53Kết luận 60Tài liệu tham khảo 61 Trang 4 Lời cảm ơnVới tình cảm chân thành, em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đạihọc Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Phòng Đào tạ
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE Luận văn thạc sĩ Khoa học LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE Luận văn thạc sĩ Khoa học Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 8460112.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội - Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn Danh sách ký hiệu Lời nói đầu Chương Martingale bất đẳng thức 1.1 Martingale tính chất 1.1.1 Định nghĩa Martingale ví dụ 1.1.2 Các tính chất 10 1.2 Các bất đẳng thức Luận văn thạc sĩ Khoa học 1.2.1 Một số bất đẳng thức 1.2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương Chương Luật số lớn định lý hội tụ 11 11 15 22 2.1 Định lý hội tụ martingale 22 2.2 Luật số lớn 24 2.2.1 Luật số lớn 24 2.2.2 Luật mạnh số lớn 26 Hội tụ Lp 35 2.3 Chương Định lý giới hạn trung tâm 46 3.1 Hội tụ L1 − yếu, hội tụ ổn định 46 3.2 Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm 53 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Lời cảm ơn Với tình cảm chân thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học q thầy giáo tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho em suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, chủ nhiệm mơn Xác suất thống kê tốn học, Khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, người Luận văn thạc sĩ Khoa học Xin cảm ơn lãnh đạo huy Học viện Phịng Khơng - Không Quân, Thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn khoa học cho em lãnh đạo huy Phòng Quản Lý học viên Đồn 871 Tổng cục trị - Bộ Quốc Phòng, đồng nghiệp, người thân gia đình, bạn bè thân thiết động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để hồn thành nhiệm vụ học tập nâng cao trình độ chun mơn Dù tác giả cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý, dẫn q thầy, giáo, bạn đồng nghiệp người quan tâm tới đề tài nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 12 năm 2018 Học viên Dương Thị Ánh Tuyết Danh sách ký hiệu ||.||p Chuẩn không gian Banach Lp (Xn ) Dãy biến ngẫu nhiên ↓ h.c.c Giảm Hầu chắn d → Hội tụ theo phân phối p → Hội tụ theo xác suất (Ω, F , P ) Không gian xác suất Lp Tập biến ngẫu nhiên X cho E|X|p < ∞ Lp Tập hợp biến ngẫu nhiên X cho E|X|p < ∞ Luận văn thạc sĩ Khoa học ↑ Tăng Lời nói đầu Cái tên martingale Ville đưa vào ngôn ngữ xác suất đại (1939) chủ đề làm bật qua công trình Doob năm 1940 đầu năm 1950 Lý thuyết Martingale, giống lý thuyết xác suất, bắt nguồn từ trò chơi cờ bạc, trở thành loại q trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tiễn, đặc biệt cơng cụ khơng thể thiếu tính tốn ngẫu nhiên tốn học tài Thật ra, thuật ngữ martingale có lịch sử lâu dài trò chơi cờ Luận văn thạc sĩ Khoa học bạc, ban đầu