Bài 3 3 hàm số liên tục cd lời giải

BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I KHÁI NIỆM Hàm số liên tục điểm Cho hàm số x0 y  f  x xác định khoảng lim f  x   f  x0  x  x0 Nhận xét: Hàm số  a; b  x0   a; b  Hàm số y  f  x gọi liên tục y  f  x không liên tục x0 gọi gián đoạn x0 Hàm số liên tục khoảng đoạn Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau: Hàm số Hàm số y  f  x gọi liên tục khoảng y  f  x gọi liên tục đoạn lim f  x   f  a  ; lim f  x   f  b  x b x a  a; b   a; b  hàm số liên tục điểm thuộc khoảng hàm số liên tục khoảng  a; b  Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục tập hợp có dạng  a; b ,  a; b  ,  a;   ,  a;   ,    ; a  ,    ; a  ,    ;   định nghĩa tương tự Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng "đường liền" khoảng II MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN Tính liên tục số hàm sơ cấp -Trong trường hợp tổng qt, ta có định lí sau: Các hàm đa thức hai hàm số lượng giác y sinx, y cosx liên tục R Các hàm phân thức hữu tỉ hai hàm số lượng giác y tanx, y cotx liên tục khoảng xác định chúng 0;   Hàm thức y  x liên tục nửa khoảng  Tính liên tục tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục Trong trường hợp tổng qt, ta có định lí sau: y  f  x y g  x  x Giả sử hai hàm số liên tục điểm Khi đó: y  f  x  g  x , y  f  x  g  x y  f  x  g  x  x a) Các hàm số liên tục ; y f  x x0 g  x0  0 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục điểm Phương pháp Ta cần phải nắm vững định nghĩa: b) Hàm số g  x liên tục y f  x  Cho hàm số y f  x  xác định khoảng K x0  K Hàm số gọi liên tục x lim f(x) f(x )  lim f(x)  lim f(x) f(x ) x x0 x  x o x  xo Các ví dụ rèn luyện kĩ x 2   x f x với x 0 Phải bổ sung thêm giá trị   hàm số f  x  Ví dụ 1: Cho liên tục x 0? Lời giải lim f  x   lim x x x 2  2 x  lim x x  lim  x x 2  2 x   x 2 x  x 2  2 x  Như để hàm số liên tục x 0 phải bổ sung thêm giá trị f  0  a  x với x 1 a   f  x   f x với x 1   Ví dụ 2: Cho hàm số Giá trị a để   liên tục x 1 bao nhiêu? Lời giải TXĐ: D  Ta có: lim f  x  lim a  x a  x x   Để hàm số liên tục x 1  lim f  x  f  1  a  3  a 4 x  x2   với x 3 x  f  x   x3  x   với x 3 b   Tìm b để f x liên tục x 3 b  Ví dụ 3: Cho hàm số   Lời giải TXĐ: D  Ta có: lim f  x  lim x x x2  x  x6 Để hàm số liên tục  ; f   b  3 x 3  lim f  x  f    b   x 3 2  b 3 a  x   f  x    sin x 2  x Ví dụ 4: Cho hàm số Với giá trị a hàm số liên tục x 2 Lời giải TXĐ: D  Ta có     2 x  2 x 2     lim f  x   lim sin 1   x  2 x  2 Hàm số liên tục x 2 a  2  a 3   f   sin 1  lim f  x   lim  a   a  Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục điểm x  3x    neáu x  f  x   x  ax  neáu x 2 x 2  ; Lời giải TXĐ: D  Ta có: lim f  x   lim x  2 x  2 3x    lim x x 2 3 x  2   x     3x       3x     lim f  x  ax  2a  x  2 Lại có: f   2a  Hàm số liên tục x 2 