Mục tiêu chính cùa đề tài Một số mô hình sai phân trong kinh tế và khoa học kỹ thuật đã nghiên cứu về một số mô hình sai phân trong kinh tế và khoa học kỹ thuật. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1
DAI HOC DA NANG
TRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM
LE TH] DIEU THAO
MOT SO MO HiNH SAI PHAN
TRONG KINH TE VA KHOA HOC KY THUAT
LUAN VAN THAC SI TOAN HOC
DA NANG
Trang 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM
LÊ THỊ DIỆU THẢO
MỘT SỐ MƠ HÌNH SAI PHÂN
TRONG KINH TE VA KHOA HOC KY THUAT Chuyên ngành: Tốn Giải tích
Mã số: §.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung
ĐÀ NẴNG
Trang 3LOI CAM DOAN
Tồn bộ nội dung trình bày trong luận văn này là cơng trình nghiên
cứu tổng quan của ta, được hồn thành dưới sự hướng dẫn của TS Lê Hải
Trung Những khái niệm và kết quả trong luận văn được tổng hợp từ các
tài liệu khoa học đáng tin cậy Ta xin chịu trách nhiệm với những lời cam
đoan của mình
Tác giả
Trang 4Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung đã tận tình hướng dẫn tác giả trong
suốt quá trình thực hiện dé tác giả cĩ thể hồn thành được luận văn này
“Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cơ giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập của khĩa học
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em trong lớp Giải tích K39 - Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình
học tập tại lớp
“Tác giả
Trang 5
mae
INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: SOME DIFFERENCE MODELS IN ECONOMY AND SCIENCE AND TECHNOLOGY
Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: LE THI DIEU THAO Supervisors: PhD.LE HAI TRUNG
Training institution: The University of Danang, University of Education
Summary
* The main results of the thesis:
The research topic of the master's thesis "Some differential equations in economics and
science and technology" has achieved the following results:
- Presenting the concept of mathematical model and the steps to build a mathematical model
~ Present some basic concepts about difference, first order difference equations, second order difference equations, some non-linear differential equations and system of
difference equations
- Presenting some differential models in economic analysis and specific examples ~ Presenting some difference models in population theory and specific examples - Presentation on some difference models in science and technology and practical
applications
* The appli
ty in practice and subsequent research of the thesis:
- Mathematical modeling is a form of using mathematical language to a system or object in the natural sciences and in engineering as well as in economics Models are given that describe real problems that can be expressed as differential equations The content of the thesis topic is topical and attracts a lot of research attention
= The topic has theoretical and applied value The thesis can be used as a reference for
students of Mathematics and interested subjects
Supervior’s confirmation Student
MES a Wit
Trang 6TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC Si
MOT SO MO HiNH SAI PHAN TRONG KINH TE VA KHOA HOC
Ngành : Tốn Giải Tích Khĩa: K39 Họ và tên học viên: Lê Thị Diệu Thảo
Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung
Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng Tĩm tắt
*Những kết quả chính của luận văn:
Dé tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “Một số phương trình sai phân trong kinh tế và khoa học kỹ thuật" đã đạt được một số kết quả sau đây:
~ Trinh bay về khái niệm mơ hình tốn học và các bước xây dựng mơ hình tốn học
~ Trình bảy một số khai niệm cơ bản về sai phân phương trình sai phân cấp một, phương
trình sai phân cấp hai, một số phương trình sai phân phi tuyến tính và hệ phương trình sai phân
~ Trình bày về một số mơ hình sai phân trong phân tích kinh tế và các ví dụ cụ thé ~ Trình bày về một số mơ hình sai phân trong lý thuyết dân số và các ví dụ cụ thể
- Trình bày về một số mơ hình sai phân trong khoa học kỹ thuật và các ứng dụng thực tế *Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn:
~ Mơ hình tốn học là một hình thức sử dụng ngơn ngữ tốn học để một hệ thống hoặc đối tượng trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kỹ thuật cũng
như kinh tế Các mơ hình đưa ra mơ tả các vấn đề thực tế cĩ thể biểu thị dưới dạng
phương trình sai phân Nội dung đề tài luận văn mang tính thời sự và được nhiều
người quan tâm nghiên cứu
~ Đề tài cĩ tính giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Cĩ thể sử dụng luận văn làm
tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Tốn và những đối tượng quan tâm
Trang 7MUC LUC 1.1 Mơ hình tốn học và các bước xây dựng mơ hình tốn học .4 1.2 Một số khái niệm cơ bản về sai phan 1.3 Phương trình sai phân cấp một 10
1.4 Phương trình sai phân cấp hai 14
1.5 Một số phương trình sai phân phi tuyến tính 15
1.6 Hệ phương trình sai phân tuyến tính 17
CHƯƠNG 2 MỘT SỐ MƠ HÌNH SAI PHÂN TRONG KINH TẾ VÀ KHOA HỌC KỸ THUẬT 27
2.1 Một số mơ hình trong phân tích kinh tế 37
2.2 Một số mơ hình sai phân trong lý thuyết dân số 31
2.3 Một số mơ hình sai phân trong khoa học kỹ thuật 50
Trang 81 Lý do chọn đề tài
Mơ hình tốn học là một hình thức sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ
tả về một hệ thống hoặc đối tượng trong các ngành khoa học tự nhiên và
chuyên ngành kỹ thuật (ví dụ: vật lý, sinh học, kỹ thuật điện tử) đồng
