1 chuyên đề 1 tam giác tứ giác đa giác

Chuyên đề TAM GIÁC – TỨ GIÁC – ĐA GIÁC TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Các hình tam giác, tứ giác biết đến từ lớp Với kiến thức hình học lớp 7, lớp 8, phát nhiều tính chất thú vị độ dài, góc, tính song song, vng góc, thẳng hàng, … từ hình tưởng đơn giản Các toán chuyên đề gồm đủ dạng như: tính tốn, chứng minh, dựng hình, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Chúng thường đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ, điều mang đến cho nhiều cảm hứng lợi ích giải tốn Bài tốn vui Ở CỬA HÀNG ĐỒ DA Do có khách hàng, ông chủ cửa hàng đồ da nghĩ cách quảng cáo khéo léo Ông treo hai miếng da trước cửa hàng (h.1) miếng da bên trái có hình tam giác (h.1a), miếng da bên phải hình trịn có lỗ hổng mà đặt ngược da bên trái xếp vào lỗ hổng vừa khít (h.1b) Bên cạnh hai da, ông chủ cửa hàng đặt bảng ghi dòng chữ: “Quý khách cắt miếng da bên trái thành ba mảnh a) b) Hình ghép kín lỗ hổng da bên phải (mà khơng phải lật ngược) mua bất cửa thứ hàng cửa hàng phải trả nửa tiền” Ngay lập tức, có nhiều khách hàng đến cửa hàng có người làm Còn bạn, bạn đưa cách làm Theo Xem Lơi-dơ (Sam Loyd, Mỹ) Giải Các tam giác ABC A ' B ' C ' muốn đặt trùng khít ABC phải lật lại (đưa mặt xuống dưới, đưa mặt lên trên) A' A D B E' E H a) C Hình C' D' 3' 2' b) 1' H' B' Nhưng hai hình tam giác cân (tổng qt, hình có trục đối xứng) khơng cần lật lại hình trùng khớp với hình Do đó, ta làm sau: Ở miếng da hình tam giác (h.2a), gọi H hình chiếu A BC , gọi D E theo thứ tự trung điểm AB AC Cắt miếng da theo HD HE , miếng da chia thành ba mảnh: mảnh tam giác cân DBH , mảnh tam giác cân EHC , mảnh tứ giác ADHE (gồm hai tam giác cân ADH AEH ) Không cần lật lại, ta ghép được: - Mảnh trùng khít phần 1’ ( D trùng D ' , B trùng H ' , H trùng B ' ) - Mảnh trùng khít phần 2’ ( E trùng E ' , H trùng C ' , C trùng H ' ) - Mảnh trùng khít phần 3’ ( A trùng H ' , D trùng D ' , H trùng A ' , E trùng E ' ) I TAM GIÁC A  Ví dụ Cho tam giác ABC vng A , B 60 , điểm M thuộc cạnh BC với điểm A chia chu vi tam giác ABC thành hai phần (tức AB  BM  AC  CM ) Tính góc AMB Giải:(h.3) 0    Kẻ AH  BC Đặt BH 1 Do B 60 nên BAH C 30 Áp dụng bổ đề: Trong tam giác vuông có góc nhọn 30 , cạnh đối diện B H M C Hình với góc nửa cạnh huyền vào tam giác vuông ABH , ABC , AHC ta AB 2 BH 2 , BC 2 AB 4 , AC 2 AH 2 2 Áp dụng định lí Py – ta – go vào AHB , ta có AH  AB  BH 2  3  AH   AC 2 AH 2 Chu vi ABC AB  BC  CA 2   6     AB  BM   : 3   BM 3   AB 3   1   HM BM  BH 1     AH 0   Tam giác AHM vuông cân nên AMH 45 , tức AMB 45 II TỨ GIÁC Các tứ giác nghiên cứu chuyên đề tứ giác lồi, chúng có tính chất: tổng góc 360 Cần nắm vững định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác