Bài 1 4 phương trình lượng giác cơ bản cd lời giải

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A TĨM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG f x  g  x   1 f x g x Phương trình với ẩn x có dạng   , vế trái   vế phải   hai biểu thức biến x Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý tới điều kiện ẩn số x để f  x g x   có nghĩa (tức phép tốn thực được) Đó điều kiện xác định phuơng trình (hay gọi tắt điều kiện phuơng trình) -Trong trường hợp tổng qt, ta có định nghĩa sau: Hai phương trình (cùng ẩn) gọi tuơng đuơng chúng có tập nghiệm f x  g1  x  f x g  x  Nếu phương trình   tương đương với phương trình   ta viết f1  x   g1  x   f  x  g  x  -Định lí sau nêu lên số phép biến đổi tương đương thường sử dụng: Nếu thực phép biến đổi sau phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức ln có giá trị khác II PHƯƠNG TRÌNH sin x m Trong trường hợp tổng quát, ta giải phương trình sinx m sau: Với Với m 1 , phương trình sinx m vơ nghiệm m 1     ;  , gọi  số thực thuộc đoạn  2  cho sin m Khi đó, ta có:  x   k 2 sinx m  sinx sin    k  Z  x     k 2 Chú ý a) Ta có số trường hợp đặc biệt sau phương trình sinx m :  sinx 1  x   k 2  k  Z  sinx   x    k 2  k  Z   x k 2 sinx 0    x k  k  Z   x   k 2  f  x  g  x   k 2 sin f  x  sin g  x     k  Z f  x    g  x   k 2  b) Ta có o c) Nếu x góc lượng giác có đơn vị đo độ ta tìm góc lượng giác x cho sinx sina sau:  x a o  k 360o sinx sina o    k  Z o o o  x 180  a  k 360 III PHƯƠNG TRÌNH cosx=m Trong trường hợp tổng quát, ta giải phương trình cos x m sau: Với Với m 1 , phương trình cosx m vơ nghiệm m 1 0;   , gọi  số thực thuộc đoạn  cho cos m Khi đó, ta có:  x   k 2 cosx m  cosx cos    k  Z  x    k 2 Chú ý a) Ta có số trường hợp đặc biệt sau phương trình cosx m : cosx 1  x k 2  k  Z  cosx   x   k 2  k  Z   cosx 0  x   k  k  Z   f  x  g  x   k 2 cos f  x  cosg  x     k  Z f x  g x  k       b) Ta có c) Nếu x góc lượng giác có đơn vị đo độ ta tìm góc lượng giác x cho  x a   k 360 cosx cosa    k  Z    x  a  k 360 cosx cosa  sau:  IV PHƯƠNG TRÌNH tanx=m Trong trường hợp tổng qt, ta có cách giải phương trình tan x m sau:     ;   Gọi số thực thuộc khoảng  2  cho tan  m Khi với m  R , ta có: tanx m  tanx tan  x   k  k  Z  Chú ý:  Nếu x góc lượng giác có đơn vị đo độ ta tìm góc lượng giác x cho tanx tana sau: tanx tana   x a  k180  k  Z  V PHƯƠNG TRÌNH cotx=m Trong trường hợp tổng qt, ta có cách giải phương trình cot x m sau: 0;   Gọi  số thực thuộc khoảng  cho cot m Khi với m  R , ta có: cotx m  cotx cot  x   k  k  Z  Chú ý:  Nếu x góc lượng giác có đơn vị đo độ ta tìm góc lượng giác x cho cotx cota sau: cotx cota   x a   k180  k  Z  VI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Có thể sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải phương trình lượng giác Chú ý Để giải phương trình cotx a  a 0  MTCT, ta đưa giải phương trình B CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG Ví dụ Giải phương trình   cos  2x   0 6  a) ;   cos  4x   1 3  b) ;   cos   x   5  c) ;   sin  3x   0 3  d)  x  sin    1  4 e) ;   sin   2x   6  f) ; Lời giải     k cos  2x   0  2x  k  x   ,k   6 12  a)     k cos  4x   1  4x  k2   x   ,k   3 12   b)     4 cos   x     x   k2  x   k2,k   5   c)     k sin  3x   0  3x  k  x   ,k   3  d)  x  x   3 sin    1     k2  x   k4,k   2  4 e)      sin   2x     2x   k2  x   k,k   6   f) Ví