(như kinh tế, xã hội học và khoa học chính trị) Các kỹ sư, nhà khoa học sử dụng mơ hình tốn học như một cơng cụ
thời trong cả khoa học xã hội
nghiên cứu Các mơ hình đưa ra mơ tả các vấn đề đời thực mà chúng cĩ
thể được biểu thị dưới dạng phương trình tốn học, trong đĩ cĩ phương
trình sai phân Vì vậy, việc nghiên cứu các mơ hình tốn trong Lý thuyết
phương trình sai phân là một vấn đề thời sự của tốn học được nhiều nhà tốn học quan tâm Cĩ thể kể đến như: Mơ hình kinh tế quốc dân Mơ hình dãy số Fibonaeei ta mơ tả những hiện Chẳng hạn, xét quá trình phát triển của Keynes, Mơ hình tăng trưởng dân
Phương trình sai phân thường xuất hiện khi ngưi
tượng quan sát được trong tự nhiêi
dân số của một quốc gia hay một vùng lãnh thổ nào đĩ Nếu gọi #„¿¡ là số dân tại thời điểm năm ø + 1 thì #„;¡ là một hàm của số dân z„ tại thời điểm năm trước đĩ Mối liên hệ này được mơ tả bởi hệ thức:
Inst = ƒ(@u,n),n €N,
Trang 92 Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu về một số mơ hình sai phan trong kinh tế và khoa học kỹ thuật Để đạt được mục tiêu trên đề tài sẽ nghiên
cứu những nội dung sau:
Để đạt được mục tiêu trên đề tài sẽ nghiên cứu những nội dung sau: -
Những mơ hình phương trình sai phân cơ bản - Cơ sở và các ứng dụng của phương trình sai phân
~ Hệ phương trình sai phân và các ứng dụng - Nội dung của đề tài được
dự định chia thành 2 chương:
Chương 1 Kiến thức cơ sở
Chương 2 Một số mơ hình sai phân trong kinh tế và khoa học kỹ thuật
3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
3.1 Các mơ hình tốn kinh tế và kỹ thuật sử dụng phương trình sai
phân
3.2 Phạm vi nghiên cứu: Mơ hình về kinh tế và kỹ thuật trong phương
trình sai phân và ứng dụng
4 Phương pháp nghiên cứu
“Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các sách vở cĩ liên quan đến đề tài luận văn Trong luận văn cĩ sử dụng các kiến thức liên quan đến các lĩnh
vực: Giải tích hàm biến thực, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình
vi phân thường
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài cĩ giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Cĩ thể sử dụng luận
văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Tốn và những đối
Trang 10“Trong luận văn này, ta trình bày các kiến thức cơ sở của phương trình
sai phân, hệ phương trình sai phân và một số mơ hình tốn cơ bản trong
lý thuyết phương trình vi phân Nội dung luận văn được trình bày trong,
hai chương Ngồi ra, luận văn cĩ Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Kiến nghị, Tài liệu tham khảo
Chương 1 trình bày về các kiến thức cơ sở, bao gồm 6 tiểu mục: Mục
1.1- Mơ hình tốn học và các bước xây dựng mơ hình tốn học; Mục 1.2-
Một số khái niệm cơ bản về sai phân; Mục 1.3- Phương trình sai phân cấp một; Mục 1.4- Phương trình sai phân cấp hai Mục 1.5- Một số phương
trình sai phân phi tuyến; Mục 1.6- Hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương 2 trình bày về một số mơ hình sai phân trong kinh tế và khoa
hoc kỹ thuật, bao gồm 5 tiểu mục: Mục 2.1- Một số mơ hình trong phân
tích kinh tế; Mục 2.2- Mơ hình dân số liên tục; Mục 2.3- Một số mơ hình
Trang 11CHƯƠNG 1
KIÊN THỨC CƠ SỞ
1.1 Mơ hình tốn học và các bước xây dựng mơ hình tốn học
Bước 1: Chuyển hệ thống ngồi tốn học thành một hệ thống trung
gian Xây dựng mơ hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố cĩ ý nghĩa quan trọn nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo Mơ hình trung gian giữa tình huống ngồi tốn học và mơ hình tốn
học cần xây dựng biểu thị nột cấp độ trừu tượng hĩa đầu tiên của thực
tiễn Mơ hình này tiến triển từ từ qua việc mơ hình hĩa: Một mơ hình
trung gian cĩ thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với tình huống, thực tế được xem xét hoặc so với mơ hình tốn học cần xây dựng
Bước 2: Chuyển mơ hình trung gian thành mơ hình tốn học, tức là
diễn tả lại dưới dạng ngơn ngữ tốn học cho mơ hình định tính Khi cĩ
mơ hình trung gian ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình
huống đang xét Từ đĩ dẫn đến việc lập mơ hình tốn học thiết lập mối
quan hệ giữa các biến số và các tham số của tình huống Như vậy mơ hình tốn học là trừu tượng hĩa dưới dạng ngơn ngữ của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nĩ cho phép ta hiểu được
bản chất của hiện tượng
Bước 3: Hoạt động tốn học trong mơ hình tốn học Sử dụng các cơng cụ tốn để khảo sát và giải quyết mơ hình tốn học hình thành ở
bước thứ hai Căn cứ vào mơ hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Trở lại tình huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề tốn học thành câu trả lời của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng
Trang 12Khả năng 1: Mơ hình và các kết quả tính tốn phù hợp với thực tế Khả năng 2: Mơ hình và các kết quả tính tốn khơng phù hợp với thực
tế Khi đĩ cần xem xét các nguyên nhân sau:
~ Tính chính xác của lời giải tốn học, thuật tốn, quy trình
- Mơ hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét
- Tinh thỏa đáng của mơ hình tốn học đang xây dựng
- Các số liệu ban đầu khơng phản ánh đúng thực tế
Cĩ thể phải thực hiện lại quy trình cho đến khi tìm được mơ hình tốn
học thích hợp với tình huống đang xét Như thế, mơ hình tốn học là quy
trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ những khái niệm tốn học được lựa chọn một cách phù hợp Quá trình ấy được thực hiện thơng qua
c xây dựng mơ hình phỏng thực tế bằng cach “
it tỉa” - hay ngược lại,
bổ sung thơng tin - để cĩ thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình tốn
