8 chuyên đề 8 tứ giác nội tiếp đường tròn

Chuyên đề TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Tứ giác nội tiếp cơng cụ đặc biệt quan trọng tốn đường trịn tốn mà đề khơng đề cập đến đường trịn Các toán tứ giác nội tiếp chuyên đề gồm có: - Tứ giác nội tiếp, tính chất cách nhận biết, bao gồm toán chứng minh tứ giác nội tiếp vận dụng tính chất tứ giác nội tiếp để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau, hai đường thẳng vng góc, hai đường thẳng song song, điểm thẳng hàng,… - Sử dụng hệ thức lượng đường tròn vào tứ giác nội tiếp: Từ điểm thuộc đường tròn suy hệ thức, từ hệ thức chứng minh điểm thuộc đường tròn - Chuyên đề giới thiệu chùm tập có giả thiết gần thường gặp, tốn có tam giác đường cao, tốn có hai tiếp tuyến cát tuyến kẻ từ điểm, tốn có tứ giác nội tiếp giao điểm đường thẳng chứa cạnh đối để gặp toán dạng này, ta nhớ đến bổ đề quen thuộc giúp tìm cách giải Vài nét lịch sử BÀI TỐN NA-PƠ-LÊ-ƠNG Na-pơ-lê-ơng Bơ-na-pác (Napoléon Bonaparte 1769 – 1821), Hồng đế Pháp, khơng giỏi quân kinh tế mà yêu thích tốn học Bài tốn vài tốn khác, gọi tốn Na-pơ-lê-ơng Thực ra, tốn nhà tốn học I-ta-li-a Mac-sê-rô-ni (Lorenzo Mascheroni 1750 – 1800) Na-pô-lê-ông gặp nhà toán chuyến viễn chinh I-ta-li-a giới thiệu “Hình học với compa” Mac-sê-rơ-ni với Viện Hàn lâm khoa học Pa-ri Bài toán chia đường tròn thành bốn phần với compa sau: Cho đường trịn tâm O Chỉ dùng compa, chia đường trịn thành bốn phần (tức dựng hai điểm cho khoảng cách chúng độ dài cạnh hình vng nội tiếp đường trịn) Giải (h.104) Gọi R bán kính đường trịn (O) Dùng compa, dựng điểm A, B, C, D đường tròn cho AB = BC = CD = R Dựng cung đường tròn (A; AC) (D; DB), chúng cắt E Độ dài OE độ dài cạnh hình vng nội tiếp đường trịn Đường tròn (A; OE) cắt (O) M, N Các điểm A, M, D, N chia đường tròn (O) thành bốn phần Chứng minh: EAD cân E, đường trung tuyến EO đường cao nên  OE  AE  OA2  AC  OA2  R   R 2R  OE R I TỨ GIÁC NỘI TIẾP: TÍNH CHẤT VÀ CÁCH NHẬN BIẾT Tứ giác nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh thuộc đường trịn Trong tứ giác nội tiếp, góc đối bù (do góc tứ giác nội tiếp góc ngồi đỉnh đối diện) Một tứ giác nội tiếp có điều kiện sau: - Có điểm cách bốn đỉnh tứ giác (dùng định nghĩa đường tròn); - Có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh nối hai đỉnh cịn lại hai góc (dùng cung chứa góc); - Có hai góc đối bù nhau; - Có góc góc ngồi đỉnh đối diện Ngồi ra, cịn dùng hệ thức để chứng minh tứ giác nội tiếp (xem Mục II Sử dụng hệ thức lượng đường trịn) Ví dụ 85 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự giao điểm đường phân giác tam giác AHB, AHC Chứng minh BIKC tứ giác nội tiếp Giải: (h.105) Xét   I  I  C  BIK C 1  1 A  C I =900 + =900 + 2  2 HI AHB CHA  g.g  , I K giao điểm đường phân giác nên HK tỉ số HI HA   B   3  IHK AHC  c.g c   I  A đồng dạng HK HC , lại có IHK 90 nên     900  C  B   C 900  B  