Luận văn thạc sĩ khoa học một số định lý giới hạn trong lý thuyết martingale

53Kết luận 60Tài liệu tham khảo 61 Trang 4 Lời cảm ơnVới tình cảm chân thành, em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đạihọc Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Phòng Đào tạ

Martingale và các tính chất

Định nghĩa Martingale và các ví dụ

Trong không gian xác suất (Ω, F, P), nếu G là một σ-trường con của F, thì một biến ngẫu nhiên X được coi là tương thích với G khi X là G-đo được Trong trường hợp này, chúng ta ký hiệu là X ∈ G.

Một dãy F n , n= 1,2, được gọi là một dãy tăng các σ− trường nếu

1 Cho dãy tăng các σ− trường F n Dãy các biến ngẫu nhiên (X n ) được gọi là tương thích với dãy F n nếu với mỗi n, Xn ∈F n.

2 Dãy (Xn) được gọi là thuộc Lp và ta viết (Xn) ∈ Lp nếu với mọi n thì E|Xn| p < ∞.

3 Dãy X n ∈ L 1 được gọi là một martingale đối với dãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

Luận văn thạc sĩ Khoa học

4 Dãy X n ∈ L 1 được gọi là một supermartingale (martingale trên) đối với dãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

5 Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một submartingale (martingale dưới) đối với dãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

E(Xn+1|F n) = Xn. Thật vậy, do F n ⊂ F n+1 nên theo tính chất của kỳ vọng có điều kiện thì

= E(Xn+1| F n) = Xn. Tiếp tục như vậy, bằng quy nạp ta có với mọi k thì

E(Xn+k| F n) =Xn. Tương tự cho các điều kiện

E(Xn| F m)6 Xm và E(Xn| F m)> Xm.

2 Dãy(Xn) là martingale trên đối với dãy F n khi và chỉ khi−Xn là martin- gale dưới đối với dãy F n

3 Giả sử σ(X) n là trường bé nhất sinh bởi {X m , m 6 n} Hiển nhiên dãy (σ(X)n)là một dãy tăng và ta gọi nó là σ− trường tự nhiên sinh bởi dãy (Xn) Hiển nhiên dãy(Xn)luôn tương thích với dãy(σ(X)n) Ta nói (Xn) là một martingale nếu nó là một martingale đối với σ−trường tự nhiên.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Ví dụ 1.1.1 Cho dãy σ−trường tăng F n và giả sử X là một biến ngẫu nhiên

X ∈ L1 Đặt Xn = E(X|F n) Khi đó, với m < n ta có do tính chất của kỳ vọng có điều kiện

= E(X| F m ) =X m Vậy (X n )là một martingale đối với F n

Ví dụ 1.1.2 Cho (Yn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với EYn = 0 với mọi n Giả sử F n = B (Y 1 , , Y n ) Khi đó, các tổng riêng

Lập thành martingale đối với F n Thật vậy do Sn ⊂ F n và Yn+1 độc lập với

Ví dụ 1.1.3 Cho (Yn)là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và EYn = 1 với mọi n Giả sử F n = B (Y 1 , , Y n ) Khi đó, các tích riêng

Un =Y1Y2 Yn lập thành martingale đối với F n Thật vậy do Un ∈ F n và Un+1 độc lập với

Ví dụ 1.1.4 đề cập đến dãy các biến ngẫu nhiên độc lập (Yn) có kỳ vọng EYn = 0 cho mọi n Đặt F n là σ đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên (Y1, , Yn) Giả sử (Vn) là dãy các biến ngẫu nhiên sao cho với mỗi n > 1, Vn thuộc F n−1 Chúng ta sẽ xem xét dãy (Xn) trong bối cảnh này.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Khi đó(X n )là một martingale đối với dãy( F n ) Thật vậy, vìV n+1 ∈ F n , EY n+1 0 nên Xn ∈ F n và

Các tính chất

Định lý 1.1.5 khẳng định rằng cho một chuỗi {Zn, Fn, n ≥ 1} là martingale bị chặn trong L1, tồn tại một biến ngẫu nhiên Z sao cho limn→∞Zn = Z hầu chắc chắn và E|Z| ≤ lim inf n→∞ < ∞ Nếu martingale này khả tích đều, Zn sẽ hội tụ tới Z trong L1, và nếu {Zn, Fn} là martingale L2-bị chặn, thì Zn hội tụ tới Z trong L2 Định lý 1.1.6 chỉ ra rằng với (Xn) là martingale đối với Fn và Φ là hàm lồi sao cho Φ(Xn) ∈ L1, thì (Φ(Xn)) cũng là một martingale đối với Fn.

Chứng minh Theo bất đẳng thức Jensen ta có với m < n Φ(Xm) = Φ(E(Xn|F m)) 6E(Φ(Xn)|F m)

Nói riêng |Xn| là martingale dưới và nếuXn ∈ Lp, p >1 thì|X| p là martin- gale dưới. Định lý 1.1.7.

