− y2 −(x + y )2 ¿ ( xy + x2)2 ¿ (xy + x2)2 Phần 2: ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1 Bài toán cực trị a) Ứng dụng của cực trị tự do trong thực tế để giải quyết một số bài toán kinh tế ĐỀ BÀI Bài 1 : Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai sản phẩm Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là Q1 = 800 – 2P1 +P2 và Q2 = 960 + P1 – P2 Hàm tổng chi phí của hai sản phẩm là C = 320Q1 + 480Q2 +150 Tính sản lượng mỗi loại để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Giải Ta có: { { { Q1=800−2 P1+ P2=¿ 1760−P1=Q1+Q2=¿ P1=1760−Q1−Q2 Q 2=960+ P1−P2 P2=960+ P1−Q2 P2=2720−Q1−2 Q2 Bài toán dẫn đến việc tìm cực trị hàm lợi nhuận : π=Q1 (1760−Q1−Q2)+Q2(2720−Q1−2 Q2)−320 Q1−480Q2−150 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 ¿−Q12+ 1440Q1−2Q22+2240 Q2−2 Q1Q2−150 Ta có: πQ1 ' =−2Q1+1440−2Q2 πQ2 ' =−4 Q2+2240−2Q1 Ta có hệ phương trình : { { πQ1 ' =−2Q1+1440−2Q2=0 Q1=320=>=>M1(320,400) π Q2 ' =−4 Q2+2240−2 Q1=0 Q2=400 Đặt : A=π Q12 '' =−2 B= πQ1Q2 ' ' =−2 C =πQ2 ' ' =− 4 2 { -Tại M1(320,400) ta có B2−AC=−40 => M(52,32) là điểm cực đại λ=−15 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Lợi nhuận lớn nhất là : 20220 (triệu) Vậy trung tâm thương mại nên quảng cáo trên đài phát thanh 52 phút và trên đài truyền hình 32 phút để thu được doanh thu lớn nhất 20220 triệu đồng Bài 2: Một cửa hàng tiện lợi dự định nhập 100 thùng sữa về bán với hai loại sữa Milo và TH Biết rằng cửa hàng bán sữa Milo với giá 312 nghìn đồng một thùng, sữa TH là 314 nghìn đồng một thùng Hãy xác định số thùng sữa mỗi loại mà cửa hàng cần nhập để lợi nhuận thu được lớn nhất Giả sử tổng chi phí nhập sữa cho bởi x2+ xy+ 3 y2 ( nghìn đồng) Giải Gọi số thùng sữa Milo và TH cửa hàng dự định nhập là x , y khi đó x + y=100 Lợi nhuận thu được là f =312 x+314 y−x2−xy−3 y2 (nghìn đồng) Bài toán đưa về việc tìm cực trị hàm số: F ( x , y )=312 x +314 y −x2−xy−3 y2 với điều kiện g ( x , y )=x + y −100=0 Ta lập hàm Lagrange: L=312 x+ 314 y−x2−xy−3 y2+ λ ( x + y−100) Ta có: L x' =312−2 x− y+ λ L ' y=314−x−6 y+ λ { { 312−2x− y+ λ=0 x=83 314−x−6 y +λ=0=¿ y =17 Giải hệ phương trình: x+ y=100 λ=−129 Ta có: g x' =1 , g y' =1 L x2 ' ' =−2 , L xy ' ' =−1 , L y2 ' ' =−6 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 | | 0 1 1 det(H)¿ 1 −2 −1 =6 1 −1 −6 { x=83 Tại y=17 ta có det(H)= 6 ¿ 0 λ=−129 Vậy hàm số đạt cực đại tại ( x , y )=(83,17) và f max=22067 Vậy khi cửa hàng tiện lợi nhập 83 thùng sữa Milo và 17 thùng sữa TH thì lợi nhuận thu được tối đa và bằng 22067 nghìn đồng 2 Tích phân suy rộng a) Tích phân suy rộng loại một: Câu 1: 3 Hãy tính tích phân sau: I 1= ∫ x e2 x dx −∞ Giải: 3 Ta có I 1= lim ∫ x e2x dx a→−∞ a { { Đặt u=x du=dx dv = e2 x ¿> v= 1 e2x 2 33 I 1 = lim ( 1 x e2 x|¿ 1 ∫ e2x dx) ¿ a→−∞ 2 a− 2 a = lim ¿ ¿ a→−∞ ) = lim ¿ ¿ a→−∞ ) ( ( )) =5 e6− lim e2a 1 − a4 a →−∞ 42 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 ( ) ( ) Đặt I= lim e2a 1− a a →−∞ 42 I=lim 1−2 a ¿ lim( )L −2 e2a 2a = lim =0 a→ ∞ 4 ∞ a→ ∞ 4 × (−1)× 2 e a→−∞ 4 e2a ∞ e4a => I 1= 5 e6+ 0= 5 e6 4 4 Vậy I 1 hội tụ Câu 2: +∞ lnx Khảo sát sự hội tụ của tích phân: I 2=∫ dx ex Giải:Ta có α lnx lim ∫ dx α →+∞ e x Đặt t=lnx =>dt= dx x | lnα t2 lnα I 2= lim ∫ tdt= lim α →+∞ 1 α →+∞ 2 1 = lim 1 ( ln2 a−1)=+∞ α →+∞ 2 Vậy I 2 phân kỳ b) Tích phân suy rộng loại hai: Câu 1: Tính tích phân sau: √2 1 2 dx I 3=∫ 0 √2−x Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Giải: Ta có I3 = lim ¿ −¿ a 1 α →√2 ∫ 2 dx ¿ 0 √2−x | = lim α →√2−¿ ¿¿ arcsin x√ α 2 0 = lim α →√2−¿ ¿ ¿¿ arcsin α√2 −arc sin 0 ¿ ¿ =arcsin (1)= π 2 Vậy tích phân hội tụ Câu 2: Tính tích phân sau I 4= ∫01 2 dx −√2 √2−x Giải: Ta có I 4= lim ¿ 0 α →−√2+¿∫ 2 1 dx ¿ a √2−x | lim ¿ = α →−√2+¿ arc sin x 0 ¿ √2 α =α →−√2+¿ lim ¿ ¿ ¿ =−arc sin (−1)= π 2 Vậy tích phân hội tụ Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com)