đặc biệt: hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng A  Ví dụ Cho tứ giác ABCD có AB BC  AD , A 80  B , C 40 Tính góc B D Giải: (h.4)   1800  800 : 500 D ADB cân A , A 80 nên 1 H C D   K Hình Kẻ AH  BD , BK  CD Ta có K H 90   BC  AD (giả thiết), C  A1 40 nên CKB AHD (cạnh huyền – góc nhọn)  BK DH HB BK  BD 0 0     Tam giác vuông BKD có nên D2 30 Suy D D1  D2 50  30 80 Do  3600  800  800  400 1600 B     A Ví dụ (Bổ đề nhận biết hai đường chéo vng góc) Cho tứ giác ABCD có tổng bình phương cạnh đối 2 2 ( AB  CD  AD  BC ) Chứng minh AC vng góc với BD Giải:(h.5) Giả sử AC khơng vng góc với BD Kẻ AH  BD , CK  BD , giả sửa H bằm B K Từ giả thiết suy AB  AD BC  CD B K Hình   AB  AH    AD  AH   BC  CK    CD  CK  D H C  HB  HD BK  DK  HB  BK HD  DK Đẳng thức sai, vế trái âm, vế phải dương Vậy AC vng góc với BD Lưu ý: Bổ đề trường hợp điểm C nằm đoạn thẳng BD Chứng minh tương tự Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A , đường trung tuyến BE Đường thẳng qua A vng góc với BE cắt BC K Chứng minh BK 2 KC Giải: (h.6) A Kẻ AH  BC , cắt BE G Ta có G trực tâm ABK nên KG  AB Ta lại có CA  AB nên KG // CA E Gọi I trung điểm BG Do G trọng tâm ABC G nên BI IG GE  M  BC  Do IM // GK // EC nên Kẻ IM // GK BM MK KC (tính chất đường song song cách đều) Vậy BK 2 KC Ví dụ Cho tam giác ABC Ở phía ngồi tam giác B H C K Hình  1200 ABC , vẽ tam giác ABD , ACE tam giác cân BCF có F a) Gọi I điểm đối xứng với F qua BC , gọi K điểm đối xứng với I qua DE Chứng minh tam  giác DIE cân có I 120 K b) Tam giác DIK tam giác gì? c) Chứng minh AKIF hình bình hành E AF vng góc với DE Giải: (h.7 hình vẽ chứng minh ứng với A ABC  300 ACB  300 D , ; trường hợp khác tương tự) a) I đối xứng với F qua BC  BI  BF , I  B  300 B B C 1 Hình F    DBI  ABF 600  B  DBI ABF  c.g c  DBI ABF có DB  AB , , BI BF ,  , DI  AF    1  I F Tương tự I  AFC , EI  AF Suy DI EI   AFC BFC  I  I F 1200     DIE 3600  I  I  BIC 3600   1200  1200   1  2  2  suy DIE cân có I 120 0   b) DIE cân có I 120 nên IDE 30 K đối xứng với I qua DE nên DK DI   IDK 2 IDE 2.300 600 Suy DIK Từ  3 c) DIK   IK ID mà DI  AF nên IK  AF DAK DBI  c.g c   AK BI mà BI IF nên AK IF  4  3   suy AKIF hình bình hành  AK // IK Từ Ta lại có IK  DE nên AF  DE Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi M , N theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AC , AB Đường thẳng MN cắt AH I cắt CB E Gọi O  D  AE  Chứng minh rằng: trung điểm BC Kẻ HD vng góc với AE a) I trực tâm tam giác AOE A  b) BDC 90 D Giải: (h.8) M a) Tứ giác AMHN hình chữ nhật nên I   AHN  M N AHN B   (cùng phụ H1 Ta lại có 1 C  B    M ) E B H O nên Hình A  ACB   OA  OC Do nên   A B   ACB 900  1   suy M 1 Từ , suy EM  OA Tam giác AOE có EM  OA nên I trực