BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A TĨM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG f x g x 1 f x g x Phương trình với ẩn x có dạng , vế trái vế phải hai biểu thức biến x Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý tới điều kiện ẩn số x để f x g x có nghĩa (tức phép tốn thực được) Đó điều kiện xác định phuơng trình (hay gọi tắt điều kiện phuơng trình) -Trong trường hợp tổng qt, ta có định nghĩa sau: Hai phương trình (cùng ẩn) gọi tuơng đuơng chúng có tập nghiệm f x g1 x f x g x Nếu phương trình tương đương với phương trình ta viết f1 x g1 x f x g x -Định lí sau nêu lên số phép biến đổi tương đương thường sử dụng: Nếu thực phép biến đổi sau phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức ln có giá trị khác II PHƯƠNG TRÌNH sin x m Trong trường hợp tổng quát, ta giải phương trình sinx m sau: Với m 1 , phương trình sinx m vơ nghiệm ; m 1 Với , gọi số thực thuộc đoạn cho sin m Khi đó, ta có: x k 2 sinx m sinx sin k Z x k 2 Chú ý a) Ta có số trường hợp đặc biệt sau phương trình sinx m : sinx 1 x k 2 k Z sinx x k 2 k Z x k 2 sinx 0 x k k Z x k 2 f x g x k 2 sin f x sin g x k Z f x g x k b) Ta có o c) Nếu x góc lượng giác có đơn vị đo độ ta tìm góc lượng giác x cho sinx sina sau: x a o k 360o sinx sina k Z o o o x 180 a k 360 o III PHƯƠNG TRÌNH cosx=m Trong trường hợp tổng quát, ta giải phương trình cos x m sau: Với Với m 1 , phương trình cosx m vơ nghiệm m 1 0; , gọi số thực thuộc đoạn cho cos m Khi đó, ta có: x k 2 cosx m cosx cos k Z x k 2 Chú ý a) Ta có số trường hợp đặc biệt sau phương trình cosx m : cosx 1 x k 2 k Z cosx x k 2 k Z cosx 0 x k k Z f x g x k 2 cos f x cosg x k Z f x g x k b) Ta có c) Nếu x góc lượng giác có đơn vị đo độ ta tìm góc lượng giác x cho x a k 360 cosx cosa k Z x a k 360 cosx cosa sau: IV PHƯƠNG TRÌNH tanx=m Trong trường hợp tổng qt, ta có cách giải phương trình tan x m sau: ; Gọi số thực thuộc khoảng 2 cho tan m Khi với m R , ta có: tanx m tanx tan x k k Z Chú ý: Nếu x góc lượng giác có đơn vị đo độ ta tìm góc lượng giác x cho tanx tana sau: tanx tana x a k180 k Z V PHƯƠNG TRÌNH cotx=m Trong trường hợp tổng qt, ta có cách giải phương trình cot x m sau: 0; Gọi số thực thuộc khoảng cho cot m Khi với m R , ta có: cotx m cotx cot x k k Z Chú ý: Nếu x góc lượng giác có đơn vị đo độ ta tìm góc lượng giác x cho cotx cota sau: cotx cota x a k180 k Z VI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Có thể sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải phương trình lượng giác Chú ý Để giải phương trình cotx a a 0 MTCT, ta đưa giải phương trình tanx a B CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG Ví dụ Giải phương trình cos 2x 0 6 a) ; cos 4x 1 3 b) ; cos x 5 c) ; sin 3x 0 3 d) x sin 1 4 e) ; sin 2x 6 f) ; Ví dụ Giải phương trình sin 3x a) tan 1 ; x 2 b) cos 2x 2 d) cot 2x 4 3 ; 4 c) Ví dụ Giải phương trình a) sin 4x sin x 3 ; c) cos x 2 ; x cot g x 300 cot g b) d) sin 2x cos3x Ví dụ Tìm m để phương trình sin x m x 0; 2 có nghiệm Ví dụ Giải phương trình sau: a) cot 4x cot 2 ; b) cot 3x 2; cot(2 x 10 o ) c) Ví dụ Giải phương trình a) sin 2x sin 2x cos x 0 1 ; b) sin x cos 2x sin 2x cos3x C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Giải phương trình: sin x 3 ; a) sin x 4 b) x cos 2 4 c) d) 2cos3 x 3 ; e) 3tanx ; g) cotx cotx Bài Giải phương trình: sin x sinx 4 a) cos 2 x cos x 6 c) b) sin2 x cos3 x ; Bài Dùng đồ thị hàm số y sinx, y cosx để xác định số nghiệm phương trình: 5 5 ; a) 3sinx 0 khoảng 2 5 5 ; b) cosx 0 đoạn 2 Bài Số có ánh sáng mặt trời thành phố A vĩ độ 40 Bắc ngày thứ t năm không nhuận cho hàm số d t 3sin t 80 12 182 với t t 365 (Nguồn: Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020) a) Thành phố A có 12 có ánh sáng mặt trời vào ngày năm? b) Vào ngày năm thành phố A có có ánh sáng mặt trời? c) Vào ngày năm thành phố A có 15 có ánh sáng mặt trời? Bài Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) tổ chức vào mùa xn thường có trị chơi đánh đu Khi người chơi đu nhún đều, đu đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân (Hình 39) Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h m từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân biểu d 3cos 2t 1 t s h d 3 , ta quy diễn qua thời gian (với t 0 ) hệ thức với ước d vị trí cân phía sau lưng người chơi đu d trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020) Vào thời gian t khoảng cách h m; m ? D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Nghiệm phương trình sin x 1 là: A Câu 2: x k 2 x k B Nghiệm phương trình sin x là: C x k x k 2 D A Câu 3: x k Nghiệm phương trình x k 2 A Câu 4: Câu 11: D C x k x k 2 D C x k 2 x k D B x k 2 cos x x 3 k C x k 2 D x k 2 C x k 2 D 2 x k 2 C x k D là: x k 2 B cos x là: x k 2 B tan x 0 là: x k 2 x k B C x k D Nghiệm phương trình cot x là: x k 2 A Câu 10: C x k Nghiệm phương trình x k A Câu 9: x k 2 B Nghiệm phương trình x k 2 A Câu 8: 3 k là: x k B Nghiệm phương trình x k 2 A Câu 7: sin x x Nghiệm phương trình cos x là: A x k Câu 6: k 2 Nghiệm phương trình cos x 1 là: A x k Câu 5: B x x k B sin x – C x k D x là: Nghiệm phương trình x k 2 x k 2 B A x k 2 C D x Tập nghiệm phương trình sin x sin x π π k 2π S k 2π; k 2π k S k 2π; k 3 A B π S k 2π; k 2π k C k D S k 2π; π k 2π k 5 k 2 2sin x 0 3 Câu 12: Nghiệm phương trình 7 7 x k ; x k ,k x k 2 ; x k 2 , k 24 24 A B C x k ; x k 2 , k Câu 13: Phương trình sin x cos x có nghiệm k x k x k 2 A x k 2 k x k 2 C Câu 14: Giải phương trình Phương trình cos x x k k B x k k D có tập nghiệm 5 x k 2 ; k B x k 2 ; k D x k ; k A x k ; k C Câu 16: k x 6 k x k 2 B k 2 x 6 k x k 2 D tan x 0 x k k A x k k C Câu 15: 7 x k ; x k , k 24 D Phương trình cos x 0 có nghiệm A x B x 2 C x D x 5 Câu 17: Biểu diễn họ nghiệm phương trình sin x 1 đường tròn đơn vị ta điểm? A B C D Câu 18: Phương trình sin x sin có nghiệm x k , x k k A x k 2 , x k 2 k C Câu 19: Phương trình cos x 2 có tập nghiệm B x k 2 , x k 2 k D x k , x k k x k 2 ; k A 3 x k 2 ; k C Câu 20: Câu 21: Câu 22: Câu 23: Tập nghiệm phương trình 2sin x 0 7 S k , k , k S 12 12 A B 7 S k 2 , k 2 , k S 12 12 C D Nghiệm phương trình cos x 0 là: x k x k 2 2 A B Câu 25: Câu 27: Câu 28: 7 k , k , k 12 x k C 0 có nghiệm là: x k x k 2 3 B C D x k 2 D m 0 Phương trình lượng giác 3cot x Phương trình lượng giác cos x 0 có nghiệm là: 3 5 x k 2 x k 2 x k 2 x 3 k 2 x 3 k 2 x 5 k 2 4 A B C tan x 0 có nghiệm là: x k 2 x k B C D Vô nghiệm x k 2 x k 2 D Phương trình lượng giác x k A Câu 26: 7 k 2 , k 2 , k 12 Với giá trị m phương trình sin x m 1 có nghiệm là: A m 1 B m 0 C m 1 x k A Câu 24: x k ; k B x k ; k D Phương trình cos x m 0 vô nghiệm m là: m A m B m C m 1 Nghiệm phương trình sin x 1 x k 2 x k A B x k 2 C D x D m D x Giá trị đặc biệt sau cos x 1 x k A cos x x k 2 C k cos x 0 x k B cos x 0 x k 2 D k o Câu 29: Phương trình lượng giác: cos x cos12 có nghiệm là: k 2 k 2 x x x k 2 15 45 45 A B C D x cos 0 Câu 30: Giải phương trình lượng giác: có nghiệm là: 5 5 5 x k 2 x k 2 x k 4 6 A B C 5 x k 4 D x k 2 45 Câu 31: Nghiệm đặc biệt sau sai A sin x x k 2 B sin x 0 x k sin x 1 x k 2 D C sin x 0 x k 2 Câu 32: Phương trình lượng giác: x k A Câu 33: B 3.tan x 0 có nghiệm là: x k 2 x k C D x k Trong phương trình sau phương trình vơ nghiệm? A tan x 2018 B sin x C cos x 2017 2018 D sin x cos x Tập nghiệm phương trình sin x sin 30 S 30 k 2 | k 150 k 2 | k A S 30 k 2 | k B S 30 k 360 | k C S 30 360 | k 150 360 | k D Câu 35: Phương trình cos x 1 có nghiệm Câu 34: A x k 2 x k B x k 2 D C x k Câu 36: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sin x m có nghiệm A m 1 B m C m 1 D m Câu 37: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cos x m 0 vơ nghiệm m ; 1 1; m 1; A B m 1;1 m ; 1 C D Câu 38: Nghiệm phương trình sin x 1 A Câu 39: k , k k B , k Tổng tất nghiệm phương trình A B C k 2 k 2 , k D , k cos sin x 1 C 2 0;2 bằng: D 3