1 Cho {Xn, F n} là một martingale Khi đó, kỳ vọng EXn là một hằng số (không phụ thuộc n).

2 Cho {Xn, F n} là một martingale dưới Khi đó, dãy kỳ vọng an = EXn là dãy không giảm theo n.

3 Cho{Xn, F n}là một martingale vàXn ∈Lp, p > 1 Khi đó, dãy un = E|Xn| p là dãy không giảm theo n.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Thật vậy, với m 6n ta có

EX m =E((EX n | F m )) =EX n nếu X n là một martingale

Nếu Xn là một martingale dưới thì

Các bất đẳng thức cơ bản

Một số bất đẳng thức cơ bản

Martingale là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, đặc biệt liên quan đến các bất đẳng thức Bài viết này sẽ trình bày một số bất đẳng thức cơ bản, có vai trò thiết yếu trong việc thiết lập các định lý hội tụ và luật số lớn cho martingale Chúng ta sẽ bắt đầu với một kết quả tổng quát hóa và chặt chẽ của bất đẳng thức Kolmogorov Cụ thể, nếu {Si,F i,1≤ i≤ n} là một martingale dưới, thì với mỗi số thực λ, ta có bất đẳng thức λP(maxi ≤ n Si > λ).

Các sự kiện Ei là F i -đo được và rời nhau Khi đó λP(E)≤ X i

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Nếu {S i ,1≤ i≤ n} là martingale, thì {|S i | p ,1≤ i≤ n} là martingale dưới. Bằng cách áp dụng Định lý 1.2.1 cho martingale dưới này, ta thu được

Hệ quả 1.2.2 Nếu {Si, F i,1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì với mỗi p ≥ 1 và λ >0, λ p P maxi≤n |Si| > λ

Định lý 1.2.1 có ứng dụng theo một hướng khác, dẫn đến kết quả quan trọng trong Định lý 1.2.3, hay còn gọi là Bất đẳng thức Doob Theo đó, nếu {Si, Fi, 1≤ i≤ n} là một chuỗi martingale và p > 1, thì ta có bất đẳng thức kSnkp ≤ max i≤n |Si|p.

≤ qkS n k p , trong đó p −1 +q −1 = 1, ||Sn||p = (E|Sn| p ) 1/p , n> 1 là chuẩn Lp của Sn ∈ Lp

Để chứng minh bất đẳng thức, vế trái là hiển nhiên Đối với vế phải, chúng ta áp dụng Định lý 1.2.1 và bất đẳng thức Holder.

Nếu −∞ < a < b < ∞, ký hiệu v = v(a, b, n) đại diện cho số lần mà dãy {Si, 16 i ≤ n} vượt qua từ giá trị ≤ a đến giá trị > b Khi đó, v được gọi là số lần cắt đoạn [a, b] (từ dưới lên trên) bởi dãy {Si}.

Luận văn thạc sĩ Khoa học Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức cắt ngang) Ký hiệu v là số lần cắt đoạn compact [a, b] bởi martingale dưới {Si,F i,1 ≤i≤ n} Khi đó

Chứng minh rằng {Si, F i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới, dẫn đến việc xét dãy {(Si − a) + max(Si − a, 0), F i, 1 ≤ i ≤ n} và số lần cắt đoạn [a, b] bởi dãy {Si} tương đương với số lần cắt đoạn [0, b−a] bởi {(Si − a) + } Để hoàn tất, ta cần chứng minh rằng với martingale dưới không âm {Si, F i, 1 ≤ i ≤ n}, số lần cắt v trên đoạn [0, b] thỏa mãn bE(v) ≤ E(Sn − S1) Đặt τ0 = 1, τ1 là giá trị j nhỏ nhất sao cho Sj = 0, τ2i là giá trị j nhỏ nhất trong khoảng τ2i−1 < j ≤ n sao cho Sj ≥ b (i ≥ 1), và τ2i−1 là giá trị j nhỏ nhất trong khoảng τ2i−2 < j ≤ n sao cho Sj = 0 (i ≥ 2) Ký hiệu l là giá trị i lớn nhất sao cho τi xác định đúng (1 ≤ l ≤ n), và đặt τi = n với i > l Khi đó, τn = n.

Giả sử rằng i lẻ Nếu i > l thì

([l/2] ký hiệu phần nguyên của l/2.) Biến ngẫu nhiên τ i ,1≤ i≤ n, tạo thành một dãy không giảm các điểm dừng đối vớiσ-trườngF i, và do vậy{Sτ i,F τ i,1 ≤

Luận văn thạc sĩ Khoa học i≤ n} là một martingale dưới Suy ra rằng mỗi E(S τ i+1 −S τ i )≥ 0, và vì vậy

Kết hợp với (1.3) ta suy ra đẳng thức (1.2).

Áp dụng Định lý 1.2.4, chúng ta có thể thu được kết quả thay thế cho Định lý 1.2.1 Cụ thể, Định lý 1.2.5 chỉ ra rằng nếu {Si, Fi, 1 ≤ i ≤ n} là một martingale với kỳ vọng bằng 0, thì với mỗi λ > 0, ta có λP(maxi≤n |Si| > 2λ).

Đặt En = {mini≤nSi ≤ −2λ} và S0 = 0, với F 0 là σ-trường thông thường Vì E(S1) = 0, dãy mở rộng {Si, F i,0 ≤ i ≤ n} là một martingale Ký hiệu v là số vượt qua đoạn [−2λ,−λ] bởi {S i ,0 ≤ i ≤ n} Theo Định lý 1.2.4, ta có λE(v)≤E(Sn + 2λ) + −E(S0+ 2λ).