tâm b) Từ câu a), suy OI  AD A  3 ADH vuông D có DI đường trung tuyến nên  4 IA ID α  3   suy OI đường trung trực AD , Từ OA OD  Tam giác BDC có OD OA OB nên BDC 90 F D E B Hình C  Ví dụ Cho tam giác ABC cân A có A   60 Trên cạnh AB lấy điểm D cho CD CB Gọi điểm E đối xứng với B qua AC Gọi F giao điểm DE AC a) Chứng minh BFEC hình thoi b) Tính góc hình thoi theo  Giải:(h.9)  1 a) Do E đối xứng với B qua AC nên EC BC EF BF   Để chứng minh BFEC hình thoi, ta chứng minh EC EF Đặt ABC  ACB    2 180 Gọi Cx tia đối tia CE     2 Do E đối xứng với B qua AC nên C1  ACB  , suy C3 180  2     3 CBD cân có góc đáy CBD  nên C2 180        3 suy C C nên DCx  4 2 Từ    5 Ta có CD CB CE nên DCE cân C , suy DCx 2CED        C     suy CED  Tam giác ECF có E Từ ,  nên F1  , suy C1 E1 ,  6 EC EF  1   suy BC EC EF BF nên tứ giác BFEC hình thoi Từ     b) Hình thoi BFEC có CEF  nên CBF  , BFE BCE 180   Ví dụ Tính độ dài cạnh hình vng ABCD , biết có điểm M nằm hình vng thỏa mãn MB 1cm , MA MC  5cm Giải: (h.10)   MAB MCB  c.c.c   MBA MBC 450 Kẻ ME  AB  E  AB  , suy ME EB   2 2   2     2  2 D C Hình 10  2 AB  AE  EB  suy M  AE MA  ME   1 Từ  1 B MEB vuông cân E nên MB   cm  2 AEM vuông E  AE   cm  E A   2  cm  2 A Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh 1, điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CD, DA Tính chu vi nhỏ tứ giác EFGH Giải (h 11) E n B m b a F M c d D Hình 11 G C Đặt EH a, EF b, FG c, GH d , AH m, AE n Ta có a m  n  m  n  2  a mn  a  AH  AE Tương tự ta có b BE  BF , c CF  CG, d DG  DH a  b  c  d   AB  BC  CD  DA 4 Suy   a  b  c  d 2 Chu vi nhỏ tứ giác EGH 2 E, F, G, H trung điểm cạnh hình vng ABCD III ĐA GIÁC Các đa giác nghiên cứu chuyên đề đa giác lồi, chúng có tính chất: tổng góc  n   1800 đa giác n cạnh Đa giác đa giác có cạnh góc Mỗi góc đa giác n  n   1800 n cạnh Ví dụ 10 Tìm giá trị n cho đa giác n cạnh, n  cạnh, n  cạnh, n  cạnh có số đo góc số nguyên độ Giải:  n   180  n   180n  360n  n 3 n Ta có: số nguyên nên Do 360 2 nên 360 có 24 ước tự nhiên, có 22 ước tự nhiên khác : 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 Trong số trên, có bốn số tự nhiên liên tiếp 3, 4, 5, Vậy giá trị phải tìm n (các đa giác có 3, 4, 5, cạnh có số đo góc 60o ,90o ,108o ,120 o ) BÀI TẬP Tam giác Cho tam giác ABC vuông A, AB  AC  AB Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD  AB Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE  AD Gọi I giao điểm BD CE Tính góc CID Tứ giác – Hình thang o o  o   Cho tứ giác ABCD có A 60 , AB CD, B 75 , D 90 Gọi G giao điểm BC AD, E giao điểm tia phân giác góc A với BC Chứng minh rằng: a) AB  AE ; b) BC EG Cho tam giác ABC Ở phía ngồi tam giác đó, vẽ tam giác cân ABD đáy AB, BCE đáy BC,  H  DF  , kẻ BI vng góc với