học Trong bước tìm kiếm mơ hình phỏng thực tế này người ta thường
phải thực hiện những việc đặt giả thuyết, tổng quát hĩa, hình thức héa, Bài tốn tốn học cuối cùng được xây dựng phải đại diện trung thực cho
bối cảnh thực tế
1.2 Một số khái niệm cơ bản về sai phân
1.2.1 Sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực: Xét hàm số một biến thực ÿ(#) và h > 0 Định nghĩa 1.2.1 (xem (1|) Biểu thức Ay(t) = y(t + h) — w() (1.1) được gọi là sai phân hữu hạn thứ nhất hay sai phân bậc nhất hữu hạn của y(t)
Một cách tự nhiên ta sẽ mặc dinh y(t) xác định tại các điểm mà ta
hành xem xét Chú ý rằng trong lý thuyết sai phân thì h chính là số gia
Trang 13
6 hạn bậc cao được xác định bởi biểu thức:
A"y() = A(A" y(t) (1.2)
Để tiện lợi và nhất quán về mặt logic ta sẽ kí hiệu A°y(t) = y(t) Bằng
phương pháp quy nạp tốn học ta sẽ chứng minh được sai phân hữu hạn
bac n là tuyến tính, tức là:
A"(@) + ø0)) = A*(0)) + A"(s()): A"(Cƒ()) = CA"(0)- Giá trị A"g(£) dễ dàng được biểu diễn qua giá của hàm #/(£) tại các
điểm f,† + h, ,£ + nh Ta cĩ được cơng thức sau đây:
(9) = 3 )(—1)""*C#(t + kh) (L3)
=o
Trang 14ki SX ~1)" SOR (t + kh) + (-1)"Chay()- k=0 Mặt khác ta lại cĩ CÈ~} + CẢ ¡ = C‡ và Œ"_¡ = CN} = 1 Do đĩ cơng thức cuối cùng ta viết dưới dạng: nol Ary(t) = y(t+nh)+>-(-1)"*Ck(t+kh)+(—1)"y(t) = yO)" k=l k=0 Như thế cơng thức (1.3) được chứng minh
Để ý rằng nếu như trong cơng thức (1.3) ta thực hiện phép biến đổi của chỉ số mm = m — k và sử dụng cong thite Ck = On-*, khi dé ta nhan được:
A"y(t) = epee + (n — m)h)
m0
Một cách hồn tồn tương tự, bằng phương pháp quy nạp tốn học ta
cũng chứng minh được cơng thức:
y(t + nh) = 3 C}AFy(0) (1.5)
k=O
Định nghĩa 1.2.2 (xem (4]) Phuong trinh c6 dang:
F(t, y(t), Ay(t),- Avy) =0 (1.6)
được gọi là phương trình sai phân
Nếu trong (1.6) ta biểu diễn các sai phân hữu hạn bởi cơng thức (1.3)
thì ta nhận được phương trình thì ta nhận được phương trình: Gt, y(t), (t + 1) y(t + nh)) = 0 (1.7) Định nghĩa 1.2.3 (xem (4]) Phương trình (1.7) được gọi là phương trình sai phân cấp n Ví dụ 1
Xác định bậc của phương trình sau đây:
A®y(t) + A? y(t) — Ay(t) — y(t) = 0
Trang 158
Ay(t) = y(t + 3h) — 3y(t + 2h) + 3y(t + h) — y(t), do đĩ
Aty(t) + A2y(t) — Ay(t) — y(t) = y(t + 3h) — 2y(t + 2) Dat 7 = t+ 2h, khi do phuong trinh cudi viet duge dudi dang: w(r +h) — 2u(r: là phương trình (sai phân) bậc nhất Định nghĩa 1 của phương trình (1.7) trên tập ©, nếu thay nĩ vào phương trình thì ta nhận được đẳng thức đúng trên © Giả sử h = 1 Khi đĩ phương trình (1.7) cĩ dạng: G(t,y(0).(t + 1) y(t + n)) =0 (L8)
Định nghĩa 1.2.6 (xem [4j) Nghiệm (rời rạc) của phương trình (1.9)
tương ứng tại điểm £ € Z¿ là chudi s6 yo, y1, - , ye, -8a0 cho:
G(to + k, a, e+a) = 0 (19)
với k = 0,1,2, ; cịn Z* là tập các số nguyên dương (xem [4]) Một hàm liên tuc y(t) được gọi là nghiệm Bài tốn Cauchy cho việc tìm nghiệm của phương trình (1.7)nằm ở xác định y(£) của phương trình này và đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau đây:
y(to) = yo, y(to +1) = m1, -.y(to +n = 1) = Yn-a- (1.10)
Các số ụ, u—¡ được gọi là các giá trị đầu của nghiệm y(t), to duge
gọi là điểm đầu
u y(t) 1a nghiém liên tục của phương trình (1.7) trên [/ạ,-+oe} thì
khi d6 day y(to), y(to + 1), , y(to + &) sẽ là nghiệm rời rạc của (1.7) Tiếp theo ta sẽ lấy fạ = 0 Lúc đĩ nghiệm rời rạc ta sẽ viết dưới dang
(f) và được ngầm hiểu là hàm này chỉ xác định tại các điểm của tập
ạ = fọ,fọ + 1, ,fo + k, và y(to +k) = yp
Chúng ta sẽ giả sử phương trình (1.7) chỉ cĩ thể giải được tương ứng đối với y(t + n) và (1), tức là biểu điễn được dưới dạng:
y(t +n) = ®\(t,(Đ),(t + 1), , y(t + n — 1)) (1.11)
Trang 16Nếu hàm ®;(f,tị,ua, ,u„) được xác định bởi về phải của phương trình (1.11), xác định tại mọi điểm £ € Z¿ và mọi giá trị của ưạ, ư, ,.ư„ thì
một nghiệm rời rạc duy nhất được xác định, nếu với mỗi tạ €Z,, vn nà „_¡ được cho trước Lúc đĩ biểu thức
Di(to +k, yp, -
qua đĩ ta xác định được #„, „+, -
Định nghĩa 1.2.7 (xem [4]) Diém (to, yo, y1, - Yn—1) € 2, x R" được gọi là điểm duy nhất của bào tốn Cauchy nếu với bất kỳ nghiệm ¿(£) của
u+k-4) biểu diễn cơng thức truy hồi để thơng
bài tốn Cauchy thỏa mãn điều kiện đầu:
#(lo) = 90, (ts) = 91, -,9(to + = 1) = Gna, (1.13) (Yo, Y1s-+++Yn—1) F (Yo, Pty + + Pn—1) (11)
suy ra vơi mọi k > 1
(Yres Yirtty «+= Yken—1) F (Pr, Pktty +++ Pk+n-1) (1.15)
tức là với các điều kiện khác nhau thì sinh ra các nghiệm khác nhau Nhìn chung phương trình sai phân là cĩ vơ số nghiệm
Nếu như ta địi hỏi hàm ®a(t,œạ,wạ, ,uạ) về phải của phương trình
(1.12) thỏa mãn các điều kiện tương tự như các điều kiện đối với
®,(t, uj, u2, , U2), thi méi diém của tập ©ạ x R" là điểm tồn tại và duy
nhất nghiệm của bài tốn Cauchy
Định nghĩa 1.2.8 (xem (|) Giả sử 7 là một tập con của khơng gian
+1 chiều của khơng gian R"*! và mỗi điểm của D đều là điểm tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn Cauchy (1.7) Ham y(t) = y(t,Ci, ,Cn)
Trang 1710
D cĩ thể nhận được từ nghiệm tổng quát một cách duy nhất 1.3 Phương trình sai phân cấp một
Định nghĩa 1.3.1 (xem |6]) Phương trình sai phân bậc nhất cĩ dạng:
2(n +1) = f(n,2(n)), (1.16)
trong đĩ ƒ là bất kỳ hàm nao cita hai bién duge xéc dinh trén N x R Dinh lí 1.3.2 (rem (6j) Các phương trình sai phân đơn giản nhất là các
cấp số nhân uà cắp số cộng sau: #(n + 1) = az(n) (1.17) va y(n +1) = y(n) +a (1.18) trong dé a la mét hằng số Các nghiệm của những phương trình này được biết là: x(n) = a"x(0) (119) tà y(n) = (0) + na (120)