Cho nên λP(En)≤E(Sn + 2λ) + −2λ+λP(Sn < −λ).

Bằng cách xét số lần cắt đoạn [−2λ,−λ] bởi {Si,0≤ i≤ n} ta suy ra λP maxi≤n Si >2λ

Bằng cách cộng hai bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta có được bất đẳng thức đầu tiên trong (1.4) Bất đẳng thức thứ hai được hình thành sau một vài thao tác đơn giản.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Luật số lớn và các định lý hội tụ 22

Luật số lớn

Hội tụ trong L p

Chương này tập trung vào các nội dung chính liên quan đến định lý hội tụ Martingale Hầu hết các chứng minh cho những định lý này dựa vào một số mở rộng quan trọng.

Trong luận văn thạc sĩ Khoa học, các bất đẳng thức được thiết lập sẽ được áp dụng nhiều lần trong các phần sau Chương này tập trung vào việc sử dụng những bất đẳng thức này để chứng minh luật số lớn và chỉ trình bày những công cụ cơ bản cần thiết.

Sau cùng chương 3: Định lý giới hạn trung tâm.

Trọng tâm chương 3 giới thiệu định lý giới hạn trung tâm và tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm

Bản chất của martingale là một dãy biến ngẫu nhiên đáp ứng các điều kiện đặc biệt Lý thuyết về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên, bao gồm luật số lớn, luật mạnh số lớn và định lý giới hạn trung tâm, đã trở nên quen thuộc trong lý thuyết xác suất Hãy cùng khám phá những khác biệt thú vị của chúng qua ngôn ngữ martingale.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Martingale và các bất đẳng thức cơ bản

1.1 Martingale và các tính chất

1.1.1 Định nghĩa Martingale và các ví dụ

Trong không gian xác suất (Ω, F, P), nếu G ⊂ F là một σ-trường con của F, thì một biến ngẫu nhiên X được xem là tương thích với G khi X là G-đo được Trong trường hợp này, chúng ta ký hiệu X ∈ G.

Một dãy F n , n= 1,2, được gọi là một dãy tăng các σ− trường nếu

1 Cho dãy tăng các σ− trường F n Dãy các biến ngẫu nhiên (X n ) được gọi là tương thích với dãy F n nếu với mỗi n, Xn ∈F n.

2 Dãy (Xn) được gọi là thuộc Lp và ta viết (Xn) ∈ Lp nếu với mọi n thì E|Xn| p < ∞.

3 Dãy X n ∈ L 1 được gọi là một martingale đối với dãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

Luận văn thạc sĩ Khoa học

4 Dãy X n ∈ L 1 được gọi là một supermartingale (martingale trên) đối với dãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

5 Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một submartingale (martingale dưới) đối với dãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

E(Xn+1|F n) = Xn. Thật vậy, do F n ⊂ F n+1 nên theo tính chất của kỳ vọng có điều kiện thì

= E(Xn+1| F n) = Xn. Tiếp tục như vậy, bằng quy nạp ta có với mọi k thì

E(Xn+k| F n) =Xn. Tương tự cho các điều kiện

E(Xn| F m)6 Xm và E(Xn| F m)> Xm.

2 Dãy(Xn) là martingale trên đối với dãy F n khi và chỉ khi−Xn là martin- gale dưới đối với dãy F n

3 Giả sử σ(X) n là trường bé nhất sinh bởi {X m , m 6 n} Hiển nhiên dãy (σ(X)n)là một dãy tăng và ta gọi nó là σ− trường tự nhiên sinh bởi dãy (Xn) Hiển nhiên dãy(Xn)luôn tương thích với dãy(σ(X)n) Ta nói (Xn) là một martingale nếu nó là một martingale đối với σ−trường tự nhiên.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Ví dụ 1.1.1 Cho dãy σ−trường tăng F n và giả sử X là một biến ngẫu nhiên

X ∈ L1 Đặt Xn = E(X|F n) Khi đó, với m < n ta có do tính chất của kỳ vọng có điều kiện

= E(X| F m ) =X m Vậy (X n )là một martingale đối với F n

Ví dụ 1.1.2 Cho (Yn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với EYn = 0 với mọi n Giả sử F n = B (Y 1 , , Y n ) Khi đó, các tổng riêng

Lập thành martingale đối với F n Thật vậy do Sn ⊂ F n và Yn+1 độc lập với

Ví dụ 1.1.3 Cho (Yn)là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và EYn = 1 với mọi n Giả sử F n = B (Y 1 , , Y n ) Khi đó, các tích riêng

Un =Y1Y2 Yn lập thành martingale đối với F n Thật vậy do Un ∈ F n và Un+1 độc lập với

Ví dụ 1.1.4 trình bày một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập (Yn) với kỳ vọng EYn = 0 cho mọi n Đặt F n là σ đại số sinh bởi các biến (Y1, , Yn) Giả sử có một dãy các biến ngẫu nhiên (Vn) sao cho với mỗi n > 1, biến Vn thuộc F n−1 Chúng ta sẽ xem xét dãy (Xn) được định nghĩa dựa trên các yếu tố này.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Khi đó(X n )là một martingale đối với dãy( F n ) Thật vậy, vìV n+1 ∈ F n , EY n+1 0 nên Xn ∈ F n và