DE  I  DE  , AH BI cắt ACF đáy AC Kẻ AH vng góc với DF O Chứng minh OC vng góc với È Hướng dẫn: Sử dụng bổ đề ví dụ 4 Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm H thuộc cạnh AC Đường thẳng qua A vng góc với BH cắt BC D Lấy điểm E thuộc đoạn DB cho DE DC Đường thẳng qua E vng góc với BH cắt AB K Chứng minh AK  AH Cho tam giác ABC có BC a , nửa chu vi p, đường cao AH Chứng minh AH  p ( p  a) Hình bình hành Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ A đến DM Chứng minh BA BH o  Cho tam giác ABC có A  90 Ở phía ngồi tam giác vẽ tam giác vng cân ABD có cạnh huyền AB ACD có cạnh huyền AC Vẽ hình bình hành ADKE Tam giác BKC tam giác gì? Cho hình thang ABCD ( AB / / CD ) , AB  CD Gọi E, F, M theo thứ tự trung điểm BD, AC, CD Chứng minh đường thẳng qua E vuông góc với AD, qua F vng góc với BC, qua M vng góc với CD đồng quy Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM có AB 5cm, AC 13cm, AM 6cm Gọi d1 d theo thứ tự đường vng góc với BC B C Gọi D giao điểm AM d1 , gọi E giao điểm AB d Chứng minh CD vng góc với ME 10 Cho hình bình hành ABCD, đường chéo cắt O Đặt OA OC m , OB OD n Chứng minh rằng: 2 2 a) AB  AD 2m  2n b) Tổng bình phương cạnh hình bình hành tổng bình phương đường chéo 11 Dựng tam giác ABC biết vị trí ba điểm B, H, M H trực tâm, M trung điểm AC Hình chữ nhật 12 Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D cạnh BC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ B đến o  AD Trên tia đối tia HB lấy điểm E cho HE  AH Chứng minh HEC 90 13 Cho đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C D cho AC BD Gọi E điểm thuộc tia Ax (E khác A) Đường vng góc với EC C cắt By K Tính góc EDK  14 Cho hình chữ nhật ABCD có E trung điểm AB, F trung điể BC Đặt EDF  Gọi I giao điểm AF EC Tính góc AIE theo   AB  AC  , đường cao AH Trên cạnh AC lấy điểm E cho 15 Cho tam giác ABC vuông A AE  AB Gọi I trung điểm BE Tính góc AHI 16 Cho góc vng xOy điểm A nằm góc vng Gọi M điểm chuyển động tia Ox Đường vng góc với AM A cắt tia Oy N Tìm vị trí điểm M để độ dài MN nhỏ 17 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH h Gọi I điểm nằm tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ I đến BC AC, AB Tính giá trị nhỏ tổng ID  IE  IF theo h Hình thoi – hình vng 18 Tính cạnh hình thoi biết đường chéo 15 cm chiều cao 12 cm 19 Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc tia đối tia CD cho CF  AE Gọi I giao điểm EF AC Chứng minh BI vng góc với EF a a AE  , CK  2 20 Cho hình vng ABCD cạnh a Lấy E thuộc cạnh AB, K thuộc cạnh CD cho   Lấy G thuộc cạnh AD cho KEG KEB Đường thẳng qua K song song với GE cắt BC H o  Gọi O giao điểm GH EK Chứng minh EOG 45 o  Hướng dẫn: Qua K kẻ đường thẳng song song với HG, cắt EG M, chứng minh EKM 