4 chuyên đề 4 tam giác đồng dạng

Chuyên đề TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề bao gồm nội dung: - Các trường hợp đồng dạng hai tam giác - Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Nhờ tam giác đồng dạng, ta có thêm nhiều cách để chứng minh quan hệ độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích tam giác Vài nét lịch sử CẬU BÉ LƯƠNG THẾ VINH ĐO CHIỀU CAO BẰNG BÓNG NẮNG Lương Thế Vinh nhà toán học nước ta kỉ XV Ông sinh năm 1441, khoảng năm 1496 Lúc nhỏ, chơi bạn làng, ông trả lời câu đố bạn yêu cầu tính chiều cao cau mà không cần trèo lên sau: Chỉ cần đo bóng cau bóng cọc thẳng đứng Cọc dài gấp lần bóng cao gấp nhiêu lần bóng Các bạn thực hành than phục Lương Thế Vinh thấy kết đo bóng nắng kết đo trực tiếp khớp I CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, trường hợp cạnhgóc-cạnh, trường hợp góc-góc Đối với hai tam giác vng, ngồi trường hợp nói cịn có trường hợp đồng dạng cạnh huyền cạnh góc vng Ví dụ 33 Cho tam giác ABC cân A , đường cao AD , K trung điểm AD Gọi I hình  chiếu điểm D CK Chứng minh AIB 90 Giải: (h.46)     1 KID DIC có KID DIC 90 , K1 D1 (cùng phụ C ) nên KID DIC (g.g)  KI KD  DI DC KI KA  Ta lại có: KD KA, DC DB nên DI DB   Kết hợp với IKA IDB suy IKA IDB (c.g.c)       AIK BID Cùng cộng với KIB được: AIB KID 90   AM  AM  BC    Lấy điểm I đoạn AM Ví dụ 34 Cho tam giác ABC , đường trung tuyến     cho MBI MAB Chứng minh MCI MAC Giải: (h.47)    MBI MAB có M góc chung, B1 A1 nên MBI MAB (g.g)  MB MI MC MI    MA MB MA MC  Kết hợp với M góc chung suy MCI MAC (c.g.c)    MCI MAC Ví dụ 35 Cho tam giác ABC , đường phân giác AD, BE, CF Gọi M giao điểm BE DF , N giao điểm DE CF AD  I  AB, K  AC  a) Kẻ MI NK song song với Chứng minh AIM AKN   b) Chứng minh FAM EAN Giải: (h.48)       a) Ta có: BIM BAD CAD CKN nên góc bù với chúng AIM AKN AI AK  Sẽ chứng minh IM KN   Đặt BC a, AC b, AB c Do IM / /AD B1 B2 nên AI MD BD   IF MF BF (1) IF AF  IM AD (2) AI BD AF BD AF BD b    Nhân (1) với (2) IM BF AD AD BF AD a (3) AK CD c  Tương tự KN AD a (4) AI AK BD b AD a BD b :   1 Từ (3) (4) suy IM KN AD a CD c CD c AI AK  Vậy IM KN Do AIM AKN (c.g.c) b) Suy từ câu a) AI Lưu ý: Trong ví dụ trên, xét tỉ số IM , ta viết tỉ số dạng tích hai tỉ số trung gian  AI IF     IF IM  , có nhiều tỉ số tỉ số trung gian từ định lí Ta-lét tính chất đường phân giác tam giác Cách viết tỉ số dạng tích hai tỉ số trung gian, với cách kẻ thêm đường thẳng song song cách thường dung để tạo cặp đoạn thẳng tỉ lệ   90  B A Tính độ dài BC Ví dụ 36 Cho tam giác ABC có AB 5 cm, AC 6 cm, Giải: (h.49) Trên BC lấy điểm D cho BD 5 cm  B   ADC 90  BAC Tam giác ABD cân B nên Ta có DAC ACB (g.g)  CA DC   DC.CB AC CB AC x  x   36  x  5x  36 0 Đặt DC x   x    x   0 Do x  nên x 4 Do đó, BC 5  9 (cm)  CA DC   DC.CB AC CB AC Ví dụ 37 Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H có HA 7 cm, HB  cm, HC  17 cm Tính a) Đường cao AD ; b) Diện tích ABC Giải: (h.50)    a) DBH DAC vuông D có DBH DAC (cùng phụ ACB ) nên DBH DAC (g.g)  DB DH  DA DC Đặt DH x Rút gọn  x2 x  x 7 17  x 14x  71x  85 0   x  1  14x  85x  85 0  Do x  nên x  0  x 1 Suy AD 8 cm b) BD 5  4  BD 2 (cm) DC2 17  16  DC 4 (cm) 1 SABC  BC.AD     24 2 (cm2) Ví dụ 38 Cho tam giác ABC  AB  AC  , đường trung tuyến AM Điểm D cạnh BC cho DB  AB      BAD CAM Chứng minh DC  AC  Giải: (h.51) DB DB MB  Do MB MC nên DC MC DC (1) Theo bổ đề hai tam giác có góc (Ví dụ 14) ta có: DB SADB AB.AD   MC SAMC AM.AC (2) MB SAMB AB.AM   DC SADC AD.AC (3) DB AB.AD AB.AM  AB     Từ (1), (2) (3) suy ra: DC AM.AC AD.AC  AC    Lưu ý: Do A1 A nên đường thẳng AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác góc A Ta gọi AD đường đối trung qua A II Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng tỉ số đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng S AH AB k, ABC k k   SABC Nếu ABC ABC có AB , AH AH đường cao A H Ví dụ 39 Cho tam giác nhọn ABC , đường cao BD CE cắt H Gọi M N theo thứ tự hình chiếu E D BC EM a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ H đến EM DN DN b) Gọi O giao điểm DM EN Chứng minh HO vng góc với BC Giải: (h.52)      a) Kẻ HI  EM, HK  DN KHD NDC có K N 90 , KHD NDC (cùng phụ HDK ) nên KHD NDC (g.g)  HK HD  DN DC HI HE  Tương tự: EM EB (1) (2) Ta lại có HBE HCD (g.g)  HE HD  EB DC HI HK HI EM    HK DN Từ (1), (2) (3) suy EM DN (3) (4) b) Kẻ OP  EM, OQ  DN OEM OND (g.g) có OP OQ hai đường cao tương ứng nên OP EM  OQ DN (5) HI OP  HK OQ , chứng tỏ HO / /EM , mà EM  BC nên HO  BC Từ (4) (5) suy Ví dụ 40 Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BE CF cắt G Gọi D điểm cạnh BC Qua D kẻ đường thẳng song song với CF , cắt BE BA theo thứ tự I M Qua D kẻ đường thẳng song song với BE , cắt CF CA theo thứ tự K N Tìm vị trí điểm D để: a) Tứ giác GIDK có diện tích lớn nhất; b) Tam giác DMN có diện tích lớn Giải: (h.53)  a) Đặt SGBC S, SGIDK S , BD x, DC y Các tam giác IBD, GBC, KDC đồng dạng nên 2 S S  SIBD  SKDC x  y2  x   y   1         S S  BC   BC   x  y  S lớn x  y2  x  y nhỏ x  y2 2 x  y Do   x  y  nên  x  y  S lớn  x y  D trung điểm BC DM CF DN    b) Ta có DM / /CF nên DI CG , tương tự DK SDMN DM DN 3 9     SDMN  SDIK  S DI DK 2 4 Suy SDIK SDMN lớn  S lớn  x y (theo câu a)  D trung điểm BC Bài tập Các trường hợp đồng dạng tam giác 67   Cho tam giác ABC có AC 12 cm, BC 7 cm, B 2C Tính AB 68   Cho tam giác ABC có B C  , I trung điểm BC , đặt IB IC a Các điểm M, N theo  thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho MIN  a) Tính BM.CN theo a b) Chứng minh NI tia phân giác góc MNC c) Chứng minh khoảng cách từ I đến MN khồn đổi 69  Cho tam giác ABC vuông A có C 20 , đường phân giác CD Trên cạnh AC lấy điểm E  cho ABE 30 Tia phân giác góc CBE cắt AC I Chứng minh DE song song với BI 70 Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H có HA 1 cm, HB  cm, HC 2 10 cm Tính diện tích tam giác ABC 71 Tam giác ABC tam giác gì, có điểm D thuộc cạnh BC thỏa mãn AD chia tam giác ABC thành hai tam giác đồng dạng 72 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , điểm D đối xứng với A qua B Đường thẳng qua A vng