BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I KHÁI NIỆM Hàm số liên tục điểm Cho hàm số x0 y f x xác định khoảng lim f x f x0 x x0 Nhận xét: Hàm số a; b x0 a; b Hàm số y f x gọi liên tục y f x không liên tục x0 gọi gián đoạn x0 Hàm số liên tục khoảng đoạn Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau: Hàm số Hàm số y f x gọi liên tục khoảng y f x gọi liên tục đoạn lim f x f a ; lim f x f b x b x a a; b a; b hàm số liên tục điểm thuộc khoảng hàm số liên tục khoảng a; b Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục tập hợp có dạng a; b , a; b , a; , a; , ; a , ; a , ; định nghĩa tương tự Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng "đường liền" khoảng II MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN Tính liên tục số hàm sơ cấp -Trong trường hợp tổng qt, ta có định lí sau: Các hàm đa thức hai hàm số lượng giác y sinx, y cosx liên tục R Các hàm phân thức hữu tỉ hai hàm số lượng giác y tanx, y cotx liên tục khoảng xác định chúng 0; Hàm thức y x liên tục nửa khoảng Tính liên tục tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục Trong trường hợp tổng qt, ta có định lí sau: y f x y g x x Giả sử hai hàm số liên tục điểm Khi đó: y f x g x , y f x g x y f x g x x a) Các hàm số liên tục ; y f x x0 g x0 0 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục điểm Phương pháp Ta cần phải nắm vững định nghĩa: b) Hàm số g x liên tục Cho hàm số y f x y f x xác định khoảng K x0 K Hàm số gọi liên tục x lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ) x x0 x x o x xo Các ví dụ rèn luyện kĩ f x Ví dụ 1: Cho liên tục x 0? x 2 x f x với x 0 Phải bổ sung thêm giá trị hàm số Ví dụ 2: Cho hàm số nhiêu? a x với x 1 a f x với x 1 3 Giá trị a để f x liên tục x 1 bao x2 với x 3 x f x x3 x f x với x 3 b b Ví dụ 3: Cho hàm số Tìm b để liên tục x 3 a x f x sin x 2 x Ví dụ 4: Cho hàm số Với giá trị a hàm số liên tục x 2 Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục điểm x 3x neáu x f x x ax neáu x 2 x 2 ; x với x x5 f x mx với x 4 x với x f x Ví dụ 6: Cho hàm số Tìm giá trị m để liên tục x 4 x2 neáu x f x x 4x 1 cos x a x neáu x 1 f x Ví dụ 7: Cho hàm số Tìm giá trị a để liên tục x 1 Dạng Hàm số liên tục tập xác định Phương pháp Để chứng minh hàm số y f x liên tục khoảng, đoạn ta dùng định nghĩa hàm số liên tục khoảng, đoạn nhận xét để suy kết luận Khi nói xét tính liên tục hàm số (mà khơng nói rõ hơn) ta hiểu phải xét tính liên tục tập xác định Tìm điểm gián đoạn hàm số tức xét xem tập xác định hàm số khơng liên tục điểm Hàm số y f x gọi liên tục khoảng liên tục điểm thuộc khoảng y f x Hàm số a,b gọi liên tục đoạn liên tục lim f(x) f(a), lim f(x) f (b) x a x b Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng : a) x2 f x x x2 f x x 2 b) x x x x Ví dụ Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng: a) x2 x f x x m x x b) x2 x f x 2 mx x x 1 x Dạng Số nghiệm phương trình khoảng Phương pháp Chứng minh phương trình f x 0 - Tìm hai số a b cho - Hàm số - Phương trình f x Tìm k cặp số f a f b a; b liên tục đoạn f x 0 Chứng minh phương trình - có nghiệm ,bi có nghiệm f x 0 x a; b có k nghiệm cho khoảng ; b i rời f(ai )f(bi ) 0, i 1, ,k - Phương trình Khi phương trình f a , f b - f x 0 f x 0 có nghiệm x i ; b i có chứa tham số cần chọn a, b cho : khơng cịn chứa tham số chứa tham số dấu không đổi f a ,f b - Hoặc chứa tham số tích f(a).f(b) ln âm Các ví dụ rèn luyện kĩ m x x 2x 0 Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Ví dụ 2: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số: m x 1 a) x x 0 b) cos x m cos x 0 c) m cos x 2sin x 1 Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x x 0 b) x x 3 a,b Ví dụ Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x 3x 0 b) x x x x 0 1 x 0; với a 0 Ví dụ Chứng minh phương trình ax bx c 0 ln có nghiệm 2a 6b 19c 0 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Dùng định nghĩa xét tính liên tục hàm số f x 2 x x điểm x 2 Bài Trong hàm số có đồ thị Hình 15a,15b,15 , hàm số liên tục tập xác định hàm số đó? Giải thích y f x y g x x Bài Bạn Nam cho rằng: "Nếu hàm số liên tục điểm , cịn hàm số khơng liên y f x g x