Chuyên đề 20 tứ giác nội tiếp

111Equation Chapter Section CHUYÊN ĐỀ 20: TỨ GIÁC NỘI TIẾP A KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm *Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn B A O C D Tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Định lý - Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện 180 0 - Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đường tròn Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng số đo hai góc đối 180 tứ giác nội tiếp đường trịn - Tứ giác có góc ngồi đỉnh với góc đỉnh đối tứ giác nội tiếp đường trịn - Tứ giác có đỉnh cách điểm mà ta xác định được, điểm tâm đường trịn ngoại tiếp - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau, hai đỉnh nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc  tứ giác nội tiếp đường trịn Một số tốn hay khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp - Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn - Chứng minh đường tròn qua điểm cố định - Chứng minh quan hệ đại lượng - Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn để tìm quỹ tích điểm - Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình B CÁC DẠNG BÀI TẬP Ví dụ Cho tam giác ABC , đường cao BB ', CC ' Chứng minh tứ giác BCB ' C ' nội tiếp Giải: A B' C' B O C 0   Ta có: BB '  AC ( gt )  BB ' C 90 ; CC '  AB ( gt )  BC ' C 90  B ', C ' nhìn cạnh BC góc vng  B ', C ' nằm đường trịn đường kính BC Hay tứ giác BC ' B ' C nội tiếp đường trịn đường kính BC Ví dụ 2:Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), đường cao BB ', CC ' a) Chứng minh tứ giác BCB ' C ' nội tiếp b) Tia AO cắt Giải:  O D cắt B ' C ' I Chứng minh tứ giác BDIC ' nội tiếp A I B' C' O C B D a) Ví dụ   b) Từ câu a  BCB '  BC ' B ' 180 (tổng hai góc tứ giác nội tiếp)   Mà : BCB ' BDA (hai góc nội tiếp chắn cung AB )   ' I 1800   BDI  BC Tứ giác BDIC ' nội tiếp đường trịn (tổng số đo hai góc đối tứ giác 180 ) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông A, điểm E thuộc BC, kẻ hai trung trực AB, AC gặp I Trung trực AE cắt hai trung trực F, K Chứng minh điểm A, E , F , I , K nằm đường tròn Giải: K A C F H E I B Chứng minh điểm A,E,F,I,K nằm đường tròn (1)  chứng minh tứ A, K , I )   giác nội tiếp AKIE AKIF (có điểm chung IB IC A 900 Thật vậy, từ giả thiết  I  BC   Vì IK trung trực AC , KF trung trực AE     KA KC KE  KAI KEI (cùng KCE )      Tứ giác AKIE nội tiếp  3 ta lại có K1 K I1 I (các góc nội tiếp chắn cung tính chất đường trung trực)   Hay K1 I1  AKIF tứ giác nội tiếp (4) Từ (3) (4) suy điều phải chứng minh Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD  AB / /CD, AB  CD  có C D 60 , CD 2 AD Chứng minh bốn điểm A, B, C , D thuộc đường tròn B A C I D  IC  AB  ICAB  IC / / AB  BC  AI  1  Gọi I trung điểm CD, ta có hình bình hành Tương tự AD BI   ABCD hình thang có C D 60 nên ABCD hình thang cân (3) Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ICB, IAD hay IA IB IC ID hay bốn điểm A, B, C , D thuộc đường trịn Ví dụ Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M , N , R, S hình chiếu O AB, BC , CD, DA Chứng minh bốn điểm M , N , R, S thuộc đường tròn B M A S N R D C Do ABCD hình thoi nên O trung điểm AC , BD; AC , BD phân giác góc A, B, C , D nên MAO SAO NCO PDO  OM ON OP OQ hay điểm M , N , R, S thuộc đường trịn Ví dụ Cho tam giác ABC có đường cao BH , CK Chứng minh B, K , H , C nằm đường trịn Xác định tâm đường trịn A K H C I B Gọi I trung điểm CB, CHB, CKB vuông H , K nên IC IB IK IH nên B, K , H , C nằm đường trịn tâm I Ví dụ Cho đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C), AE cắt CD F Chứng minh BEFI tứ giác nội tiếp C E F A I O B D Tứ giác BEFI có BIF 90 BEF BEA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) Đề từ đến 10 O Bài Cho đường trịn   điểm A nằm ngồi đường tròn Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm thứ hai B C ( AB  AC ) Qua A vẽ đường thẳng không AB  AE  Đường thẳng vng góc với qua O cắt đường tròn (O) hai điểm D E  AB A cắt CE F M giao điểm thứ hai FB với đường tròn (O) Chứng minh DM vng góc với AC Bài Cho ABC cân A nội tiếp (O) Trên tia đối tia AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM CN Chứng minh tứ giác AMNO nội tiếp Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp đường tròn Bài (Bài tốn đường trịn Euler) Chứng minh rằng, tam giác bất kỳ, ba trung diểm cạnh, ba chân đường cao, ba trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh đường tròn Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm C cố định đường kính (C khác O) Điểm M chuyển động đường trịn Đường vng góc với AB C cắt MA, MB theo thứ tự E F Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm cố định khác A AB  AC  , điểm D di động cạnh BC Vẽ Bài Cho tam giác ABC nhọn  DE  AB, DF  AC Xác định vị trí điểm D để: a) EF có độ dài nhỏ b) EF có độ dài lớn Bài Cho hình vng ABCD, tâm O Một đường thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD, BC M N Trên CD lấy điểm K cho DK DM Gọi H hình chiếu K xy Tìm quỹ tích điểm H Bài Chứng minh tứ giác nội tiếp, tích hai đường chéo tổng tích hai cặp cạnh đối Bài Từ điểm A ngồi đường trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Lấy điểm D nằm B C Qua D vẽ đường thẳng vng góc với OD cắt AB, AC E F Khi điểm D di động BC, chứng minh đường trịn (AEF) ln qua điểm cố định khác A Bài 10 Cho hình bình hành ABCD Đường phân giác góc BAD cắt BC , CD M, N Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp CNM Chứng minh tứ giác BCID nội tiếp Đáp án đến 10 Bài Giải: M B O A C D E F  Ta có BEC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)   BEF 900 (hai góc kề bù)    BAF 900  BAF  BEF 1800 suy tứ giác ABEF tứ giác nội tiếp    AFB  AEB (hai góc nội tiếp chắn BD ) Mà   AFB BMD cặp góc so le  AF / / MD Lại có AF  AC (gt)  DM  AC Bài Giải: M A O B C N   Ta có: ABC cân A O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  A1  A2      AOC cân O (vì OA OC )  A2 C1 nên A1  A2 C1 0       Mà A1  OAM 180 C1  OCN 180  AOM OCN (chứng minh trên)   AM CN (giả thiết)  OAM OCN (c.g c)  AMO CNO hay AMO  ANO  Tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề M N nhìn cạnh OA góc)