Tứ giác ngoại tiếp đường tròn

Tứ giác ngoại tiếp là một chủ đề không quá mới đối với bất kỳ ai đam mê với môn toán và đặc biệt là môn hình học nhưng có không nhiều những tài liệu viết về chủ đề này. Vậy nên trong bài viết này đề cập đến vấn đề này với kiến thức và những ứng dụng cơ bản nhất của tứ giác ngoại tiếp. Mời các bạn tham khảo!

TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN Đỗ Xuân Anh (Trường THPT Chuyên KHTN, Hà Nội) Tứ giác ngoại tiếp chủ đề không đam mê với mơn tốn đặc biệt mơn hình học có khơng nhiều tài liệu viết chủ đề Vậy nên viết xin đề cập đến vấn đề với kiến thức ứng dụng tứ giác ngoại tiếp Một số tính chất tứ giác ngoại tiếp đường tròn Khi nhắc tới tứ giác ngoại tiếp đường tròn, nên để ý đến tính chất hay sử dụng sau: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I / .I / tiếp xúc AB, BC , CD, DA M , N , P , Q Đặt AM D AQ D a, BM D BN D b, CN D CP D c, DQ D DP D d Định lý 1.(Định lý Pithot) AB C CD D BC C DA Định lý (Định lý Newton) AC , BD, MP , NQ đồng quy T AT CT D a BT b , D : c DT d B M A N T Q I D P C Chứng minh Gọi T1 giao điểm AC với MP T2 giao điểm AC với NQ 75 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Ta chứng minh T1 Á T2 Á T Thật vậy, áp dụng định lí sin, ta có: T1 A AM sin ∠C T1 M sin ∠AMP D T1 C sin ∠AT1 M CP sin ∠CPM AM D CP a T2 A D nên T1 , T2 , T trùng Tính chất chứng minh Tương tự, T2 C c Định lý AC , MN , PQ đồng quy V AV CV D a BV b , D Từ suy AC; T V / D c DV d V B M A N T Q I C P D a Áp dụng định lí Menelaus cho 4ABC ta có c CV M , N , V thẳng hàng Tương tự suy P , Q, V thẳng hàng Vậy tính chất chứng minh Chứng minh Lấy V AC cho AV D Định lý Đường thẳng qua A vng góc với AB cắt BI X, đường thẳng qua A vng góc với AD cắt DI Y XY vng góc với AC B A Y I F X E D 76 C Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Chứng minh Gọi F hình chiếu X lên BC ; E hình chiếu Y lên CD Ta có AX XC D AX XF F C D F C AY Mà F C D BC Y C D AY EC D AD D EC nên AX AB D DC XA2 C C Y YE AY EC : XC D AY Y C CX D XA2 C AC CX AY C AC ! ! ! ! D 2AX AC 2AY AC ! ! D 2AC YX C Y 2/ Do AC ? XY Vậy ta chứng minh xong định lí Ngồi ra, nên biết số cơng thức tính yếu tố tứ giác ngoại tiếp đường tròn Việc chứng minh xin dành cho bạn đọc Trong tính chất đây, ta đặt r bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD ∠DAB D ˛; ∠ABC D ˇ; ∠BCD D ; ∠CDA D ı: Định lý AB D NQ IA:IB : r2 : B M A B' A' N Q I D C P Chứng minh Gọi IA, IB cắt QM , MN A0 , B Ta có IA:IA0 D IB:IB D r nên A0 B IA0 IB:A0 B IB:IA NQ 0 4IA B 4IBA suy D Từ đó, AB D D : Vậy định lí AB IB IA r2 chứng minh Định lý IB ID D AB:BC CD:DA 77 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 B M A N Q I C P D IC:ID NQ AB IA:IB : suy Tương tự D r2 CD IC:ID 2 BC IB:IC AB BC IB IB ID D suy D hay D AD IA:ID CD AD ID AB:BC CD:DA Chứng minh Từ định lí 5, ta có CD D Định lý IA:IC C IB:ID D p AB BC CD DA B M P' A N Q I P D M' C Chứng minh Gọi M , P đối xứng M , P qua I Ta có 4MIB 4NM M suy M 0N