góc với DH cắt BC I Chứng minh HI IC 73   Cho hình thoi ABCD , M trung điểm BC Trên đoạn AM lấy điểm E cho ABE CAM Chứng minh rằng: a) DAE AMB ;   b) MED BCD 74 Cho tam giác ABC, AB  AC , điểm D cạnh AC cho AD AB , điểm E đoạn AD   cho ABE C Đường thẳng qua A song song với BD cắt BE K Gọi M giao điểm KD BC Chứng minh BM MC Hướng dẫn: Kẻ 75 EI / /BC  I  KD  BM MC  EI Hãy chứng minh EI Cho hình vng ABCD Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA E, F Gọi M giao điểm DE BC Gọi H, N theo thứ tự giao điểm BF với DE, DC Chứng minh rằng: a) MN song song với EF ; b) H trực tâm tam giác AMN 76 Cho tam giác ABC , trọng tâm G Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD AG Gọi giao điểm DG với AC, BC theo thứ tự E, K Chứng minh DE EK Hướng dẫn: Kẻ DI / /AC  I  BC  Hãy chứng minh IC CK 77 Cho tam giác ABC cân A , đường cao AH , điểm D cạnh AB Gọi I hình chiếu D BC , lấy điểm K đoạn HC cho HK BI Đường vng góc với DK K cắt AH  90 G Chứng minh ACG 78   Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H Lấy điểm O nằm tam giác HBC cho OBH OCH Gọi D E theo thứ tự hình chiếu O AB AC Chứng minh OH qua trung điểm DE 79 Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH Ở phía ngồi tam giác ABC , vẽ tam giác ABE vuông   B , ACF vng C có BAE CAF Chứng minh đường thẳng AH, BF, CE đồng quy 80 Cho tam giác nhọn ABC Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh BC, AC, AB cho   BDF CDE ,     CDE AEF, AEF BFD Chứng minh rằng: a) AEF ABC ; b) AD, BE, CF đường cao ABC 81 Cho tam giác ABC vng A , đường phân giác AD Hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB , N thuộc cạnh AC , P Q thuộc cạnh BC Gọi E giao điểm BN MQ a) Chứng minh DE song song với AC b) Gọi F giao điểm CM NP Chứng minh DE DF c) Chứng minh AE AF 82   Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM , điểm D thuộc cạnh BC cho BAD CAM Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC E Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB F Chứng minh rằng: a) AEF ABC ;   b) EFD EDC Hướng dẫn: Sử dụng Ví dụ 38 83   Cho hình chữ nhật ABCD Điểm I nằm hình chữ nhật cho IAD ICD Chứng minh rằng:   a) IDC IBC ; b) SABCD IA.IC  IB.ID 84 Cho hình vng ABCD Hãy dựng đường thẳng d qua B , cắt tia đối tia AD CD E F cho tích BE.BF có giá trị nhỏ Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng 85 Một hình thang có đáy nhỏ 17 cm, đáy lớn 31 cm chia thành hai phần đoạn thẳng song song với hai đáy dài 25 cm có hai đầu mút nằm hai cạnh bên Chứng minh hai phần có diện tích 86 Cho tam giác nhọn ABC , có đường cao AD, BE, CF cắt H Biết diện tích tứ giác BDHF CDHE Chứng minh AB AC 87 Cho tam giác ABC vuông A Tìm vị trí điểm D, E, F theo thứ tự nằm cạnh BC, AC, AB cho tam giác DEF vuông D đồng dạng với tam giác cho có diện tích nhỏ 88 Cho tam giác ABC có diện tích S , điểm O nằm tam giác Kẻ OD song song với AB  D  BC  BC  E  OA  CA  F  AB  , kẻ OE song song với , kẻ OF song song với AB  H  BC  BC  I  CA  a) Kẻ EH song song với , kẻ FI song song với , kẻ DK song song với CA  K  AB  