dụ Giải phương trình sin 3x  a) tan  1 ; x 2  3 ; b) cos 2x   2   d) cot  2x    4   4 c) Giải a) Ta có:   3x   k2     1  sin 3x sin     3x       k2    6    k2   x 18  ,k    x 5  k2  18 tanx  a  k2 5 k2 x  ;x   , k   18 18 Vậy nghiệm phương trình (1) b) Ta có:    2x   k2 2     cos 2x cos    2x  2  k2     x   k ,k   x    k   x  k, k   Vậy nghiệm phương trình (*) là: c)  3  x 3  k3, k  ,  tan  2  Vậy nghiệm phương trình (*) x x 3  k3, k   d) Ta có:    cot  2x        k  , k    cot  2x    k  x  4 6 24 x  Vậy nghiệm phương trình là:  k  ,k   24 Lời bình: Những phương trình ch phương trình lượng giác Sử dụng MTCT ta tìm giá trị đặc biệt hàm số lượng giác  Ở câu a) sin3x  π Dùng MTCT (ở chế độ rad ) ta ấn SHIF sin   ta kết π sin3x  sin Do đó:  Hoàn toàn tương tự cho câu b) cos2x  Ta ấn: 2π 2π cos2x  cos SHIF cos    ta kết Do đó:  Trên MTCT khơng có hàm cot, nhiên ta thừa biết cot α  tan α Do đó, câu d)   cot  2x    4  ta ấn máy sau:    π cot  2x    cot SHIT tan   4  ta kết Do đó: Ví dụ Giải phương trình a)   sin 4x sin  x   3 ;  c) cos x  x cot g x  300 cot g b)  2 ;  d) sin 2x cos3x Giải a) Ta có:   4x x   k2    sin 4x sin  x      3  4x    x     k 2     3    k2   x 9  ,k    x  2  k2  15  k2 2 k2 x  ;x   15 Vậy nghiệm phương trình (*) x  300 k.1800  x  30   k,n   x 0 x n.360  n.180 b) Điều kiện:    cot g x  300 cot g x x  x  300   k.1800  2x  600 x  k.3600 2  x  600  k.3600 ,k   0 Vậy nghiệm phương trình là: x  60  k.360 , k  c) Ta có 2  cos 2x 32      cos 2x    4     cos 2x  cos  2x   k2   x   k, k   6 12 cos x   x   k, k   12 Vậy nghiệm phương trình (*) d) Ta có   sin 2x cos3x  cos 3x cos   2x        5x   k2    x    k 2     3x   2x  k2   3x     2x   k2    2   k2   x 10  ;k     x    k 2   k2  x  ; x   k2, k   10 Vậy nghiệm (*)   cos3x cos   2x  2  , ta chuyển Nhận xét: Phương trình sin 2x cos3x chuyển thành   sin 2x sin   3x  2  thành dạng sau: Ví dụ Tìm m để phương trình     sin  x   m x   0;     2 có nghiệm Giải Ta có: 0x     3   sin  x    1  x    4  4 m   x   0;   1   m  2  2 Phương trình cho có nghiệm Ví dụ Giải phương trình sau: a) cot 4x cot 2 ; cot(2 x  10 o )  b) cot 3x  2; c) Giải a) b) cot 4x cot 2 2    x   k  x   k ,k   7 14 cot 3x  cot   3x   k   c) Vì cot 60o cot(2 x  10o )  nên    k ,k   3  cot(2 x  10 o ) cot 60 o  2x  10o 60 o  k180 o  2x 70 o  k180 o  x 35o  k90o ,k   Ghi nhớ Mỗi phương trình sin x a( a 1); cos x a( a 1); tan x a; cot x a có vơ số nghiệm Giải phương trình làm tìm tất nghiệm chúng Ví dụ Giải phương trình a) sin 2x  sin 2x cos x 0  1 ; b) sin x cos 2x sin 2x cos3x   Giải a) Ta có  sin 2x 0   cosx 1  1  sin 2x   cosx  0    2x k k  x k   x  , k    Vậy nghiệm phương trình x k , k   Lưu ý: Một số học sinh mắc sai lầm nghiệm trọng (lỗi bản) rút gọn phương trình ban đầu cho sin 2x , dẫn đến thiếu nghiệm b) Định hướng: Cả hai vế phương trình cho dạng tích hai hàm lượng giác Thông thường ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng sin a cos b   sin  a  b   sin  a  b   Ta nhắc lại: Ta có 2  x k  5x 3x  k2   ,k  x    k  5x   3x  k2      sin 3x  sinx    sin x  s inx   sin 5x sin 3x  k x k; x   , k   Vậy nghiệm phương trình (*) C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Giải phương trình:   sin  x    3 ;  a)   sin  x    4  b) x  cos     2 4 c) d) 2cos3 x  3 ; e) 3tanx  ; g) cotx     cotx  Lời giải   a) sin  x    3      sin  x   sin   