Chúng ta sẽ xem xét dạng tổng quát của cả hai phương trình này được mơ tả bằng phương trình sai phân cấp một sau đây:
a(n + 1) =a(n)x(n) + g(n), (1.21)
vi diéu kién ban dau 1a x(0) = xo Tinh toan vai lan lip dau tién, ching
ta thu được:
2(1) = a(0)2(0) + ø(0)
2(2) = a(1)x(1) + g(1) = a(1)a(0)x(0) + a(1)9(0) + 9(1),
+(3) = a(9)+(9) + ø(9) = a(2)a(1)a(0)z(0) + a(2)a(1)ø(0) + a(2)ø(1) + ø(2), +(4) = a(3)z(3) + ø(3)
Trang 18n1 n1 x(n) =z0]Ja H+ Death) II (1.22) nt Chúng ta quy ước rằng [ = 1 Tương tự, để đơn giản hĩa ký hiệu, chúng i ta đặt ` = 0 Để chứng minh đầy đủ cho cơng thức này, chúng ta sẽ sử k=j+l
dụng quy nạp tốn học Chúng ta kiểm tra xem cơng thức (1.22) cĩ chứa
số hay khơng Giả sử cơng thức đúng với n va các giá trị ban đầu của đối ta xét: #(n + 1) = a(n)z(n) + g(n) n-1 n-1 n-1
=a(n)(ø(0) ][a() + 3ø) T] a(9) + 9m)
= 2(0) TT ak) + a(n)Š2ø() ][ a0) + g(n) ke0 k0 (2k4 nd =z(0) ID (k) Tl « a(i) + g(n) 1 a(i) i=k+1 isk+1 =z(0) Ile + Dae) TL
Điều này chứng tỏ ring (1.29) đúng với mọi € Đ
Trang 1912
“Trường hợp thứ hai là một dạng đơn giản của (1.23) , được cho bởi:
x(n) = az(n) +9, (1.25)
với g khơng phụ thuộc vào ø Trong trường hợp này, tổng của (1.24) cĩ thể viết được như sau: x)= {corm 0.20 Ví dụ 1.3.3 Giải các phương trình sai phân sau: 1 a(n +1) = 52(n) 2 y(n +1) = y(n) +5 Bài giải: 1 a(n +1) = 52(n) Ấp dụng cơng thức (1.17) ta được nghiệm: #(n) = C.5", C 1a hing s6 2 y(n + 1) = y(n) +5 Áp dụng cơng thức (1.18) ta được nghiệm: g(n) = Œ + 5n, Œ là hằng, Định nghĩa 1.3.4 cĩ dạng: xem[l]) Phương trình sai phân tuyến tính cấp một ALn+1 + brn = fn,a F 0,040 (1.27) hoặc Tn+i = 8n + ƒn;g # 0 (1.28) ø Nếu ƒ„ = 0 ta cĩ phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất ø Nếu ƒ„ # 0 ta cĩ phương trình sai phân tuyến tính cấp một khơng thuần nhất « Néu a,b,q la cdc hing số thì ta cĩ phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng
e Nếu a,b,g là hàm của m thì ta cĩ phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên
Trang 20Nghiệm tổng quát x, của phương trình sai phân tuyến tính cấp một khơng thuần nhất
Ta 66: ty = Eq, + 2%
Trong đĩ, #„ là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến
tính cấp một thuần nhất và z‡ là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp một khơng thuần nhất
Dinh lí 1.3.6 (zem/1J) Nghiệm tổng quát #„ của phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất Tà cĩ: „ = CÀ„, uới À = SẼ hay À = q Dinh lí 1.3.7 (rem/1j) Nghiệm riêng x; của phương trình sai phân tuyến tính cấp một khơng thuần nhất Trường hợp 1: ƒ„ = P„(n) là đa thức bậc m của n, m €Đ ® Nếu À # 1 thì xẻ = Qn(n) & Nếu À # 1 thì z‡ =nQ,(n) Trường hợp 2: f, = a"P„(n),a # 0m € N,P„(n) là da thức m của n ® Nếu À # a thì z) =a"Qn(n) @ Nếu À= a thà z) = na"Q„(n) Trường hợp 3: ƒ„ = acosnz + 3sinnz, a2 + 83 # Ú,+ # km, k € 7 Ta cĩ: #‡ — acosnz + bsìn nữ
Trang 2114
1.4 Phương trình sai phân cấp hai
Định nghĩa 1.4.1 (xem(1]) Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai cĩ
A8,xa + Bry,ï + er, = df Z0,d #0 (130)
hoặc
#u+a = D#u+i + 4#a + ƒu,q # 0 (131)
ø Nếu ƒ„ = 0 ta cĩ phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất
« Néu fn 4 0 ta cĩ phương trình tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất
e Nếu a,b,e,d hay p,q là các hằng số thì ta cĩ phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng
e Nếu a,b,e, đ hay p, q là các hàm của n thì ta cĩ phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên
Định lí 1.4.2 (zem(1J) Nghiệm tổng quát z„ của phương trình sai phân
ính cấp hai khơng thuần nhất
tuyến
Ta 66: ty = y+ 2
Trong đĩ, £„ là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tinh
cấp hai thuần nhất uà +} là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến
tính cấp hai khơng thuần nhất
Dinh lí 1.4.3 (remj1j) Nghiệm tổng quát #„ của phương trình sai phân
tuyến tính cấp hai thuần nhất
Giải phương trình đặc trưng aÀŸ + bÀ + e = 0 cĩ hai nghiệm À\, A» @ Nếu Ài,À› € TR tà Ai F Az thi Gn = Cid} + Codd
o Néu dy, A2 € R va \y = Ap =A thi &, = (Cy + nC2)dr”"
ếu Ai, Az € C vd Ang = r(cosny+isinny) thi a, = r"(Cy cosnp+ Chsinny)
Định lí 1.4.4 (zem(1j) Nghiệm riêng +; của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất
Trang 22® Nếu À # 1 thì z» = Qu{n),Qu(n) là đa thức bậc m của n ® Nếu À = 1 là nghiệm đơn thì z‡ = nQn(n)
@ Nếu À = 1 là nghiệm kép thà z} = n°Q„(n)
Trường hợp 2: fy = e"P„(n),a # 0m € Đ, P„(n) là đa thức bậc m của n
« Nếu À # œ thì +]; = a"Q„(n),Q„(n) là đa thúc bậc m của n © Nếu cĩ một nghiệm đơn À = œ thà z„ = na"Q„(n)
@ Nếu cĩ một nghiệm kép À = œ thà x> = n3a"Q„(n)
Trường hợp 9: ƒ„ = P„(n) cosan + Q.(n) sinan (uới P„(n).Q;(n)
là các đa thức bậc mm, s của n) Ký hiệu:
k= mar { ms} (1.32)
eo Néu a = cos8 + isin B,i? = —1 khong la nghiệm của phương trình
đặc trưng thì 2%, = T,(n) cosan + R¿(n) sin an
@ Nếu œ = cosØ +isinØ,?? = —1 là nghiệm của phương trình đặc trưng thà z‡ = n[T;(n) cos œn + Tfy(n) sìn an]
Định nghĩa 1.4.5 (xem[l]) Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên cĩ dạng: #„¿ = pa#a+t + đu#y + ƒa, #ọ — đ,#4 = b
Định lí 1.4.6 (zem/1j) Nghiệm tổng quát: z„ =
Trong đĩ, £„ là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính
cấp hai thuần nhất uà +}, là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến
tính cấp hai khơng thuần nhất
Néu tn va vy la hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất tương ứng thì #„ = Au, + Bu„ (uới
A,B là các hằng số)
1.5 Một số phương trình sai phân phi tuyến tính