2a    a   x với   x    x5  f  x  mx  với x 4   x với x  f x  Ví dụ 6: Cho hàm số Tìm giá trị m để   liên tục x 4 Lời giải Ta có: Và lim f  x   lim x  4 x x  4 x  ; lim  x  x  4 f   4m  Để hàm số liên tục x 4 lim f  x   lim f  x  f   x  4 x  4  4m    m  3  x2    neáu x   f  x   x  4x  1  cos x  a  x x 1 f x Ví dụ 7: Cho hàm số Tìm giá trị a để   liên tục x 1 Lời giải TXĐ: D   1 f  1  cos   a2    a2  6  1  lim f  x   lim  cos x  a2  x    a2   x  1 x  1    x2     x         lim f  x   lim  lim       2 x x  x  4x  x x  4x   x      x2      x  1  x  1 x2    lim    x  1 x  4x   x      x  x  1  x    x        x 1  lim  x  1  x    x         lim  Để hàm số liên tục   x 1  lim f  x   lim f  x  f  1 x  1 x  1 1  a2    a 1 6 Dạng Hàm số liên tục tập xác định Phương pháp  Để chứng minh hàm số y  f  x liên tục khoảng, đoạn ta dùng định nghĩa hàm số liên tục khoảng, đoạn nhận xét để suy kết luận  Khi nói xét tính liên tục hàm số (mà khơng nói rõ hơn) ta hiểu phải xét tính liên tục tập xác định  Tìm điểm gián đoạn hàm số tức xét xem tập xác định hàm số khơng liên tục điểm  Hàm số  Hàm số y f  x  gọi liên tục khoảng liên tục điểm thuộc khoảng y f  x   a,b  gọi liên tục đoạn   liên tục lim f(x) f(a), lim f(x) f (b) x  a x  b Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng : a)  x2   f  x   x    x  x   x2   f  x   x  2  b) x  x  Lời giải a) Hàm số  f  x liên tục với x   1  x    x    lim x     x2  lim f  x   lim  lim   x  x  x  x  x  x2  a,b   f      lim f  x   f     f  x   Từ b) Hàm số f  x  1   ta có f  x liên tục   1 liên tục với x    f   x x x2  lim f  x   lim  lim x x x  x x    2 Từ  lim f  x   f x  1   ta có  2 liên tục x  x  f  x  2    lim x f  x  x 2   2 liên tục x   2 liên tục  Ví dụ Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng: a)  x2  x   f  x   x  m  x  x  b) x2  x  f  x  2 mx   x  x 1 x  Lời giải a) Hàm số f  x x 2  lim f  x   f    1   f  x x liên tục liên tục  x    x  1 lim x  2  3; f m x2  x  lim f  x  lim lim     x x x x x  x  2 f  x  Do  Ta có  Khi b) Ta có:  liên tục với x 2  1  m  m 3 lim f  x  lim  mx  1 m  1; lim f  x  lim  x  x  1  2; f  1 2 x Từ x x x YCBT  lim f  x  lim f  x   f  1  m 1 2  m 1 x x Dạng Số nghiệm phương trình khoảng Phương pháp  Chứng minh phương trình f  x  0 - Tìm hai số a b cho - Hàm số - Phương trình f  x Tìm k cặp số f  a  f  b    a;b  liên tục đoạn   f  x  0  Chứng minh phương trình - có nghiệm ,bi có nghiệm f  x  0 x   a; b  có k nghiệm cho khoảng  ; b i  rời f(ai )f(bi )  0, i 1, ,k - Phương trình f  x  0 có nghiệm x i   ; b i   Khi phương trình f  a , f  b - f  x  0 có chứa tham số cần chọn a, b cho : khơng cịn chứa tham số chứa tham số dấu không đổi f a ,f b - Hoặc     cịn chứa tham số tích f(a).f(b) ln âm Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m  x  1  x    2x  0 Lời giải f x m x  x   2x     Đặt   