1.1.2 Các tính chất Định lý 1.1.5 Cho {Zn,F n, n ≥ 1} là một martingale dưới L1-bị chặn Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên Z sao cho limn→∞Zn = Z hầu chắc chắn và E|Z| ≤ lim inf n→∞ < ∞ Nếu martingale khả tích đều, thì Zn hội tụ tới Z trong L 1 , và nếu {Z n , F n } là một martingale L 2 -bị chặn, thì Z n hội tụ tới Z trong L2. Định lý 1.1.6 Cho (Xn) là martingale đối với F n Cho Φ là hàm lồi sao cho Φ(X n )∈ L 1 Khi đó (Φ(X n )) là một martingale dưới đối với F n

Chứng minh Theo bất đẳng thức Jensen ta có với m < n Φ(Xm) = Φ(E(Xn|F m)) 6E(Φ(Xn)|F m)

Nói riêng |Xn| là martingale dưới và nếuXn ∈ Lp, p >1 thì|X| p là martin- gale dưới. Định lý 1.1.7.

1 Cho {Xn, F n} là một martingale Khi đó, kỳ vọng EXn là một hằng số (không phụ thuộc n).

2 Cho {Xn, F n} là một martingale dưới Khi đó, dãy kỳ vọng an = EXn là dãy không giảm theo n.

3 Cho{Xn, F n}là một martingale vàXn ∈Lp, p > 1 Khi đó, dãy un = E|Xn| p là dãy không giảm theo n.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Thật vậy, với m 6n ta có

EX m =E((EX n | F m )) =EX n nếu X n là một martingale

Nếu Xn là một martingale dưới thì

1.2 Các bất đẳng thức cơ bản

1.2.1 Một số bất đẳng thức cơ bản

Có nhiều bất đẳng thức liên quan đến martingale, bao gồm martingale trên và dưới Bài viết này sẽ trình bày một số bất đẳng thức cơ bản, những bất đẳng thức này sẽ hỗ trợ trong việc thiết lập các định lý hội tụ và luật số lớn cho martingale Chúng ta bắt đầu với một kết quả tổng quát hóa và chặt chẽ của bất đẳng thức Kolmogorov Định lý 1.2.1 nêu rõ rằng nếu {Si,F i,1≤ i≤ n} là một martingale dưới, thì với mỗi số thực λ, ta có: λP maxi 6 n Si > λ.

Các sự kiện Ei là F i -đo được và rời nhau Khi đó λP(E)≤ X i

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Nếu {S i ,1≤ i≤ n} là martingale, thì {|S i | p ,1≤ i≤ n} là martingale dưới. Bằng cách áp dụng Định lý 1.2.1 cho martingale dưới này, ta thu được

Hệ quả 1.2.2 Nếu {Si, F i,1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì với mỗi p ≥ 1 và λ >0, λ p P maxi≤n |Si| > λ

Định lý 1.2.1 có ứng dụng quan trọng, dẫn đến kết quả của Định lý 1.2.3, hay còn gọi là Bất đẳng thức Doob Theo đó, nếu {Si, Fi, 1≤ i≤ n} là một chuỗi martingale và p > 1, thì bất đẳng thức kSnkp ≤ maxi≤n |Si|p được xác lập.

≤ qkS n k p , trong đó p −1 +q −1 = 1, ||Sn||p = (E|Sn| p ) 1/p , n> 1 là chuẩn Lp của Sn ∈ Lp

Để chứng minh bất đẳng thức, vế trái là hiển nhiên Đối với vế phải, theo Định lý 1.2.1 và bất đẳng thức Holder, ta có thể xác nhận tính đúng đắn của nó.

Nếu a và b là hai giá trị thực với −∞ < a < b < ∞, thì v = v(a, b, n) được định nghĩa là số lần mà dãy {Si} với i từ 1 đến n vượt qua đoạn [a, b], tức là số lần từ giá trị nhỏ hơn hoặc bằng a đến giá trị lớn hơn b Số lần này được gọi là số lần cắt đoạn [a, b] (từ dưới lên trên) bởi dãy {Si}.

Luận văn thạc sĩ Khoa học Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức cắt ngang) Ký hiệu v là số lần cắt đoạn compact [a, b] bởi martingale dưới {Si,F i,1 ≤i≤ n} Khi đó

Chứng minh rằng dãy {Si, Fi, 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới, dẫn đến dãy {(Si − a) + max(Si − a, 0), Fi, 1 ≤ i ≤ n} cũng là martingale Số lần cắt đoạn [a, b] bởi dãy {Si} tương ứng với số lần cắt đoạn [0, b−a] bởi {(Si − a) +} Để hoàn tất chứng minh, ta cần chỉ ra rằng đối với martingale dưới không âm {Si, Fi, 1 ≤ i ≤ n}, số lần cắt v trên đoạn [0, b] thỏa mãn bE(v) ≤ E(Sn − S1) Đặt τ0 = 1, τ1 là giá trị j nhỏ nhất sao cho Sj = 0, τ2i là giá trị j nhỏ nhất trong khoảng τ2i−1 < j ≤ n sao cho Sj ≥ b (i ≥ 1), và τ2i−1 là giá trị j nhỏ nhất trong khoảng τ2i−2 < j ≤ n sao cho Sj = 0 (i ≥ 2) Ký hiệu l là giá trị i lớn nhất sao cho τi xác định đúng (1 ≤ l ≤ n), và đặt τi = n với i > l Khi đó τn = n.

