TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG ĐỀ THI KĐCL VỊNG MƠN TOÁN NĂM HỌC 2022 - 2023 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P + x 2x - ： x + 1 x x - x x - 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P = Câu 2: (3 điểm) a) Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – chia hết cho a2 + b) Tính giá trị biểu thức P = x x 4x 17x với x x 1 x 3x 2x 11 Câu 3: (4 điểm) 2x 1 y a) Cho x, y số hữu tỷ khác thỏa mãn x y 1 Chứng minh M = x y xy bình phương số hữu tỷ b) Tìm số nguyên tố p cho 2p + lập phương số tự nhiên Câu 4: (7 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu 5: (2 điểm) a) Cho n * Chứng minh 2n 3n số phương n chia hết cho 40 b) Tìm số nguyên x y thỏa mãn x2 2y 2xy y Hết -Họ tên: ………………………………Số báo danh: ………… HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤMNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤMN VÀ ĐÁP ÁN CHẤMÁP ÁN CHẤMM Câu Nội dung Điểm 0.5đ ĐKXĐ: x Ta có: P + 1a x 2x - ： x + 1 x x - x x - 1 x2 + x + x2 + 2x ： 2 x 1 x + x + x 1 x + x + x + x - 2x + ： 2 x + x 1 x + = 1b 0.5đ x + x + x 1 x + = x2 + x 1 x2 + x + x x - 2 x - 4 = 0.5đ 0.5đ x = TM x = TM Vậy P = với x 2；4 +) Thực phép chia a3 – 2a2 + 7a – cho a2 + 3, kết : a3 – 2a2 + 7a – = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1) +) Lập luận để phép chia hết 4a - phải chia hết cho a2 + (4a 1)(a 3) (4a 1)(4a 1)( a 3) (vì a Z nên 4a 1 Z ) (16a 1)(a 3) 16(a 3) 49 ( a 3) 49(a 3) 1.0đ 0.5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ +) Tìm a, thử lại kết luận a 2; 2 Ta có 0.5đ x2 + x + Vậy với x ta có P = x x2 + x + =7 Với P = x x + x + = x 1 x - 6x + = 2a 0,25đ x x x x x 3 x x x 1 2 Khi x x x x 1 x 3 x x 3 x 1 x 8 x 0,5 x x x x 3 x 8 x x 8 3x 1 x 21x 2b x x x 21x 8 x 21x x 21 3x 1 x 55 x 21 55 x 21 48 x 3 17 x 21x 8 3 3x 1 x 11 x x 17 x x 3x x 11 6x 3 ( x 0 ) Vậy P = 32 x 16 16 2x y Ta có x y 1 x y y x x y 3xy y x xy x y xy 1 x y xy x y Suy P = 3a 0,25 0,25 0,5 0,75đ 2 xy xy Ta có M = x y xy x y 3xy 3xy 3xy Vì x, y Q nên số hữu tỷ 3b Vậy M bình phương số hữu tỷ Đặt 2p + = a3 (a ≥ 0) Vì p số nguyên tố 2p + = a3 a lẻ Đặt a = 2k + (k N) Khi đó: 2p + = (2k + 1)3 2p = (2k + 1)3 - 2p = 2k(4k2 + 4k + + 2k + + 1) p = k(4k2 + 6k + 3) p k 0,75đ 0,5 0.5đ 0.5đ p 4k + 6k + Do p số nguyên tố, k < 4k2 + 6k + k = Khi : p = 13 (là số nguyên tố) Thử lại: 2.13+1 = 27 = 33 Vậy số nguyên tố cần tìm 13 0.5đ 0.5đ C D I H O E F 0,5đ A K M B ∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM = BCM Mà BCM + MBC = 900 EAM + MBC = 900 AHB = 900 Vậy AE BC Gọi O giao điểm AC BD ∆AHC vng H có HO đường trung tuyến 4b 4c 1 HO AC DM 2 ∆DHM vuông H DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng Gọi I giao điểm AC DF Ta có: DMF = 900 MF DM mà IO DM IO // MF Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF Kẻ IK AB (KAB) IK đường trung bình hình thang ABFD IK AD BF AM BM AB (không đổi) 2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động 0,5đ đoạn thẳng AB 2 * 0,25đ a) Giả sử 2n 1 m , 3n 1 k m, k N m số lẻ m số lẻ 2n m m 1 m 1 4 , Suy : n chẵn, k lẻ Vì k số lẻ nên k 1, k hai số chẵn liên tiếp (3, 8) = nên 2 (1) Từ 3n 1 k 3n k k 1 k 1 8 n 8 Khi chia số phương cho số dư ; ; Ta xét trường hợp: Nếu n chia cho dư 2n + chia cho dư ( vơ lí ) Nếu n chia cho dư 3n + chia cho dư ( vơ lí ) Nếu n chia cho dư 2n + chia cho dư ( vơ lí ) Nếu n chia cho dư 3n + chia cho dư ( vơ lí ) Vì (5, 8) = nên từ (1) (2) suy n chia hết cho 40 b) Ta có 2 x y xy y x y y y x y 1 y y Do x y 0, x, y nên 1 y y 0 y 2 Suy y 1;0;1;2 Với y , PT trở thành x x 0 x 1 Z Với y 0 , PT trở thành x 0 x Z Với y 1 , PT trở thành x x 0 x Z Với y 2 , PT trở thành x x 0 x Z Vậy có cặp x; y thỏa mãn đề 1; 1; 2;2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