Bài TỨ GIÁC NỘI TIẾP A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Định nghĩa Tứ giác nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) đường tròn (O) gọi ngoại tiếp tứ giác Định lí: Tứ giác nội tiếp đường trịn tổng số đo hai góc đối 180 Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tổng hai góc đối 180 Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh khơng kề với Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm O cố định Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh nối hai đỉnh cịn lại với góc Chú ý Trong hình tứ giác học hình vng, hình chữ nhật, hình thang cân tứ giác nội tiếp đường tròn B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tính số đo góc chứng minh tứ giác nội tiếp Sử dụng định lý điều kiện tứ giác nội tiếp Ví dụ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm M Biết DAB 80 , DAM 30 BMC 70 Tính số đo góc MAB , BCM BCD Lời giải Ta DAB DAM MAB có MAB DAB DAM 80 30 50 180 BMC BCM 55 Do tam giác CBM cân M nên Do tứ giác ABCD nội tiếp nên BCD 180 DAB 100 Ví dụ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , AB CD cắt E , BC AD cắt F Cho biết BEC 40 , CFD 20 Tính số đo góc tứ giác Lời giải 1 BEC sñ AD sñ BC DFC sñ AB sđ DC 2 Ta có , 1 sñ DC sñ AD sñ AB sñ BC 60 2 Suy sñ BAD sñ BCD 60 DCB DAB 60 Hay Mà tứ giác ABCD nội tiếp nên DCB DAB 180 Do DCB 120 , DAB 60 Tương tự ta suy ABC 80 , ADC 100 Ví dụ Trên đường trịn (O) có cung AB , S điểm cung Trên dây AB lấy hai điểm E , H Các đường thẳng SE , SH cắt đường tròn theo thứ tự C , D Chứng minh rằng: a) SHA SCD b) Tứ giác EHCD nội tiếp Lời giải SCD sđ SD a) Ta có 1 sñ BD sñ BD SHA sñ SA sñ SB sñ SD 2 SCD SA SB Do SHA Theo câu ta có SHA SCD mà SHA DHE 180 nên ECD DHE 180 Suy tứ giác EHCD nội tiếp Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm cung nhỏ BC N điểm thuộc cung nhỏ AB AM , MN cắt BC D, E Chứng minh tứ giác ADEN nội tiếp Lời giải ANE sđ AM Ta có 1 ADB sñ AB sñCM sñ BM sñ AB sñ AM 2 MB MC Do ANM ADE 180 , suy tứ giác ADEN nội tiếp Dạng 2: Khai thác tính chất tứ giác nội tiếp Sử dụng tính chất tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp hay góc chắn cung… Ví dụ Cho đường trịn tâm O đường kính AB 2 R điểm C thuộc đường trịn ( C khác A, B ) Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B, C ) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E , tia AC cắt BE F Chứng minh b) CFD OCB a) FCDE nội tiếp c) DA DE DB DC Lời giải a) Ta có BCF AEF 90 suy tứ giác FCDE nội tiếp Do tứ giác FCDE nội tiếp nên CFD CED Mà CED CBA OCB , CFD OCB Ta có ADC EDB DAC DBE (cùng chắn cung EC ) Suy ra, hai tam giác CDA EDB đồng dạng (g-g), nên DA DE DB DC Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD, CE cắt H Chứng minh a) Các tứ giác ADHE BCDE nội tiếp b) AE AB AD AC c) OA DE Lời giải a) Ta có ADH AEH 90 hay ADH AEH 180 Suy tứ giác ADHE nội tiếp Và BCDE có hai góc kề nhìn cạnh cịn lại góc nên nội tiếp Xét hai tam giác vng ADB AEC có Aˆ góc chung, chúng đồng dạng Suy AE AB AD AC Vẽ tiếp tuyến Ax với đường trịn (O) ta có xAB ACB AED Suy xA ED , mà OA Ax hay OA DE Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE , CF cắt H cắt đường tròn (O) M , N , P Chứng minh a) Tứ giác CEHD nội tiếp