C  1800 BIK C  BIKC tứ 2 Từ (1), (2) (3) suy giác nội tiếp Ví dụ 86 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi O, I, K theo thứ tự giao điểm đường phân giác tam giác ABC, AHB, AHC Gọi D, E theo thứ tự giao điểm AI, AK với BC a) Chứng minh năm điểm D, I, O, K, E thuộc đường trịn b) Tính đường kính đường trịn theo cạnh tam giác ABC Giải: (h.106)         a) Ta có BAE phụ A4 , BEA phụ A3 , mà A3  A4 nên BAE BEA  BAE cân B, đường phân giác BO đường trung trực AE Tương tự CO đường trung trực AD Suy O tâm đường tròn ngoại tiếp ADE    DOE 2 DAE 2.450 900  1   BAE cân B có I thuộc trục đối xứng BO tam giác nên E1  A1 (đối xứng), mà A C  1     (do BAH  ACH ) nên E1 C1 , suy EI // CO Ta lại có CO  AD nên EI  AD , tức  DIE 900 Tương tự  2  DKE 900  3 Từ (1), (2) (3) suy D, I, O, K, E thuộc đường trịn đường kính DE b) DE BE  CD  BC BA  CA  BC Ví dụ 87 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH Gọi Bx, Cy tiếp tuyến đường trịn, D hình chiếu A Bx, E hình chiếu A Cy Gọi I giao điểm AB HD, K giao điểm AC HE Chứng minh rằng: a) Chứng minh AIHK tứ giác nội tiếp b) IK song song với BC Giải: (h.107)     a) Tứ giác AHBD nội tiếp  AHD  ABD , mà C1  ABD (góc nội tiếp góc    tạo tiếp tuyến với dây chắn AB ) nên AHD C1         Tương tự AHE B1 Suy AHD  AHE  BAC C1  B1  BAC 180    IHK  IAK 1800  AIHK tứ giác nội tiếp       b) AIHK tứ giác nội tiếp  I1  AHK , mà AHK B1 nên I1 B1 Suy IK // BC Ví dụ 88 Cho đường trịn (O), dây BC, điểm H nằm B C Đường vng góc với BC H cắt cung lớn BC A Kẻ dây AD song song với BC Kẻ dây DK qua H Kẻ đường kính AE, cắt BC I Kẻ dây KF qua I Gọi M giao điểm AF BC Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O) Giải: (h.108)       Ta có D H1 (vì AD // BC), D  AEK (góc nội tiếp chắn cung AK) nên H1  AEK    IHKE tứ giác nội tiếp  H K1     Ta lại có K1  A1 ( góc nội tiếp chắn cung EF) nên H  A1  AHEM tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc)  AEM  AHM 900  ME tiếp tuyến (O) Ví dụ 89 Cho hình thang ABCD nội tiếp đường trịn (O) có đáy lớn CD khơng qua O Đường vng góc với AD D đường vng góc với BC B cắt E Chứng minh EO song song với AB Giải: (h.109, hình vẽ ứng với điểm O nằm hình thang; trường hợp cịn lại chứng minh tương tự) Gọi K giao điểm AD BC       Ta có DAB  ABC OAB OBC nên hiệu chúng A1 B1     Ta lại có A1 ODA nên B1 ODA  ODKB tứ giác nội tiếp (1)   KBE KDE 900  KBDE tứ giác nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy K, B, O, D, E thuộc đường tròn    KOE KBE 900 Kết hợp với KO  AB suy EO // AB Ví dụ 90 Cho tam giác ABC có AB < AC, điểm D thuộc đường trung tuyến AM Đường thẳng qua D vng góc với BC cắt tia phân giác góc BAC E Gọi H K theo thứ tự hình chiếu E AB AC Chứng minh ba điểm H, D, K thẳng hàng Giải: (h.110) Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB AC I N Do MB = MC nên DI = DN (1) DE  BC , BC // IN nên DE  IN (2) Từ (1) (2) suy EIN