MM MM :MI 2r 2r 2r D hay M N D D Tương tự M Q D , P 0Q D , MI IB IB IB IA ID 2r P 0N D Áp dụng định lí Ptoleme cho tứ giác P NM Q định lí 5, suy IA:IC C IC p IB:ID D AB BC CD DA Vậy định lý chứng minh Định lý IA:IC D a C c/:r sin ˛C2 : 78 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 U B M A N Q I C P D Chứng minh Lấy U tia MB cho M U D NC suy I U D IC nên 1 ˛C SAI U D a C c/:r D IA:I U: sin ∠AI U D IA:IC: sin 2 2 a C c/ r hay IA:IC D Vậy định lí chứng minh sin ˛C2 Định lý 9.SABCD D p AB BC CD DA: sin ˛C : B M A N Q I D P Chứng minh Theo định lí 8, ta có IA:IC CIB:ID D suy SABCD chứng minh C a C b C c C d / r D p AB:BC:CD:DA sin ˛C2 p ˛C D a C b C c C d / r D AB BC CD DA: sin Ta có điều phải 2 Một số tập áp dụng Bài toán 4ABC cân ngoại tiếp đường tròn I / Lấy E thuộc AB, F thuộc AC cho EF tiếp tuyến đường tròn I / EF k BC ED vng góc với BC D Gọi H giao điểm BI với đường thẳng qua F vng góc với BC Chứng minh DH vng góc với EC 79 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 A E F H I B D C G Chứng minh Gọi FH cắt BC G Dễ thấy E; I; G thẳng hàng F; I; D thẳng hàng.Ta có ∠BEG D ∠BEI D ∠IEF D ∠GEF D ∠EGB nên tam giác BEG cân B, suy ı BE D BG Do BEH D BGH (c.g.c) ∠BEH D ∠BGH D 90 hay EH vng góc EB E Áp dụng định lý 4, suy DH vng góc với EC Vậy toán chứng minh Nhận xét Chúng ta sử dụng tính chất để chứng minh toán Mathley [5] thầy Trần Quang Hùng sau Bài toán 4ABC , đường tròn nội tiếp I / tiếp xúc CA, AB E, F Lấy P di chuyển EF BP cắt CA M , MI cắt đường thẳng qua C vng góc AC N Chứng minh đường thẳng qua N vng góc với P C qua điểm cố định khiP di chuyển Bài toán Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I / AB giao CD E, AD giao BC F Chứng minh đường tròn nội tiếp 4AEF , 4CEF tiếp xúc điểm EF F B X=Y P Q A S I E R D 80 C Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Chứng minh .I / tiếp xúc AB, BC , CD, DA P , Q, R, S ; đường tròn I1 / I2 / đường tròn nội tiếp 4AEF 4CEF , hai đường tròn tiếp xúc EF X , Y Ta có FC CE D FQ C QC CR RE D F S EP D FA C AS AP EA D FA EA ˆ < FX D FE C FA Mặt khác ˆ : F Y D FE C F C chứng minh EA/ nên, FX D F Y suy X Á Y Vậy toán CE/ Nhận xét Ngồi ra, để ý kĩ ta thấy hình vẽ có hai tam giác có đường trịn nội tiếp tiếp xúc 4ABC , 4ADC (Tương tự cặp tam giác 4ABD, 4CBD) Trong toán, ta để ý F C CE D FA EA định lý Pithot mở rộng cho tứ giác lừm ngoại tiếp đường tròn Áp dụng định lý ta chứng minh tốn sau Bài tốn Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I / AB, AD cắt CD, BC E, F Gọi EP , FM cắt BC , CD Q, R; EP cắt FM N Chứng minh tứ giác AMNP ngoại tiếp QNRC ngoại tiếp Bài toán đề nghị A.Golovanov diễn đàn AoPS [1] Bài toán Cho tứ giác ABCD vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với AB, CD X , Y Đường thẳng vng góc với AB, CD A, D cắt U ; X , Y cắt V ; B, C cắt W Chứng minh U , V , W thẳng hàng 81 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 P E U B F A X V D C Y W Chứng minh AD cắt BC P , đường tròn E/ đường