CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC pptx

Mục tiêu: - Nhằm củng cố lại các tính chất về đường trung tuyến , đường phân giác, đường trung trực, đường cao của tam giác về tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC

A Mục tiêu:

- Nhằm củng cố lại các tính chất về đường trung tuyến , đường phân giác, đường trung trực, đường cao của tam giác về tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của một đoạn thẳng

- Rèn luyện kĩ năng vẽ hình dùng thước, êke, compa

- Biết vận dụng các kiến thức lí thuyết vào giải các bài toán chứng minh

B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài

C Bài tập:

Tiết 33:

Bài 1: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, A/M/ là đường trung tuyến của tam giác A/B/C/ biết AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/ Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A/B/C/ bằng nhau A

Giải:

Xét ABC và  A/B/C/ có:

AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ B M C (Có AM là trung tuyến của BC A/

và A/M/ là trung tuyến của B/C/)





ABM A/B/M/ (c.c.c)

Suy ra B = B/ B/ M/

C/

Vì có AB = A/B/; BC = B/C/ (gt)

B = B/ (c/m trên)

Suy ra: ABC  A/B/C/

Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 900) trung tuyến AM, tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a Tính số đo ABM

b Chứng minh ABC  BAD

c So sánh: AM và BC

Giải:

a Xét hai tam giác AMC và DMB có: B

D

MA = MD; MC = MB (gt)

M1 = M2 (đối đỉnh) M

Suy ra AMC  DMB (c.g.c)

 MCA = MBD (so le trong)

Suy ra: BD // AC mà BA  AC (A = 900) A

C

 BA  BD  ABD = 900

b Hai tam giác vuông ABC và BAD có:

AB = BD (do AMC DMB c/m trên)

AB chung nên ABC  BAD (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau)

c ABC  BAD

BC = AD mà AM =

2

1

AD (gt) Suy ra AM =

2

1

BC

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM và CN là hai đường trung

tuyến của tam giác ABC Chứng minh rằng CN > BM

Giải:

Gọi G là giao điểm của BM và CN

Xét ABC có BM và CN là hai đường

trung tuyến cắt nhau tại G

Do đó: G là trong tâm của tam giác ABC

Suy ra Gb =

3

2

BM; GC =

3

2

CN

Vẽ đường trung tuyến AI của ABC A

Ta có: A; G; I thẳng hàng

Xét AIB và AIC có:

AB < AC (gt)  AIB < AIC

Xét GIB và GIC có B I C

GI cạnh chung; BI = IC

AIC > AIB GC > GB  CN > BM

Bài 4: Cho tam giác ABC có BM và CN là hai đường trung tuyến và CN >

BM Chứng minh rằng AB < AC

Gọi G là giao điểm của BM và CN

ABC có: BM và CN là hai đường trung tuyến N M

Do đó: G là trong tâm của tam giác ABC G

Suy ra GB =

3

2

BM; GC =

3

2

CN

Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC B I

C

thì I đi qua G (Tính chất ba đường trung tuyến)

Ta có: CN > BM mà GB =

3

2

BM; GC =

3

2

CN nên GB < GC

Xét GIB GIC có:

GI cạnh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC

Xét AIB và AIC có:

AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC

Tiết 34:

Bài 5: Trên hình bên có AC là tia phân giác góc BAD và CB = CD

Vẽ CH  AB (H  AD) A C

CK  AD (K  AD)

C thuộc tia phân giác BAD K D

Do đó: CH = CK

Xét CHB (CHB = 900 )

Và tam giác CKD (CKD = 900)

Có CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên)

Do đó: CHB CKD(cạnh huyền - góc vuông)

 HBC = KDC  ABC = ADC

Bài 6: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC tại C kẻ đường thẳng song

song với tia Ax, nó cắt tiâ đối của tia AB tại D Chứng minh: xAB = ACD = ADC

D

Vì Ax là tia phân giác của góc BAC

Nên xAB = xAC (1)

Ax // CD bị cắt bởi đường thẳng AC A

hai góc xAC và ACD là 2 góc so le trong

nên xAC = ACD (2) x

hai góc xAB và ADC là 2 góc đồng vị nên B

C

xAB = ADC (3)

So sánh (1); (2); (3) ta có: xAB = ACD = ADC

Bài 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx của góc B, Bx cắt tia AC tại

M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt BC tại N Từ N kẻ tia

NY // Bx Chứng minh:

B

a xAB = BMN

b Tia Ny là tia phân giác của góc MNC N

Giải:

a.Trong tam giác ABC tại đỉnh B có:

ABx = xBC (vì Bx là tia phân giác của góc B) A M

C

BMN = ABx (2 góc so le trong vì MN // BA)

b BMN = MNy (2 góc so le trong vì Ny // Bx)

xBC = yNC (2 góc đồng vị vì Ny // Bx)

Vậy MNy = yNC mà tia Ny là tia nằm giữa hai tia NM và NC

Do đó: Ny là tia phân giác của MNC

Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác hai góc A

và B Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC tại N Chứng minh rằng: MN = BM + CN

Giải:

Ba phân giác củam một tam giác cùng đi qua một điểm nên CI là tia phân giác của góc C

Vì MN // BC nên C1 = I1 (2 góc so le trong) A

C1 = C2 nên C2 = I2

Do đó: NIC cân và NC = NI (1) M N

Chứng minh tương tự ta có: MB = MI (2)

Từ (1) và (2) ta có: B

C

MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN

Tiết 35:

Bài 9: Cho tam giác ABC (A = 900) các đường trung trực của các cạnh AB,

AC cắt nhau tại D Chứng minh rằng D là trung điểm của cạnh BC

Giải:

Vì D là giao điểm của đường trung trực

của các cạnh AB và AC nên 2 tam giác A

DAB và DAC là cân và các góc ở đáy

của mỗi tam giác đó bằng nhau

DBA = DAB và DAC = DCA

Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có: B D

C

ADB = DAC + DCA

ADC = DAB + DBA

Do đó: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 1800

Từ đó suy ra ba điểm B, D, C thẳng hàng

Hơn nữa vì DB = DC nên D là trung điểm của BC

Bài 10: Cho hai điểm A và D nằm trên đường trung trực AI của đoạn thẳng

BC D nằm giữa hai điểm A và I, I là điểm nằm trên BC Chứng minh:

a AD là tia phân giác của góc BAC

Giải:

a Xét hai tam giác ABI và ACI chúng có:

AIC = AIB = 1v

IB = IC (gt cho AI là đường trung trực

của đoạn thẳng BC) B I

C

Vậy ABI  ACI (c.g.c)

 BAI = CAI

Mặt khác I là trung điểm của cạnh BC nên tia AI nằm giữa hai tia AB và AC Suy ra: AD là tia phân giác của góc BAC

b Xét hai tam giác ABD và ACD chúng có:

AD cạnh chung

Cạnh AB = AC (vì AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC)

BAI = CAI (c/m trên)

Vậy ABD ACD (c.g.c)  ABD = ACD (cặp góc tương ứng)

Bài 11: Hai điểm M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, N

là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên tia đối của tia NM cxác định M/ sao cho MN/ = NM

a Chứng minh: AB là ssường trung trực của đoạn thẳng MM/

b M/A = MB= M/B = MA

Giải:

a Ta có: AB MM/

(vì MN là đường trung trực của đoạn M

thẳng AB nên MN  AB)

Mặt khác N là trung điểm của MM/

(vì M/ nằm trên tia đối của tia NM và NM = NM/) A N

B

Vậy AB là đường trung trực của đoạn MM/

b Theo gả thiết ta có:

MM/ là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên

MA = MB; M/B = M/A M/

Ta lại có: AB là đường trung trực của đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B