45 o  21 Cho hình vng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh CD cho EAF 45 Tính độ dài lớn EF 22 Tính chu vi nhỏ tứ giác ABCD biết hai đường chéo vng góc có tổng k Đa giác o 23 Tính góc đa giác có số đo góc tăng từ 90 đến 126 24 Cho hai đa giác đều, đa giác M có x cạnh, số đo góc n Tính x y, biết rằng: m  a) n m  b) n LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ Chuyên đề TAM GIÁC - TỨ GIÁC – ĐA GIÁC (h.162) Qua B kẻ đường thẳng song song với EC , qua C kẻ đường thẳng song song với BE ,   (1) chúng cắt K Ta có: ICD DBK Để chứng minh CBK BCE ( g c.g )  CK BE  AD ABD CDK (c.g.c ) Hãy chứng minh  450 , DBK vuông cân để suy DBK  (1) nên CID 45 A E D I C B Hình 162 K (h.163) a) Bạn đọc tự giải K b) Gọi K giao điểm AB CD , ABD  K  300 D nên AB BD BK , mà AB  AE ( câu a) nên BK  AE 0)   Ta lại có KBC  AEG (105 Nên KBC AEG ( g c.g )  BC EG (h.164) Đặt AD BD a , AF FC b CE EB c Do OA  DF nên OF  OD HF  HD  AF  AD b  a (1) Tương tự , OB  DE nên OD  OE a  c Cộng (1) (2) ta được: (2) B E A C D G Hình 163 A b F a H D b O a I C B c Hình 164 c E OF  OE b  c CF  CE Theo bổ đề nhận biết hai đường chéo vng gốc, ta có OC  EF B (h.165) Kẻ đường thẳng qua C song song với AD , cắt BA M AK  AM (1) ABH ACM ( g.c.g )  AH  AM (2) Từ (1) (2) suy AK  AH E D A H D (h.166) Kẻ đường thẳng d qua A song song với BC Gọi D điểm đối xứng với B qua d Đặt AH h Thì BD 2h Đặt AC b, AB c Ta có AB  AC  AD  AC CD Hình 165 M A d  (b  c) CD a  (2h) (b  c)  a (b  c  a)(b  c  a)  p (2 p  2a )   p ( p  a) b c  h2  C h B C H a Hình 166 (h.167) Gọi K trung điểm AD Ta có BKDM hình bình hành  BK / / DM  BK  AH (tại I ) AI IH Do BK đường trung trực AH nên BA BH A B K M D Hình 167 (h.168) BDK KEC (c.g.c)    BK KC K1 C1 (1) Gọi H giao điểm CE DK   Ta có CE  AE AE //DK nên CE //DK (tại H )  C1 phụ CKH (2)   Từ (1) (2) suy K1 phụ CKH BKC vuông cân C d2 E d1 D A B C M F Hình 170 I A H K B K D E F A E B C Hình 168 D C Hình 169 (h.169) Gọi I trung điểm AB , đường thẳng IE IF cắt CD theo thứ tự H G Ba đường thẳng cần chứng minh đồng quy ba đường trung trực IHG (h.170) Gọi K giao điểm AM d Lấy F MK cho MF MA Tam giác AFC có  AF 12 cm, CF 5 cm, AC 13 cm nên AFC 90o , suy KA  AB Ta lại có BC  EK nên EM  BK (1) Dễ chứng minh BDCK hình bình hành nên BK //CD (2) Từ (1) (2) suy EM  CD 10 (h.171) a) Kẻ DH BK vng góc với AC Đặt OH OK x Ta có AB  AK  BK  m  x    n  x  m  2mx  n , AD  AH  DH  m  x    n  x  m  2mx  n 2 2 Suy AB  AD 2m  2n b) Suy từ câu a) A A B I H M x H B n C Hình 172 D n O x K C Hình 171 11 (h.172) Gọi I điểm đối xứng với B qua M Ta cTa có CI //AB nên CI  CH Điểm C dựng được, giao điểm đường trịn đường kính HI đường thẳng qua M vng góc với BH Từ dễ dàng dựng tam giác ABC 12 (h.173) Kẻ CK  AD Ta có