tròn nội tiếp 4PAB, tiếp xúc với AB F U V cắt đường thẳng qua C vng góc CD W Ta có 4PAB 4P CD (g.g) DY BF AX UV X , F đối xứng với qua trung điểm AB Nên D D D , suy W V Y C FA XB AU k X V k BW Từ W Á W Vậy toán chứng minh Tiếp theo kết tiếng tứ giác ngoại tiếp Bài toán (Đường thẳng Newton tứ giác ngoại tiếp) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn I / trung điểm hai đường chéo AC , BD I thẳng hàng 82 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 F A B M I G E N H C D Chứng minh Gọi M , N trung điểm AC , BD Ta có AB C CD D AD C BC nên SIAB C SICD D SIAD C SIBC D SABCD Ta xét trường hợp: Trường hợp AB k CD dễ thấy trung điểm AC , BD I cách AB, CD nên chúng thẳng hảng Trường hợp Giả sử AB cắt CD E Lấy G tia EA, lấy H tia ED cho EG D 1 AB, EH D CD Ta có SIE G C SIEH D SIAB C SICD D SABCD nên SIHG D SABCD ˆ < SNAB C SNCD D SABCD SEHG Dễ thấy điểm M , N có tính chất tương tự nên Suy ˆ : SMAB C SM CD D SABCD ˆ < SNHG D SABCD SEHG Do SIHG D SMHG D SNHG nên I , M , N thẳng hàng ˆ : SMHG D SABCD SEHG Vậy tốn chứng minh Tơi đề xuất thêm toán sau để bạn đọc ứng dụng định lý Bài tốn Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn I / Đường tròn I / tiếp xúc AB, BC , CD, DA E, F , G, H Chứng minh I thuộc FH I thuộc EG Bài toán sau tham khảo [2] Bài toán Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I / .I / tiếp xúc AD, BC P , Q Gọi AB cắt CD S (A SB) Gọi I1 / đường tròn nội tiếp 4SAD tiếp xúc với AD K Gọi I2 / đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh S 4SBC tiếp xúc BC L Lấy M , N trung điểm AD, BC Biết S LK Chứng minh I thuộc MN IA:IC D IB:ID 83 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 T B I2 A Q P N M L I1 K S D C Lời giải theo Luis González Ta sử dụng bổ đề Bổ đề 4ABC ngoại tiếp đường tròn I / Đường tròn bàng tiếp Ia / ứng với góc A 4ABC tiếp xúc BC D Gọi M trung điểm BC Chứng minh AD k IM (IM gọi đường thẳng Nagel) Bổ đề 4ABC ngoại tiếp đường trịn I / Đường trịn tiếp xúc BC D Gọi Ia tâm đường trịn bàng tiếp góc A 4ABC Gọi M trung điểm BC Chứng minh AD k Ia M (Ia M gọi đường thẳng Gergonne) Áp dụng bổ đề vào tốn, ta có I N k SL k IM k SK Lại có S , K, L thẳng hàng I , M , N thẳng hàng Ta thấy P , K đối xứng với qua M (M trung điểm AD) Q, L đối xứng với qua N (N trung điểm BC ) suy PQ k MN k KL Gọi AD cắt BC T Do 4TMN 4TPQ ( g.g ) Mặt khác 4TMN cân T nên ∠ATB ı ∠T NI D 90 D ∠AIB ( I tâm đường tròn bàng tiếp góc T 4TAB ) Suy IB NB NC 4IAB 4NIB ( g.g ) D D Tương tự, ta có 4I NC 4DIC ( g.g ) IA NI NI IC NC IC IB suy D Từ đó, ta có D nên IA:IC D IB:ID Vậy toán chứng ID NI ID IA minh Bài toán Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I / Đường tròn I / tiếp xúc với AB, BC , CD, DA M , N , P , Q BQ, BP cắt đường tròn I / E, F Chứng minh ME, NF , BD đồng quy 84 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 B M A j E K F N X Q I C P D Chứng minh Gọi ME giao NF K Ta có AC , BD, MP , NQ đồng quy X Áp dụng định lý Pascal cho lục giác