có nghĩa hệ thống để bù đắp tổn thất cách tăng gấp đôi tiền thưởng sau mát Từ điển tiếng Anh Oxford bắt đầu sử dụng thuật ngữ từ năm 1815 Khái niệm đại có tài liệu tham khảo Bachelier (1900) Các nghiên cứu lý thuyết martingale Bernstein (1927, 1939, 1940, 1941) Lévy (1935a, b, 1937) có trước sử dụng tên martingale Các tác giả giới thiệu martingale dạng tổng liên tiếp để tổng quát hoá kết giới hạn cho tổng biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên, công trình Doob, bao gồm việc khám phá định lý hội tụ martingale, hoàn toàn thay đổi hướng đề tài Cuốn sách ông (1953) ảnh hưởng lớn gần ba thập niên Chỉ gần có hồi sinh quan tâm thực hoạt động lĩnh vực lý thuyết giới hạn martingale mà đề cập tới việc tổng quát hóa kết cho tổng biến ngẫu nhiên độc lập Lý thuyết xác suất nói chung, lý thuyết martingale nói riêng đóng góp vai trị vơ quan trọng phát triển chung tốn học đại Nó nghành tốn học lớn, vừa có tầm lý thuyết trình độ cao, đáp ứng đầy đủ tiêu chuẩn chặt chẽ xác tốn học túy đồng thời lại có phạm vi ứng dụng rộng rãi khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y sinh học Với tính ứng dụng cao vậy, martingale mảng đáng quan tâm nghiên cứu phát triển sâu rộng Tuy nhiên, với vốn kiến thức hạn hẹp chuyên nghành Lý thuyết xác suất thống kê toán học, tác giả cố gắng học hỏi, tìm tịi, với hướng dẫn, bảo vơ tận tình từ Thầy hướng dẫn, tác giả xin trình bày kết tìm hiểu thơng qua luận văn mang tên: Một số định lý giới hạn lý thuyết Martingale Nội dung luận văn chia làm chương Cụ thể: Chương 1: Martingale bất đẳng thức Nội dung chương luận văn khơng chọn trình bày lại số kiến thức Luận văn thạc sĩ Khoa học số kết qua học tập, nghiên cứu mơn học chương trình đào tạo thạc sĩ Toán học chuyên nghành Xác suất thống kê toán học mà tập trung chủ yếu trình bày số kiến thức lý thuyết Martingale Đó định nghĩa martingale, số ví dụ, tính chất bất đẳng thức liên quan như: Bất đẳng thức Doob, Bất đẳng thức cắt ngang, Bất đẳng thức Burkholder, Bất đẳng thức Rosenthal Tiếp theo, nội dung chương 2: Luật só lớn định lý hội tụ Bố cục chương trình bày chi tiết sau: 2.1 Định lý hội tụ Martingale 2.2 Luật số lớn 2.2.1 Luật số lớn 2.2.2 Luật mạnh số lớn 2.3 Hội tụ Lp Đó nội dung trọng tâm chương này.Ở đây, hầu hết chứng minh định lý hôi tụ Martingale dựa số mở rộng bất đẳng thức, bất đẳng thức thiết lập sử dụng nhiều lần phần sau Trong chương tác giả áp dụng chúng để chứng minh luật số lớn trình bày cơng cụ Sau chương 3: Định lý giới hạn trung tâm Trọng tâm chương giới thiệu định lý giới hạn trung tâm tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm Bản chất martingale dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn số điều kiện đặc biệt Lý thuyết hội tụ dãy biến ngẫu nhiên, luật số lớn, luật mạnh số lớn, định lý giới hạn trung tâm có lẽ ko xa lạ lý thuyết xác suất Và tìm hiểu chút khác biệt lý thú chúng qua