cân, EI = EN (3) AE tia phân giác góc A nên EH = EK (4)   Từ (3) (4) ta có EHI EKN (cạnh huyền – cạnh góc vng)  EIH ENK (5)     Ta lại có EIH EDH (tứ giác EHID nội tiếp), ENK bù EDK (tứ giác EDKN nội tiếp)   nên từ (5) suy EDH bù EDK Do H, D, K thẳng hàng  Ví dụ 91 Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B, OAO ' 90 Kẻ cát tuyến C   O  , D   O ' chung CAD, A nằm C D, Kẻ dây AG đường tròn (O’) cắt cung AB đường tròn (O) H (khác A) a) Tính góc GBH b) Gọi I trung điểm GD, K trung điểm CH Tính góc IBK Giải: (h.111) 1 AO ' B   AO ' O G a) (cùng ) 1 AOB BHG  ACB AOO ' (ACBH nội tiếp) = (cùng )      Nên G1  BGH  AO ' O  AOO ' 90 , Vậy GBH 90    b) C1  A1 D1    BHC BGD  g g  BHC BAC (góc nội tiếp) = BGD (ABGD nội tiếp) nên    HBK GBI (BK BI trung tuyến tương ứng)        HBK  HBI GBI  HBI  IBK GBH 0   Ta lại có GBH 90 (câu a) nên IBK 90  Ví dụ 92 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B, OAO ' 90 Kẻ cát tuyến C   O  , D   O ' chung CAD, Đường vng góc với O’A A cắt BC M Đường vng góc với OA A cắt BD N Chứng minh rằng: a) A, M, B, N thuộc đường tròn b) MN // CD Giải: (h.112, hình vẽ ứng với A nằm C D; trường hợp lại tương tự) a) Theo liên hệ góc tạo tiếp tuyến với dây góc nội tiếp, ta có: A C  , A D        1 nên MBN  A1  A2 CBD  C  D 180  AMBN tứ giác nội tiếp   b) Tứ giác AMBN nội tiếp  N1  A2     Ta lại có A2 D nên N1 D Suy MN // CD Ví dụ 93 Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Kẻ cát tuyến ABC, ADE với đường tròn, B nằm A C, D nằm A E Gọi F giao điểm (khác A) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, ACD a) Gọi H K theo thứ tự trung điểm BC DE Chứng minh tứ giác AHFK nội tiếp b) Tính góc AFO Giải: (h.113)   a) ABFE tứ giác nội tiếp  B1 E   ADFC tứ giác nội tiếp  D1 C BCF EDF  g g  Suy , mà FH FK đường trung tuyến tương ứng nên BHF EKF   AHFK tứ giác nội tiếp   b) AHFK tứ giác nội tiếp, AHOK tứ giác nội tiếp (vì AHO  AKO 90 ) nên A, H,  O, F, K thuộc đường trịn đường kính AO Suy AFO 90  O  O cắt A B Kẻ tiếp tuyến   CD, C   O  , D   O B chung gần CD so với A Đặt BCD  , BDC  Ví dụ 94 Cho hai đường trịn  O vng góc với OB B Gọi I giao điểm Kẻ dây BE đường trịn   CB DE Tính BID BAI Giải: (h.114)   ABE  C (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến với dây) D (góc nội tiếp)  ACDI tứ giác nội tiếp     BID CAD  A1  A   C  D    1        Ta có: A3 C1 ( ACDI nội tiếp) nên BAI  A2  A3 D1  C1     O  đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường Ví dụ 95 Cho nửa đường tròn tròn, kẻ tiếp tuyến d Kẻ hai đường thẳng song song AA ' BB ' bất kì, cắt d theo thứ tự D E Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính DE Giải:(h.115) Gọi M trung điểm DE Kẻ MH  AB Ta chứng minh MH MD ME cách chứng minh  DHE 90 Giả sử M nằm C E , trường hợp khác tương tự OCMH tứ giác nội tiếp    CHO CMO  1 OM đường trung bình hình thang ADEB    OM // BE  CMO CEB  2     Từ (1) (2) suy CHO CEB  CHBE tứ giác nội tiếp  CEH B1   Tương tự CDH  A1        Suy CEH  CDH B1  A1 90  DHE 90 Tam giác DHE vuông H có HM trung tuyến nên HM MD ME Đường trịn đường kính DE có tâm M , lại có AB  MH H nên AB tiếp tuyến đường trịn Ví dụ 96 Cho tam giác ABC , tia phân giác góc B C cắt I Gọi H hình chiếu C BI , K hình chiếu B CI , D hình chiếu I BC Gọi M trung điểm BC Chứng minh bốn điểm D, K , H , M thuộc đường tròn Giải: (h.116 hỉnh vẽ ứng với AB  AC , trường hợp khác tương tự) BHC vng H có HM đường trung tuyến  MBH cân M  2 B   ABC M 1  1   BKID tứ giác nội tiếp  K1 B1   BKHC tứ giác nội tiếp  K B1      DKH  ABC Suy K1  K 2 B1  ABC tức  2   Từ (1) (2) suy M DKH  DHKM tứ giác nội tiếp  O  tiếp xúc với AB B Ví dụ 97 Cho tam giác ABC cân A Đường tròn tiếp xúc với AC C Gọi D điểm thuộc cung nhỏ BC   BD   CD  Gọi E giao điểm CD AO Đường thẳng qua E song song với BC cắt AB M Chứng minh MD tiếp tuyến đường tròn  O  Giải:(h.117)     ME / / BC  EMB CBx mà CBx CDB (góc tạo tiếp tuyến với dây góc nội tiếp)   Nên EMB CDB  EMBD tứ giác nội tiếp (1)   EMBO có OEM  OBM 90  90 180 nên tứ giác nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy năm điểm E , M , B, O, D thuộc đường tròn    ODM OEM 90  O Vậy MD tiếp tuyến Ví dụ 98 Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm I thuộc đường cao AD Gọi H , K theo thứ tự hình chiếu I AB, AC Gọi E giao điểm BI DK Chứng minh I giao điểm đường phân giác tam giác DHE Giải: (h.118) Tứ giác AHIK hình vng nên H đối xứng với K qua AD  D  , H  K   D 1 Tứ giác BHID nội tiếp  D  D   ABDE  B 1 nội tiếp  AEB  ADB 90   Do đó, A, H , I , E , K thuộc đường tròn đường kính AI  K1 H   Vậy H1 H     Tam giác DHE có D1 D2 , H1 H nên I giao điểm đường phân giác Ví dụ 99 Cho đường tròn  O Đường tròn  O ' qua  O cắt đường tròn  O  O ' Vẽ dây BD đường A B Vẽ đường kính OC đường tròn tròn  O tiếp tuyến đường tròn đường tròn  O đường tròn  O '  O ' Gọi giao điểm thứ hai CD với theo thứ tự H E Chứng minh rằng: a) EC tia phân giác góc AEB ; b) AE song song với HB ; c) AH EH Giải: (h.119) a) A đối xứng với B qua  CB   E  E   CA       b) Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có: E D1  B1 , H1 B2  C1  B  2, B  C 1  O , BC tiếp tuyến  O  nên D Ta lại có BD tiếp tuyến       Suy E H1 Ta lại có E1 E (câu a) nên E1 H1  AE / /HB  O AEBI hình c) Do AE / /HB (câu b), gọi I giao điểm BH thang cân   I EBH (1)      AHI ADB ( ADBH nội tiếp)  O1 E1 H1 Từ (1) (2) suy AHI EHB (g.g)  (2) AH AI  1 EH EB Vậy AH EH  O  , BC a, AC b, AB c Gọi Ví dụ 100 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn d tiếp tuyến A đường tròn  O  Lấy điểm D thuộc cung BC không chứa A cho tia DB DC cắt d , gọi giao điểm theo thứ tự M N 1  Tính tổng AM AN theo a, b, c Giải: (h.120)   Đặt AM m, AN n Ta có A1 C1 (cùng nửa số đo cung AB ) Để tạo tam   giác đồng dạng với AMB , ta lấy I BC cho CAI M CAI AMB (g.g)