MEQNFP suy K, B, X thẳng hàng ME, NF , BD đồng quy Vậy toán chứng minh Bài toán (Romania TST 2012) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn cho ∠ABC C ı ∠ADC < 180 ∠ABD C ∠ACB D ∠ACD C ∠ADB Chứng minh hai đường chéo tứ giác ABCD qua trung điểm đường chéo lại B A E C D Chứng minh Đường tròn ngoại tiếp 4ABC cắt BD E Dễ dàng nhận thấy ∠DAE D DA DE DE DC ∠DCE Áp dụng định lý sin, ta có D D D sin ∠AED sin ∠DAE sin ∠DCE sin ∠DEC DA sin ∠AED sin ∠ACB AB Suy D D D Lại có tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn DC sin ∠DEC sin ∠BAC BC DA BC C DA CD AB D BC C DA CD Nên D DC BC Hay BC CD/.DA CD/ D suy BC D CD CD D DA Khi BC D CD AB D DA Do AC trung trực BD hay AC qua trung điểm BD Chứng minh tương tự với trường hợp CD D DA Vậy toán chứng minh Đặc biệt, IMO Shortlist xuất nhiều toán liên quan đến tứ giác ngoại tiếp số toán sau điển hình 85 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Bài toán (IMO Shortlist 2009) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Một đường thẳng d / qua A cắt BC M , cắt CD N Gọi I1 /; I2 /; I3 / đường tròn nội tiếp 4ABM , 4MNC , 4NDA Chứng minh trực tâm 4I1 I2 I3 nằm d / B A I1 X H E I3 M F I2 D C N Chứng minh Gọi X giao điểm d / với tiếp tuyến kẻ từ C với đường tròn I1 / nên ABCX tứ giác ngoại tiếp hay CX D BC C AX AB Lại có ABCD ngoại tiếp nên AD D AB C CD BC Suy CX C AD D AX C CD hay tứ giác AXCD ngoại tiếp đường tròn.I3 / Gọi E; F đối xứng với C qua I2 I3 , I2 I1 ; H trực tâm 4I1 I2 I3 Dễ thấy E, F thuộc d / Lại có F I2 HI1 , I3 HEI2 nội tiếp, ∠FHI2 D ∠F I1 I2 D ∠CI1 I2 D ∠CI3 I2 D ∠EI3 I2 D ∠EHI2 hay H thuộc d / Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Trong q trình tìm hiểu, tơi nhận thấy toán số đề thi VN TST 2015 coi mở rộng từ toán Bài tốn 4ABC nhọn có điểm P nằm tam giác cho ∠APB D ∠AP C D ˛ ı ˛ > 180 ∠BAC Đường tròn ngoại tiếp 4APB cắt AC E, đường tròn ngoại tiếp 4AP C cắt AB F Q điểm nằm 4AEF cho ∠AQE D ∠AQF Gọi D điểm đối xứng với Q qua EF , phân giác ∠EDF cắt AP T a) Chứng minh ∠DET D ∠ABC ; ∠DF T D ∠ACB b) Đường thẳng PA cắt đường thẳng DE, DF M , N Gọi I , J tâm đường tròn nội tiếp 4PEM , 4PF N K tâm đường tròn ngoại tiếp 4DIJ Đường thẳng DT cắt K/ H Chứng minh HK qua tâm đường trịn nội tiếp 4DMN Bài tốn (IMO Shortlist 2007) Cho điểm P nằm cạnh AB tứ giác ABCD Gọi I /, I1 /, I2 / đường tròn nội tiếp 4CPD, 4APD, 4CPB Biết đường tròn I / tiếp xúc vời đường tròn I1 /, I2 / K, L Gọi E, F giao điểm AC , BD AK, BL Chứng minh E, I , F thẳng hàng 86 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 D C F I E K L I1 I2 A P B N M Chứng minh Gọi M , N giao điểm hai tiếp tuyến chung I /, I1 / I /, I2 / AD C DP AP DP C DC P C CP C BC BP DC C CP D D 2 2 AD C CP D AP C CD nên hay tứ giác AP CD, BPDC ngoại tiếp đường tròn BP C CD D DP C BC Ta có DP , Áp dụng định lý Monge & d’Alembert cho ba đường tròn I /, I1 /, AP CD/ I /, I2 /, BPDC / M; A; C N; B; D Tương tự, áp dụng định lý Monge & d’Alembert cho ba đường tròn