Chứng minh diện tích tam giác DEF nửa diện tích lục giác FIEHDK b) Chứng minh SDEF  S LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ Chuyên đề TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 67 (h.226) Trên tia đối tia BA lấy D cho BD = BC Ta có ∆ABC  ∆ACD (g.g)  AB AC  AC AD x 12   x  x  144 0 Đặt AB = x 12 x   ( x  9)( x  16) 0 Đáp số: AB = 9cm 68   ^ ^  ^ (h227) a) Ta có N1 I N 1= I (cùng cộng với   I1 α + I 180 180 °) ∆BIM  ∆CNI (g.g)  BM NC IB.IC a  BM IB  CI NC b) Hai tam giác đồng dạng suy IM IB IC   NI NC NC  ∆MIN    ^ ^ ∆ICN (c.g.c)  N  N1 N 2= N c) Từ câu b) suy khoảng cách từ I đến MN khoảng cách từ I đến AC không đổi 69 (h.228) Kẻ IH ⊥ BC Ta có ∆HIC   ∆ABC (g.g) HC AC AD   IC BC DB (1) Để chứng minh ∆IBC cân nên HB = HC BE BC  IC Ta có BI đường phân giác ∆EBC nên EI  AE HC AE HC    EI IC EI IC (2) AD AE   Từ (1) (2) suy DB EI DE // BI (định lí Ta-lét đảo) 70 (h.229) Giải tương tự Ví dụ 37 Gọi AD đường cao ∆ABC Đặt HD x Đưa phương trình: x  23x  100 0  ( x  2)( x  25 x  50) 0 HD = 2cm, BD = 1cm, DC = 6cm S ABC 10,5cm2 71   ^ ^   (h.230)∆ABD đồng dạng với tam giác có ba đỉnh A, D, C (h.230a) mà D1  A1 D > A1 D1  C ^ ^ D1 >C   ^ ^ nên D1 D2 D1= D2, suy AD  BC Có hai trường hợp:   ^ ^ - Nếu A1  A2 A1= A ∆ABC cân A (h.230b)   ^ ^ - Nếu A1 B A1= B ∆ABC vuông A (h.230c) 72 (h.231)   ^ ^  ^ ^ ^ ^    Ta có A1 D A1= D (cùng phụ DAI DAI ), C  A2 C= A2 (cùng phụ HAC HAC ) nên ∆ICA  ∆HAD (g.g) Kẻ trung tuyến IK ∆ICA Do IK HB hai trung tuyến tương ứng hai tam giác đồng dạng ^   AHB=90 ° nên CIK  AHB 90 CIK= ^ ∆AHC có AK = KC KI // AH nên HI // IC 72 AD AE  (h.232) a) Sẽ chứng minh MA MB AD AB  Ta có MA MA (1) Gọi O giao điểm AC BD   ^ ^ Do A2 M A2= M (vì AB // OM) B 1= ^ A1   ^ B1  A1 nên ∆ABE  ∆MAO (g.g)  AB AE AE   MA MO MB (2) AD AE ^  DAE= ^ AMB   Từ (1) (2) suy MA MB , lại có DAE  AMB nên ∆DAE  b) ∆DAE  ∆AMB (c.g.c)   AED=^ MAB ∆AMB  AED MBA ^   MED= ^ BCD Suy hai góc bù với chúng MED BCD ^ 73 (h.233) EI // BC  BM KB  EI KE (1) MC DC  EI DE (do EI // BC)  BC   ^ B =^ B3 BE (do B2 B3 )  AB AE (do ∆ABC   AD KB  AE KE (do AK // BD) (2) ∆AEB) BM MC   BM MC EI Từ (1) (2) suy EI 74 (h.234) BM BE  a) MC CD (1) BN EC BE   NF CF AB (2) Do AB = CD nên từ (1) (2) suy BM BN   MC NF MN // EF AD AB AE AE    b) DN DN CD AD   ^ ^ ∆EAD (c.g.c)  A1 E1 A1= E  AN ⊥ DE  ∆AND  Tương tự AM ⊥ BF Vậy H trực tâm ∆AMN 76 (h.235) Kẻ DI // AC ( I  BC ) , ta có ∆BDI  BD = BI  AD = CI (1) 0 ^   ^ Kẻ AH ⊥ DG A1 15 , D1 75 A1=15 ° ; D 1=75 ° 0    ^ K= ^ D1−B=75 °−60 °=15 °  K D1  B 75  60 15 ^ I đối xứng với D qua BG   I 1= ^ D1=75 °  I1 D1 75 ^ ∆KIG  ∆ADH (g.g)  KI IG DG   2  KI 2 AD AD DH DH (2) Từ (1) (2) suy KI = 2CI  IC = CK ∆DIK có IC = CK DI // EC nên DE = EK 77 (h.236)   ^ ^ ∆HKG ∆IDK có H I 90 , H =i=90 °   ^ ^ ^  HKG D IKD) HKG= D (cùng phụ IKD nên ∆HKG  ∆IDK (g.g)  HG HK  IK ID Do BI = HK, IK = BH = CH nên HG BI BH CH    CH ID AH AH 0^   ^ AHC=90° suy Kết hợp với CHG  ACH 90 CHG= ∆CHG  ∆AHC (c.g.c)   ^ =^  C    ^ ^ ^ ^2 C  C1  A1 C A Cùng cộng với ACG  A1  C2 