Từ đó suy ra: M/A = MB = M/B = MV

Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D trên cạnh AC

sao cho : DA + DB = AC

Giải:

Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng BC

cắt cạnh AC tại D

Thật vậy

Ta có: DB = DC (vì D thuộc đường trung D

trực của đoạn thẳng BC)

Do đó: DA + DB = DA + DC

Mà AC = DA + DC (vì D nằm giữa A và C) B

C

Suy ra: DA + DB = AC

Tiết 36:

Bài 13:

a Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác ABc Chứng minh rằng CKB = CAH

b Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH và BK là các đường cao

Chứng minh rằng CBK = BAH

Giải:

a Trong tam giác AHC và BKC có: K

CBK và CAH đều là góc nhọn

Và có các cạnh tương ứng vuông góc với nhau A

CB AH và BK  CA

Vậy CBK = CAH

b Trong tam giác cân đã cho thì đường cao AH B H

C

Do đó: BAH = CAH

Mặt khác: CAH và CBK là hai góc nhọn và K

có các cạnh tương ứng vuông góc nên

CAH = CBK Như vậy BAH = CBK

B H

C

Bài 14: Hai đường cao AH và BK của tam giác nhọn ABC cắt nhau tại D

a Tính HDK khi C = 500

b Chứng minh rằng nếu DA = DB thì tam giác ABC là tam giác cân

Vì hai góc C và ADK đều là nhọn và có các K

cạnh tương ứng vuông góc nên C = ADK

Nhưng HDK kề bù với ADK nênhai góc

C và HDK là bù nhau Như vậy HDK = 1800 - C = 1300

b Nếu DA = DB thì DAB = DBA B H

C

Do đó hai tam giác vuông HAB và KBA bằng nhau

Vì có cạnh huyền bằng nhau và có một góc nhọn bằng nhau

Từ đó suy ra KAB = HBA hai góc này cùng kề với đáy AB của tam giác ABC

Suy ra tam giác ABC cân với CA = CB

Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A phân giác AM Kẻ đường cao BN cắt

AM

tại H

a Khẳng định CN  AB là đúng hay sai?

b Tính số đo các góc: BHM và MHN biết C = 390

A BHM = 1310; MHN = 490 C BHM = 1410; MHN = 390

B BHM = 490; MHN = 1310 D BHM = 390; MHN = 1410

a Chọn A

vì AM  BC tam giác ABC câb tại A N

Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC H

Do đó CH  AB

b Chọn D B M C

Ta có: BHM = C = 390 (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

MHN = 1800 - C = 1410 (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc và một góc nhọn, một góc tù)

Vậy ta tìm được BHM = 390; MHN = 1410

Bài 16: Cho góc xOy = 600 điểm A nằm trong góc xOy vẽ điểm B sao cho

Ox là đường trung trực của AC, vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực

của AC

a Khẳng định OB = OC là đúng hay sai?

b Tính số đo góc BOC

A 600; B 900; C 1200; D 1500

Giải:

x

OA = OB vì Ox là đường trung trực của AB

OA = OC vì Oy là đường trung trực của AC

Do đó: OB = OC

A

Nhận xét là:

Tam giác OAB cân tại O nên O1 = O2

Tam giác OAC cân tại O nên O3 = O4

y

Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3

Vậy ta có: BOC = 1200

Bài 17: Chứng minh rằng trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn

hơn thì nhỏ hơn trung tuyến ứng với cạnh nhỏ

Giải:

Xét tam giác ABC các đường trung tuyến A

AM, BN, CP trọng tâm G

Ta cần đi chứng minh CP > BN G

Thật vậy

Với hai tam giác ABM và ACM B M

C

Ta có: MB = MC (vì M là trung điểm của BC)

AM chung: AB < AC do đó: M1 < M2

Với hai tam giác GBM và GCM ta có: MB = MC (M là TĐ của BC); GM chung

Do đó: GB < GC 

3

2

GB <

3 2

GC BN < CP