I /, I1 /, I2 / suy KL, AB, MN đồng quy Ta tiếp tục áp dụng định lý Desargues cho 4KAM 4LBN ; suy E, I , F thẳng hàng Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tốn 10 (Sharygin Geometry Olympiad 2014) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I / Đường tròn I / tiếp xúc BC; DA E; F cho AB; EF; CD đồng quy Đường tròn ngoại tiếp tam giác AED BF C cắt I / điểm thứ E1 ,F1 Chứng minh EF k E1 F1 87 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 P R N B E C E1 G M F1 H I A F D Chứng minh Đường tròn I / tiếp xúc với AB CD G H Gọi P điểm đồng ( quy AB, EF , CD suy BC , AD, GH đồng quy R Lấy EE1 giao AD M MF D ME:ME1 (do M tâm đẳng phương I /; AED/; AID/ ) Suy ME:ME1 D MA:MD Ta có raMF D MA:MD Áp dụng định lý Ceva cho 4PAD với AC , BD, PF đồng quy, ta có FA CD BP D Ta lại áp dụng định lí Menelaus cho 4PAD với R, B, C thẳng hàng, ta FD CP BA RD BA CP RD FD có D Từ suy D AD; RF / D RA BP CD RA FA Từ kết hợp hệ thức Newton, suy M trung điểm RF Tương tự, FF1 giao BC 2 N , suy N trung điểm RE Mà RE D RF D RG:RH , nên 4REF cân R Suy ∠NFE D ∠NEF Lại có tứ giác EFE1 F1 nội tiếp đường trịn I / tứ giác EFE1 F1 hình thang cân Suy EF k E1 F1 Vậy toán chứng minh Bài toán 11 Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I / Lấy M đối xứng A qua BD Gọi DM cắt BC E, BM cắt DC F Chứng minh tứ giác CEMF ngoại tiếp đường trịn 88 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 B A K E I M J C F D DK BK Chứng minh Gọi CI cắt BD K nên CK phân giác ∠BCD suy D Gọi BC DC phân giác góc ∠MBC giao CI J1 suy ∠IBJ1 D ∠ABM D ∠ABD D ∠MBD IK J1 K BK ∠IBK D ∠CBJ1 D ∠MBJ1 Từ ta có D / Gọi phân giác ∠CDM IC J1 C BC IK J2 K J1 K DK J2 K cắt CI J2 Tương tự, ta có D / Từ điều trên, suy D IC J2 C DC J1 C J2 C hay J1 Á J2 Á J Nên CJ , FJ , EJ MJ phân giác ∠F CE, ∠CFM , ∠CEM , ∠FME J tâm đường trịn nội tiếp tứ giác CEMF Vậy tốn chứng minh Bài toán sau tham khảo [4] ứng dụng định lý từ đến công thức liên quan đến yếu tố tứ giác ngoại tiếp Bài toán 12 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I / khơng có cặp cạnh song song Chứng minh I trọng tâm ABCD IA:IC D IB:ID B M E A N Q H D F I P G C Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh chiều thuận toán nghĩa I trọng tâm tứ giác ABCD IA:IC D IB:ID đặt AM D AQ D a, BM D BN D b, CN D CP D c, ja d j jb cj DP D DQ D d suy QH D ; NF D 2 Gọi E, F , G, H trung điểm AB, BC , CD, DA Ta có I trọng tâm tứ giác ABCD nên I trung điểm HF suy HQ D NF hay ja d j D jb cj.Trường hợp 1: 89 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 a d D b c nên a C c D b C d Theo định lý 8, ta có IA:IC D IB:ID Trường hợp 2: a d D c b nên a C b D c C d Tương tự a b D c d suy a D c, b D d Do tứ giác ABCD hình bình hành (do tứ giác ABCD khơng có cặp cạnh song song) Ta chứng minh xong phần thuận tốn Tiếp theo, ta chứng minh phần đảo, tức IA:IC D IB:ID I trọng tâm tứ giác ABCD Ta có IA:IC D IB:ID suy HQ D NF , IF D IH hay I thuộc đường trung trực FH Tương tự I thuộc