CKA AHB (cạnh huyền – góc nhọn)  CK  AH HE Hãy chứng minh CKHE hình chữ nhật y K B H I x D E K C A E A Hình 173 C B D H Hình 174 13 (h.174) Gọi I trung điểm EK Kẻ IH  AB HA HB nên HC HD o  Ta có ID IC IE IK nên EDK 90 E A 14 (h.175) Gọi K trung điểm AD Ta có CDK DCF  c.g.c  Do AKCF hình bình hành nên AF //KC    I C D F 2 Hình 175 C A 15 (h.176) Kẻ EK  AH , ED  BC Ta có AHB EKA (cạnh huyền – góc nhọn)  AH EK HD BE Ta có AI DI (cùng ) AHI DHI  c.c.c  Suy   AHI DHI 45o I K  D  C  D   C 2 1 B E K B I H Hình 176 D C y 16 (h.177) Cách Gọi I trung điểm MN Ta có MN IM  IN IA  IO OA MN OA  O, I , A thẳng hàng A Khi I trung điểm OA, AMON hình chữ nhật, M chân đường vng góc kẻ từ A đến Ox 2 Cách MN nhỏ  MN nhỏ  AM  AN nhỏ 2 Xảy đồng thời AM nhỏ AN nhỏ nhất, AM   Ox vsf AN   Ox , thỏa mãn AM   AN  N I O M Hình 177 x A 17 (h.178) Kẻ IN  AH 2 2 2 Ta có IE  IF IA nên IE  IF  ID 2 IA  ID  AN  NH  IE  IF  ID    AN  NH   2  E F AH h  2 h2  I trung điểm đường N B I C H D Hình 178 B cao AH x 18 (h.179) Hình thoi ABCD có BD 15cm, đường cao BH 12cm, C HD BD  BH 152  122 81  HD 9cm Đặt AB  x AH  x  Giải phương trình  x  9  122  x Hình 179 D x 12,5 A Cạnh hình thoi 12,5cm B E BAE BCF  c.g c   BE BF 19 (h.180) Kẻ EG //CF , ta có EG  AE CF nên EGFC hình bình hành, suy IE IF Tam giác BEF cân có BI đường trung tuyến nên BI  EF G I D   20 (h.181) Do E1 E2 nên ta kẻ KF  AB, KI  EG KI KF a Kẻ MN  CD, MQ  AD, ta có KCH MQG (cạnh huyền – góc nhọn)  KC MQ ND 15 12 A E A G M N D F B I Q  K   NK DC a KI  K F C Hình 180 O Hình 181 H K C o o      Ta lại có K1 K nên K  K3 45  EKM 45 o   Do KM //HG nên EOG EKM 45 21 (h.182) Trên tia đối tia DC lấy K cho DK BE A B E K D C F Hình 182   A  A  A  A  A 45o  A  ADK ABE  c.g c   A 4 3 FAE FAK  c.g.c   EF KF KD  DF BE  DF  EF  CE  CF BE  CE  DF  CF BC  CD 2a Ta lại có EF CE  CF nên EF a max EF a  E trùng B (khi F trùng C ) E trùng C (khi F trùng D ) 22 (h.183) Đặt AB = a, BC = b, CD = c DA = d Gọi O giao điểm đường chéo Ta có: 2 a OA  OB  OA  OB   OA  OB C O d c Hình 183 c OC  OD d OD  OA  abcd A D b OB  OC Suy ra: b a  a OA  OB Một cách tương tự, ta có:  a hai B 2  OA  OB  OC  OD  2k  k OA OB 0C OD   a  b  c  d  k    AC  BD  Từ suy k  ABCD hình vng có đường chéo 23 Xét đa giác n cạnh có số đo góc tăng dần a1 , a2 , a3 , , an Tổng góc  a  a  n  90 n  126 n  1080 n  n   1800 1080.n Giải phương trình , ta n = Gọi d độ tăng dần góc Do n = nên 900 + 4d = 1260, suy d = 90 Số đo góc đa giác 900, 990, 1080, 1170, 1260 24 y  x  2 m  x   180  y   180 x  y    :  : x  y  2 n x y x y a) Ta có xy  x  10 y 0   3y    x  10   40 Rút gọn ta Do y 3 nên 3y  13, ta có hai trường hợp 3y + 20 40 3x - 10 -2 -1 Đáp số:  x 3   y 12 b) Có đáp số  x 4   y 6  x 5   y 10  x 6   y 18  x 7   y 42