3 hàm số và đồ thị (otc) ctst10

TỐN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điện thoại: 0946798489 ƠN TẬP CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ • TỐN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN LÝ THUYẾT – BÀI TẬP MẪU Bài HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số Tập xác định tập giá trị hàm số Giả sử x y hai đại lượng biến thiên x nhận giá trị thuộc tập số D Nếu với giá trị x thuộc D , ta xác định giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực  ta có hàm số Ta gọi x biến số y hàm số x Tập hợp D gọi tập xác định hàm số Tập hợp T gồm tất giá trị y (tương ứng với x thuộc D ) gọi tập giá trị hàm số Chú ý: - Kí hiệu f ( x) để giá trị y tương ứng với x , nên hàm số viết y  f ( x) - Tập xác định hàm số y  f ( x ) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f ( x) có nghĩa Đồ thị hàm số Cho hàm số y  f ( x) có tập xác định D Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , đồ thị (C ) hàm số tập hợp tất điểm M ( x; y ) với x  D y  f ( x) Vậy (C )  {M ( x; f ( x)) x  D)} Chú ý: Điểm M  xM ; yM  thuộc đồ thị hàm số y  f ( x) xM  D yM  f  xM  Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Với hàm số y  f ( x) xác định khoảng (a; b) , ta nói: - Hàm số đồng biến khoảng (a; b) x1 , x2  (a; b), x1  x2  f  x1   f  x2  - Hàm số nghịch biến khoảng (a; b) x1 , x2  (a; b), x1  x2  f  x1   f  x2  Nhận xét: Khi hàm số đồng biến (tăng) khoảng (a; b) đồ thị có dạng lên từ trái sang phải Ngược lại, hàm số nghịch biến (giảm) khoảng (a; b) đồ thị có dạng xuống từ trái sang phải B BÀI TẬP MẪU Bài Sau đun nóng băng phiến lên đến gần 90 C , người ta để nguội, quan sát, ghi nhận nhiệt độ trạng thái băng phiến sau phút Bảng Bảng Nhiệt độ trạng thái băng phiến để nguội a) Tại từ bảng trên, nói nhiệt độ băng phiến hàm số theo thời gian (nung nóng)? Tìm tập xác định tập giá trị hàm số b) Sau để nguội phút, nhiệt độ băng phiến bao nhiêu? c) Băng phiến chuyển hoàn toàn sang trạng thái rắn sau phút? Giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a) Bảng giá trị cho thấy nhiệt độ (kí hiệu y ) hàm số theo thời gian (kí hiệu x ) cho x giá trị bất kì, ta ln tìm giá trị y Do bảng xác định hàm số biểu thị nhiệt độ băng phiến theo thời gian Từ bảng giá trị hàm số, ta có tập xác định D  {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10} tập giá trị T  {75;77; 79;80;81;82;84;86} b) Sau để nguội phút, nhiệt độ băng phiến 81 C c) Băng phiến chuyển hoàn toàn sang trạng thái rắn sau phút (lúc nhiệt độ băng phiến 79 C ) Bài Tìm tập xác định hàm số sau: a) f ( x)  3 x  2 x b) f ( x)  2 x 1 với x số hữu tỉ c) f ( x )   0 với x số vô tỉ Giải 2  a) Hàm số xác định 3x    x   Vậy D   ;   3  b) Hàm số xác định  x   x  2 Vậy D   \{2} c) Khi x số hữu tỉ, hàm số xác định lấy giá trị ; x số vô tỉ, hàm số xác định lấy giá trị Vậy D   Bài Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x ) | x  | Giải Hàm số viết sau:  x  với x    x  với x  | x  |   ( x  4) với x    x  với x  Ta vẽ đồ thị hàm số g ( x)  x  giữ lại phần đồ thị ứng với x  ; ta vẽ đồ thị hàm số h( x)   x  giữ lại phần đồ thị với x  Ta đồ thị cần vẽ sau: Bài Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a) f ( x)  x 3 b) f ( x) | x  1| Giải a) Hàm số f ( x)  xác định x   tức x  nên D   \{3} x 3 Lấy x1 , x2 hai số tuỳ ý thuộc khoảng (;3), (3; ) , cho x1  x2 , ta có: f  x1   f  x2   x2  x1 1   x1  x2   x1  3 x2   Do x1  x2 nên x2  x1  Mặt khác, lấy x1 x2 nhỏ lớn , ta có x1  x2  ln dấu nên  x1  3 x2  3  hay f  x1   f  x2    f  x1   f  x2  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Ta kết luận hàm số nghịch biến khoảng (;3) (3; ) b) Hàm số f ( x) | x  1| viết sau:   x  1với x  2 x   với x    f ( x ) | x  |   (2 x  1) với x   2 x  với x    Xét hàm số g ( x)  x  Hàm số xác định  Lấy x1 , x2 hai số tuỳ ý, cho x1  x2 , ta có: x1  x2  x1  x2  x1   x2   g  x1   g  x2  1  Suy hàm số g ( x) đồng biến  Vậy hàm số f ( x) đồng biến  ;   2  Xét hàm số h( x)  2 x  Hàm số xác định  Lấy x1 , x2 hai số tuỳ ý, cho x1  x2 , ta có: x1  x2  2 x1  2 x2  2 x1   2 x2   h  x1   h  x2  1  Suy hàm số h( x) nghịch biến  Vậy hàm số f ( x) nghịch biến  ;  2  1  1  Vậy hàm số f ( x ) | x  1| nghịch biến  ;  đồng biến  ;   2  2  Bài HÀM SÔ BẬC HAI A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số bậc hai Hàm số bậc hai theo biến x hàm số cho cơng thức có dạng y  f ( x )  ax  bx  c, với a, b, c số thực a khác Tập xác định hàm số bậc hai  Đồ thị hàm số bậc hai Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , đồ thị hàm số bậc hai y  ax  bx  c (với a  ) parabol ( P ) : b  - Có đỉnh S với hoành độ xS   , tung độ yS   ; 2a 4a b - Có trục đối xứng đường thẳng x   (đường thẳng qua đỉnh S song song với trục Oy 2a b  , trùng với trục Oy b  ); - Có bề lõm quay lên a  , quay xuống a  ; - Cắt trục tung điểm có tung độ c , tức đồ thị qua điểm có toạ độ (0; c) Chú ý:  b    - Nếu b  2b ( P ) có đỉnh S   ;   với   b2  ac a  a - Nếu phương trình ax  bx  c  có hai nghiệm x1 , x2 đồ thị hàm số bậc hai y  ax  bx  c cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ hai nghiệm Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ - Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y  ax  bx  c (với a  ):    b 1) Xác định toạ độ đỉnh S   ;    2a a  b 2) Vẽ trục đối xứng d đường thẳng x   2a 3) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị với trục tung (điểm A(0; c ) ) giao điểm đồ thị với trục hồnh (nếu có)  b  Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d , điểm B  ; c   a  4) Vẽ parabol có đỉnh S , có trục đối xứng d , qua điểm tìm Sự biến thiên hàm số bậc hai Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y  ax  bx  c (với a  ), ta có bảng tóm tắt biến thiên hàm số sau: a0 a0 b  b    Hàm số nghịch biến khoảng  ;  Hàm số đồng biến khoảng  ;  2a  2a     b   b  đồng biến khoảng  ;   Bảng nghịch biến khoảng  ;   Bảng a a     biến thiên: biến thiên: Bảng tóm tắt tính chất hàm số bậc hai nhìn từ đồ thị Khi quan sát đồ thị hàm số bậc hai y  ax  bx  c (với a  ), đặc biệt đỉnh S hướng quay bề lõm parabol, ta nhận biết số tính chất hàm số sau: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Đồ thị hàm số bậc hai Về giá trị nhỏ nhất/ giá trị lớn Về tập giá trị a0 Mọi điểm đồ thị có tung độ lớn tung độ đỉnh S nên hàm số đạt giá trị nhỏ y  ys (khi x  xs ) a0 Mọi điểm đồ thị có tung độ nhỏ tung độ đỉnh S nên hàm số đạt giá trị lớn y  ys (khi x  xs ) Hàm số lấy giá trị lớn yS nên T   yS ;   Hàm số lấy giá trị nhỏ yS nên T   ; yS  Về tính biến Từ trái sang phải, nhanh bên trái đồ thị thiên xuống tới đỉnh S sau lên nhánh bên phải Suy hàm số nghịch biến khoảng  ; xS  đồng biến khoảng  x ;   Từ trái sang phải, nhánh bên trái đồ thị lên tới đỉnh S sau xuống nhánh bên phải Suy hàm số đồng biến khoảng  ; xS  nghịch biến khoảng  xS ;   S B BÀI TẬP MẪU Bài Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y  f ( x)  2 x  3x  ; b) y  f ( x )  ( x  2)( x  3) ; c) y  f ( x)  ( x  3)  Giải a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , đồ thị hàm số bậc hai y  2 x  x  parabol ( P ) : 49 - Có đỉnh S với xS   ; yS  - Có trục đối xứng đường thẳng x   (đường thẳng qua đỉnh S song song với trục Oy ) - Có bề lõm quay xuống a  - Cắt trục tung điểm có tung độ , tức đồ thị qua điểm có toạ độ (0;5)  Ngồi ra, phương trình 2 x  3x   có hai nghiệm phân biệt x1  x2   nên đồ thị   hàm số cắt trục hoành hai điểm có tọa độ (1;0)   ;0    Ta vẽ đồ thị Hình Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ b) Ta có: f  x    x   x  3  x  x  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , đồ thị hàm số bậc hai y  x  x  parabol ( P ) : 25 - Có đỉnh S với xS  ; yS  - Có trục đối xứng đường thẳng x  (đường thẳng qua đỉnh S song song với trục Oy ) - Có bề lõm quay lên a  - Cắt trục tung điểm có tung độ 6 , tức đồ thị qua điểm có toạ độ (0; 6) - Ngồi ra, phương trình x  x   có hai nghiệm phân biệt x1  x2  2 nên đồ thị hàm số cắt trục hồnh hai điểm có toạ độ (3; 0) (2;0) Ta vẽ đồ thị Hình c) Ta có: y  f ( x )  ( x  3)   x  x  Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , đồ thị hàm số bậc hai y  x  x  parabol ( P ) : - Có đỉnh S với xS  3; yS  4 - Có trục đối xứng đường thẳng x  3 (đường thẳng qua đỉnh S song song với trục Oy ) - Có bề lõm quay lên a  - Cắt trục tung điểm có tung độ , tức đồ thị qua điểm có toạ độ (0;5) - Ngồi ra, phương trình x  x   có hai nghiệm phân biệt x1  1 x2  5 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm có toạ độ (1;0) (5;0) Ta vẽ đồ thị Hình Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Bài Tìm cơng thức hàm số bậc hai biết đồ thị hàm số parabol có đỉnh S (2;1) qua gốc tọa độ Giải Hàm số bậc hai có cơng thức tổng qt y  f ( x)  ax  bx  c( a  0) Đồ thị hàm số qua gốc toạ độ nên c  , suy công thức hàm số: f ( x)  ax  bx b  2 f (2)  Đồ thị hàm số parabol có đỉnh S (2;1) nên  2a b  4a  Ta hệ phương trình:  a  (2)  b  (2)  1 Suy a   b  1 Vậy y  f ( x)   x  x 4 Bài Tìm khoảng biến thiên tập giá trị hàm số a) y  f ( x)  3 x  x  ; b) y  f ( x)   x  x Giải a) Hàm số y  f ( x)  3 x  x  có a  3  toạ độ đỉnh gồm b 1 1   , yS  3         2a 2(3) 3 3 3 Ta có bảng biến thiên sau: xS   1  1  Vậy hàm số đồng biến  ;  , nghịch biến  ;   3  3  5  Hàm số có tập giá trị T   ;   3  1 b) Hàm số y  f ( x)   x  x có a    , đồ thị có đỉnh S (2;1) 4 Ta có bảng biến