đường trung trực EG Mà EG FH không song song suy I trọng tâm ABCD Vậy toán chứng minh xong Bài tập tự luyện Bài toán 13 (Sharygin Geometry Olympiad 2014) Cho I tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Tiếp tuyến A C đường tròn ngoại tiếp 4AIC cắt X Hai tiếp tuyến B D đường tròn ngoại tiếp 4BID cắt Y Chứng minh X , Y , I thẳng hàng Bài toán 14 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I / Gọi H1 , H2 , H3 , H4 trực tâm 4IAB, 4IBC , 4ICD, 4IDA Chứng minh H1 , H2 , H3 , H4 thẳng hàng Bài toán 15 Cho tứ giác ABCD nội tiếp Một đường tròn qua C , D giao AC , AD, BC , BD A1 , A2 , B1 , B2 Một đường tròn khác qua A, B giao CA, CB, DA, DB C1 , C2 , D1 , D2 Chứng minh tồn đường tròn tiếp xúc với A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 , D1 D2 Bài toán 16 Cho hai đường tròn O1 / O2 / tiếp xúc với O/ A, B Từ A kẻ tiếp tuyến At1 , At2 tới O2 /, từ B kẻ tiếp tuyến Bz1 , Bz2 tới O1 / Gọi At1 cắt Bz1 X , At2 cắt Bz2 Y Chứng minh AXBY ngoại tiếp đường trịn Bài tốn 17 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Đường trung trực DA, AB, BC , CD cắt trung trực AB, BC , CD, DA X , Y , Z, T Chứng minh tứ giác X Y ZT ngoại tiếp đường tròn Bài toán 18 Cho 4ABC , lấy D, E thuộc BC Gọi I1 /, I2 /, I3 /, I4 / đường tròn nội tiếp 4ABD, 4ACE, 4ABE, 4ADC Chứng minh tiếp tuyến chung khác BC I1 /, I2 /, I3 /, I4 / cắt BC Lời kết Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy Trần Quang Hùng giáo viên trường THPT chuyên KHTN, Hà Nội, anh Ngơ Quang Dương học sinh lớp 12A2 Tốn trường THPT chuyên KHTN, Hà Nội, đọc kỹ thảo đưa lời góp ý quý báu, xác đáng để tài liệu hoàn chỉnh Mặc dù cố gắng tài liệu có nhiều thiếu sót, tơi mong nhận góp ý phê bình bạn đọc để chun đề hoàn thiện Tài liệu tham khảo [1 ] http://www.artofproblemsolving.com/community/q1h490078p2747906 90 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 [2 ] http://www.artofproblemsolving.com/community/q1h569004p3338258 [3 ] Blog hình học sơ cấp http://analgeomatica.blogspot.com/ [4 ] http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h35309p220212 [5 ] Mathley No 1, (January 2014) [6 ] DarijGrinberg, Circumscribed quadrilaterals revisited, 2012 [7 ] The IMO Compendium [8 ] Đề thi Vietnam Team Selection Tests 2015 91 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 92 ... tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Tiếp tuyến A C đường tròn ngoại tiếp 4AIC cắt X Hai tiếp tuyến B D đường tròn ngoại tiếp 4BID cắt Y Chứng minh X , Y , I thẳng hàng Bài toán 14 Cho tứ giác. .. W Vậy tốn chứng minh Tiếp theo kết tiếng tứ giác ngoại tiếp Bài toán (Đường thẳng Newton tứ giác ngoại tiếp) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn I / trung điểm hai đường chéo AC , BD I thẳng... (Sharygin Geometry Olympiad 2014) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn I / Đường tròn I / tiếp xúc BC; DA E; F cho AB; EF; CD đồng quy Đường tròn ngoại tiếp tam giác AED BF C cắt I / điểm thứ E1