3         2x    k2 2x    k2   3  3     3     2x       k2 2x       k2      3  3  2x k2  x k     k  Z  2x  5  k2  x  5  k   Vậy phương trình cho có nghiệm x k   b) sin  x    4  x 5  k với k  Z       3x    k2 3x    k2        sin  3x   sin       4  3x          k2   6  3x       k2      6  5 2 5   3x  12  k2  x  36  k    k  Z  3x 11  k2  x 11  k 2   12 36 Vậy phương trình cho có nghiệm x  5 2 11 2 k x k 36 36 với k  Z x  c) cos     2 4  x    x      k2      k2  x   cos    cos     2 4  x      k2  x      k2   6 x      12  k2  x   k4    k  Z  x  5  k2  x  5  k4   12 Vậy phương trình cho có nghiệm x   5  k4 x   k 4 6 với k  Z d) 2cos3x  3  cos3 x   x   k 2  k  Z   2  x  k kZ 3  2 x  k 3 với k  Z Vậy phương trình cho có nghiệm e) 3tanx   tanx   x     tanx tan     6   k  k  Z  Vậy phương trình cho có nghiệm x    k với k  Z g) cotx     cotx   cotx      3cotx   cotx    cotx   1   cotx  1    cotx cot  x   k  k  Z  6  x   k Vậy phương trình cho có nghiệm với k  Z Bài Giải phương trình:   sin  x   sinx 4  a) b) sin2 x cos3 x ;   cos 2 x cos  x   6  c) Lời giải   sin  x   sinx 4  a)      2x  x  k2  x   k2    2x    x  k2  3x    k2   4    x   k2   k  Z  x    k 2  12 Vậy phương trình cho có nghiệm x    2  k 2 x  k 12 với k  Z b) sin2x cos3x      cos   x  cos3x  cos3x cos   x  2  2       3x   2x  k2  5x   k2    3x     2x   k2  3x    2x  k2     2   2   x 10  k   k  Z  x    k2   2  x  k x   k 2 10 Vậy phương trình cho có nghiệm với k  Z   cos 2 x cos  x   6  c)    cos  x    cos4 x  3      cos4 x cos  x   2 3       x 2 x   k2  x   k2    x  x    k2  x    k2   3    x   k   k  Z  x    k   18    x   k x  k 18 với k  Z Vậy phương trình cho có nghiệm Bài Dùng đồ thị hàm số y sinx, y cosx để xác định số nghiệm phương trình:  5 5 ;  a) 3sinx  0 khoảng  2     5 5  ;   b) cosx 0 đoạn  2  Lời giải a) Ta có: 3sinx  0  sinx  Đường thẳng y  đồ thị hàm số y sinx khoảng Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng điểm A, B, C, D, E y   5 5  ;    2  vẽ sau: cắt đồ thị hàm số y sinx khoảng  5 5 ;  Vậy phương trình 3sinx  0 có nghiệm khoảng  2  5 5  ;    2      5 5  ;   b) Đường thẳng y 0 (trục Ox ) đồ thị hàm số y cosx đoạn  2  vẽ sau:  5 5    ;  y  cosx y  Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số đoạn điểm M, N, P, Q, I, K  5 5  ;   Vậy phương trình cosx 0 có nghiệm đoạn  2   Bài Số có ánh sáng mặt trời thành phố A vĩ độ 40 Bắc ngày thứ t năm không nhuận cho hàm số   d  t  3sin   t  80    12  182  với t    t 365 (Nguồn: Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020) a) Thành phố A có 12 có ánh sáng mặt trời vào ngày năm? b) Vào ngày năm thành phố A có có ánh sáng mặt trời? c) Vào ngày năm thành phố A có 15 có ánh sáng mặt trời? Lời giải a) Để thành phố A có 12 có ánh sáng mặt trời thì:   3sin   t  80    12 12  182     sin   t  80   0  182     t  80  k  k  Z  182  t  80 182k  k  Z   t 80  182k  k  Z  Do t  Z  t 365 nên ta có: k  Z   0  80  182k 365 k  Z   80  182k 285 k  Z    40 285  k   0;1  k  182  91 Với k 0 t 80  182.0 80 ; Với k 1 t 80  182 1 262 Vậy thành phố A có 12 có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 ngày thứ 262 năm b) Để thành phố A có có ánh sáng mặt trời thì:   3sin   t  80    12 9  182     sin   t  80     182      t  80    k2  k  Z  182  t  80  91  364k  k  Z   t  11  364k  k  Z  Do t  Z  t 365 nên ta có  k Z   0   11  364k 365 k Z   11  364k 376 k  