Tập xác định: D  nên hàm số liên tục  f 3; f    f f        Ta có:   Vậy phương trình cho có nghiệm với m Ví dụ 2: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số:   m   x  1 a)  x  x  0 b) cos x  m cos x 0 c)   m cos x  2sin x 1 Lời giải  m 1  a) Xét  m  Phương trình có dạng x  x  0 nên PT có nghiệm     b) Đặt   c) Đặt   m 1  f  x    m   x  1  x  x  m   Với giả sử f  x liên tục R nên f  x liên tục   1;0 f   1 m   0; f      f   1 f    Ta có Do PT ln có nghiệm với giá trị tham số m f  x  cos x  m cos x  f  x  liên tục R    3      3 f   0; f    f   f    2    4  Ta có   Do PT ln có nghiệm với giá trị tham số m  f  x  m cos x    2sin x   f  x   0  liên tục R         3 f      0; f        f   f   4  4  Ta có   m Do PT ln có nghiệm với giá trị tham số Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x  x  0 b) x   x 3 Lời giải   0  a Dễ thấy hàm f  x   x3  x  liên tục R Ta có:   f      f    f   1    a   2;  1 : f  a1  0  1  f   1 3 tồn số    f   1  f   f  1    a  0;1 : f a 0    f  1  tồn số       f  1   f  1 f      a  1; : f a 0  3  f   3 tồn số      2;  1 ,  0;1 1; Do ba khoảng    đơi khơng giao nên phương trình x  3x  0 có nghiệm phân biệt Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm nên x  3x  0 có nghiệm phân biệt b 3 Đặt  x t  x 1  t  2t  6t  0 Xét hàm số f  t  2t  6t  liên tục R  f    f   1  3.5    f   f  1 1   3    f  1 f    3.5  Ta có:  tồn số t1 , t2 t3 thuộc khoảng đôi không giao   2;  1 ,  0;1 f  t  0  1;  cho f  t1   f  t2   f  t3  0 phương trình bậc nên có nghiệm phân biệt Ứng với giá trị t1 , t2 t3 ta tìm giá trị x thỏa mãn x 1  t hiển nhiên giá trị khác nên PT ban đầu có nghiệm phân biệt Ví dụ Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x  3x  0 b) x  x  x  x  0 Lời giải a Xét f  x  x  x  lim f  x    f x  tồn số x1  cho   lim f  x     f x  tồn số x2  cho   x   x   f x f x 0 x  x ; x : f x 0 Từ     ln tồn số     nên phương trình x  3x  0 ln có nghiệm b Xét Ta có: f  x  x  x3  3x  x  f   1   liên tục R lim f  x    x   f a 0 tồn số a  cho    x  x  0 nên tồn số x0   0; a  thỏa mãn f  x0  0 nên phương trình x  x3  3x  x  0 ln có nghiệm  1 x   0;  ax  bx  c  Ví dụ Chứng minh phương trình ln có nghiệm với a 0 2a  6b  19c 0 Lời giải Đặt f  x  ax  bx  c  f  x  liên tục R  x 0   x 1  f x    Nếu c 0 có nghiệm  c  1 a b f   c; f      c   2a  6b  18c    18 18  3 Nếu c 0 , ta có c2  1  f   f    0 f x 0 18  3 Do   có nghiệm  1  0;   3 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Dùng định nghĩa xét tính liên tục hàm số f  x  2 x  x  điểm x 2 Lời giải Hàm số Ta có: f  x  2 x3  x  xác định R   lim f  x  lim x  x 1 2 23  1 17  f   x x Do hàm số liên tục x 2 Bài Trong hàm số có đồ thị Hình 15a,15b,15 , hàm số liên tục tập xác định hàm số đó? Giải thích Lời giải f x x  x +) Hình 15a): Hàm số   có tập xác định D R Hàm số liên tục