Giả sử rằng i lẻ Nếu i > l thì

([l/2] ký hiệu phần nguyên của l/2.) Biến ngẫu nhiên τ i ,1≤ i≤ n, tạo thành một dãy không giảm các điểm dừng đối vớiσ-trườngF i, và do vậy{Sτ i,F τ i,1 ≤

Luận văn thạc sĩ Khoa học i≤ n} là một martingale dưới Suy ra rằng mỗi E(S τ i+1 −S τ i )≥ 0, và vì vậy

Kết hợp với (1.3) ta suy ra đẳng thức (1.2).

Áp dụng Định lý 1.2.4, ta có thể rút ra kết quả thay thế cho Định lý 1.2.1 Cụ thể, Định lý 1.2.5 chỉ ra rằng nếu {Si, Fi, 1 ≤ i ≤ n} là một martingale với kỳ vọng bằng 0, thì đối với mọi λ > 0, ta có λP(maxi≤n |Si| > 2λ).

Đặt En = {mini≤nSi ≤ −2λ} và S0 = 0, với F0 là σ-trường thông thường Vì E(S1) = 0, dãy mở rộng {Si, Fi, 0 ≤ i ≤ n} là một martingale Ký hiệu v là số vượt qua đoạn [−2λ,−λ] bởi {Si, 0 ≤ i ≤ n} Theo Định lý 1.2.4, ta có λE(v) ≤ E(Sn + 2λ) + −E(S0 + 2λ).

Cho nên λP(En)≤E(Sn + 2λ) + −2λ+λP(Sn < −λ).

Bằng cách xét số lần cắt đoạn [−2λ,−λ] bởi {Si,0≤ i≤ n} ta suy ra λP maxi≤n Si >2λ

Bằng cách cộng hai bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta có thể thu được bất đẳng thức đầu tiên trong (1.4) Bất đẳng thức thứ hai cũng được hình thành qua một vài thao tác nhỏ.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

1.2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương

Định lý giới hạn trung tâm 46

Hội tụ L 1 − yếu, hội tụ ổn định

Sự hội tụ trong L1 là một trường hợp đặc biệt của sự hội tụ trong Lp khi p = 1 Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét khái niệm về sự hội tụ L1− yếu Định nghĩa 3.1.1 nêu rõ rằng một dãy biến ngẫu nhiên khả tích {Z n } trên không gian xác suất (Ω, F , P) được coi là hội tụ L1− yếu tới biến ngẫu nhiên khả tích Z nếu với mọi E ∈ F.

E[ZnI(E)] →E[ZI(E)]; ký hiệu sự hội tụ trên bằng cách viết

Nếu exp(itYn)→ exp(itY) (hội tụ L1- yếu) với mỗi giá trị thực t, thì rõ ràng

Điều kiện hội tụ yếu trong L1 mạnh hơn tính khả tích đều nhưng yếu hơn hội tụ L1 Biến ngẫu nhiên Zn hội tụ tới biến ngẫu nhiên Z trong L1 khi và chỉ khi E[Zn | E] → E(Z | E) đều trong E ∈ F Nếu Zn → Z (hội tụ L1 yếu), thì dãy {Zn} là khả tích đều Định nghĩa 3.1.2: Nếu {Yn} là dãy các biến ngẫu nhiên trong không gian xác suất (Ω, F, P) hội tụ theo phân phối tới một biến ngẫu nhiên Y, ta nói rằng sự hội tụ này xảy ra.

Luận văn thạc sĩ Khoa học hội tụ được coi là ổn định khi với mọi điểm liên tục y thuộc Y và mọi sự kiện E trong F, giới hạn n→∞lim P({Yn ≤ y} ∩E) = Qy(E) tồn tại Hơn nữa, điều kiện Qy(E) tiến tới P(E) khi y tiến đến vô cùng Nếu Qy tồn tại, nó sẽ được xem như một độ đo xác suất trên (Ω, F) Sự hội tụ này được ký hiệu bằng cách viết.

Kết quả tiếp theo của ta liên hệ giữa sự hội tụ L 1 - yếu với tính ổn định. Định lý 3.1.3 Giả sử Yn

Trong không gian xác suất (Ω, F, P), một chuỗi biến ngẫu nhiên Yn hội tụ ổn định về Y khi và chỉ khi tồn tại một biến Y 0 trên mở rộng của không gian này, với cùng phân phối như Y Điều này có nghĩa là với mọi giá trị thực t, hàm exp(itYn) hội tụ về Z(t) = exp(itY 0) theo nghĩa L1 yếu khi n tiến đến vô cực Hơn nữa, E[Z(t)I(E)] phải là một hàm liên tục theo t với mọi E thuộc F Định lý 3.1.3 được xem là một hệ quả của định lý hội tụ cho hàm đặc trưng.

Nó cho phép ta kiểm tra dãy hội tụ ổn định theo hàm đặc trưng, mà thường dễ hơn việc kiểm tra hàm phân phối.