Z    11 94  k 1 k  91  364 Với k 1 t  11  364 1 353 Vậy thành phố A có có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 năm c) Để thành phố A có 15 có ánh sáng mặt trời thì:   3sin   t  80   12 15  182     sin   t  80   1  182      t  80    k2  k  Z  182  t  80 91  364k  k  Z   t 171  364k  k  Z  Do t  Z  t 365 nên ta có:  k Z k Z     171  364k 194 0  171  364k 365 k Z     171 97  k 0   k   182  364 Với k 0 t 171  364.0 171 Vậy thành phố A có 15 có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 năm Bài Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) tổ chức vào mùa xn thường có trị chơi đánh đu Khi người chơi đu nhún đều, đu đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân (Hình 39) Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h  m biểu diễn qua thời gian từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân t  s h d (với t 0 ) hệ thức với   d 3cos   2t  1  3  , ta quy ước d  vị trí cân phía sau lưng người chơi đu d  trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020) Vào thời gian t khoảng cách h m; m ? Lời giải Để khoảng cách h  m từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân m thì:   ∣ 3cos   2t  1  3 3      3c os   2t  1  3 3        3c os   2t  1   3       cos   2t  1  1        cos   2t  1   3       2t  1 k2  2t  6k    2t  3  6k    2t  1   k2   2t 6k     2t 6k     t 3k   k  Z    t 3k  k   0;1; 2; Do t 0, k  Z nên Khi  13  t   ; ; ;  13  [  2 }t   ; 2; ;5; ;8;  2 2  t   2;5;8;  13  t   ;2; ;5; ;8; 2  (giây) khoảng cách h m Vậy Để khoảng cách h  m từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân m thì:     3cos   2t  1  0  3cos   2t  1  0 3  3       cos   2t  1  0   2t  1   k 3      2t  1   k  2t    3k 2 5  2t   3k  t   k  11 17  Do t 0, k  Z nên k   0;1; 2; , t   ; ; ; 4 4   11 17  t   ; ; ; (giây) 4 4  Vậy khoảng cách h 0m D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Nghiệm phương trình sin x 1 là: A x    k 2  x   k B C x k Lời giải  x   k 2 D Chọn D  sin x 1  x   k 2 , k   Câu 2: Nghiệm phương trình sin x  là: A x    k x  B   k 2 C x k Lời giải D x 3  k Chọn B sin x   x  Câu 3:   k 2 , k   Nghiệm phương trình  x   k 2 A sin x  là:  x   k B C x k Lời giải  x   k 2 D Chọn D     x   k 2 x   k 2    6 sin x   sin x sin      k    x     k 2  x  5  k 2  6  Câu 4: Nghiệm phương trình cos x 1 là: A x k  x   k 2 B Chọn C cos x 1  x k 2 , k   Câu 5: Nghiệm phương trình cos x  là: C x k 2 Lời giải  x   k D A x   k B x    k 2 x 3  k C x   k 2 Lời giải D  x   k 2 C Lời giải  x   k 2 D Chọn C cos x   x   k 2 , k   Câu 6: Nghiệm phương trình  x   k 2 A cos x  là:  x   k 2 B Chọn A   cos x   cos x cos  x   k 2 , k   3 Câu 7: Nghiệm phương trình  x   k 2 A cos x  là:  x   k 2 B 2 x   k 2 C Lời giải  x   k D Chọn C cos x  Câu 8: 2 2  cos x cos  x   k 2 , k   3  tan x 0 là:   x   k 2 x   k B C Lời giải Nghiệm phương trình  x   k A  x   k D Chọn C  tan x 0  tan x  Câu 9:   x   k  k   Nghiệm phương trình cot x   là:  x   k 2 A  x   k B C Lời giải x  Chọn C cot x    cot x   x    k  k     k D x    k Câu 10: sin x – là: Nghiệm phương trình   x   k 2 x  k 2 B A  x   k 2 C D x 5  k 2 Lời giải Chọn B   x  k 2  sinx –    x  7  k 2  Câu 11: (k  Z) Tập nghiệm phương trình sin x sin x π π k 2π     S k 2π;  k 2π k   S k 2π;  k   3     A B π   S  k 2π;   k 2π k     C D Lời giải S  k 2π; π  k 2π k   Chọn B  x k 2π x  x  k 2π     