Một phương trình sai phân khơng tuyến tính được gọi là phương trình sai phân phi tuyến tính
Trang 25
1) skim I cde số tur nhién, y1, , Ym là các hàm cần phải tìm, được
gọi là hệ phương trình sai phân tuyến tính chính tắc Hệ phương trình chuẩn tắc cĩ dạng:
y(n +1) = fin, y(n), ya(n), ., y(n)
yo(n +1) = falt, y(n), yo(n), -,Yn(n)) (1.34) ynlr +1) = fa(r,gn(r), yo(m),. +Yn(m))
Chú ý rằng mọi hệ phương trình dạng chính tắc (1.33) cĩ thể đưa được
về dạng chuẩn tắc (1.34) Thật vậy, trong hệ (1.33)ta đặt:
tin) = un(n), Us(n) = ta(n), tần + ki — 1) = wix,(n)
Yn(M) = Uma (M), Yon(M2) = Una), + + Yn(M + ky = 1) = Una (72);
nhận được hệ dưới dạng chuẩn tắc: uiu(n +1) = u2(n) alse, = fu(tetura(M)y stag, (M)y - -, Mạn (R), - 85m8, (2) Umi (+ 1) = Uma(n) (1.35) Um2(n + 1) = tng (n)
= fin(m,taa(M), -, tabs (M),- +5 Uma (T), «++ stk (%))-
Hệ (1.34)cịn cĩ thể được viết dưới dang ma tran Thật vậy, ta đưa vào
các hàm vectơ sau đây:
n điện, tín) -, uu(n))
yt) = | #2 |, /(n,y(a)) = | P20), ald)
wn(m) đa(m, i(n) u())
Khi đĩ hệ (1.34) cĩ dạng:
y(n +1) = f(n,y(n)) (1.36)
Moi bo sap thit ty n ham y;(n), yo(n),- ,yn(n) dude gọi là nghiệm của hệ (1.34) trên một tập ©, nếu ta thay chúng vào các phương trình trong
hệ thì ta nhận được các đẳng thức đúng trên ©
Trang 26như mọi nghiệm ¿(n) của bài tốn Cauchy thỏa mãn điều kiện ban đầu
9(no) = 90,70 # yo ta nhận được với mọi k > 1
y(no +k) # ¿(no + k)
“Ta sẽ giả sử rằng hệ (1.34) cĩ thể tìm được nghỉ
m duy nhất tương ứng với 1(É), „(#), như thế, hệ (1.34) cĩ thể được viết dưới dang:
n(n) = gi(r, y(n + 1), yo(n + 1), ., u(n + 1),
9a(n) = go(n, y(n + 1), yo(n + 1), ., u{n + 1), (137)
M(n) — guẦn, Ấn + 1), gan + 1),
hay duéi dang ma tran y(n) = g(n, y(n + 1)) Yn(n +1),
Néu céc ham y(n, v1, ,Un),k = 1,2, ,n xée dinh véi moi gia tri
n € © và với mọi giá tri cia argument v;, ,v, thì mọi điểm của tập hợp © x R*" là điểm duy nhất của bài tốn Cauchy (1.34) Thật vậy, ta
lấy một điểm (nọ, gụ) tùy ý trong © x R" Giả sử y(n) là nghiệm của bài tốn Cauchy với điều kiện đầu y(no) = yo Lay mot nghiệm y(t) tùy ý của hệ (1.34) và thỏa mãn điều kiện ban đầu y(n) = Yo, Go # 9o Giả sử (nạ + È) # (nạ + k) ,k = 0,1,2, m — 1 và (ng +n) = g(ng +m) 'Từ các phương trình của hệ (1.37) ta suy ra (no +m — 1) = g(ng, @(nạ + m)), y(no + m — 1) = g(ng, (ng + m)) Bởi (nạ +1n) = ÿ(nạ + m) nên (nọ + 1m — 1) = ÿ(nạ +1m — 1), ta nhận được điều mâu thuẫn với giả thiết y(np +m — 1) 4 y(np +m — 1)
Định nghĩa 1.6.2 (xem4]) Giả sử D là tập các điểm tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn Cauchy hệ (1.34) Hàm vectơ 1 = g(n,Ci, , Cụ) trong 7) được gọi là nghiệm tổng quát bậc ø của hệ (1.34), và thỏa mãn điều kí
1 Với mọi giá trị Cị, C„ hàm ‡ = y/(n,C\, Cụ) là nghiệm của
he;
2 Mọi nghiệm của bài tốn Cauchy với giá trị đầu cho trước trong tập
Trang 27định một cách duy nhất
“Từ lý thuyết của phương trình vi phân suy ra, nghiệm y(n) cita hé (1.34)
trong tập © được gọi là nghiệm riêng, nếu như mọi điểm (ngy/(nạ)),t € 9
là điểm duy nhất nghiệm của bài tốn Cauchy
Bởi vậy nghiệm tổng quát theo định nghĩa được cho trên tồn bộ tập tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn Cauchy, thế thì một nghỉ:
được từ nghiệm tổng quát trước những giá trị cụ thể của các hằng số
mm nhận
€ì, , C„ được gọi là nghiệm riêng
Định nghĩa 1.6.3 (xem(4]) Hệ phương trình sai phân tuyến tính cĩ dạng: n(n +1) = pu(n)y(n) + + Pin(r)yn(n) + n(n) yo(n + 1) = pai(n)yn(t) + + P2n(m)¥n(n) + aon) (1.38) n(n + 1) = Paa(r)y(n) + + Pan(m) n(n) + dn(n) hoặc dưới dạng ma trận tín + 1) = P(n)y(n) + g(r)
được gọi là phương trình sai phân dạng chuẩn tắc
Nếu g(n) = (0) thì hệ được gọi là thuần nhất, và khơng thuần nhất
j =1, ,n xác định với moi n € Q, thi moi điểm (nọ, y(ng)) € © x R" là điểm tồn tại
nghiệm của bài tốn Cauchy Nếu det P(n) # 0,n € © thì hệ (1.38) cĩ nghiệm duy nhat y(t):
0{n) = Pˆ`(n)(y(n + 1) = q(n))
Trong trường hợp này, mọi điểm (no, y(no)),n € Q là điểm tồn tại nghiệm
của bài tốn Cauchy của hệ (1.38)
trong trường hợp ngược lại Nếu các hàm p¡j(n), g;(n) ở
Tiếp theo trở về sau ta luơn mặc định rằng các hàm ?;;(n), g;(n), ¿, j —
1, ,n xác định với mọi ø € ©, thậm chí với mọi n € Z va det P(n) #
0,nc 9
Như vậy nghiệm của hệ khơng thuần nhất được chuyển về nghiệm của hệ phương trình thuần nhất tương ứng, tức là ta tiến hành xem xét hệ
thuần nhất:
Trang 28“Trong trường hợp vơ hướng, ta đưa vào các khái niệm các hàm vectơ độc
lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính và định thức Cassorati
Định nghĩa 1.6.4 (xem(1j) Các hàm vectơ ¿¡(n), #a(n), , a(n) được
gọi là phụ thuộc tuyến tính trên tập ©, nếu như tồn tại các hằng số
C\,C¿, ,Cạ khơng đồng thời bằng 0 để cho 5ˆ C¿øy(n) = 0 i
“Trong trường hợp ngược lại thi c4c ham vecto yi(n), y2(n), n(n) được gọi là độc lập tuyến tính trên tập © Dịnh thức Cassorati của các
ham vecto yi(n), yo(n), - n(n) là định thức cấp n K(n) = det ®(n), với các cột của y(n) duge tao bdi gi (n), $2(n), Định lí 1.6.5 (xem [4]) Nếu các hàm uectơ @i(n) #a(n) @u(n) phụ thuộc tuyến tính trên tập Q thì định thức Cassorati của chúng K(n) = 0,t € 9 Dinh lí 1.6.6 (zem/4j) (Tiêu chuẩn độc lập tuyến tính của hệ thuần nhất)
Nghiệm z4(n) z2(n) zu(n) của hệ (1.39) độc lập tuyến tính trên Q khả uà chỉ khi định thức Cassorali của chúng khác khơng trên Q: K(n) # 0,nc 9 Định nghĩa 1.6.7 (xem(1]) n(n) Mỗi tập tùy ý n nghiệm độc lập tuyến tính zi(n), za(n), Ma trận ®(n)z4(n), z2(n), , Zn(n) với cột của nĩ được viết bởi các