ngôn ngữ mới, ngôn ngữ martingale Luận văn thạc sĩ Khoa học Chương Martingale bất đẳng thức 1.1 Martingale tính chất 1.1.1 Định nghĩa Martingale ví dụ Giả sử (Ω, F , P ) không gian xác suất, G ⊂ F σ−trường F Luận văn thạc sĩ Khoa học Một biến ngẫu nhiên X gọi tương thích với G X G −đo Trong trường hợp ấy, ta viết X ∈ G Một dãy Fn , n = 1, 2, gọi dãy tăng σ− trường Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F , ∀n Cho dãy tăng σ− trường Fn Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) gọi tương thích với dãy Fn với n, Xn ∈ Fn Dãy (Xn ) gọi thuộc Lp ta viết (Xn ) ∈ Lp với n E|Xn |p < ∞ Dãy Xn ∈ L1 gọi martingale dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) = Xm Kí hiệu: martingale {Xn , Fn } Dãy Xn ∈ L1 gọi supermartingale (martingale trên) dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) Xm Dãy Xn ∈ L1 gọi submartingale (martingale dưới) dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) > Xm Chú ý: Điều kiện E(Xn |Fm ) = Xm Tương đương với E(Xn+1 |Fn ) = Xn Luận vănE(Xthạc sĩ Khoa học | ) = E(E(X | )| ) Thật vậy, Fn ⊂ Fn+1 nên theo tính chất kỳ vọng có điều kiện n+2 Fn n+2 Fn+1 Fn = E(Xn+1 |Fn ) = Xn Tiếp tục vậy, quy nạp ta có với k E(Xn+k |Fn ) = Xn Tương tự cho điều kiện E(Xn |Fm ) Xm E(Xn |Fm ) > Xm Dãy(Xn ) martingale dãy Fn −Xn martingale dãy Fn Giả sử σ(X)n trường bé sinh {Xm , m n} Hiển nhiên dãy (σ(X)n ) dãy tăng ta gọi σ− trường tự nhiên sinh dãy (Xn ) Hiển nhiên dãy (Xn ) tương thích với dãy (σ(X)n ) Ta nói (Xn ) martingale martingale σ−trường tự nhiên Định lý 1.2.11 (Bất đẳng thức Rosenthal) Nếu {Si , Fi , ≤ i ≤ n} martingale ≤ p < ∞, tồn số C1 C2 phụ thuộc vào p cho !p/2 n n X X + C1 E E(Xi2 | Fi−1 ) E|Xi |p i=1 i=1 !p/2 n n X X p p + ≤ E|Sn | ≤ C2 E E(Xi | Fi−1 ) E|Xi | i=1 i=1 Chứng minh Vế phải đẳng thức suy từ Định lý 1.2.10, phải chứng minh vế trái Ta thấy, tồn số K phụ thuộc p cho " E n X !# E(Xi2 | Fi−1 )p/2 ≤ KE n X !p/2 Xi2 i=1 i=1 Ta suy !# " n X E(Xi2 | Fi−1 )p/2 +E E |X | Khoa học Luận văn thạc sĩ i=1 ! n X i p i=1 ≤ KE n X !p/2 !p/2 n X +E Xi2 Xi2 i=1 i=1 ≤ C1−1 (K + 1)E|Sn |p Sử dụng (1.12) bất đẳng thức số thực xi , n X |xi |p ≤ n X !p/2 x2i Điều thiết lập vế trái bất đẳng thức 21 , p ≥ 2, Chương Luật số lớn định lý hội tụ 2.1 Định lý hội tụ martingale Định lý 2.1.1 Nếu {Sn , Fn , n ≥ 1} martingale L1 -bị chặn, Sn hội tụ hầu chắn tới biến ngẫu nhiên S với E|S| < ∞ Chứng minh Định lý hội tụ hệ đơn giản định lý 1.2.4 Luận văn thạc sĩ Khoa học Ký hiệu v Định lý 1.2.4 đặt v∞ = limn→∞ (hữu hạn vô cùng) Bất đẳng thức (1.1) tính L1 -bị chặn kéo theo (b − a)E(v∞ ) sup E|Sn | + |a| < ∞ n nên v∞ < ∞ hầu chắn với giá trị a b Suy P (lim inf Sn < a < b < lim sup Sn ) = với a b, công tất giá trị hữu tỉ ta suy P (lim inf Sn < lim sup Sn ) = 0, nên Sn hội tụ hầu chắn Giới hạn phải hữu hạn hầu chắn theo bổ đề Fatou ta có E(lim |Sn |) ≤ sup E|Sn | < ∞ Do E|Sn | = 2E(Sn+ ) − E(Sn ) ≤ 2E(Sn+ ) − E(S1 ), 22 dãy {E|Sn |} bị chặn {E(Sn+ )} bị chặn Nếu {Sn } khả tích (ví dụ, {Sn } bị chặn đều), tất nhiên hội tụ Định lý 2.1.1 hội tụ L1 hội tụ với xác suất Kết hiển nhiên Hệ 2.1.2 Nếu {Sn , Fn , n ≥ 1} martingale khơng dương tồn giới hạn limn→∞ Sn = S hầu chắn Thật vậy, trường hợp E|Sn | = −ESn −ES1 Hệ 2.1.3 Nếu {Sn , Fn , n ≥ 1} martingale khơng âm tồn giới hạn limn→∞ Sn = S hầu chắn Thật trường hợp với n ta có E|Sn | = ESn = ES1 Bây ta xét tới vấn đề hội tụ Lp martingale Luận văn thạc sĩ Khoa học Hệ 2.1.4 Cho < p < ∞ Nếu {Sn , Fn , n ≥ 1} martingale supn E|Sn |p < ∞, Sn hội tụ Lp hội tụ hầu chắn biến ngẫu nhiên Lp (Kết không p = 1.) Chứng minh Theo Định lý 1.2.3, p E max |Si | ≤ q p E|Sn |p i≤n nên p E sup |Sn | < ∞ n Ngoài ra, P (|Sn | > λ) ≤ λ−p E|Sn |p , hội tụ tới theo n λ → ∞ Do p p E[|Sn | I(|Sn | > λ)] ≤ E sup |Sm | I(|Sn | > λ) n hội tụ tới theo n λ → ∞, {|Sn |p } khả tích Cho nên Sn hội tụ theo xác suất, hội tụ Lp Định lý 2.1.1 đảm bảo Sn hội tụ hầu chắn 23 Định lý không p = Ta xem ví dụ sau Ví dụ 2.1.5 Cho Yn dãy ĐLNN độc lập phân bố với P (Yn = 0) = P (Yn = 2) = 1/2 Ta có EYn = với n Đặt Xn = trước, Xn martingale Vì Qn i=1 Yi Như biết ví dụ chương Qn EXn = i=1 EYi = nên martingale bị chặn L1 Rõ ràng P (Xn → 0) P (∃i : Yi = 0) = 1, Xn → với xác suất Nếu hội tụ L1 ta phải có EXn → Mâu thuẫn 2.2 Luật số lớn 2.2.1 Luật số lớn Định lý 2.2.1 Cho {Sn = Pn i=1 Xi , Fn , n ≥ 1} martingale {bn } dãy số dương với bn ↑ ∞ n → ∞ Khi đó, ký hiệu Xni = p Luận văn thạc sĩ Khoa học P P (|X | > b ) → 0, (i) Xi I(|Xi | ≤ bn ), ≤ i ≤ n, ta có b−1 n Sn → n → ∞ n i=1 i n p (ii) b−1 n Pn | Fi−1 ) → 0, (iii) b−2 n Pn − E[E(Xni | Fi−1 )]2 } → i=1 E(Xni i=1 {EXni Nhận xét 2.2.2 Trong trường hợp riêng Xi độc lập, điều kiện bên p điều kiện cần đủ để b−1 n Sn → Trong trường hợp tổng quát điều kiện điều kiện cần Chúng đưa ví dụ đơn giản sau Cho Yi , i = 1, 2, biến ngẫu nhiên độc lập với Y1 = với i > 1, P (Yi = 0) = i−1 P (Yi = −2) = (1 − i−1 ), P (Yi = + 2(1 − i−1 )−1 ) = (1 − i−1 ), 24 cho EYi = với i Đặt Sn = n Y Yi − 1, n ≥ 1, i=1 ý {Sn , Fn , n ≥ 1} martingale có kỳ vọng 0, ký hiệu Fn σ-trường sinh {Yi , ≤ i ≤ n} Ta có n n Y Y (1 − i−1 ) = n−1 → P Yi > = i=1 i=2 p p n → ∞, nên Sn → −1 b−1 n Sn → với dãy số dương {bn } với bn ↑ ∞ Chọn bn = n, n ≥ Nếu 2i−1 ≥ n, P (|Xi | > n) = P (|Y1 Y2 · · · Yi−1 | |Yi − 1| > n) = i−1 Y (1 − j −1 ) = (i − 1)−1 j=2 X P (|X thạc | > n) ≥ sĩ Khoa (i − 1) → ∞ Luận văn học n X −1 i i=1 1+log n≤i≤n n → ∞, trường hợp (i) khơng thỏa mãn Chứng minh Định lý 2.2.1 Đặt Snn = P (Snn /bn 6= Sn /bn ) ≤ n X Pn i=1 Xni P (Xni 6= Xi ) = Đối với (i), n X i=1 P (|Xi | > bn ) → 0, i=1 p nên ta cần chứng minh b−1 n Snn → Đối với (ii), b−1 n n X p E(Xni | Fi−1 ) → 0, i=1 ta cần chứng minh b−1 n n X p [Xni − E(Xni | Fi−1 )] → i=1 Kết cuối suy cách áp dụng bất đẳng thức Chebyshev với (iii) 25