024 đề thi hsg toán 9 huyện cụm 4 2020 2021

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP CỤM CHUYÊN MƠN SỐ NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN Thời gian làm : 120 phút Câu (4 điểm) A 3  84  1 84 số nguyên a) Chứng minh : p p  p  số b) Giả sử số nguyên tố Chứng minh nguyên tố Câu (6 điểm) Giải phương trình sau : a) x  x    x 11 b) x    x 5 x  20 x  22 c)  x  1 x  2 x  x  Câu (4 điểm) 1 1 1 1     2021  2021  2021 2021 2021 b c a  b  c 2021 a) Cho a b c a  b  c Chứng minh rằng: a 1   2 b) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  b  c Tìm giá trị lớn Q abc Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, có đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi I , K hình chiếu điểm D đường thẳng BE , CF Chứng minh : a) BH BE  CH CF BC b) IK / / EF c) Trong tam giác AEF , BDF , CDE có tam giác có diện tích nhỏ diện tích tam giác ABC Câu (1 điểm) Chứng minh : Nếu tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ ĐÁP ÁN Câu A 3  84  1 84 số nguyên 84   84 84   1  1  9    a) Chứng minh  84 A3 2     1    84  3 A3 2  A     A 2  A  A  A  0 81    A  1  A2  A   0  A 1 A2  A    Vậy A nguyên b) Giả sử p p  số nguyên tố Chứng minh p  số nguyên tố Với p 2 : p  6( ktm) Với p 3: p  11, p  29(tm) 2 Với p   p 3k  1; p   3t   3(ktm) Vậy p 3 Câu a) x  x    x 11  11  x  x    x 0  x   x     x   x  0      x 3     x  0 x     x  0  x 1 b) x    3x 5 x  20 x  22 Ta có: x  20 x  22 5  x  x    5  x    2  3x    3x Vậy      3x    x  4  2 x    3x 2 x    3x 5 x  20 x  22 2 x  20 x  20 0  x 2 c)  x  1 x  2 x  x    x  1   x  1 x   x 0 a  x  1 a 1 , phương trình trở thành : Đặt 2a   x  1 a  x 0 ,   x  1   a 2 x   x 2 2 x  2 x  x x   x  0     x     S     Vậy phương trình có tập nghiệm Câu 1 1    a) Ta có : a b c a  b  c (ktm) ab  bc  ca  abc a b c   a  b  c   ab  bc  ca   abc 0    a  b   ab  bc  ca   abc  bc  ac  abc 0   a  b   ab  bc  ca   c  a  b  0   a  b   ab  bc  ca  c  0   a  b   b  a  c   c  a  c   0   a  b   b  c   a  c  0  a  b 0  a  b   b  c 0   b  c  c  a 0  c  a Với a  b : 1 1  2021  2021  2021 2021 2021 2021 a b c a b c 1 1   2021  2021  2021 2021 2021 2021 b b c  b b c 1  2021  2021 c c (luôn đúng) Chứng minh tương tự với b  c, c  a Ta có điều phải chứng minh 1 1 1 b)   2  1  1  1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c b c bc    2  1 1 a 1 b 1 c 1  b 1  c  Tương tự : 2 1 b  1 ,   ,  3  Từ ca  2 ; 1  c 1  a  2 1 c ab 1  a  1  b  1 abc 8 1 a 1 b 1 c 1  a 1  b 1  c 1  abc   Q  8 (3) a b c  Dấu " " xảy 1 Qmax   a b c  Vậy Câu A E F I H K C D B a) Tam giác vuông AEB tam giác vng HFB có góc B chung nên đồng dạng với AB BE   BH BE  AB.BF  1 BH BF Tam giác vuông AFC tam giác vng HEC có C chung nên chúng đồng dạng với   AC CF   CH CF  AC CE  1 CH CE Từ (1) (2) suy BH BE  CH CF  AB.BF  AC.CE  3 Mặt khác dễ thấy tam giác vuông ADB tam giác vuông BFC đồng dạng (góc B chung)  AB BD   AB.BF BC.BD   BC BF  AD DC   AC.CE BD.CD   BC CE Chứng minh tương tự ta có ADC∽ BEC AB BF  AC CE  BC BC  CD  BC    6 Từ (4) (5) suy Từ (3) (6) suy BH BE  CH CF BC  dfcm   AB  FC  AB / / DK  FAH HDK  DK  FC  b) Ta có : (hai góc so le trong) (1) Tứ giác AFHE có AFH  AEH 90  90 180 mà góc vị trí đối nên tứ giác AFHE tứ giác nội tiếp  FAH FEH (2 góc nội tiếp chắn cung FH )  2 Chứng minh tương tự ta có tứ giác IDKH tứ giác nội tiếp  HIK HDK (2 góc nội tiếp chắn cung HK )  3 Từ (1), (2), (3)  FEH HIK mà góc vị trí so le Suy IK / / EF  dfcm  c) Đặt BC a, CA b, AB c, AE x, AF  y , BD z   x, y , z  a    x, y, z  b,0  x, y, z  c  Khi BF c  y, EC b  x, CD a  z Giả sử khơng có tam giác có diện tích nhỏ diện tích tam giác ABC 1 S AEF  S ABC ; S BFD  S ABC ; SCED  S ABC 4 Nghĩa S AEF AE AF xy S BFD BF BD  c  y  z S AEF S BFD SCED   ;    S 64 S AB AC cb S BA BC ca ABC ABC Suy Ta có : ABC SCED CE.CD  b  x   a  z    S ABC CA.CB ba S AEF S BFD SCED xyz  a  z   b  x   c  y   S a 2b c ABC Do : Theo bđt Cơ – si , y c  y x b  x  y  c  y  c   x  b  x  z a  z b2   z  a  z   a2 4 S AEF S BFD SCED xyz  a  z   b  x   c  y    2 S 64 (mâu thuẫn gt) a b c 64 ABC Do hay Câu A B H C  AH     BC BH    AH  BC AB  1, AC  1, BC   2 Kẻ Ta có Áp dụng định lý Pytago tam giác vuông ABH Ta có: AH  BH  AB 2 2 2 Mà AB   AH  BH   AH   BH  AH   3   AH  4 1 3 S ABC  AH BC   2 2 Vậy tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