n(n) ciia he (1.39) được gọi là nghiệm cơ sở
nghiệm độc lập tuyến tính, được gọi là ma trận cơ sở của hệ (1.39) Hiển
nhiên ®(n + 1) = P(n)®(n), detð(n) = K(n) # 0.t € © Ngược lại, nếu như ma trận W(n) thỏa mãn phương trình ma trận W(n+1) = P(n)W(n),
thì các cột của (n) là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất tương ứng
Nếu ta bổ sung thêm điều kiện đet W(n) # 0 thì W(n) là ma trận cơ sở
Trang 29
22
Dinh li 1.6.8 (xem/4)) (Cong thie tua Osstragratrki-Luyvilla-Jacobi) Giả sử ®(t) là ma trận cơ sở của hệ (1.39), K(n) = det ®(n), khi đĩ
not
K(n) = K(no) |] det(P,),n e ©
Í=nọ Hệ quả 1.6.9 (zem///)
Nghiệm z4(n) za(n), z„(n) của hệ (1.39) độc lập tuyến tính trên Q khí uà chỉ khả định thúc Cassorati của chúng khác khơng tại mọi điểm
nạ € 9
Định lí 1.6.10 (rem(4j) Tồn tại nghiệm cơ sở của hệ (1.39)
Định nghĩa 1.6.11 (xem(4]) Nếu ma trận Ư trùng với ma trận đơn vị
thì hệ cơ sở được xây dựng trong định lý trên được gọi là chuẩn tắc tại
điểm nạ
Định lí 1.6.12 (rem(4j) (VỀ mối quan hệ giữa các ma trận cơ sở)
1 Nếu ®(t) là ma trận cơ sở của hệ (1.39) thà uới mọi ma trận hằng
khơng suy biến Œ ma trận
W(n) = C®(n) (140)
cũng là ma trận cơ sở
2 Với hai ma trận cơ sở bắt kỳ bao giờ ta cũng cĩ quan hệ (1.40)
Định li 1.6.13 (zem/4j) (VỀ nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tuyến tính)
Giả sử ®(n) = z\(n) z2(n), , z„(n) là ma trận cơ sở của hệ (1.39),
khi đĩ hàm uectơ z(n) = ®(n)C, ở đâu Ở là uectơ hằng tùy ý, biểu diễn
nghiệm của hệ (1.39) trên tập Q x R"
Chú ý rằng ma trận cơ ®(n) thì hệ thuần nhất được phục hồi một cách duy nhất Thật vây, từ đăng thức ®(ø + 1) = P(n)®(n), ma tran
P(n) = O(n + 1)®~'{n) được xác định một cách duy nhất Bất kể ma trận cơ sở W(t) nao khác thì cũng được khơi phục chính bởi P(n) That vậy, theo định lý về mối quan hệ giữa các ma trận cơ sở:
Trang 30Bay gid ta tiến hành xem xét hệ tuyến tinh khong thuan nhat (1.38)
y(n + 1) = P(n)y(n) + g(r)
và hệ thuần nhất tương ứng (1.39)là:
zín + 1) = P(n)z(n)
Ta chú ý rằng các tính chất của nghiệm hệ tuyến tính khơng thuần nhất
(1.38) cũng tương tự như tính chất của nghiệm phương trình tuyến tính khơng thuần nhất:
1 Hiệu hai nghiệm riêng bất kỳ của hệ (1.38) là nghiệm của hệ (1.39) 2 Tổng nghiệm riêng của hệ (1.38) và nghiệm riêng của (1.39) là nghiệm riêng của hệ (1.38) 3 Nếu hàm vectơ q(n) của hệ (1.38) được biểu diễn dưới dạng tổng của các hàm vectơ q(n) > fi(n) và Y¡(n),¡ = 1,9, ,k là các nghiệm riêng của hệ: y(n +1) = P(n)y(n) + filr), k thì Y (n) = Ð ` Yi(n) là nghiệm riêng của hệ (1.38) i
4 Định lý về nghiệm tổng quát của hệ khơng thuần nhất
Giả sử z¡(n), za(n), , z„(n) là nghiệm cơ sở của hệ thuần nhất (1.39),
cịn Y(n) là nghiệm riêng của hệ (1.38), khi đĩ hàm vectơ:
y(n) = Y(n) + Cuza(n) + Cs2¿(n) + + Cuza(n)
ở đây Œ¡, Œ, Œ, là các hằng số vơ hướng tùy ý, biểu diễn nghiệm tổng
quát của (1.38) trong 2 x R"
Định If 1.6.14 (xem [4]) Dinh ly Lagrange (Phương pháp biến thiên hằng
số)
Giả sử ®(n) = zi(n), za(n), , z„(n) là nghiệm cơ sở của hệ (1.39),
khi đĩ nghiệm riêng của hệ khơng thuần nhất (1.38) cĩ thể tầm được dưới
Trang 3124
dang:
Y(n) = (n) Di + Vali (L4)
Dinh lí 1.6.15 (rem(4j) Phương pháp Euler zây dựng hệ nghiệm cơ sở
cho hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Xét hệ
2(n +1) = Az(n), detA £0 (1.42)
vdi ma tran hệ số thức A.Ta sẽ tiến hành di tầm một nghiệm riêng của hệ
đã cho dưới dạng +y.Àt, ||À|| # 0 Thành phần của + uà À nĩi chung là số phúc Ta cĩ:
+.AnP! = A.A(A= AE).+ =0 (143)
Để hệ (1.45) cĩ nghiệm khơng tầm thường + thì điều kiện cần và đủ là det(A — AE) = 0, như vậy À nhất thiết phải là trị riêng của ma trận 4
cịn + chính là veetơ riêng tương ứng
Chú ý rằng đef(A) # 0, cịn tích của các trỉ riêng của ma trận thì chính
bằng định thức của ma trận đĩ, thế nên mà trận khơng suy biến thì khơng
thể cĩ trị riêng bằng 0
“Ta xem xét trong từng trường hợp cụ thể sau đây:
1 Khi tất cả các trị riêng của ma trận ⁄ là khác nhau và nhận các giá
trị thực À\, An
Trang 32với ít nhất một thành phần khác 0 Giả sử: is n= (|) 1 £0 in Tit he (1.35)ta viết phương trình thứ j CijÀT + C953 ‡ - + ChjÂn
Vi ¡+ # 0 nên phương trình cuối chứng tỏ Àƒ, Àÿ, A7 là phụ thuộc tuyến tính Ta nhận được mâu thuẫn với điều khẳng định về tính độc lập
của A{,À§, A„ trong trường hợp vơ hướng
2 Các giá trị riêng của 4 là khác nhau, tuy nhiên giữa chúng cĩ các
giá trị phức
Bồ đề 1.6.16 (xem/7]) Nếu hàm uectơ @(n) = gi(n) + ipe(n) là nghiệm
của hệ z(n + 1) = P(n)z(n) vdi ma trận thực P() thì các hàm uectơ thực
#I(n),@a(n) cũng là nghiệm của hệ
Bổ đề 1.6.17 (rem(7j) Giả sử các hàm oectơ f\(n) , ƒ„(n) là độc lập
tuyến tính trên ©, đồng thời 2k hàm đầu tiên là các hàm phức liên hợp,
n— 9k hàm cịn lại là các hàm thực, tức là
fia(n) = 9(n) = gi(n) + tga(n),
fox-12K(n) = P2xe-1(n) + ipa (n),
axsi(n) = Porvi(n), -+fnlm) = gn(n)
Khi đĩ các hàm ¿\(n), £a(n) , @u(n) độc lập tuyến tính trên © 3 Trường hợp ma trận hệ số cĩ trị riêng bội
G day ta chi tiến hành xem xét trường hợp 4 cĩ trị riêng thực bội
Giả sử À là nghiệm thực bội È Ứng với trị riêng này trong hệ nghiệm
cơ sở cho ta & nghiệm độc lập tuyến tính dạng +(n)À*, ở đây +(n) là hàm
vectơ đa thức bậc khơng lớn hơn & — 1, tức là:
You 1"
ít =) |2 | + |? |x+ + | 2-12
Trang 3326
Ở đây các hệ số +¡j của hàm vectơ đa thức cĩ thể xác định bằng phương,
pháp cân bằng hệ số dựa vào điều kiện đầu +(n)A" là nghiệm của hệ Trong,
ý, các hệ số cịn lại
nhận được thơng qua k hệ số đầu tiên & hệ số đầu tiên cĩ thể phân phối