toàn R x x  có tập xác định D R\\  1 +) Hình 15b): Hàm số Do hàm số liên tục khoảng xác định hàm số +) Hình 15c): x     ;  1 f x  x Với có   liên tục x    1;  f x x  Với có   liên tục g  x  Tại x  có Suy lim f  x   lim x  x  x  lim f  x   f   1 x  f   1   0 Do hàm số liên tục x  Vậy hàm số liên tục khoảng    ;  1   1;  y  f  x y g  x  x Bài Bạn Nam cho rằng: "Nếu hàm số liên tục điểm , hàm số không liên y  f  x  g  x x x tục , hàm số không liên tục " Theo em, ý kiến bạn Nam hay sai? Giải thích Lời giải Theo em ý kiến bạn Nam Ta có: Hàm số Hàm số Do y f  x  y g  x  x liên tục điểm nên không liên tục x nên lim f  x   f  x0  x  x0 lim g  x   g  x0  x  x0 lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x   f  x0   g  x0  x  x0 x  x0 x  x0 x Vì hàm số khơng liên tục o Bài Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định hàm số đó: a) c) f  x   x  sinx h  x  b) g  x  x4  x  x 1; 2x x  x x4 Lời giải f  x   x  sinx có tập xác định R f x  x  sinx Hàm số x sin x liên tục R nên hàm số   liên tục R a) Hàm số b) Hàm số g  x  x  x  x  có tập xác định R \  1 Hàm số x  x liên tục toàn tập xác định   ;1 1;   Hàm số x  liên tục khoảng   Vậy hàm số cho liên tục khoảng xác định hàm số c) Hàm số h  x  2x x  x  x  có tập xác định D R \   4;3 2x   ;3 3;   Hàm số x  liên tục khoảng   x  ;   4;   Hàm số x  liên tục khoảng     x  x  x 4 f  x    2a  x 4 Bài Cho hàm số a) Với a 0 , xét tính liên tục hàm số x 4 b) Với giá trị a hàm số liên tục x 4 ? c) Với giá trị a hàm số liên tục tập xác định nó? Lời giải a) Với a =0, x 4 , ta có: lim f  x  lim x  x  4   21 f   2.0  1 x x   Suy lim f  x   f   x Vì hàm số không liên tục x = b) Ta có:   lim f  x  lim x  x  4   21 x x Để hàm số liên tục x 4 f   2 a  lim f  x  f   x  21 2a   2a 20  a 10 Vậy với a 10 hàm số liên tục x 4 x    ; 4 f x x  x  c) Với có   liên tục với x thuộc khoảng x   4;   f x 2a  Với có   liên tục với x thuộc khoảng Tại x 4 a 10 hàm số liên tục Vậy với a 10 hàm số liên tục tập xác định Bài Hình 16 biểu thị độ cao h  t   2t  8t a) Chứng tỏ hàm số ht h  m bóng đá lên theo thời gian liên tục tập xác định b) Dựa vào đồ thị xác định lim  2t  8t  t t  s , Lời giải a) Hàm số h  t   2t  8t hàm đa thức nên liên tục tập xác định b) Dựa vào đồ thị hàm số t tiến dần đế ht dần đến Vậy lim  2t  8t 8 t   D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm giá trị thực tham số m để hàm số A m = B m = ìï x2 - x - ï x ¹ f ( x) = ïí x - ïï x = ïïỵ m C m = liên tục x = D m = Lời giải Chọn D Tập xác định: D = ¡ , chứa x = Theo giả thiết ta phải có m = f ( 2) = lim f ( x) = lim x®2 Câu 2: x®2 x2 - x - = lim ( x +1) = x® x- Tìm giá trị thực tham số m để hàm số A m = B m = ìï x3 - x2 + 2x - ï x ¹ f ( x) = ïí x- ïï x = ïïỵ 3x + m C m = liên tục x = D m = Lời giải Chọn A Hàm số xác định với x Ỵ ¡ Theo giả thiết ta phải có ( x - 1) ( x + 2) x3 - x + x - + m = f ( 1) = lim f ( x ) = lim = lim = lim ( x + 2) = Û m = x ®1 x ®1 x ®1 x®1 x- x- Câu 3:  x1 x 1  y  f  x   x  k  x 1  Tìm giá trị thực tham số k để hàm số liên tục x 1 1 k k  2 A B k 2 C D k 0 Lời giải Chọn C Hàm số Ta có: Câu 4: f  x có TXĐ: D  0;   k   y  1 lim y lim x x Điều kiện toán tương đương với x1 1 lim   k  x  x x 1  3 x  f  x   x   m  Biết hàm số định đúng? x 3 x 3 liên tục x 3 (với m tham số) Khẳng A m    3;0  B m  C m   0;5  D m   5;   Lời giải Chọn B Hàm số f  x có tập xác định m  f  3 lim f  x  lim x Câu 5: x   1;  Theo giả thiết ta phải có     x  x 1  3 x lim  lim x x x 1  x   x 1   x  3  x x f  x   x  1, x 0 x x x 0 1 Hàm số liên tục tại: A điểm trừ x 0, x 1 B điểm x   C điểm trừ x  D điểm trừ x 0 Lời giải Chọn B Hàm số y  f  x Dễ thấy hàm số có TXĐ: D  y  f  x liên tục khoảng   ;  1 ,   1;0   0;  (i) Xét x  , ta có   x  x  1 x  x  x4  x lim f  x   lim  lim  lim x  x  3  f   1 x  x  x  x x  x  x  x  1     hàm số y  f  x  liên tục x  (ii) Xét x 0 , ta có   x  x  1 x  x  x4  x lim f  x  lim lim lim x  x  1  f   x x x  x x x x  x  1   Câu 6: hàm số y  f  x   liên tục x 0 x  0,5   x  x  1 f  x   x  1, x 1  x 1 x 1 1 Số điểm gián đoạn hàm số là: A B C D Lời giải Chọn B Hàm số Hàm số y  f  x f  x  có TXĐ D  x  x  1 x  liên tục khoảng   ;  1 ,   1;1  1;   (i) Xét x  , ta có x  lim f  x   lim x  x  x  x  1 x 1 x   f   1   Hàm số liên tục x  x   lim  x  x  1 x f  x  lim lim   xlim  1 x x x  x 1     lim f x lim x  x  1 lim x       x  1 x  x  1 x  (ii) Xét x 1 , ta có  x  Hàm số Câu 7: y  f  x gián đoạn x 1 2 x 2 m x f  x     m  x x  liên tục Có giá trị thực tham số m để hàm số ? A B C D Lời giải Chọn A   ;  ;  2;  TXĐ: D  Hàm số liên tục khoảng Khi f  x f  x liên tục   liên tục x 2  lim f  x   f    lim f  x   lim f  x   f    * x x x   f   4m  m   f  x   lim    m  x  2   m      *  4m 2   m     xlim  2 x  m 1    lim f  x   lim m x 4m x x  Ta có Câu 8:  x x   0; 4 f  x   1  m x   4;6 tục  0;6  Khẳng định sau đúng? Biết hàm số A m  B m  C  m  D m 5 Lời giải Chọn A Dễ thấy  0;6 f  x liên tục khoảng  0;   4;6  Khi hàm số liên tục đoạn hàm số liên tục x 4, x 0, x 6  lim f  x   f    x  0  f  x   f  6  xlim  6   lim f  x   lim f  x   f   x Tức ta cần có  x   *  lim f  x   lim x 0  lim f  x   lim   m  1  m    x  0 x  6 •  x ; •  x ;  f    0  f   1  m  lim f  x  lim x 2 x  4  x  4  •  lim f  x   lim   m  1  m ; x  x  f   1  m  * trở thành  m 2  m 1   Khi Câu 9: ìï x2 - 3x + ïï x ¹ x- f ( x) = ïí ïï ïïỵ a x = Có giá trị tham số a để hàm số A B C liên tục ¡ D Lời giải Chọn C Hàm số f ( x) - ¥ ;1) 1;+¥ ) liên tục ( ( Khi hàm số cho liên tục ¡ liê tục x = 1, tức ta cần có lim f ( x) = ff( 1) Û lim+ x( ) = lim f- x( ) = f ( 1) ( *) x®1 x®1 x®1 ìï x - x > ìï lim f ( x) = lim ( 2- x) = ïï ï x®1f ( x) =ïí a x = 1ắắ đ ùớ xđ1 ắắ đ ( *) ïï ïï lim f ( x) = lim ( x - 2) = - ïïỵ 2- x x < xđ1+ ợù xđ1+ Ta cú khụng ta với ¡ Vậy khơng tồn giá trị a thỏa yêu cầu ìï x2 - ïï x ¹ f ( x) = í x - ïï 0;1 ïïỵ a x = Câu 10: Biết liên tục đoạn [ ] (với a tham số) Khẳng định giá trị a đúng? C a> A a số nguyên B a số vô tỉ D a< Lời giải Chọn A f x 0;1 Hàm số xác định liên tục [ 0;1) Khi ( ) liên tục [ ] lim f ( x) = f ( 1) ( *) x®1- Ta có ìï f ( 1) = a ïï ïí ïï lim f ( x) = lim x - = lim ộ( x +1) ùùợ xđ1xđ1x - xđ1- ( ắắ đ ( *) a = x +1 ù =4 ú û ) ìï x - ïï x f ( x) = í 4x - - x ïï x £ ïïỵ 1- a x Câu 12: Tìm giá trị nhỏ a để hàm số liên tục x = A - 2 B C - D Lời giải Chọn A Điều kiện toán trở thành: lim f ( x) = lim- f ( x) = f ( 3) ( *) x® 3+ x® ìï f ( 3) = 1- 3a2 ïï ïï ( x - 2) 4x - + x ïï x2 - 5x + = lim+ =- í lim+ f ( x) = lim+ ïï x®3 x® 1- x 4x - - x x®3 ïï ïï lim f ( x) = lim ( 1- a2 x) = 1- 3a3 xđ 3Ta cú ùợ xđ3 ( ắắ đ ( *) a = ắắ đ amin = - Câu 13: Tìm giá trị lớn a để hàm số A amax = ) ìï 3x + - ïï x > ï x- f ( x) = ïí ïï ïï a x + x £ ïỵ B amax = C amax = Lời giải Chọn C Ta cần có lim f ( x) = lim- f ( x) = f ( 2) ( *) x® 2+ x® liên tục x = D amax = Ta có ìï ïï f ( 2) = 2a2 - ïï ïï 3x + - ù = ắắ đ ( *) a = 1ắắ đ amax = í lim+ f ( x) = lim+ ïï x®2 x® x- ïï 1ö ïï lim f ( x) = lim ổ ỗ a2 x + ữ = 2a2 ữ ỗ ùù xđ2ữ ỗ xđ 2- ố ø 4 ỵï Câu 14: Xét tính liên tục hàm số f x A ( ) liên tục x = C f ( x) ìï 1- cos x x £ f ( x) = ïí ïï x +1 x > ỵ Khẳng định sau đúng? f x - ¥ ;1) B ( ) liên tục ( f x D ( ) gián đoạn x = không liên tục ¡ Lời giải Chọn C Hàm số xác định với x Ỵ ¡ Ta có f ( x) Mặt khác liên tục ( - ¥ ;0) ( 0;+¥ ) ìï ïï f ( 0) = ïï ïí lim f ( x) = lim ( 1- cos x) = 1- cos0 = ắắ đ f ( x) ùù xđ0xđ 0ïï f ( x) = lim+ x +1 = 0+1 = ùù xlim xđ ợ đ0+ giỏn on x = ìï ïï cos px x £ f ( x) = í ïï x > ïïỵ x - Câu 15: Tìm khoảng liên tục hàm số A Hàm số liên tục x = - B Hàm số liên tục khoảng ( - ¥ ,- 1) ; ( 1;+¥ ) Mệnh đề sau sai? C Hàm số liên tục x = D Hàm số liên tục khoảng ( - 1,1) Lời giải Chọn A Ta có f ( x) liên tục ( - ¥ ;- 1) , ( - 1;1) , ( 1;+¥ ) ìï ỉ pư ÷= ïï f ( - 1) = cosỗ - ữ ỗ ữ ỗ 2ứ ù ố ắắ ® f ( x) í ïï lim f x = lim x = ( ) ( ) ï xđ( - 1) Ã Ta cú ùợù xđ( - 1) gián đoạn x = - · Ta có Câu 16: Hàm số ìï ïï f ( 1) = cos p = ïï ïï lim f x = lim ( x - 1) = ắắ đ f ( x) ( ) í + ïï x®1 x®1+ ïï ïï lim f ( x) = limcos px = ùùợ xđ1xđ12 f ( x) liờn tc ti x = có đồ thị hình bên khơng liên tục điểm có hồnh độ bao nhiêu? y x O A x = B x = C x = D x = Lời giải Chọn B Dễ thấy điểm có hồnh độ x = đồ thị hàm số bị '' đứt '' nên hàm số không liên tục lim f ( x) = = / = lim f ( x) f x x®1 Cụ thể: x®1 nên ( ) gián đoạn x = + - ìï x2 ïï ïï x ï f ( x) = ïí ïï ïï x ïï ùợ x < 1, x x = x ³ Câu 17: Cho hàm số A điểm thuộc ¡ C điểm trừ x = f x Hàm số ( ) liên tục tại: B điểm trừ x = D điểm trừ x = x = Lời giải Chọn A Hàm số