CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC pptx

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC A. Mục tiêu: - Nhằm củng cố lại các tính chất về đường trung tuyến , đường phân giác, đường trung trực, đường cao của tam giác về tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của một đoạn thẳng. - Rèn luyện kĩ năng vẽ hình dùng thước, êke, compa. - Biết vận dụng các kiến thức lí thuyết vào giải các bài toán chứng minh. B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài C. Bài tập: Tiết 33: Bài 1: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, A / M / là đường trung tuyến của tam giác A / B / C / . biết AM = A / M / ; AB = A / B / ; BC = B / C / . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A / B / C / bằng nhau. A Giải: Xét ABC  và  A / B / C / có: AB = A / B / (gt); BM = B / M / B M C (Có AM là trung tuyến của BC A / và A / M / là trung tuyến của B / C / ) AM = A / M / (gt)    ABM A / B / M / (c.c.c) Suy ra B = B / B / M / C / Vì có AB = A / B / ; BC = B / C / (gt) B = B / (c/m trên) Suy ra:    ABC A / B / C / Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 90 0 ) trung tuyến AM, tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. a. Tính số đo ABM b. Chứng minh BADABC    c. So sánh: AM và BC Giải: a. Xét hai tam giác AMC và DMB có: B D MA = MD; MC = MB (gt) M 1 = M 2 (đối đỉnh) M Suy ra DMBAMC    (c.g.c)  MCA = MBD (so le trong) Suy ra: BD // AC mà BA  AC (A = 90 0 ) A C  BA  BD  ABD = 90 0 b. Hai tam giác vuông ABC và BAD có: AB = BD (do DMBAMC    c/m trên) AB chung nên BADABC    (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau) c. BADABC     BC = AD mà AM = 2 1 AD (gt) Suy ra AM = 2 1 BC Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng CN > BM. Giải: Gọi G là giao điểm của BM và CN Xét ABC  có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G Do đó: G là trong tâm của tam giác ABC Suy ra Gb = 3 2 BM; GC = 3 2 CN Vẽ đường trung tuyến AI của ABC  A Ta có: A; G; I thẳng hàng Xét AIB  và AIC  có: AI cạnh chung, BI = IC G AB < AC (gt)  AIB < AIC Xét GIB  và GIC  có B I C GI cạnh chung; BI = IC AIC > AIB  GC > GB  CN > BM Bài 4: Cho tam giác ABC có BM và CN là hai đường trung tuyến và CN > BM. Chứng minh rằng AB < AC Giải: A Gọi G là giao điểm của BM và CN  ABC có: BM và CN là hai đường trung tuyến N M Do đó: G là trong tâm của tam giác ABC G Suy ra GB = 3 2 BM; GC = 3 2 CN Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC B I C thì I đi qua G (Tính chất ba đường trung tuyến) Ta có: CN > BM mà GB = 3 2 BM; GC = 3 2 CN nên GB < GC Xét GICGIB    có: GI cạnh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC Xét AIB  và AIC  có: AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC Tiết 34: Bài 5: Trên hình bên có AC là tia phân giác góc BAD và CB = CD Chứng minh: ABC = ADC B Giải: H Vẽ CH  AB (H  AD) A C CK  AD (K  AD) C thuộc tia phân giác BAD K D Do đó: CH = CK Xét CHB  (CHB = 90 0 ) Và tam giác CKD (CKD = 90 0 ) Có CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) Do đó: CKDCHB    (cạnh huyền - góc vuông)  HBC = KDC  ABC = ADC Bài 6: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC tại C kẻ đường thẳng song song với tia Ax, nó cắt tiâ đối của tia AB tại D. Chứng minh: xAB = ACD = ADC Giải: D Vì Ax là tia phân giác của góc BAC Nên xAB = xAC (1) Ax // CD bị cắt bởi đường thẳng AC A hai góc xAC và ACD là 2 góc so le trong nên xAC = ACD (2) x hai góc xAB và ADC là 2 góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3) So