x x tục , hàm số khơng liên tục " Theo em, ý kiến bạn Nam hay sai? Giải thích Bài Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định hàm số đó: a) c) f x x sinx h x b) g x x4 x x 1; 2x x x x4 x2 x 1 x 4 f x 2a x 4 Bài Cho hàm số a) Với a 0 , xét tính liên tục hàm số x 4 b) Với giá trị a hàm số liên tục x 4 ? c) Với giá trị a hàm số liên tục tập xác định nó? Bài Hình 16 biểu thị độ cao h t 2t 8t h m bóng đá lên theo thời gian t s , a) Chứng tỏ hàm số ht liên tục tập xác định b) Dựa vào đồ thị xác định lim 2t 8t t D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Câu 2: Tìm giá trị thực tham số m để hàm số A m = B m = Tìm giá trị thực tham số m để hàm số A m = B m = ìï x2 - x - ï x ¹ f ( x) = ïí x - ïï x = ïïỵ m C m = liên tục x = D m = ìï x3 - x2 + 2x - ï x ¹ f ( x) = ïí x- ïï x = ïïỵ 3x + m C m = liên tục x = D m = Câu 3: x1 x 1 y f x x k x 1 Tìm giá trị thực tham số k để hàm số liên tục x 1 1 k k 2 A B k 2 C D k 0 Câu 4: 3 x f x x m Biết hàm số định đúng? m 3;0 A B m Câu 5: Câu 6: x 3 x 3 liên tục x 3 (với m tham số) Khẳng C m 0;5 D m 5; x 3 x x f x x 1, x 0 x x x 0 1 Hàm số liên tục tại: A điểm trừ x 0, x 1 B điểm x C điểm trừ x D điểm trừ x 0 x 0,5 x x 1 f x x 1, x 1 x x 1 1 Số điểm gián đoạn hàm số là: A B C D Câu 7: Câu 8: Câu 9: 2 x 2 m x f x m x x liên tục Có giá trị thực tham số m để hàm số ? A B C D x 0; 4 x f x 1 m x 4;6 tục 0;6 Khẳng định sau đúng? Biết hàm số A m B m C m D m 5 Có giá trị tham số a để hàm số A B ìï x2 - 3x + ïï x ¹ x- f ( x) = ïí ïï ïïỵ a x = liên tục ¡ D C ìï x2 - ïï x ¹ f ( x) = í x - ïï 0;1 ïïỵ a x = Câu 10: Biết liên tục đoạn [ ] (với a tham số) Khẳng định giá trị a đúng? A a số nguyên B a số vô tỉ C a> D a< ìï x - ïï x f ( x) = í 4x - - x ïï ïïỵ 1- a2 x x £ Câu 12: Tìm giá trị nhỏ a để hàm số liên tục x = A - 2 B Câu 13: Tìm giá trị lớn a để hàm số A amax = B amax = Câu 14: Xét tính liên tục hàm số f x A ( ) liên tục x = C f ( x) C - ìï 3x + - ïï x > ï x- f ( x) = ïí ïï ïï a x + x £ ïỵ C amax = ìï 1- cos x x £ f ( x) = ïí ïï x +1 x > ỵ không liên tục ¡ D liên tục x = D amax = Khẳng định sau đúng? f x - ¥ ;1) B ( ) liên tục ( f x D ( ) gián đoạn x = ìï ï cos px x £ f ( x) = ïí ïï x > ïïỵ x - Câu 15: Tìm khoảng liên tục hàm số A Hàm số liên tục x =- B Hàm số liên tục khoảng ( - ¥ ,- 1) ; ( 1;+¥ ) Mệnh đề sau sai? C Hàm số liên tục x = D Hàm số liên tục khoảng ( - 1,1) Câu 16: Hàm số f ( x) có đồ thị hình bên khơng liên tục điểm có hồnh độ bao nhiêu? y x O A x = B x = ìï x2 ïï ïï x ï f ( x) = ïí ïï ïï x ïï ïỵ C x = D x = x < 1, x ¹ x = x ³ Câu 17: Cho hàm số A điểm thuộc ¡ C điểm trừ x = ìï x2 - ïï x < 3, x ¹ ïï x - ïï f ( x) = í x = ïï ïï x +1 x ³ ïï ïỵ Câu 18: Cho hàm số A điểm thuộc ¡ C điểm trừ x = Câu 19: Số điểm gián đoạn hàm số A B f x Hàm số ( ) liên tục tại: B điểm trừ x = D điểm trừ x = x = f x Hàm số ( ) liên tục tại: B điểm trừ x = D điểm trừ x = x = ìï 2x x < ïï ï h( x) = í x +1 £ x £ ïï ïïỵ 3x - x > C là: D ìï x2 + x x < ïï f ( x) = ïí x = ïï ïïỵ m x +1 x > liên Câu 20: Tính tổng S gồm tất giá trị m để hàm số A S =- B S = C S = tục x = D S = ïìï - x cos x x < ïï ï x f ( x) = í £ x < ïï 1+ x ïï x ³ ïïỵ x Câu 21: Cho hàm số A điểm thuộc x Ỵ ¡ D điểm trừ x = 0; x = C điểm trừ x = Câu 22: Cho hàm số f x x x f x Hàm số ( ) liên tục tại: B điểm trừ x = Mệnh đề sau sai? A Hàm số cho liên tục f x 0 ;1 B Phương trình khơng có nghiệm khoảng f x 0 2;0 C Phương trình có nghiệm khoảng 1 3; f x 0 2 D Phương trình có hai nghiệm khoảng Câu 23: Cho phương trình x x x 0 Mệnh đề sau đúng? 1;1 A Phương trình khơng có nghiệm khoảng 2;0 B Phương trình khơng có nghiệm khoảng 2;1 C Phương trình có nghiệm khoảng 0; D Phương trình có hai nghiệm khoảng f x =0 Câu 24: Cho hàm số f (x) = x - 3x - Số nghiệm phương trình ( ) ¡ là: A B C D liên tục đoạn [- 1;4] cho f ( - 1) = , f ( 4) = Có thể nói số nghiệm phương trình f ( x) = đoạn [- 1;4] : Câu 25: Cho hàm số f ( x) A Vô nghiệm C Có nghiệm B Có nghiệm D Có hai nghiệm Câu 26: Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng ( - 10;10) để phương trình x3 - 3x2 +( 2m- 2) x + m- = có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn x1