y = f ( x) Dễ thấy hàm số Ta có có TXĐ: D = ¡ y = f ( x) 1;+¥ ) liên tục khoảng ( - ¥ ;0) ,( 0;1) ( ìï ïï f = ïï ( ) ïï ïí lim f ( x) = lim x = lim x = ắắ đ f ( x) ùù xđ0xđ 0- x x® 0ïï ïï lim f x = lim x = lim x = ( ) ïï x®0+ x® 0+ x xđ 0+ ợ liờn tc ti x = ìï f ( 1) = ïï ïï x2 ù = lim- x = 1ắắ đ f ( x) í lim- f ( x) = limïï x®1 x®1 x x®1 ïï ï lim+ f ( x) = lim+ x = xđ1 Ta cú ợùù xđ1 liờn tc ti x = Vậy hàm số y = f ( x) liên tục ¡ ìï x2 - ïï x < 3, x ¹ ïï x - ï f ( x) = ïí x = ïï ïï x +1 x ³ ïï ïỵ Câu 18: Cho hàm số A điểm thuộc ¡ f x Hàm số ( ) liên tục tại: B điểm trừ x = C điểm trừ x = D điểm trừ x = x = Lời giải Chọn D Hàm số y = f ( x) Dễ thấy hàm số có TXĐ: D = ¡ y = f ( x) liên tục khoảng ( - ¥ ;1) ,( 1;3) ( 3;+¥ ) ìï f ( 1) = ïï ùớ ắắ đ f ( x) ùù lim f ( x) = lim x - = lim( x +1) = x®1 x - x®1 Ta có ùùợ xđ1 giỏn on ti x = ỡù f ( 3) = ùù ùớ ắắ đ f ( x) ïï lim f ( x) = lim x - = lim ( x +1) = x® x - xđ Ta cú ùùợ xđ3 gián đoạn x = Câu 19: Số điểm gián đoạn hàm số A B ìï 2x x < ïï h( x) = ïí x +1 £ x £ ïï ïïỵ 3x - x > là: C D Lời giải Chọn A Hàm số y = h( x) có TXĐ: D = ¡ Dễ thấy hàm số y = h( x) liên tục khoảng ( - ¥ ;0) ,( 0;2) ( 2;+¥ )  h   1   f  x  lim h  x   lim x 0  x Ta có  x  không liên tục x =  h 5     h  x   lim  x  1 5    f  x  xlim  2 x   lim h  x   lim  x  1 5 x Ta có  x liên tục x = ìï x2 + x x < ïï f ( x) = ïí x = ïï ïïỵ m2 x +1 x > Câu 20: Tính tổng S gồm tất giá trị m để hàm số A S = - B S = C S = Lời giải Chọn B Hàm số xác định với x Î ¡ Điều kiện toán trở thành lim f ( x) = lim- f ( x) = f ( 1) ( *) x®1+ x®1 liên tục x = D S =   f  1 2  f  x  lim  m x  1 m      *  m  2  xlim  x  1  lim f  x  lim  x  x  2 x Ta có  x  Û m= 1ắắ đ S = ỡù - x cos x x < ïï ïï x2 f ( x) = í £ x < ïï 1+ x ïï x ³ ïïỵ x Câu 21: Cho hàm số A điểm thuộc x Î ¡ C điểm trừ x = f x Hàm số ( ) liên tục tại: B điểm trừ x = D điểm trừ x = 0; x = Lời giải Chọn C Hàm số Dễ thấy y = f ( x) f ( x) có TXĐ: D = ¡ 1;+¥ ) liên tục khoảng ( - ¥ ;0) ,( 0;1) (   f 0     f  x   lim   x cos x  0    f  x  xlim  x  0 x2  lim f x  lim 0     x  0  x Ta có  x  liên tục x =  f  1 1   x2 lim f x  lim    f  x    x  1  x 1  x   lim f  x  lim x 3 1  x Ta có  x  không liên tục x = Câu 22: Cho hàm số f  x   x  x  Mệnh đề sau sai? A Hàm số cho liên tục  f  x  0   ;1 B Phương trình khơng có nghiệm khoảng f  x  0   2;0  C Phương trình có nghiệm khoảng 1   3;   f  x  0 2 D Phương trình có hai nghiệm khoảng  Lời giải Chọn B (i) Hàm f ( x) ® hàm đa thức nên liên tục ¡ ¾¾ A ìï f ( - 1) = - < ù ắắ đ f ( x) = í ïï f ( - 2) = 23 > ỵ (ii) Ta có có nghiệm x1 ( - 2;1) , mà ® ( - 2; - 1) Ì ( - 2;0) Ì ( - ¥ ;1) ¾¾ B sai C (iii) Ta có f ( x) = ìï ïï ïí ïï ïïỵ f ( 0) = - < ắắ đ f ( x) = ổử 1ữ fỗ = >0 ữ ỗ ữ ỗ2 ứ ố cú cỏc nghim x1 , x2 thỏa: có nghiệm x2 ỉ 1÷ ç 0; ÷ ç ÷ ç thuộc è ø Kết hợp với (1) suy - < x1