ACG= A 1+ C 2=90° 78 (h.237) Gọi I giao điểm OD HB, K giao điểm OE HC, Ta có OIHK hình bình hành nên OH qua trung điểm IK DI EK  Hãy chứng minh IK //DE cách chứng minh DO EO Xét tam giác đồng dạng BDI CEK, BOD COE     79 (h.238) Qua C kẻ đường thẳng vng góc với BF, cắt HA K Do B1  K , F C1 nên CF BC    1  BCF ∽ KAC (g.g) AC KA ACF ∽ ABE (g.g)  CF BE  AC AB  2 BC BE    Từ (1) (2) suy KA AB , lại có CBE  KAB nên CBE ∽ KAB (c.g.c)  K  2 C   CBK    CBK   C K 90  CE  BK KH, BF, CE ba đường cao KBC nên chúng đồng quy 80 a) (h.239a) Đặt góc m, n, p hình vẽ Ta có 2m  2n  p 360 (bằng 540 trừ tổng ba góc DEF )   n, C  p  m  n  p 180  A m, B Do AEF ∽ ABC (g.g) b) (h.239b) AEF ∽ ABC  AE AF   ABE ∽ ACF AB AC (c.g.c)      C 1  B Tương tự A1 C , B  A2       Suy B1  A1  B C1  C  A2 , AD  BC Tương tự BE  AC , CF  AB 81 (h.240) a) Theo định lí Ta-lét, tính chất đường phân giác tam giác đồng dạng, ta có BE BQ BQ AB BD     EN QP MQ AC DC  DE / / NC , tức DE / / AC DE BD  b) Do DE / / AC nên CN BC  DE  BD CN BC Tương tự, DF   1 CD BM BC  2 DE BD CN BD AB CN AC    AB (do Từ (1) (2) suy DF CD BM Ta lại có CD AC (do AD đường phân giác), BM DE 1 MN / / BC ) nên DF , tức DE  DF     c) Ta có D1  DAC  DAB  D  ADE ADF (c.g.c)  AE  AF AE BD  82 (h.241) a) Ta có AC BC  1 AB BC  AF CD  2 Nhân (1) với (2) AE AB BD  AF AC CD  3 BD AB  Ta chứng minh CD AC AE AB AB AE AB    AF AC (xem Ví dụ 38) nên từ (3) suy AF AC AC  AEF ∽ ABC (c.g.c)         b) AEF ∽ ABC  AEF  B Ta lại có AEF  EFD B  EDC nên EFD  EDC 83 (h.242) a) Qua I kẻ MN  AD , kẻ IH  CD IMA ∽ IHC (g.g)  IM AM DH BN    IH HC IH IN  IDH ∽ IBN (c.g.c)  B 1    D , tức IDC  IBC   b) Kẻ đường vng góc với DI D, kẻ đường vng góc với CI C, chúng cắt K Do A1 C1       nên A2 C , B1  D1 nên B  D , AIB CKD (g.c.g)  S AIB  SCKD S ABCD 2  S AIB  SCID  2  SCKD  SCID  2  S IDK  S ICK   ID.DK  IC.CK  ID.IB  IC.IA 84 (h.243) Đặt AB  BC a , AE  x , CF  y EAB ∽ BCF  Ta có x a   xy a a y BE BF  x  a   y  a   x y  a  x  y   a  2a  a  x  y  2 2 Ta lại có x  y 2 xy 2a nên BE BF 4a  BE.BF  2a  x  y  d vng góc với BD B 85 (h.244) Kí hiệu hình vẽ Kẻ BG, FI song song với AD BGF ∽ FIC nên tỉ số hai đường cao tỉ số đồng dạng : BH GF 25  17 4     BH  FK FK IC 31  25 3 17  25 S ABFE  KF 28FK S EFCD  25  31 FK 28FK Suy điều phải chứng minh 86 (h.245) Giả sử AB  AC DB  DC HB  HC DB  DC  S1  S2  1 FHB ∽ EHC (g.g) mà HB  HC nên S3  S  2 Từ (1) (2) suy S1  S3  S  S , tức S BDHF  SCDHE , trái với giả thiết Giả sử AB  AC , tương tự S BDHF  SCDHE , trái với giả thiết Vậy AB  AC 87 (h.246) DEF có góc khơng đổi nên có diện tích EF nhỏ Kẻ AH  BC , HM  AC , HN  AB Gọi I trung điểm EF, ta có EF  EI  IF  AI  ID  AD  AH minEF AH  D trùng H, E trùng M, F trùng N Khi DEF HMN 88 (h.247) a) Bạn đọc tự giải b) Đặt S AFI  S1 , S KBD  S , S EHC  S3 Ta chứng minh BD  y , HC  z , BC a S1  S2  S3  S1 S2 S3   S S Các tam giác AFI, KBD, EHC đồng dạng với ABC nên S 2 2 1 x y z   x  y  z               3 a a a  a  a a S  S FIEHDK  S  S DEF  3 S DEF  S  x  y z  O trọng tâm ABC S Đặt FI OE  DH  x ,