x  π  k 2π 3   x π  x  k 2π Ta có sin x sin x  k     2sin  x    0 3  Câu 12: Nghiệm phương trình  7   7  x   k ; x   k ,k  x   k 2 ; x   k 2 , k   24 24 A B C x k ; x   k 2 , k    7 x   k ; x   k , k   24 D Lời giải Chọn A Ta có:   4x        4x  2sin  x    0  sin  x     3 3   Câu 13: Phương trình sin x cos x có nghiệm  k   x 6    k    x   k 2  A     k    k 2 x    k   5 7 k    k 2 x   24  k   x 6    k    x   k 2  B   k 2   x 6    k    x   k 2  D  Lời giải    x   k 2   k    x   k 2  C  Chọn A  k  x     sin x cos x  sin x sin   x     k   2   x   k 2  Câu 14: Giải phương trình tan x  0   x   k  k   A   x   k  k   C  x   k  k   B  x   k  k   D Lời giải Chọn C     x   k  x   k  k   tan x  0  tan x  3 Câu 15: Phương trình có tập nghiệm cos x  5    x   k 2 ; k    B      x   k 2 ; k    D      x   k ; k    A      x   k ; k    C  Lời giải Chọn B Ta có Câu 16: cos x  5π 5π  cos x cos  x   k 2π , k   6 Phương trình cos x  0 có nghiệm A x  B x 2 C Lời giải x  Chọn C  x   k 2  Phương trình 2cos x  0   x   k 2 Vậy nghiệm phương trình , k   cos x  D x 5 Câu 17: Biểu diễn họ nghiệm phương trình sin x 1 đường trịn đơn vị ta điểm? A B C D Lời giải Chọn D   sin x 1  x   k 2  x   k  k   Ta có: Do biểu diễn họ nghiệm phương trình sin x 1 đường tròn đơn vị ta điểm Câu 18: Phương trình sin x sin  có nghiệm x   k , x     k  k   A x   k 2 , x     k 2  k   C B x   k 2 , x    k 2  k   D x   k , x    k  k   Lời giải Chọn C 2 có tập nghiệm Câu 19: Phương trình     x   k 2 ; k    A  B 3    x   k 2 ; k    C  D cos x      x   k ; k         x   k ; k     Lời giải Chọn C cos x   cos x cos  3  3    x   k 2 , k     3   S  x   k 2 ; k     Vậy tập nghiệm phương trình Câu 20: Tập nghiệm phương trình 2sin x  0 7     S    k ,  k , k   S  12  12   A B 7     S    k 2 ,  k 2 , k   S   12  12   C D Lời giải Chọn A  7   k 2 ,  k 2 , k   12   7   k ,  k , k   12  Ta có: 2sin x  0  sin x   sin x sin        x   k 2  ,k Z   x  7  k 2   6    x  12  k  ,k Z  x  7  k  12 7    S    k ,  k , k   12  12  Vậy tập nghiệm phương trình Câu 21: Nghiệm phương trình cos x 0 là:   x   k x   k 2 2 A B   x   k C D x    k 2 Lời giải Chọn A  cos x 0  cos x 0  x   k  k   Câu 22: Với giá trị m phương trình sin x  m 1 có nghiệm là: A m 1 B m 0 C m 1 Lời giải D  m 0 Chọn D Ta có sin x  m 1  sin x m  Vì  sin x 1   m  1   m 0 Vậy để phương trình có nghiệm  m 0 Câu 23: Phương trình lượng giác 3cot x   x   k A 0 có nghiệm là:   x   k x   k 2 3 B C Lời giải D Vô nghiệm Chọn B 3cot x  Ta có Câu 24: 0  cot x      cot x cot    x   k ,  k   3  3 Phương trình lượng giác cos x  0 có nghiệm là:   x   k 2    x  3  k 2 A  3 5   x   k  x   k 2   4    x   3  k 2  x   5  k 2 4 B  C  Lời giải   x   k 2    x     k 2 D  Chọn B cos x  0  cos x  Ta có Câu 25:   3  cos x cos   3    x   k 2 ,  k    tan x  0 có nghiệm là:   x   k 2 x   k B C Lời giải Phương trình lượng giác  x   k A D x    k Chọn A Ta có Câu 26:    tan x  0  tan x   tan x tan    x   k ,  k    3 Phương trình cos x  m 0 vô nghiệm m là: m   A  m  B m  C  m 1 Lời giải D m   Chọn A Ta có cos x  m 0  cos x m Để phương trình có nghiệm  m 1 Vậy m   m  thỏa mãn yêu cầu toán Câu 27: Nghiệm phương trình sin x 1   x   k 2 x   k A B  x   k 2 C Lời giải D x Chọn B    x   k 2  x   k Ta có: sin x 1 Câu 28: Giá trị đặc biệt sau  cos x 1  x   k A  cos x   x   k 2 C Chọn B  cos x 0  x   k B  cos x 0  x   k 2 D Lời giải k