sánh (1); (2); (3) ta có: xAB = ACD = ADC Bài 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx của góc B, Bx cắt tia AC tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt BC tại N. Từ N kẻ tia NY // Bx. Chứng minh: B a. xAB = BMN b. Tia Ny là tia phân giác của góc MNC N Giải: a.Trong tam giác ABC tại đỉnh B có: ABx = xBC (vì Bx là tia phân giác của góc B) A M C BMN = ABx (2 góc so le trong vì MN // BA) Vậy xBC = BMN x y b. BMN = MNy (2 góc so le trong vì Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị vì Ny // Bx) Vậy MNy = yNC mà tia Ny là tia nằm giữa hai tia NM và NC Do đó: Ny là tia phân giác của MNC Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác hai góc A và B. Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN = BM + CN Giải: Ba phân giác củam một tam giác cùng đi qua một điểm nên CI là tia phân giác của góc C. Vì MN // BC nên C 1 = I 1 (2 góc so le trong) A C 1 = C 2 nên C 2 = I 2 Do đó: NIC  cân và NC = NI (1) M N Chứng minh tương tự ta có: MB = MI (2) Từ (1) và (2) ta có: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN Tiết 35: Bài 9: Cho tam giác ABC (A = 90 0 ) các đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng D là trung điểm của cạnh BC Giải: Vì D là giao điểm của đường trung trực của các cạnh AB và AC nên 2 tam giác A DAB và DAC là cân và các góc ở đáy của mỗi tam giác đó bằng nhau. DBA = DAB và DAC = DCA Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có: B D C ADB = DAC + DCA ADC = DAB + DBA Do đó: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 180 0 Từ đó suy ra ba điểm B, D, C thẳng hàng Hơn nữa vì DB = DC nên D là trung điểm của BC Bài 10: Cho hai điểm A và D nằm trên đường trung trực AI của đoạn thẳng BC. D nằm giữa hai điểm A và I, I là điểm nằm trên BC. Chứng minh: a. AD là tia phân giác của góc BAC b. ABD = ACD A Giải: a. Xét hai tam giác ABI và ACI chúng có: AI cạnh chung AIC = AIB = 1v IB = IC (gt cho AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC) B I C Vậy ACIABI    (c.g.c)  BAI = CAI Mặt khác I là trung điểm của cạnh BC nên tia AI nằm giữa hai tia AB và AC Suy ra: AD là tia phân giác của góc BAC b. Xét hai tam giác ABD và ACD chúng có: AD cạnh chung Cạnh AB = AC (vì AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trên) Vậy ACDABD    (c.g.c)  ABD = ACD (cặp góc tương ứng) Bài 11: Hai điểm M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, N là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia NM cxác định M / sao cho MN / = NM a. Chứng minh: AB là ssường trung trực của đoạn thẳng MM / b. M / A = MB = M / B = MA Giải: a. Ta có: AB  MM / (vì MN là đường trung trực của đoạn M thẳng AB nên MN AB  ) Mặt khác N là trung điểm của MM / (vì M / nằm trên tia đối của tia NM và NM = NM / ) A N B Vậy AB là đường trung trực của đoạn MM / . b. Theo gả thiết ta có: MM / là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB; M / B = M / A M / Ta lại có: AB là đường trung trực của đoạn thẳng MM / nên MA = M / B Từ đó suy ra: M / A = MB = M / B = MV Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC. Xác định điểm D trên cạnh AC sao cho : DA + DB = AC Giải: Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt cạnh AC tại D D là điểm cần xác định A Thật vậy Ta có: DB = DC (vì D thuộc đường trung D trực của đoạn thẳng BC) Do đó: DA + DB = DA + DC Mà AC = DA + DC (vì D nằm giữa A và C) B C Suy ra: DA + DB = AC Tiết 36: Bài 13: a. Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác ABc. Chứng minh rằng CKB = CAH b. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH và BK là các đường cao Chứng minh rằng CBK = BAH Giải: a. Trong tam giác AHC và BKC có: K CBK và CAH đều là góc nhọn Và có các cạnh tương ứng vuông góc với nhau A CB  AH và BK  CA Vậy CBK = CAH b. Trong tam giác cân đã cho thì đường cao AH B H C cũng là đường phân giác của góc A A Do đó: BAH = CAH Mặt khác: CAH và CBK là hai góc nhọn và K có các cạnh tương ứng vuông góc nên CAH = CBK. Như vậy BAH = CBK B H C Bài 14: Hai đường cao AH và BK của tam giác nhọn ABC cắt nhau tại D. a. Tính HDK khi C = 50 0 b. Chứng minh rằng nếu DA = DB thì tam giác ABC là tam giác cân. Giải: A Vì hai góc C và ADK đều là nhọn và có các K cạnh tương ứng vuông góc nên C = ADK Nhưng HDK kề bù với ADK nênhai góc C và HDK là bù nhau. Như vậy HDK = 180 0 - C = 130 0 b. Nếu DA = DB thì DAB = DBA B H C Do đó hai tam giác vuông HAB và KBA bằng nhau Vì có cạnh huyền bằng nhau và có một góc nhọn bằng nhau Từ đó suy ra KAB = HBA hai góc này cùng kề với đáy AB của tam giác ABC Suy ra tam giác ABC cân với CA = CB Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A phân giác AM. Kẻ đường cao BN cắt AM tại H. a. Khẳng định CN  AB là đúng hay sai? A. Đúng B. Sai b. Tính số đo các góc: BHM và MHN biết C = 39 0 A. BHM = 131 0 ; MHN = 49 0 C. BHM = 141 0 ; MHN = 39 0 B. BHM = 49 0 ; MHN = 131 0 D. BHM = 39 0 ; MHN = 141 0 Giải: A a. Chọn A vì AM  BC tam giác ABC câb tại A N Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC H Do đó CH  AB b. Chọn D B M C Ta có: BHM = C = 39 0 (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) MHN = 180 0 - C = 141 0 (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc và một góc nhọn, một góc tù) Vậy ta tìm được BHM = 39 0 ; MHN = 141 0 Bài 16: Cho góc xOy = 60 0 điểm A nằm trong góc xOy vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AC, vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC a. Khẳng định OB = OC là đúng hay sai? b. Tính số đo góc BOC A. 60 0 ; B. 90 0 ; C. 120 0 ; D. 150 0 Giải: a. Chọn A B Nhận xét là: x OA = OB vì Ox là đường trung trực của AB OA = OC vì Oy là đường trung trực của AC Do đó: OB = OC b. Chọn C. O A Nhận xét là: Tam giác OAB cân tại O nên O 1 = O 2 Tam giác OAC cân tại O nên O 3 = O 4 y Khi đó: BOC = O 1 + O 2 + O 3 + O 4 = 2O 2 + 2O 3 = 2(O 2 +O 3 ) = 2xOy = 120 0 C Vậy ta có: BOC = 120 0 Bài 17: Chứng minh rằng trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn hơn thì nhỏ hơn trung tuyến ứng với cạnh nhỏ. Giải: Xét tam giác ABC các đường trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G Giả sử AB < AC P N Ta cần đi chứng minh CP > BN G [...]...Thật vậy Với hai tam giác ABM và ACM C B M Ta có: MB = MC (vì M là trung điểm của BC) AM chung: AB < AC do đó: M1 < M2 Với hai tam giác GBM và GCM ta có: MB = MC (M là TĐ của BC); GM chung Do đó: GB < GC  2 2 GB < GC  BN < CP 3 3 . CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC A. Mục tiêu: - Nhằm củng cố lại các tính chất về đường trung tuyến , đường phân giác, đường trung trực, đường cao của tam giác về tính chất tia phân giác của. 9: Cho tam giác ABC (A = 90 0 ) các đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng D là trung điểm của cạnh BC Giải: Vì D là giao điểm của đường trung trực của các cạnh. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC, A / M / là đường trung tuyến của tam giác A / B / C / . biết AM = A / M / ; AB = A / B / ; BC = B / C / . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A / B / C /