Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các phương trình hàm hai biến

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cơng trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MAI TUYẾT HOA ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG TRÍ Phản biện 1: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN Phản biện 2: PGS TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 22 tháng 10 năm 2011 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng - 2011 - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng 3 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải tích Tốn học Trong kì thi Olympic Toán quốc gia quốc tế, Olympic Toán khu vực, thường xuất dạng tốn khác có liên quan đến phương trình hàm Tuy nhiên, nay, học sinh trường chuyên, lớp chọn biết phương pháp thống để giải phương trình hàm Đặc biệt, cịn thiếu sách chun đề phương trình hàm ứng dụng chúng Phương trình hàm thường tốn khó xuất đề thi thi tốn học Bởi để giải cần lý thuyết sở lại cần nhiều kỹ Trong tốn học đương đại đóng vai trị để giải tốn liên quan Phương trình hàm ứng dụng nhiều chương trình tốn phổ thơng, chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Xuất phát từ vấn đề nêu phương trình hàm ứng dụng nó, chúng tơi ñịnh chọn ñề tài nghiên cứu với tên: “Các phương trình hàm hai biến” Mục đích nghiên cứu Mục tiêu ñề tài nhằm nghiên cứu phương trình hàm hai biến Hệ thống số tốn giải phương trình hàm hai biến Định hướng cho học sinh cách vận dụng phương trình hàm hai biến vào việc giải lớp toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên u ñề tài khảo sát phương trình hàm hai biến Hệ thống tốn liên quan đến phương trình hàm hai biến Từ nghiên cứu phương pháp giải toán vận dụng phương trình hàm hai biến Phương pháp nghiên cứu • Thu thập tài liệu, báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan ñến Phương trình hàm phương trình hàm hai biến • Tham gia buổi seminar hàng tuần ñể trao ñổi kết nghiên cứu • Thu thập đề tốn thi liên quan đến phương trình hàm, giải tốn chưa có lời giải tham khảo Từ đề phương pháp chung cho tốn mang tính chất tương tự Ý nghĩa khoa học thực tiễn ñề tài • Tổng quan kết tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñến phương trình hàm hai biến nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu phương trình hàm hai biến • Chứng minh chi tiết làm rõ số ñịnh lý, mệnh ñề đưa số tốn, ví dụ minh họa ñặc sắc có chọn lọc làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương Giới thiệu phương trình hàm hai biến Chương Trình bày tốn phương trình hàm hai biến Chương Ứng dụng phương trình hàm hai biến vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi • Trong Chương 1, trình bày kiến thức sở dùng cho chương sau • Trong Chương 2, trình bày số tốn tiêu biểu, đặc sắc số tốn tổng hợp phương trình hàm hai biến • Các phương pháp vận dụng phương trình hàm hai biến trình bày Chương Chương GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN 1.1 Phương trình Cauchy Phương trình Cauchy có dạng f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R (1.1) với f: R → R hàm liên tục Ngiệm phương trình ∃a ∈ R: f(x) = ax, ∀x ∈ R Để tìm nghiệm phương trình Cauchy, chứng minh mệnh đề, định lý sau Mệnh ñề 1.1 Cho f: R → R thoả mãn phương trình Cauchy f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Phương trình hàm tuyến tính có dạng Khi ∃a ∈ R: f(q)=aq, ∀q ∈ Q f(ax + by + c) = pf(x) + qf(y) + r Mệnh ñề 1.2 Giả sử f: R → R g: R → R hai hàm liên tục cho f(q) = g(q) với q số hữu tỉ Khi f(x) = g(x) với x số thực Định lý 1.3 Cho f: R → R hàm liên tục thoả mãn phương trình Cauchy f(x + y) = f(x) + f(y) với x, y số thực Khi tồn số thực a cho f(x) = ax với x số thực Định lý 1.4 Cho f: R → R thỏa mãn phương trình Cauchy Giả sử ∃c, d ∈ R, c < d cho f bị chặn đoạn [c,d] Nói cách khác, tồn số thực A cho f(x) ≥ A với c ≤ x ≤ d Khi tồn số thực a cho f(x) = ax với x số thực Ứng dụng phương trình Cauchy Mệnh đề 1.5 Giả sử f: R → R thoả mãn phương trình Cauchy f ( x + y) = f ( x) + f ( y ) với x, y ∈ R ñơn ñiệu tăng nghĩa f(x) ≤ f(y) với số thực x ≤ y Khi ∃a ≥ 0: f(x) = ax, ∀x ∈ R Mệnh ñề 1.6 Dạng chung hàm f f(x) = sx + t 1.4 Phương trình mũ Cauchy Phương trình mũ Cauchy có dạng f(x + y) = f(x)f(y) hàm f:R→R giả thiết liên tục khơng đồng Nghiệm phương trình ∃b > 0: f(x) = bx, ∀x ∈ R Xét phương trình f(xy) = f(x) f(y), ∀x, y ∈ R+ Nghiệm phương  f ( x ) = x k , ∀x > trình   f ( x ) = 0, ∀x ∈ R 1.5 Phương trình Pexider Phương trình Pexider có dạng f(x + y) = g(x) + h(y) Ta cần tìm tất hàm liên tục f, g, h: R → R thoả mãn phương trình với số thực x, y Nghiệm phương trình Pexider là: f(z) = cz + a + b; g(x) = cx + a h(y) = cy + b a, b, c ∈ R Giả sử f: R → R thoả mãn hai phương trình 1.6 Phương trình Vincze f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R, Giả sử ta cần tìm tất nghiệm f, g, h k phương trình f(xy) = f(x) f(y), ∀x, y ∈ R Khi f(x) = hay f(x) = x ∀x ∈ R 1.2 Phương trình Jensen Phương trình Jensen có dạng x + y  f (x ) + f ( y ) f  =   Dạng chung hàm f phải f(x) = ax + b, với a, b ∈ R 1.3 Phương trình hàm tuyến tính f(x + y) = g(x)k(y) + h(y), ∀x, y ∈ R với ñiều kiện hàm f, g, h k liên tục Đặt φ ( y ) = k ( y) a , với k(0) = a 7 *Trường hợp thứ nhất: φ(y) = 1, ∀y ∈ R Nghiệm phương trình ( dx + c − b) , h(y) = dy + b, a, f(x) = dx + c, k(y) = a, g ( x ) = a b, c, d ∈ R, ∀x, y ∈ R * Trường hợp thứ hai: ∃y0 ∈ R: φ(y0) ≠ Nghiệm phương trình x f(x) = st x + c, k(y) = at y, g ( x) = ( st + c − b) , h(y) = c + (b – c)t a a, b, c, s, t ∈ R, t > t ≠ 1, ∀x, y ∈ R 1.7 Bất phương trình hàm Cauchy Hãy tìm tất nghiệm bất phương trình hàm f(x + y) ≤ f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Ta tìm họ hàm riêng biệt f thoả mãn f(x) ≤ x, ∀x ∈ R Nghiệm bất phương trình hàm f(x) = x, ∀x ∈ R 1.8 Phương trình hàm hai biến Giả thiết f(x,y) hàm số thực liên tục có hai biến số x, y thoả mãn f (x1 + x2 , y ) = f ( x1 , y ) + f ( x2 , y ) , ∀x1, x2, y ∈ R, ( ) f x, y + y = f ( x, y1 ) + f ( x, y ) , ∀x, y1, y2 ∈ R Kết luận f ( x, y ) = c0 xy , ∀x, y ∈ R 1.9 Phương trình Euler Cho k số thực Với k cho trước, phương trình f (tx ,ty ) = t k f (x , y ) , ∀x, y, t ∈ R+ ñược gọi phương trình Euler Hàm f(x) thoả mãn phương trình Euler ñược gọi hàm bậc k 1.10 Phương trình D’Alembert Bây ta phân tích phương trình D’Alembert g (x + y ) + g (x − y ) = g (x )g ( y ) Giả thiết g(x) hàm liên tục ∃t > 0: g(x) > với số thực x khoảng ñóng [-t, t] * Trường hợp thứ nhất: < g(t) ≤ Nghiệm phương trình g(x) = cos(ax) với số thực x, a > * Trường hợp thứ hai: g(t) > Ta ñịnh nghĩa hàm hyperbol cosin e x + e− x e x − e− x hyperbol sin cosh x = , sinh x = Tương tự 2 trường hợp thứ nhất, ta có g(x) = cosh(ax) với số thực x, a > Chương TRÌNH BÀY CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN 2.1 Các tốn phương trình Cauchy Bài tốn Xác ñịnh hàm f(x) liên tục R thoả mãn ñiều kiện f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = ax, với a∈ R Bài tốn Tìm hàm f(x) xác định có đạo hàm R thoả mãn ñiều kiện f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = ax, với a ∈ R Bài tốn Tìm hàm f(x) xác ñịnh ñồng biến R thoả mãn ñiều kiện f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = ax, ∀x ∈ R, với a > Bài toán Cho c > Xác ñịnh hàm f(x) thoả mãn ñiều kiện  f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )    f ( x) ≤ c, ∀x ∈ [− 1,1] Đáp số: f(x) = ax , ∀x ∈ R |a| ≤ c Bài toán (IMO 1979) Cho hàm f: R → R thoả mãn ñiều kiện f(xy + x + y) = f(xy) + f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R Chứng minh f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R 2.2 Các toán phương trình Jensen Bài tốn Tìm hàm f(x) xác định liên tục R thỏa mãn ñiều kiện: 10  x + y  f ( x) + f ( y ) , f =   Đáp số: ∀x, y ∈ R f(x) = ax + b, với a, b ∈ R Bài toán Tìm hàm f(x) xác định, khả vi R thoả mãn ñiều  x + y  f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R kiện f =   Đáp số: f(x) = ax + b với a, b ∈ R Bài tốn Xác định hàm số f(x) liên tục R\{0} thỏa mãn ñiều kiện  xy  f ( x) + f ( y ) , ∀x, y, x + y ≠  = x+ y f  a + b , ∀x ≠ 0.với a, b ∈ R x 2.3 Phương trình hàm tuyến tính Bài tốn Cho a, b ∈ R\{0} Tìm hàm f(x) xác định, liên tục R thỏa mãn ñiều kiện f(ax + by) = af(x) + bf(y), ∀x, y ∈ R Đáp số: Nếu a + b ≠ f(x) = cx, với c ∈ R Nếu a + b =1 f(x) = cx + d, với c, d ∈ R Bài toán 10 Cho a, b, c ∈ R\{0} Tìm hàm f(x) xác định, liên tục R thỏa mãn ñiều kiện f(ax + by) = af(x) + bf(y) + c, ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = sx + t với s, t ∈ R Bài toán 11 Cho a, b, c, d ∈ R\{0} Tìm hàm f(x) xác định, liên tục R thỏa mãn ñiều kiện f(ax + by + c) = af(x) + bf(y) + d, ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = sx + t, với s, t ∈ R 2.4 Các tốn phương trình mũ Cauchy Bài tốn 12 Xác định hàm f(x) liên tục R thoả mãn ñiều kiện f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R  f ( x) = Đáp số:  x  f ( x) = a (a > 0) Bài tốn 13 Xác định hàm f(x) liên tục R thoả mãn ñiều f ( x)  f ( x − y) = , ∀x, y ∈ R  kiện  f ( y)  f ( x) ≠ 0, ∀x ∈ R  Đáp số: f ( x) = Đáp số: f(x) = ax, a > Bài tốn 14 Tìm hàm f(x) xác định khả vi R thỏa mãn ñiều kiện f(x + y) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ R  f ( x) = Đáp số:   f ( x ) = e ax , ∀x ∈ R  (a > 0) Bài tốn 15 Cho c > Xác định hàm f(x) thỏa mãn ñiều kiện  f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), ∀x, y ∈ R  | f ( x) |≤ c, ∀x ∈ [− 1,1] Đáp số: + Nếu < c ≤ f(x) =  f ( x) = + Nếu c >   f ( x) = e αx với α ∈ R cho |α| ≤ lnc 2.5 Các tốn phương trình Pexider Bài tốn 16 Tìm tất hàm xác ñịnh khả vi f, g, h: R → R thoả mãn phương trình f(x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R Đáp số: f(z) = az + b; g(x) = ax + b + c; h(y) = ay – c a, b, c ∈ R Bài tốn 17 Tìm tất hàm liên tục f, g, h: R → R thoả mãn phương trình f(x + y) = g(x) h(y), ∀x, y ∈ R Đáp số: f(z) = abzk ; g(x) = axk ; h(y) = byk ñó a, b, k số thực 2.6 Các tốn phương trình Vincze Bài tốn 18 Tìm tất hàm liên tục f, g, k, h, u: R → R thoả mãn phương trình f(x + y) = g(x)k(y) + u(x) + h(y), ∀x, y ∈ R Đáp số: Đặt φ ( y) = k ( y) với k(0) = a a * Trường hợp thứ nhất: φ(y) =1 với y f(x) = dx + p, với p = c + n u(x) = n, ∀x ∈ R 11 k(y) = a, ∀y ∈ R u ( x) = dx + c − b a h(y) = d(y) + b g ( x) = * Trường hợp thứ hai: ∃y0 ∈ R: φ(y0) ≠ f(x) = stx + c + n u(x) = n với số thực x k(y) = aty st x + c − b g ( x) = a h(y) = c + (b – c)ty Bài tốn 19 Tìm tất hàm liên tục f, g, h, u, v: R → R thoả mãn phương trình f(x + y) = g(x)h(y) + u(x)v(y), ∀x, y ∈ R (2.69) Đáp số: Nếu u(x) = 0, từ (2.69) ta có Đây phương trình Pexider nên trường hợp ta có kết sau f ( x + y) = g ( x)h( y), ∀x, y ∈ R f(z) = abzk g(x) = axk h(y) = byk a, b, k số thực Nếu u(x) ≠ 0, φ ( y ) = h( y ) , h(0) = a a * Trường hợp thứ nhất: φ(y) =1 với y f ( x) = 12 dm x + m , với m ∈ R c m c h(y) = a với số thực y dx + c − b g ( x) = a v(y) = dy + b * Trường hợp thứ hai: ∃y0 ∈ R: φ(y) ≠ f ( x) = ( st x + c)n , s+c u ( x) = n s+c với số thực x, h(y) = aty, st x + c − b , a v(y) = c + (b – c)ty g ( x) = 2.7 Các tốn bất phương trình hàm Cauchy Bài toán 20 Cho hàm f: R → R thỏa mãn ñiều kiện f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y), ∀x, y ∈ R f ( x) ≤ x, ∀x ∈ R Tìm tất hàm f(x) liên tục R Đáp số: f(x) = 2x, ∀x∈ R Bài toán 21 Cho K = [0;1], f hàm số xác ñịnh K thỏa mãn ñiều kiện 1) f(1) = 1; 2) f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ K 3) Nếu x, y, x + y ñều thuộc K f(x + y) ≥ f(x) + f(y) Chứng minh f(x) ≤ 2x Đáp số: f(x) ≤ 2x, ∀x ∈ K 2.8 Các toán phương trình Euler Bài tốn 22 Giả sử tồn hàm h(t) ñược xác ñịnh cho tất t dương hàm f(x, y) dương ñược xác ñịnh x, y dương thoả mãn f(tx, ty) = h(t)f(x, y) Đây phương trình Euler cải biên 13 phần 1.10 chương Giả sử, ngồi ta có h hàm liên tục Chứng minh h(t) = tk với giá trị k Sử dụng phương trình mũ Cauchy, ta có h(t) = tk với giá trị k Bài toán 23 Cho