b) Bốn điểm B, C , E , F thuộc đường tròn c) AE AC AH AD AD BC BE AC d) H , M đối xứng qua BC Lời giải a) Ta có CEH HDC 90 suy tứ giác CEHD có tổng hai góc đối 180 nên nội tiếp Ta có CEB CFB 90 suy tứ giác BCEF nội tiếp Do hai tam giác vuông AEB AFC đồng dạng (g-g) nên AE AC AH AD AD BC BE AC S ABC Ta có Ta có ADB AEB 90 nên tứ giác ABDE nội tiếp.Do CAM NBC (cùng chắn cung ED ) nên CBM CAM NBC Suy tam giác HBM cân B hay H , M đối xứng qua BC Ví dụ Cho tam giác ABC cân A đường cao AD, BE cắt H Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh a) Tứ giác CEHD nội tiếp b) Bốn điểm A, E , B, D thuộc đường tròn ED BC c) d) DE tiếp tuyến đường tròn ( I ) Lời giải a) Ta có CEH HDC 90 suy tứ giác CEHD có CEH HDC 180 nên nội tiếp Ta có BEA ADB 90 suy tứ giác AEDB nội tiếp Ta có tam giác BEC vuông E D trung điểm ED BC BC suy Ta có EIH 2 EIH CAB Do tứ giác ABDE nội tiếp suy ABE ADE Mà CAB ABE 90 EIH ADE 90 Suy IE DE hay DE tiếp tuyến đường tròn ( I ) C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho tam giác ABC nhọn đường cao BM , CN cắt H Chứng minh AMHN BNMC tứ giác nội tiếp Lời giải Ta có AMB ANC 90 suy AMH ANH 180 hay tứ giác AMHN nội tiếp Và BNMC có AMB ANC 90 nên nội tiếp Bài Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đường tròn ( AM AN ) Gọi I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn ( E trung điểm MN ) Chứng minh a) Bốn điểm A, O, E , C thuộc đường tròn b) AOC BIC c) BI song song với MN Lời giải a) Ta có E trung điểm đoạn MN nên OE AN , AC tiếp tuyến (O) nên OC AC Do AEO ACO 180 hay tứ giác AEOC nội tiếp Vì AB, AC tiếp tuyến (O) nên AOC BOC sñ BC BIC 2 hay AOC BIC Do tứ giác AEOC nội tiếp nên AEC AOC , mà theo câu lại có AOC BIC suy BIC AEC Do BI song song với MN Bài Cho đường tròn (O, R ) điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MNP với đường tròn Gọi K trung điểm NP , kẻ AC MB, BD MA Gọi H giao điểm AC BD , I giao điểm OM AB Chứng minh a) Bốn điểm A, O, B, M thuộc đường tròn b) Năm điểm O, K , A, M , B thuộc đường tròn c) OI OM R d) AOHB hình thoi e) O, H , M thẳng hàng Lời giải a) Ta có MA, MB tiếp tuyến (O) nên OA MA , OBM 180 hay OAMB nội tiếp OB MB Suy OAM Ta có điểm A, K , B nhìn OM góc vng nên năm điểm O, K , A, M , B thuộc đường trịn Tam giác OAM vng A AI đường cao nên OI OM OA2 R Ta có AC OB vng góc với MC Tương tự BH OA nên tứ giác AOBH hình bình hành Hơn nữa, OA OB nên AOHB hình thoi Ta có HI AB AOHB hình thoi MO AB nên O, H , M thẳng hàng Bài Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM , AN Một đường thẳng d qua A cắt (O) hai điểm B, C ( AB AC , d không qua O ) Chứng minh a) AMON nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AN AB AC Tính độ dài BC AB 4 cm, AN 6 cm c) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai T Chứng minh MT AC Lời giải a) Ta có AM , AN tiếp tuyến (O) nên AM OM , AN OM Do ANO ANO 180 hay tứ giác AMON nội tiếp đường tròn Xét hai tam giác ANB ACN có A góc chung, ANB ACN (do chắn cung BN ) Do AN AC AN AB AC hai tam giác ANB ACN đồng dạng Suy AB AN Do AN AB AC suy AC 9 Do BC AC AB 5 Ta có điểm I , M , N nhìn OA góc 90 nên năm điểm O, I , M , A, N nằm đường tròn suy AIN AMN Lại có MTN AMN hay AIN MTN suy MT AC - HẾT -