Trang 1/2 UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: Tốn (Thời gian làm 120 phút, khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 02 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Ghi chú: - Thí sinh làm thi (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi (không làm đề thi) I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Cho x y 6, xy 8 Giá trị x y A 16 B 18 C 20 D 24 6 4 Câu Cho x y 1 Giá trị x y x y A -1 B C D 2 Câu Đa thức 3x - 8x + viết dạng tích A (x + 2)(3x + 2) B (x + 2)(3x - 2) C (x - 2)(3x + 2) D (x - 2)(3x - 2) Câu Phân tích đa thức x + 2xy + 6y - thành nhân tử kết A (x+2)(x+3y - 2) B (x+3)(x+3y - 2) C (x+3)(x+2y - 3) D (x+2)(x+2y -2) 2 2 Câu Kết biểu thức P : x x x 2 x 5a b 3b 2a Câu Cho 4a 15ab 3b 0 b 4a Giá trị biểu thức 4a b 4a+b A -1 B C -2 D Câu Phương trình: m(x - 1) = - (m -1)x vô nghiệm 1 A m B m C m D m 1 4 Câu Giá trị lớn biểu thức A x 2x 1 A B C D 3x 1 Câu Kết thực phép tính 3x 3x+2 9x 1 1 x A B C D 3x 2x 3x 3x 1 Câu 10 Rút gọn biểu thức x : ta kết x x x 1 A B x C x D x 1 x Câu 11 Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD BC theo thứ tự M N Biết AB = 6cm, CD = 10cm Độ dài đoạn thẳng MN A 5,5cm B 6,5cm C 7,5cm D 8,5cm A x x 2 B 2x 2x C 2x 2x D Trang 2/2 Câu 12 Cho tam giác ABC có D E nằm cạnh AB, AC cho DE song song với BC CE = 4cm, AC = 6cm, BC = 7,5cm Khi độ dài DE 16 cm A cm B C cm D 2,5 cm 5 Câu 13 Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Trên cạnh AB, AC BM.CN thứ tự lấy điểm M, N cho góc MDN 600 Tỉ số AB2 1 A B C D 16 Câu 14 Cho tam giác ABC cân A có BC = 16cm, đường cao AH = 6cm Đường cao ứng với cạnh bên A cm B 9,6 cm C 10 cm D 12 cm Câu 15 Cho tam giác nhọn ABC có góc C 45 , đường cao BE CF cắt H SAKE AK vng góc với EF (K thuộc EF) Tỉ số SAFH 3 A B C D 4 2 Câu 16 Giải vơ địch bóng đá quốc gia Việt Nam 2022-2023 có 14 đội tham gia Mỗi đội phải thi đấu cới đội lại trận sân nhà trận sân khách Kết thúc mùa giải có tất trận đấu? A 90 B 91 C 180 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,5 điểm) a) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh: p 24 D 182 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y 2y x 11x 29 Câu (3,5 điểm) a) Cho số a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) 9x 2 40 b) Giải phương trình: x x 3 Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), đường thẳng AH cắt hai đường thẳng CD BC M, N a) Chứng minh rằng: tứ giác AEMD hình chữ nhật; b) Chứng minh rằng: ΔCBHCBH đồng dạng với ΔCBHEAH ; c) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF; 1 = + d) Chứng minh rằng: 2 AD AM AN Câu (1,0 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn 19 xy xz 2023 27xz 42xy 23yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A y z x -HẾT Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi không cần giải thích thêm./ (Chú ý: Thí sinh sử dụng máy tính cầm tay) Trang 3/2 PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm có: 03 trang A Một số ý chấm Đáp án dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải cách khác mà tổ chấm cho điểm phần ứng với thang điểm hướng dẫn chấm B Đáp án thang điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm Câu Đáp án C C D C D B B C A 10 B 11 C 12 D 13 A 14 B 15 C 16 D II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,5 điểm) a) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh: p 24 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y 2y x 11x 29 Nội dung a) Ta có p (p 1)(p 1) Do p số nguyên tố lớn nên p số tự nhiên lẻ (p-1) (p+1) hai số chẵn liên tiếp nên tồn số chia hết cho 2, số chia hết cho Suy p (p 1)(p 1) chia hết cho (1) Mặt khác (p 1)p(p 1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Nhưng p số nguyên tố lớn nên p suy (p 1)(p 1) 3 (2) Từ (1) (2) mà (8;3)=1 nên (p 1)(p 1) 24 hay p 24 1,0 1,0 b) y 2y x 11x 29 y 2y x 11x 30 y 1 x x Do (x + 5) (x + 6) số ngun liên tiếp mà có tích số phương nên số phải Nếu (x + 5) = x = -5, y = -1 Nếu (x + 6) = x = -6, y = -1 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) = (-5, -1); (-6, -1) Câu (3,5 điểm) a) Cho số a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b5 c5 5abc a b c b) Giải phương trình: x 9x x 3 40 Nội dung 3 2 a) a b c 3abc a b c a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca 0,5 0,5 0,5 Trang 4/2 a b2 c2 Từ a b c 0 a b c 3abc ab bc ca 3 2 2 2 Ta có a b c a b c 3abc a b c 3 a b5 c5 a b a b b 2c b c c2 a c a 3abc a b c2 a b5 c5 abc ab bc ca 3abc a b2 c a b2 c2 2 a b c abc 3abc a b c a b5 c5 5abc a b c 5 b) Điều kiện: x 3 x 9x x 3 3x 6x 40 x 40 0 x 3 x x2 x2 40 0 x x 0,5 x2 Đặt t ta có phương trình t 6t 40 0 t 10 t 0 x 0,25 t 10 t x2 0,25 Với t 10 10 x 10x+30=0 x (Vô nghiệm) x 0,25 x2 Với t x +4x-12=0 x 16 x 2; x x 0,25 Vậy tập nghiệm phương trình {2;-6} Câu (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N a) Chứng minh rằng: tứ giác AEMD hình chữ nhật; b) Chứng minh rằng: ΔCBHCBH đồng dạng với ΔCBHEAH ; c) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF; 1 = + d) Chứng minh rằng: 2 AD AM AN Nội dung Hình vẽ E A B H F D C M N Trang 5/2 a) Ta có DAM (cùng phụ BAH ) = ABF AB = AD ( gt) BAF = ADM = 900 (ABCD hình vng) ΔCBHADM = ΔCBHBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác DAE = 900 (gt) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Ta có ΔCBHABH ΔCBHFAH (g.g) AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại có HAB (cùng phụ ABH ) = HBC ΔCBHCBH ΔCBHEAH (c.g.c) SΔCBHCBH BC = c) ΔCBHCBH ΔCBHEAH , SΔCBHEAH AE SΔCBHCBH BC = (gt) = nên BC2 = (2AE)2 mà SΔCBHEAH AE BC = 2AE E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) d) Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN = = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC = = = hay AN AB AN MN AN MN 2 2 AD AD CN CM CN + CM MN = =1 + = + = MN MN AM AN MN MN (Pytago) 2 1 AD AD (đpcm) + = AM AN AD AM AN Câu (1,0 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn 19 xy xz 2023 27xz 42xy 23yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A y z x Nội dung 27xz 42xy 23yz xz xy yz xz xy yz A 23 19 4 y z x z x y z y x 23.2x 19.2y 4.2z = 46x 38y 8z = 38x 38y 8x+8z 38 x y x+z 38.2 xy 8.2 xz 4 19 xy xz 4.2023 8092 2023 2023 Vậy Min A = 8092 x y z 23 23 Chú ý: Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa HẾT -Dấu "=" xảy x y z