hàm f: R+ x R+ → R thoả ñiều kiện f(tx, ty) = tk f(x, y), ∀x, y ∈ R, f(x, y) = 5x3 + 2x2y + xy2 + 6y3, ∀x, y ∈ R Tìm k Đáp số: k = 2.9 Các tốn phương trình D’alembert Bài tốn 24 Tìm hàm f(x) R  f ( x + y ) + f ( x − y ) = f ( x) f ( y ), ∀x, y ∈ R   f (0) = 1, ∃x0 ∈ R : f ( x0 ) < Đáp số: f(x) = cos ax, với a ∈ R\{0} Bài toán 25 Tìm hàm f(x) xác định, liên tục R thoả mãn  f ( x + y ) + f ( x − y ) = f ( x) f ( y ), ∀x, y ∈ R ñiều kiện   f (0) = 1, ∃x0 ∈ R : f ( x0 ) > Đáp số: f(x) = chax, với a ∈ R\{0} tuỳ ý 2.10 Các tốn tổng hợp Bài tốn 26 Tìm hàm f(x) xác ñịnh liên tục [-1,1] thoả mãn ñiều kiện f ( x) + f ( y) = f ( xy − − y − x ), ∀x, y ∈ [− 1, 1] Đáp số: f(x) = a.arccosx, a ∈ R, ∀x ∈ [-1,1] Bài tốn 27 Tìm hàm f(x) xác ñịnh, liên tục R thoả mãn ñiều kiện  x+ y  , ∀x, y ∈ R :1 − xy ≠ f ( x) + f ( y) = f   − xy   Đáp số: f(x) = a.arctanx, a ∈ R, ∀x ∈ R Bài toán 28 Giả sử f: R→R có thuộc tính mà tồn số K thoả mãn |f(x) – f(y)| ≤ K(x – y)2, ∀x, y ∈ R Chứng minh f hàm khơng đổi Bài tốn 29 Xác định hàm f: Q → Q thoả mãn phương trình f[x + f(y)] = f(x)f(y), ∀x, y ∈ Q Đáp số: f(x) = 1, ∀x ∈ Q Bài toán 30 Cho hàm f: R→R thoả mãn phương trình 14  f ( x) + f ( y )  , ∀x, y ∈ R m( x, y ) = f −1    ñó f hàm liên tục tăng giảm a) Cho hàm f, g: R→R với f ≠ g thoả mãn phương trình  f ( x) + f ( y )   g ( x) + g ( y )  , ∀x, y ∈ R Chứng minh = g −1  f −1    2    tồn số a ≠ b cho g(x) = af(x) + b b) Giả sử m(x + t, y + t) = m(x, y) + t, ∀x, y, t ∈ R Tìm tất hàm f thoả mãn phương trình Đáp số: a) Biến đổi dạng phương trình Jensen Bằng cách giải phương trình Jensen, ta có kết sau g(x) = af(x) + b với a, b ∈ R a ≠ b) f(x) = cx + d f(x) = csx + d Bài tốn 31 (Phương trình vi phân) Tìm đạo hàm cấp hai hàm số f:R→R thoả mãn phương trình [f(x)]2 – [f(y)]2 = f(x + y) f(x – y) , ∀x, y ∈ R Cho x = u + v y = u − v , c = f ' ' (v0 ) 2 f (v ) Đáp số: Nếu c > ta có f (u ) = A sinh( cu ) Nếu c = ta có f(u) = Au Nếu c < ta có f (u ) = A sin( − cu ) Chương ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM HAI BIẾN VÀO VIỆC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 3.1 Các toán ñề thi thi Toán học Bài toán (Dự tuyển IMO) Hàm số f: R → R thỏa mãn f(x) + f(y) = f(x + y) – xy – 1, ∀x, y ∈ R Nếu f(1) = tìm số nguyên n cho f(n) = n Đáp số n = n = − Bài toán (IMO – 1982) Cho hàm số f xác ñịnh tập hợp số tự nhiên lấy giá trị nguyên không âm Biết f(n) thỏa mãn ñiều kiện 16 15 1) Với m, n f(m + n) – f(m) – f(n) lấy giá trị 2) f(2) = 0, f(3) > f(9999) = 3333 Tính f(1982) Đáp số: f(1982) = 660 Bài toán (Dự tuyển IMO – 2002) Tìm tất hàm thực f xác ñịnh R thoả mãn ñiều kiện f(f(x) + y) = 2x + f(f(y) – x), ∀x, y ∈ R Đáp số f(x) = x + C, C số Bài tốn (VMO – 2005) Tìm f: R → R thoả mãn f(f(x – y)) = f(x) f(y) – f(x) + f(y) – xy, ∀x, y ∈ R Hàm số cần tìm f(x) = – x Bài tốn (VMO – 2006 – Bảng B) Tìm f: R → R liên tục R thoả mãn f(x – y) f(y – z) f(z – x) + = ∀x, y, z ∈R Đáp số f(x) = – 2bx với b > Bài toán (USAMO – 2000) Tìm tất hàm f: R → R thỏa mãn f(x2 – y2) = x f(x) – y f(y), ∀x, y ∈ R Đáp số f(x) = ax với a ∈ R Bài toán (CAMO – 2000) Hãy xác ñịnh tất hàm f: N → N cho x f(x) + y f(y) = (x + y) f(x2 + y2), ∀x, y ∈ N Đáp số f(x) = c với c số, x ∈ R 3.2 Các phương pháp giải phương trình hàm hai biến 3.2.1 Phương pháp sử dụng ñặc trưng hàm hàm sơ cấp Phương trình hàm phương trình thơng thường mà nghiệm hàm Ứng dụng chương 1, ta có đặc trưng hàm sau 1) Phương trình Cauchy 2) Phương trình Jensen 3) Phương trình mũ Cauchy 4) Phương trình D’Alembert Ví dụ Tìm hàm f(x) xác định liên tục R thoả mãn ñiều kiện x+ y f =   f ( x) f ( y ) , ∀x, y ∈ R Áp dụng phương trình hàm Jensen ta có nghiệm tốn f(x) = f(x) = eax+b, với a, b ∈ R Ví dụ Tìm hàm f(x) xác định liên tục R+ thoả mãn ñiều kiện f ( xy ) = f ( x) f ( y ) , ∀x, y ∈ R + Theo kết Ví dụ 1, f(x) = f(x) = ealnx + b = ebxa, với a, b ∈ R Ví dụ Tìm hàm f(x) xác định, liên tục R\{0} thoả mãn      f ( x) + f ( y ) ñiều kiện f = , ∀x, y, x + y ≠ 1 1 x+ y   Theo phương trình Jensen, f ( x) = a + b với a, b ∈ R x Ví dụ Tìm hàm f(x) xác định, liên tục R\{0} thoả mãn      = f ( x) f ( y ) , ∀x, y, x + y ≠ ñiều kiện f 1 1 x+ y   Theo kết Ví dụ f(x) = f(x) = ea/x+b, với a, b ∈ R Ví dụ Xác định hàm f(x) liên tục R\{0} thoả mãn ñiều kiện f(xy) = f(x) f(y), ∀x, y ∈ R\{0} Đáp số 1) f(x) = 0, ∀x ∈ R\{0}, 2) f(x) = |x|α, ∀x ∈ R\{0}, α ∈ R  x β , ∀x ∈ R + 3) f ( x) =  , β ∈ R β − − x , ∀x ∈ R 17 18 Ví dụ Xác định hàm f(x) liên tục R\{0} thoả mãn ñiều kiện f(xy) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R\{0} Đáp số f(x) = aln|x|, ∀x ∈ R\{0}, với a ∈ R Ví dụ Xác định hàm f(x) liên tục R+ thoả mãn ñiều kiện x f   = f(x) – f(y), ∀x, y ∈ R+  y Theo kết Ví dụ 6, f(x) = alnx, ∀x ∈ R+, a ∈ R 3.2.2 Phương pháp xét giá trị Khi vận dụng phương pháp cần ý sử dụng kết vừa có Cách giải nói chung phương pháp tìm giá trị đặc biệt – tính trước Sau tạo bất đẳng thức “ngược nhau” hàm số cần tìm (đối với đề có điều kiện bất phương trình hàm) để đưa kết luận hàm số Việc chọn trường hợp biến phải có tính “kế thừa”  f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R Ví dụ Tìm f: R → R thoả mãn   f ( x + y ) ≥ f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ R Ví dụ 11 (VMO, 1995) Tìm f: R → R thoả mãn: f((x – y)2) = x2 – 2y f(x) + (f(y))2, ∀x, y ∈ R Đáp số: Nếu f(0) = f(x) = x, ∀x ∈ R, f(0) = f(x) = x + 1, ∀x ∈ R 3.2.3 Phương pháp hệ số bất ñịnh Nguyên tắc chung phương pháp * Dựa vào ñiều kiện tốn, xác định dạng f(x), thường f(x) = ax + b f(x) = ax2 + bx + c Ví dụ 12 Tìm tất hàm f: R → R thoả mãn hai ñiều kiện 1) f(x2 – y) = x f(x) – f(y), ∀x, y ∈ R 2) x f(x) > 0, ∀x ≠ Đáp số: ∃a > 0: f(x) = ax, ∀x ∈ R Ví dụ 13 Tìm tất hàm f, g: R → R thoả mãn hai ñiều kiện 1) 2f(x) – g(x) = f(y) – y,∀x, y ∈ R 2) f(x) g(x) ≥ x + 1, ∀x ∈ R Đáp số: f(x) = x + 3, g(x) = 2x + * Đồng hệ số ñể tìm f(x) Ví dụ 14 Tìm tất hàm f: R → R thoả mãn ñiều kiện f(x f(y) + x) = xy + f(x),∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = x f(x) = −x * Chứng minh hệ số khác f(x) khơng thoả mãn điều kiện tốn Ví dụ 15 Tìm tất hàm f: R → R thoả mãn ñiều kiện 2f(x) + f(1 – x) = x2, ∀x ∈ R Đáp số: f ( x) = ( x + x − 1) Cần chứng minh hàm số khác f(x) không thoả mãn điều kiện tốn Giả sử cịn hàm số g(x) ≠ f(x) thoả mãn điều kiện tốn Chứng minh mâu thuẫn với giả thiết g(x0) ≠ f(x0) Ví dụ 16 Tìm tất hàm f: Z → Z thoả mãn ñồng thời ñiều kiện sau 1) f(f(n)) = n, ∀n ∈ Z 2) f(f(n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ Z 3) f(0) = Đáp số: f(n) = −n + Cần chứng minh f(n) = −n + hàm thoả mãn điều kiện tốn  x =  f (0) ≥ ⇒ ⇒ f (0) =  y =  f (0) ≥ f (0)  f (0) ≥ f ( x) + f (− x)  f ( x) + f (− x) ≤ Cho y = − x ⇒  ⇒  f ( x) ≥ 0, f (− x) ≥  f ( x) ≥ 0, f ( − x) ≥ Lời giải Cho  Suy f(x) = f(− x) = 0, ∀x ∈ R Thử lại ta có kết f(x) = Ví dụ Tìm f: [a, b] → [a, b] thoả mãn |f(x) – f(y)| ≥ |x – y|, ∀x, y ∈ [a, b] (a < b cho trước)  f (a) = a f(x) = x Đáp số: Nếu   f (b ) = b f (a) = b Nếu  f(x) = a + b – x  f (b) = a Ví dụ 10 Tìm f: R → R thoả mãn  π   f (0) = a; f   = b ∀x, y ∈ R; a, b cho trước 2   f ( x + y) + f ( x − y ) = f ( x) cos y  Đáp số: f(x) = acosx + bsinx 19 20 3.2.4 Phương pháp sử dụng đạo hàm Vận dụng tính chất đạo hàm hàm số ñiểm, khoảng, đoạn để xác định nghiệm phương trình Ví dụ 17 Tìm f: R → R thoả mãn điều kiện |f(x) – f(y)|2 ≤ |x – y|3, ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = c, ∀x ∈ R (với c số) Ví dụ 18 Tìm f: R → R có đạo hàm R thoả mãn f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = x2 + cx + b, ∀x ∈ R; b, c số thực Ví dụ 19 Tìm hàm f(x) xác ñịnh, khả vi R+ thoả mãn ñiều kiện f ( xy ) = f ( x) f ( y) , ∀x, y ∈ R + * Chứng minh hàm số f(x) = c, ∀x ∈ D (tập xác ñịnh hàm số f ), c số Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số dạng toán thực bước sau Bước Lấy a giá trị tuỳ ý thuộc tập xác ñịnh hàm số Xây dựng dãy số thích hợp (xn) với x1 = a thoả mãn đồng thời 1) Hàm f(x) khơng đổi dãy (xn), nghĩa f(a) = f(x1) = f(x2) = … = f(xn) = … 2) Chứng minh dãy (xn) hội tụ b Bước Sử dụng tính liên tục f(x) ta có f(a) = lim f(xn) = f(limxn) = f(b) Suy f(x) hàm Ví dụ 23 Tìm tất hàm liên tục f: [0, 1]→R cho 1  x  + x  , ∀x∈[0;1] f ( x) =  f   + f   2 2   Đáp số: f(x) = C với C số Ví dụ 24 (Đề dự tuyển thi tốn quốc tế − 1982) Tìm tất hàm liên tục f: R → R thoả mãn ñiều kiện f(x2) + f(x) = x2 + x, ∀x ∈ R Đáp số: f(x) = x, ∀x ∈ R * Sử dụng ñặc trưng hàm Ví dụ 25 (Sử dụng phương trình Cauchy) Cho α, β ≠ Tìm tất hàm liên tục f: R → R thoả mãn ñiều kiện f(αx + βy) = α f(x) + β f(y), ∀x, y ∈ R Đáp số: Nếu α + β = f(x) = ax + b với a, b ∈ R Nếu α + β ≠ f(x) = ax với a ∈ R Ví dụ 26 (Sử dụng phương trình Jensen) Tìm hàm liên tục f: R → R thoả mãn ñiều kiện x f(x) – y f(y) = (x – y) f(x + y), ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = ax + b, ∀x ∈ R thoả mãn 3.2.6 Phương pháp Phương pháp phương pháp thường hay sử dụng giải phương trình hàm, đặc biệt phương trình hàm hai