Cho {S ni , F ni ,1 ≤ i ≤ k n } là một martingale bình phương khả tích với kỳ vọng 0 cho mỗi n≥1, và ký hiệu Xni = Sni − Sn,i−1 (với Sn0 = 0) là hiệu martingale Giả thiết kn tăng lên vô cùng khi n tiến tới vô cùng Dãy kép {Sni, F ni, 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} được gọi là mảng martingale Ký hiệu V ni 2 = Pi j=1E(X nj 2 | F n,j−1) là phương sai có điều kiện của S ni, trong khi U ni 2 = Pi j=1X nj 2 là phương sai bình phương.

Mảng martingale thường được xây dựng từ các martingale ban đầu {Sn, F n, 1 ≤ n < ∞} bằng cách định nghĩa k n = n, F ni = F i và S ni = s −1 n S i cho 1 ≤ i ≤ n, trong đó s là độ lệch tiêu chuẩn của Sn Trong trường hợp này, E(S nk 2 n ) = 1, và giả thiết này thường được áp dụng cho bất kỳ mảng martingale nào.

Bổ đề 3.1.4 Cho η 2 là biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắc chắn và giả sử rằng maxi |Xni| → p 0, (3.1)

Luận văn thạc sĩ Khoa học

X ni 2 → p η 2 , (3.2) và với mọi t thực, T n (t)→1 (hội tụ L 1 −yếu ) khi n→ ∞ (3.3)

Khi đó S nk n → d Z (ổn định) trong đó biến ngẫu nhiên Z có hàm đặc trưng

Chứng minh Xác định r(x) bởi e ix = (1 +ix) exp(−1

2x 2 +r(x)) và chú ý rằng |r(x)| ≤ |x| 3 với |x| ≤ 1 Đặt In = exp(itSnk n) và

Dựa vào Định lý 3.1.3, ta chỉ cần chứng minh rằng với mọi E ∈ F ,

Vì exp(−η 2 t 2 /2)I(E) bị chặn, (3.3) đảm bảo rằng

E(Tnexp(−η 2 t 2 /2)I(E)) →E(exp(−η 2 t 2 /2)I(E)) (3.5) Ngoài ra, bất kỳ dãy biến ngẫu nhiên hội tụ L1- yếu khả tích đều, nên dãy

Tn(Wn−exp(−η 2 t 2 /2)) = In−Tnexp(−η 2 t 2 /2) khả tích đều Điều kiện (3.1) và (3.2) kéo theo khi max i |X ni | ≤ 1,

Từ đó suy ra Wn−exp(−η 2 t 2 /2) → p 0, và từ tính khả tích đều,

E(Tn(Wn−exp(−η 2 t 2 /2))I(E)) →0 (3.6) Điều kiện (3.5) và (3.6) kéo theo (3.4).

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Bảng {X ni} được xác định là một bảng martingale sai phân Định lý 3.1.5 nêu rõ rằng cho mảng martingale bình phương khả tích {S ni, F ni, 1 ≤ i ≤ kn, n ≥ 1} với kỳ vọng không, hiệu martingale X ni có một biến ngẫu nhiên hữu hạn η² hầu chắc chắn Giả sử giá trị cực đại |X ni| tiến tới p₀.

E(max i X ni 2 ) bị chặn theo n, (3.9) và các σ-trường lồng nhau: F n,i ⊂ F n+1,i với 1≤ i≤ k n , n ≥1 (3.10)

→d Z (ổn định), trong đó biến ngẫu nhiên Z có hàm đặc trưng Eexp(− 1 2 η 2 t 2 ).

Chứng minh Đầu tiên giả sử η 2 bị chặn hầu chắc chắn, nên với C (>1),

P(η 2 < C) = 1 (3.11) ĐặtX ni 0 =XniI(Pi−1 j=1X nj 2 ≤2C)và S ni 0 =Pi j=1X nj 0 Khi đó{S ni 0 ,F ni}là một bảng martingale Do

P(X ni 0 6=Xni với i≤ kn)≤ P(U nk 2 n > 2C)→0 (3.12) ta có P(S nk 0 n 6=S nk n )→0, nên

E|exp(itS nk 0 n )−exp(itS nk n )| →0.

→d Z (ổn định) khi và chỉ khi S nk 0 n → d Z (ổn định) Dựa theo (3.12) hiệu martingale {X nj 0 } thỏa mãn các điều kiện (3.1) và (3.2) của Bổ đề 3.1.4, ta phải kiểm tra (3.3). Đặt

Luận văn thạc sĩ Khoa học và

 min{i ≤kn |} nếu U nk 2 n > 2C kn nếu ngược lại.

≤ {exp(2Ct 2 )}(1 +t 2 EX nJ 2 n ), mà bị chặn đều theo n Hệ quả là {T n 0 } khả tích đều.

Cho m ≥ 1cố định và đặt E ∈ F mk m ; khi đó theo (3.10), E ∈ F nk n với mọi n≥ m Với n như vậy,

= P(E) +Rn, trong đó phần dư R n bao gồm nhiều nhất2 k m −1 số hạng có dạng

E[I(E)(it) r X nj 0 1 X nj 0 2 ã ã ãX nj 0 r ], trong đú 1≤ r ≤ k m và 1≤ j 1 ≤ j 2 ≤ ã ã ã ≤j r ≤ k m Vỡ

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Suy ra rằng E(max i |X ni |)→0 nên R n →0 Do đó,

1 F nk n là σ-trường sinh bởi S∞

1 F n Với bất kỳ E 0 ∈ F ∞ và bất kỳ ε >0 tồn tại m và E ∈ F mk m sao choP(E∆E 0 )< ε(∆ là ký hiệu hiệu đối xứng) Vì {T n 0 } khả tích đều và

E[T n 0 I(E)] = E[T n 0 E(I(E)| F ∞)] →E[E(I(E)| F ∞)] = P(E). Điều này thiết lập (3.3) và kết thúc chứng minh trong trường hợp đặc biệt khi (3.11) xảy ra.