trường hợp này & hệ số đầu cĩ thể nhận các giá trị t
sao cho & nghiệm nhận được là độc lập tuyến tính, tương ứng với giá trị
riêng À
Định nghĩa 1.6.18 (xem(7j) Hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng
thuần nhất hệ số hằng với vế phải đặc thù
Xét hệ
tín +1) = Ay(n) + ƒ(n), det(A) # 0 (145)
Nghiệm tổng quát cĩ dạng
yín) = Y(n) + A".Ơ
với nghiệm riêng Y (£) cĩ thể tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng
SỐ
Yín) = A"S” A-*=!(n)
keno
Định Ii 1.6.19 (xem [4)) Gid sit f(n) = \"P(n), 6 déy P(n) la da thite vecto bién n bac k Gié sit d la trị riêng của ma trân A tới bội s Khi đĩ
nghiệm riêng Y(n) của hệ cĩ thể lầm được dưới dạng:
Y{n) = À"R:;s(n), (1.46)
ở đâu Rì „(n) là đa thức uectơ biến n bậc k + 8
Định lí 1.6.20 (rem(7/) Giả sử hàm vecto f(t) c6 dang:
f(n) =r"(Q¿,(n) eosgn + Q,(n) sin gn),r > 0
G day Qi,,Qx, là các đa thức với hệ số vectơ biến £ với bậc È¡, kạ tương,
ing Gid sit A = r(cos y + isin y) là trị riêng của ma trận 4 bội s (s = 0
nếu À khơng là trị riêng của 4) Giả sử k = maz {k\, kạ} Nghiệm riêng
của hệ (1.45)trong trường hợp này cĩ thể tìm được dưới dạng:
¥(n) = r"(Uess(n) cosyn + Vi+s(n) sin gn),
Trang 34CHƯƠNG 2
MỘT SỐ MƠ HÌNH SAI PHÂN TRONG KINH
TẾ VÀ KHOA HỌC KỸ THUẬT
2.1.Một số mơ hình trong phân tích kinh tế 2.1.1 Lãi kép và hồn trả khoản vay
Lãi kép liên quan đến các khoản cho vay hoặc tiền gửi trong thời gian
dài Tiền lãi được cộng vào tiền ban đầu theo các khoảng thời gian đều
đặn, được gọi là thời gian chuyển động ố tiền mới, thay vì số tiền ban
đầu, được sử dụng để tính lãi cho thời kỳ chuyển đổi tiếp theo Phần của một năm bị chiếm bởi thời gian chuyển đổi được ký hiệu là œ, chu kỳ
1
là một tháng được cho bởi a = 55 Thay vì nĩi rằng thời gian
là một tháng, chúng ta nĩi rằng tiền lãi được gộp hàng tháng
Đối với lãi suất hằng năm là p% và thời gian chuyển đổi bằng œ, tiền lãi trong kỳ bằng à% của số tiền gửi vào đầu kỳ Dĩ là:
số tiền gửi số tiền gửi số tiền gửi
sau k+l khoảng | — J) sau k khoảng ap sau k khoảng
thời gian thời gian (00) thdi gian
chuyển đổi chuyển đổi chuyển đổi
(21) sai phân, chúng ta đặt
Để biểu thị điều này dưới dạng phương trình
Trang 352 t : năm, thi k = —; trong đĩ t là thời gian để tính trong năm Khi đĩ (2.3)cĩ a dạng: ap k) = (1+ £45) 2.4) S(k) = (1+ 100) So (2.4) Đầu tiên chúng ta lưu ý rằng trong (2.4), véi Sp = 1 S)=(1+2)1⁄2=1+- x 1002 100 7 + >1+-— 100 (2.5)
nên nếu lãi kép nhiều lần trong năm thì mức tăng tiết kiệm là lớn hơn nếu
nĩ được gộp hằng năm Dây là cơ sở để xác định lãi suất thực tế r„// (liên
quan đến thời gian chuyển đổi), cụ thể là:
= OP \ija
L+resy (1+ 399) : (2.6)
nghĩa là, rey, 1a lai suất được cộng gop hing năm, sẽ mang lại lợi nhuận
tương tự như lãi suất ø tính theo thời gian chuyển đổi a
Một chút sửa đổi đối số trên cĩ thể được sử dụng để tìm phương trình
chỉ phối việc hồn trả khoản vay Mơ hình được mơ tả ở đây thường được sử dụng để trả các khoản vay mua nhà hoặc ơ tơ Việc trả nợ được thực
hiện đều đặn và thường với số lượng bằng nhau để giảm khoản vay và trả lãi cho số tiền cịn nợ Người ta cho rằng lãi kép ở mức ø% được tính trên
khoản nợ chưa thanh tốn với thời gian chuyển đổi bằng cùng một phần
œ của năm với khoảng thời gian giữa các lần trả nợ Giữa các lần thanh
tốn, khoản nợ tăng lên là do tiền lãi tính cho khoản nợ vẫn cịn tồn đọng
sau lần trả nợ cuối cùng Vì thế:
SỐ nợ SỐ nỢ lãi suất số tiền sau k+1 lan ¿ = sau klần @+€ trên khoản ¿— đã
thanh tốn thanh tốn ng vay thanh tốn
(27) Để viết điều này dưới dạng một phương trình sai phan, dit Do là khoản nợ ban đầu phải trả, với mỗi & khoản nợ chưa thanh tốn sau lần hồn trả thứ k của D„ , và đặt khoản thanh tốn sau mỗi kỳ chuyển đổi là # Do đĩ:
ap ap
Dyes kè = De + 75 De = Dp + —Dy — R= Dy(1 + —) — R (1 + 795 (2.8) 2.8)
Trang 36thời gian chuyển đổi, phương trình sẽ cĩ dang hơi khác: ap ap
Desi ke = Dị = R+ 10n(Dè = R) = (Dị — RỊ(1 + Tạp) = Dị — —~(Dx — R) = (De — 1+—-) (2.9) 2
Lý do của sự thay đổi là tiền lãi được tính từ khoản nợ đã giảm theo khoản nợ thanh tốn #? được thực hiện vào đầu kỳ chuyển đổi Ấp dụng cơng thức (1.26) chúng ta giải được: kt D(k) =(1+1r)'Dy — RSV 4 rt i=0 =(1+r)*Do — (1+ r)k — v2 Phương trình này đưa ra câu trả lời cho một số câu hỏi liên quan đến việc vay tiền Ví dụ: Nếu chúng ta muốn biết khoản trả gĩp hàng tháng đối với
một khoản vay Do được hồn trả trong ø lần thanh tốn, chúng ta quan sát thấy rằng khoản vay đĩ là được hồn trả trong œ đợt nếu D(n) = 0
Điều này dẫn đến chúng ta phải giải phương trình: cĩ
0=(1+r)#Dạ= ((1+r)*— Dự
khi đĩ: rDo
R=—— _ 1-(1+r)"
Ví dụ, thế chấp 200000 đơ la để được trả gĩp hàng tháng trong 20 năm với lãi suất hàng năm là 13%, chúng ta nhận được a = 1/12, r = 0.0108
va n = 20 x 12 = 240 Khi do:
0.0108 x 200000
~ T= (1.0108)-2"
2.1.2 Cân bằng Walras
Chúng ta nghiên cứu việc định giá một loại hàng hĩa nhất định Theo 'Walras giá thị trường là giá cân bằng; nghĩa là, nĩ là giá mà tại đĩ cầu
2167 đơ la
(nhu cầu) Ð đối với hàng hĩa này bằng cung (cung cấp) 8 của nĩ Gọi
p(n) biểu thị giá trong khoảng thời gian n Các giả thiết D(n) = ƒ(p(n))
trong đĩ ƒ là ham giam va S(n) = g(p(n — 1)), trong đĩ ø là một hàm
tăng Thực tế là 9 phụ thuộc vào p(ø — 1) và 7 phụ thuộc vào p(n) là do
Trang 37cân bằng:
ƒ(p(n)) = g(p(n — 1)) (2.10)
đĩ là phương trình cấp một phi tuyến tính Nếu ƒ giảm dần và các khoảng
của ƒ và ø là như nhau thì phương trình này cĩ thể được giải cho p(n)
như sau:
b(n) = ƒˆ`(ø(p(n = 1))) (2.11)