biến Nội dung phương pháp ta thay biến giá trị ñặc biệt Lưu ý giá trị biến phải thuộc tập xác ñịnh hàm số phải thoả mãn ñiều kiện ràng buộc biến có * Nếu hệ thức cho có tính đối xứng biến cố gắng hốn vị biến với Đáp số:  f ( x) =   f ( x) = c a , c > 0, a ∈ R Ví dụ 20 Tìm hàm f(x) ≥ xác ñịnh, khả vi R+ thoả mãn    x2 + y  [ f ( x)]2 + [ f ( y)]2 , ∀x, y ∈ R + ñiều kiện f = 2     Đáp số: f ( x) = ax + b , ∀a, b ≥ 0, x ∈ R + 3.2.5 Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số Trong mục ta xét số ví dụ giải phương trình hàm có sử dụng đến tính liên tục hàm số Sử dụng tính liên tục hàm số có ba đường chính: * Xây dựng biến từ N đến R Ví dụ 21 Tìm hàm f: R → R thoả mãn 1) f(x) liên tục R; 2) f(1) = 2; 3) f(xy) = f(x) f(y) – f(x + y) + 1, ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = x + 1, ∀x ∈ R Ví dụ 22 Tìm tất hàm số liên tục f: [0, 1] → R thoả mãn ñiều kiện 1) f(0) = f(1) = 0, 2) f  x + y  ≤ f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈[0,1]  Đáp số:  f(x) = 0, ∀x ∈ [0,1] 21 22 Ví dụ 27 (AUS – 1995) Tìm tất hàm f: R+ → R thoả mãn ñiều kiện sau ñây 1) f (1) = KẾT LUẬN Đáp số: 2) f ( xy) = f ( x) f   + f ( y ) f  , ∀x, y ∈ R +    y  x   Với x > f(x) = * Sử dụng phép giãn ước hai vế phương trình hàm Từ ta đẳng thức đơn giản Ví dụ 28 Tìm tất hàm f: R → R thoả mãn x f(x) + y f(x) = (x + y) f(x) f(y), ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = 0, ∀x ∈ R f ( x) = 1 x ≠ với a ∈ R a x = * Nếu ñã có f(x3) = (f(x))3 f(x3) = x2 f(x) nên sử dụng phép x x+y so sánh hai vế Ví dụ 29 Tìm tất hàm số f: R → R thoả mãn f(x3 – y3) = x2 f(x) − y2 f(y), ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = kx, ∀x ∈ R * Trong trường hợp có f(g(x)) = g(x) tìm điểm bất động hàm f Ví dụ 30 Tìm tất hàm số f: R → R thoả mãn f(f(x – y)) = f(x) – f(y) + f(x) f(y) – xy, ∀x, y ∈ R Đáp số: f(x) = x * Nếu vế có chứa f(x) vế cịn lại có chứa biến x bên ngồi thơng thường hàm f đơn ánh Ví dụ 31 (Balkan – 2000) Tìm tất hàm f: R → R thoả mãn ñiều kiện f(x f(x) + f(y)) = (f(x))2 + y, ∀x, y ∈ R Đáp số: f(y1) = f(y2) ⇒ y1 = y2 Vậy f ñơn ánh Vậy f(x) = x, ∀x ∈ R f(x) = −x, ∀x ∈ R Luận văn khảo sát phương trình hàm hai biến, phương trình hàm có tầm quan trọng thi Tốn học Việc khảo sát phương trình hàm dựa việc nghiên cứu phương trình Cauchy, phương trình hàm tuyến tính, phương trình mũ Cauchy, phương trình Pexider, phương trình Vincze, bất đẳng thức Cauchy, phương trình hàm hai biến, phương trình Euler phương trình D’Alambert Luận văn cho thấy ñược liên kết phương trình hàm hai biến Những kết luận văn dựa sở lý thuyết phương trình hàm, đưa tốn mang tính chất vận dụng phù hợp Ngồi ra, luận văn cung cấp số phương pháp giải phương trình hàm hai biến ứng dụng nhiều bồi dưỡng học sinh giỏi toán dựa phân lớp tốn phương trình hàm hai biến Trong điều kiện thời gian khn khổ luận văn, chưa nghiên cứu sâu phương pháp giải phương trình hàm hai biến mà đề phương pháp mang tính chất tổng qt chưa cụ thể (3.72)