thiên sau: Vậy hàm số đồng biến (; 2) , nghịch biến (2; ) Hàm số có tập giá trị T  (;1] Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Bài Cầu Nhật Tân bắc qua sông Hồng xem cầu dây văng dài Việt Nam năm 2022 Cầu có trụ tháp kết nối nhịp dây văng nâng đỡ toàn phần cầu, để tượng trưng cho cửa cổ kính Hà Nội Mỗi trụ tháp kiến trúc tạo dáng mĩ thuật phía đường cong tựa parabol a) Giả sử mặt trụ cầu parabol Hình Khi khơng thể đo trực tiếp khoảng cách từ đỉnh vịm phía trụ cầu tới mặt đường, làm để ước tính độ cao này? b) Giả sử biết độ rộng mặt đường khoảng 43 m Một người dùng dây dọi (khơng giãn) gắn lên thành trụ cầu vị trí B điều chỉnh độ dài dây dọi để nặng vừa chạm đất (khi lặng gió), sau đo chiều dài đoạn dây dọi sử dụng 1,87 m khoảng cách từ chân trụ cầu đến nặng 20 cm Nếu dùng liệu tự thu thập tính tốn theo cách người ước tính độ cao từ đỉnh vịm phía trụ cầu Nhật Tân tới mặt đường bao nhiêu? Giải a) Vấn đề đặt thực tiễn không đo trực tiếp khoảng cách từ đỉnh vịm phía trụ cầu tới mặt đường cần ước tính độ cao Để giải vấn đề thực tiễn toán học, ta dùng đồ thị hàm số bậc hai để mô cho đường biên mặt trụ cầu Từ cơng thức hàm số tìm ứng với đồ thị, ta tính độ cao cần tìm Bước Lựa chọn mơ hình tốn học Dùng đồ thị hàm số bậc hai mô cho đường biên mặt trụ cầu Hình 9a Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Buớc Phát biểu toán - Trong hệ trục toạ độ Oxy (được chọn Hình 9b), tung độ đỉnh S parabol bao nhiêu? Bước Giải toán toán học Trước hết, ta tìm cơng thức hàm số, cách: - Đo khoảng cách OA hai chân trụ cầu, từ xác định toạ độ điểm A, H (với H trung điểm OA ) - Chọn điểm B cụ thể thành trụ cầu, xác định hình chiếu B mặt đường đo BB OB Từ đây, xác định toạ độ điểm B - Tìm hàm số bậc hai có cơng thức tổng quát: y  ax  bx  c biết đồ thị hàm số qua gốc toạ độ hai điểm A, B - Sau tính tung độ đỉnh S Bước Trả lời kết cho vấn đề thực tế Ứ̛ớc lượng kết độ cao từ đỉnh vịm phía trụ cầu tới mặt đường (có thể làm trịn tung độ đỉnh S đến đơn vị mét) b) Chọn hệ trục toạ độ Bước câu a Đồ thị hàm số bậc hai y  ax  bx  c qua gốc toạ độ O(0;0) nên c  Suy công thức hàm số ax  bx Mặt khác đồ thị hàm số qua điểm A(43; 0), B(0, 2;1,87) nên ta có hệ phương trình:  a  (0,2)  b  0,  1,87   a  43  b  43  187 8041 187 8041 ;b  x  x Suy a   nên có hàm số y   856 856 856 856 x   43  Hình chiếu đỉnh S trục hoành H nên yS  f  xS   f  xH   f  A   f    100,98     Vậy độ cao từ đỉnh vịm phía trụ cầu Nhật Tân tới mặt đường khoảng 101 m (Lưu ý: Kết giả định theo số liệu người tự thu thập, không ảnh hưởng đến độ cao thật thực tế) PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN ĐỀ Câu Tìm tập xác định hàm số y   x Câu Tìm tập xác định hàm số y  Câu Tìm tập xác định hàm số y  3x  1 x 2x  x5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu Tìm tập giá trị hàm số y  5x 10 Câu Hàm số có đồ thị hình dưới, có tập gía trị Câu Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hình vẽ Tập xác định hàm số là? Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Tìm tập giá trị hàm số đoạn  2;2 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/