Ta chỉ còn phải xóa điều kiện bị chặn (3.11) Nếu η 2 không bị chặn hầu chắc chắn, khi đó cho trước ε > 0, chọn điểm liên tục C của η 2 sao cho

Khi đó{S ni 00 , F ni 00 }là một mảng martingale và các điều kiện (3.7), (3.9) và (3.10) được thỏa mãn Bây giờ

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Vì C là điểm liên tục của hàm phân phối của η 2 ,

Do η C 2 bị chặn hầu chắc chắn, phần đầu tiên của chứng minh nói với ta rằng S n 00 → d ZC (ổn định), trong đó biến ngẫu nhiên ZC có hàm đặc trưng

≤ E|exp(itSnk n)−exp(itS nk 00 n )|+|E[I(E) exp(itS nk 00 n )]

Vì S nk 00 n →Z C (ổn định), số hạng thứ hai ở vế phải hội tụ tới 0 khin→ ∞ Số hạng đầu tiên và số hạng thứ ba nhỏ hơn 2ε vì

P(Snk n 6=S nk 00 n )≤P(X ni 00 6= Xni với i nào đó)

Cho nên với mọi ε >0, lim sup n→∞

Suy ra giới hạn bằng 0, và theo Định lý 3.1.3 kết thúc chứng minh.

Hệ quả 3.1.6 Nếu (3.7) và (3.9) được thay bởi điều kiện: với mọi ε >0,X i

E[X ni 2 I(|X ni | > ε)| F n,i−1 ] → p 0, nếu (3.8) được thay bằng một điều kiện tương tự về phương sai có điều kiện:

E(X ni 2 | F n,i−1 )→ p η 2 , và nếu (3.10) đúng, thì kết luận của Định lý 3.1.5 vẫn đúng.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm

Cho X1, X2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng 0, phương sai đơn vị, và moment bậc ba bị chặn, tức: sup 1 6 n0, ta có sup.

Ví dụ, nếu X i là phân phối độc lập và đồng nhất với

Gọi {S ni , F ni } là một mảng martingale có kì vọng 0, bình phương khả tích. Căn cứ vào hệ quả (3.1.6) và các nhận xét ngay sau đó, nếu

E(X ni 2 |F n,i−1)→ p 1 và nếu điều kiện Lindeberg cố định, thì Snk n = P iXni

Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm được xác định một phần bởi tốc độ hội tụ của V nk 2 n là 1 và không tốt hơn (E|V nk 2 n −1|) 1/2 Điều này được minh chứng qua một ví dụ cho thấy rằng ngay cả khi bảng martingale chỉ khác biệt nhẹ với một chuỗi biến ngẫu nhiên tầm thường và đồng nhất, tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm vẫn có thể chậm tùy ý.

Luận văn thạc sĩ Khoa học Định lý 3.2.1 Cho {S i = Pi

1X j , F i ,1 6 i 6 n} là martingale có kỳ vong 0, với F i là σ− trường sinh bởi X1, , Xn Đặt

E(X j 2 | F j−1 ),16 i6 n, và giả sử rằng maxi 6 n |X i | 6 n −1/2 M h.c.c (3.14) và

P(|V n 2 −1| >9M 2 Dn −1/2 (logn) 2 )6 Cn −1/4 logn (3.15) với các hằng số M, C và D(> e) Khi đó với n> 2 sup

Bổ đề 3.2.2 Cho W(t), t> 0, là một chuyển động Brown chuẩn và T là một biến ngẫu nhiên không âm Khi đó với mọi x thực và mọị >0,

Chứng minh Đầu tiên chúng ta lưu ý rằng nếu 0 < < 1

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Thuật ngữ trong các dấu hiệu modulus trong tích phân được bao quanh bởi

Thuật ngữ đầu tiên ở đây không lớn hơn(2π) −l/2 (l−) −1/2 1/2 z và cho cụm từ thứ hai không lớn hơn

2 Bằng cách đối xứng, cùng một giới hạn được áp dụng khi x < 0, và kết hợp các ước tính này, ta suy ra rằng đối với 0< < 1

P(W(T)6 x)−Φ(x)6 (2) 1/2 +P(|T −l| > ) (3.18) Điều này ràng buộc tầm thường nếu > 1

2 Hơn nữa, bằng cách sử dụng một thủ tục tương tự, ta suy ra

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Bổ đề (3.2.2) được thiết lập bằng cách kết hợp các phương trình (3.18) và (3.19) Trong quá trình chứng minh Định lý (3.2.1), chúng ta nhận thấy rằng có sự tồn tại của chuyển động Brown tiêu chuẩn W và các biến ngẫu nhiên Ti, với điều kiện 1 ≤ i ≤ n, mà không làm mất tính tổng quát.