“Tuy nhiên, để tiếp tục chúng ta phải thực hiện thêm một số điều kiện cho
các hàm f và g Các hàm đơn giản nhất cĩ thể được lựa chọn là:
ƒ(p(n)) = =map(n) + bạ, g(p(n — 1)) = m¿p(n — 1) + by, (2-12)
trong dé ma,ms,ba > 0,bs > 0 là các hằng số Hệ số rmạ và rm; lần lượt
được gọi là độ nhạy cảm của người tiêu dùng và nhà cung cấp đối với giá
cả Từ những giả thiết trên thì phương trình (2.11) cĩ thể được viết dưới dạng phương trình tuyến tính như sau: ms ba — bs =—— =1 = 2.13) p(n) mh” )+ mạ (2.13) Sau khi giải phương trình trên ta được nghiệm:
2.1.3 Mơ hình thu nhập quốc dân của Keynes
“Trong nền kinh tế thị trường, thu nhập quốc dân Y(n) của một cong đồng trong một thời gian nhất định ø cĩ thể được viết là:
Y(n) = C(n) + I(n) + G(n), (2.14) trong đĩ:
e Y{(n) là chỉ tiêu của người tiêu dùng để mua hàng hĩa thơng thường; ¢ C(n) là khoản đầu tư tư nhân để mua trang thiết bị vốn;
« Gín) là chỉ tiêu của chính phủ
Cĩ nhiều mơ hình khác nhau cho các đại lượng trên Chúng ta sử dụng
các giả định được chấp nhận rộng rãi do Samuelson đưa ra Việc tiêu thụ thỏa mãn quan hệ sau đây:
Trang 38đĩ Đương nhiên là 0 < œ < 1 Khoản đầu tư thỏa mãn
= 8(C(n) ~ C(n - 1)), (2.16)
do đĩ đầu tư tư nhân được tạo ra bởi sự gia tăng tiêu dùng chứ khơng
phải bởi chính tiêu dùng Hằng số đ dương là tăng tốc tiêu thụ dẫn đến đầu tư tăng lên trong khi giảm tốc làm giảm giá trị của nĩ Cuối cùng,
giả định rằng chỉ tiêu của chính phủ khơng đổi qua các năm và chúng ta chỉnh lại các biến để
G(n)=1 (2.17)
Dat (2.15) vao (2.16) dan dén:
I(n) = a8(¥(n— 1) — ¥(n—2)) (2.18)
Do đĩ (2.14) cĩ thể được viết dưới dạng phương trình sai phân tuyến tính
cấp hai như sau:
Y(n +9) — a(1+ 8)Y(n + 1) + a8Y(n) = 1 (2.19)
Giả sử œ = 0.5, 8 = 2 thì ta giải phương trình cĩ được nghiệm: 7+ v33 7~ v33
¥(n) = C= VB +=
2.2 Một số mơ hình sai phan trong lý thuyết dân số Phương trình cho mơ hình dân số khơng cĩ cấu trúc
Trong nhiều lĩnh vực của đời sống con người, điều quan trọng là phải
biết dân số phát triển như thế nào và các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát
triển của họ Kiến thức này rất quan trọng trong các nghiên cứu về sự phát
nh thái và thu hoạch
Nhiều lồi động vật cĩ xu hướng sinh sản trong thời gian ngắn, được xác triển của vi khuẩn, quản lý động vật hoang dã, s định rõ theo mùa Sau đĩ, điều tự nhiên là dân số thay đổi từ mùa này sang mùa khác và do đĩ thời gian được đo lường một cách riêng biệt với
các số nguyên dương biểu thị mùa sinh sản Do đĩ, cách tiếp cận rõ ràng để mơ tả sự tăng trưởng của một quần thể như vậy là viết ra một phương,
trình vi phân phù hợp Sau đĩ, chúng ta cũng sẽ xem xét các quần thể
Trang 3932 hình dân số rất đơn giản và thảo luận về một số biến thể thực tế đơn giản hơn của chúng 2.2.1 Tăng trưởng theo cấp số nhân - phương trình sai phân tuyến tính cấp một
Chúng ta bắt đầu với các lồi cơn trùng (được gọi là semelparous) Cơn trùng thường cĩ các thế hệ khơng chồng chéo hàng năm được xác định
rõ ràng - con trưởng thành đẻ trứng vào mùa xuân/ mùa hè và sau đĩ
chết Trứng nở thành ấu trùng ăn và phát triển, sau đĩ qua mùa đơng,
trong giai đoạn nhộng Những con trưởng thành xuất hiện từ nhộng vào mùa xuân Chúng ta thực hiện cuộc điều tra dân số của những con trưởng, t chuỗi
thành trong các mùa sinh sản Sau đĩ, tự nhiên mơ tả dân số là n
No: Nis +s Ne, (2.20)
trong đĩ A là số con trưởng thành trong đàn sinh sản thứ È
Giả thiết đơn giản nhất để đưa ra là sự cĩ phụ thuộc theo chức năng giữa các thế hệ tiếp theo:
„ii = ƒ(N,)n =0,1, (221)
Chúng ta sẽ giới thiệu về Ro, s6 trimg trung bình của một con trưởng
thanh Ro được gọi là tỷ lệ tái sản xuất co bản hoặc tỷ lệ tăng trưởng nội tại Sự phụ thuộc hàm đơn giản nhất trong (2.21) là:
Nga = RạN„vn =0,1, (2.22)
mơ tả tình trạng rằng quy mơ của quần thể chỉ được xác định bởi mức
sinh sản của nĩ Phương trình mũ (hay Malthusian) (2.22) cĩ phạm vi ứng
dụng lớn hơn nhiều Nĩi chung, trong lý thuyết dân số, các thế hệ cĩ thể
trùng nhau Nhìn vào các quần thể lớn, trong đĩ các cá thể sinh ra con
mới nhưng cũng chết sau một thời gian, chúng ta cĩ thể coi quần thể như
thi phối bởi
Trang 40sinh sản tiếp theo;
© Ty lệ con cái so với con đực khơng đổi trong mỗi mùa sinh sản; e Cĩ thể bỏ qua sự khác biệt về tuổi giữa các thành viên trong quần
thể;
e Dân cư bị cơ lập - khơng cĩ di dân hoặc di cư;
Giả sử rằng trung bình mỗi thành viên của quần thể sinh ra một số con
giống nhau là đ vào mỗi mùa Hằng số đ được gọi là tỷ lệ sinh bình quân Chúng ta cũng định nghĩa ¿ là xác suất mà một cá thể sẽ chết trước mùa
sinh sản tiếp theo và gọi nĩ là tỷ lệ tử vong bình quân Như vậy:
(a) Số lượng cá thể được sinh ra trong một mùa sinh sản cụ thể tỷ lệ thuận với quần thể đầu mùa sinh sản cụ thể
ết
(b) Số lượng cá thể bị chết trong khoảng thời gian giữa những lầi thúc các mùa sinh sản liên tiếp tỷ lệ thuận với quần thể khi bắt đầu mùa h sản Ký hiệu A¿ là số cá thể của quần thể ở đầu mùa sinh sản thứ È, ta thu được: Nest = Ấy — Ấy + 0Đ, (223) hay Nai =(1+8— n)À (2.24)
Phương trình này rút gọn thành (2.22) bing céch dat jz = 1 (nghia la toan
bộ quần thể trưởng thành chết) và 8 = Ro
Phương trình (2.22) cĩ thể được giải dễ dàng:
A = RỆAo,k =0,1,9, (2.25)
Chúng ta thấy rằng hành vi của m6 hinh phy thudc vao Ro Néu Ro < 1, thi quần thé giảm dần theo hướng tuyệt chủng, nhưng véi Ro > 1 thi nĩ
tăng trưởng vơ thời hạn Một hành vi như vậy trong một thời gian dài
khơng được quan sát thấy ở bất kỳ quần thể nào do đĩ chúng ta thấy rằng