Bổ đề (3.2.2) bây giờ khẳng định rằng với mọi n, x, và ∆> 0,

|P(Sn 6 x)−Φ(x)| 6 2∆ 1/2 +P(|Tn −V n 2 | >∆) +P(|V n 2 −1| >∆) (3.20) Đặt τ1 = T1 và τi = Ti − Ti−1,2 6 i 6 n Với mỗi τi là G i -đo được và E(τi|G i−1) = E(X i 2 |F i−1) hầu chắc chắn trong đó G i là σ− trường sinh bởi

Sl,˙,St và W(t) với t6 Ti Vì thế

Đối với bất kỳ martingale phân biệt Z i trong khoảng từ 1 đến n và bất kỳ p > 2, ta có thể áp dụng bất đẳng thức của Holder và Burkholder, dẫn đến việc (τi−E(τi|G i−1 )) trở thành tổng của các martingale phân biệt.

(3.21) trong đó q = (1−p −1 ) −1 6 2 với p> 2 Áp dụng những bất đẳng thức này cho các martingale phân biệt Zi =τi−E(τi| G i−1), ta suy ra rằng

Bây giờ, với |Zi| 6 max(τ i , E(τ i | G i−1 )) và E[E(τ i | G i−1 ) p ] 6 E(τ i p ), theo bất đẳng thức Jensen.

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Việc mở rộng Γ(p+ 1) của Stirling ngụ ý rằng đối với p> 2, Γ(p+ 1)6 (2π) l/2 p p+l/2 e −p+l/24 , và kết hợp điều này với cả hai phương trình(3.22) và (3.23), chúng ta thấy rằng

Từ điều kiện (3.14) chúng ta có maxi 6 n E|X i | 2p 6 n −p M 2p , và điều này cùng với (3.20) và (3.24) ngụ ý rằng đối với mọi δ > 0,

Bây giờ chúng ta chọn ∆ = ∆(n) → 0 và p = p(n) → ∞ để giảm thiểu tổng của hai cụm từ đầu tiên ở trên Đặt

6 (7M D 1/2 + 2)n −l/4 logn, vì thế, ta giả định rằng D >e Hậu quả là,

|P(Sn 6x)−Φ(x)| ≤ (7M D 1/2 + 2)n −1/4 logn + P(|V n 2 −1| > ∆) cho thấy sự kết hợp với (3.15) dẫn đến (3.16) Các ràng buộc trong (3.16) chỉ áp dụng khi 2 ≤ n < e^2 Mặc dù điều kiện hạn chế đồng nhất (3.14) có thể quá nghiêm ngặt cho một số ứng dụng, nhưng nó có thể được thay thế bằng một giới hạn về các thời điểm mũ.

Luận văn thạc sĩ Khoa học Định lý 3.2.3 Vẫn sử dụng ký hiệu trong định lý (3.2.1), giả sử rằng cho α >0 và các hằng số M, C và D maxi 6 n E[exp(|n 1/2 Xi| α )]< M (3.25) và

P(|V n 2 −1| > Dn −1/2 (logn) 2+2/α )6 Cn −1/4 (logn) 1+1/α (3.26) Khi đó với n>2 sup

|P(S n 6 x)−Φ(x)| 6 An 1 /4 (logn) 1+1/α (3.27) trong đó A là hằng số chỉ phụ thuộc α, M, C và D

Nhận xét 3.2.4 Như trong trường hợp của Định lý (3.2.1), kết quả tiếp tục giữ cho chuỗi bất kỳ chuỗi của σ− trường F i sao cho Si,F i là một martingale.

Chứng minh rằng với mọi x > 0, ta có x^p e^(-x) = p p e^(-p) Do đó, x^p ≤ p p e^(-p) cho mọi x > 0 Hậu quả là n p E|X_i|^(2p) ≤ E[(|n^(1/2) X_i|^(α))^(2p/α)] ≤ (2p/α)^(2p/α) e^(-2p/α) M, theo công thức (3.25) Kết hợp với (3.24), chúng ta suy ra rằng đối với các hằng số dương a và b không phụ thuộc vào n, p, hoặc ∆, chúng có thể được chọn lớn tùy ý.

Từ đó và từ (3.20) chúng ta có được

(3.28) Lần nữa, chúng ta chọn ∆ và p để giảm thiểu tổng của hai điều kiện đầu tiên Lần này lựa chọn tối ưu là

Luận văn thạc sĩ Khoa học

6 cn −1/4 (logn) 1+1/α với một hằng số c, nếu chúng ta chọn b > e Quay trở lại (3.28), chúng ta thấy rằng

|P(Sn 6 x)−Φ(x)| 6dn −1/4 (logn) 1+1/α +P(|V n 2 −1| >∆) với hằng số d và kết hợp với (3.26) điều này ngụ ý (3.27)

Luận văn thạc sĩ Khoa học

Nội dung luận văn này hệ thống hóa và tổng kết các kết quả kinh điển liên quan đến Luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, cùng với một số định lý hội tụ dành cho Martingale.

1 Chương 1 trình bày một số khái niệm và tính chất của martingale cùng các bất đẳng thức cơ bản.

2 Chương 2 nghiên cứu Luật số lớn và các định lý hội tụ.

3 Chương 3: Định lý giới hạn trung tâm và tốc độ hội tụ của nó.

Luận văn thạc sĩ Khoa học