Chủ đề :TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒNA Mục tiêu:Sau khi học xong chủ đề này học sinh có thể : -Nắm vững các phương pháp chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn và tứ giác nội ti
Trang 1Chủ đề :TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN
A) Mục tiêu:Sau khi học xong chủ đề này học sinh có thể :
-Nắm vững các phương pháp chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn
và tứ giác nội tiếp đường tròn
-Vận dụng thành thạo 4phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
-Có khả năng trình bày lô gic bài toán chứng minh hình học
B)Thời lượng :6tiết
C)Nội dung:
-1) Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
Ta đã biết qua ba đỉnh của một tam giác, bao giờ cũng vẽ được một đường tròn.Nhưng không phải bao giờ cũng vẽ được một đường tròn qua bốn đỉnh của một tứ giác Trong trường hợp bốn đỉnh của cùng một tứ giác thuộc cùng một đường tròn, tứ giác đó đượcgọi là tứ giác nội tiếp Đối với một tứ giác nội tiếp, ta cộng sản thể vậndụng đợc nhiều tính chất của đờng tròn, nhất là các tính chất về góc Vì thế, việc phát hiện được những tứ giác nội tiếp trong bài toán (nếu có) có ý nghĩa rất quan trọng
- Chứng minh tồn tại một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác
- Chứng minh tứ giác đó có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau
-Nếu một tứ giác có hai góc đối bù nhau thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn.
-Nếu một tứ giác có một góc bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn.
Bài tập 1: Cho tam giác ABC nột tiếp đường tròn (O), AB < AC Tia phân giác của
góc A cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E Trên tia AC lấy điểm K sao cho AK = AB Chứng minh rằng :
a/ ABD = AKD;
b/ DKCE là tứ giác nội tiếp
Giải (hình 3.21)
a/ Xét ABD và AKD ta có
AD là cạnh chung
1
A =
2
A (giả thiết)
AB = AK (giả thiết)
Do đó ABD = AKD (c.g.c)
b/ AEC = ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) => DEC = ABD (1)
ABD = AKD => ABD =
1
Từ (1) và (2) suy ra DEC=
1
K
Tứ giác DKCE có góc DEC bằng góc ngoài K1 nên là tứ giác nội tiếp
Lưu ý:
Cũng có thể chứng minh tứ giác DKCE nội tiếp bằng cách chứng minh
2
E =
1
C , hai góc này cùng bằng
1
E
*) Ta đã biết : Nếu hai cát tuyến AB và CD của một đường tròncắt nhau thì MA.MB = MC.MD
Trang 2Đảo lại, ta cũng chứng minh được: Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M và MA.MB = MC.MD thì bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn Nhận xét này rất có ích để chứng minh một tứ giác nội tiếp
Bài tập2: Cho hình thang ABCD có A = D = 900 Gọi E là trung điểm AD Kẻ AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE Chứng minh rằng BHCI là tứ giác nội tiếp Giải (hình 3.24)
Tam giác AEB vuông tại A, đường cao AH nên EH.EB = EA2 (1)
Tam giác DEC vuông tại D, đường cao DI nên EI.EC = ED2 (2)
Ta lại có EA = ED nên từ (1) và (2) suy ra EH.EB = EI.EC
Từ hệ thức này, ta chứng minh được BHIC là tứ giác nội tiếp như sau:
Xét EHI và ECB ta có:
E chung
EH
EC = EI
EB (Vì EH EB = EI EC)
Do đó EHI ~ ECB (c.g.c), suy ra
1
H =
1
C
Tứ giác BHIC có C bằng góc ngoài
1
H nên là tứ giác nội tiếp
Trong một số bài toán, ta cần chứng minh nhiều điểm, chẳn hạn năm điểm thuộc cùng một đường tròn Thường có hai cách sau:
Chứng minh tồn tại một điểm cách đều năm điểm nói trên
Chứng minh bốnđiểm cùng thuộc một đường tròn, rồi chứng minh điểm thứ năm cùng thuộc đường tròn đi qua bốn điểm đó
Bài tập.3: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD.Gọi M là điểm đối xứng với D qua
AB, gọi N là điểm đối xứng với D qua AC.Gọi F, E theo thứ tự là giao điểm qua MN với AB, AC Chứng minh rằng:
Năm điểm A, F, D, C, N thuộc cùng một đường tròn
Các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy
Giải (hình 3.25)
Vì D đối xứng với N qua AC nên ADC = ANC.Ta lại có ADC = 900 nên ANC= 900
Tứ giác ADCN có ADC + ANC = 2.900 = 1800 nên nó là tứ giác nội tiếp
D đối xứng với M qua AB nên
1
D =
1
M
do tính đối xứng nên AM = AD, AN = AD, suy ra AM = AN, do đó
1
M =
1
N Suy
ra
1
D =
1
N nên nó là tứ giác nội tiếp
Xét đường tròn đi qua năm điểm A, F, D, C, N ta có AFC = ADC(hai góc nội tiếp cùng chắn cung)
ADC = 900 nên AFC = 900
Như vậy CF AB Tương tự BE AC
Ta có AD, BE, CF là các đường cao của ABC nên chúng đồng qui
Lưu ý:
Nhờ chứng minh bốn điểm A, F, D, C thuộc cùng một đường tròn, ta chứng minh được
CF AB, BE AC.Tứ giác nội tiếp đã giúp ta tìm ra các đường thẳng vuông góc Ta
sẽ khai thác thêm ví dụ 4 trong ví dụ dưới đây
Bài tập4: Cho hình thang ABCD có A = D = 900 Gọi E là trung điểm của AD, đường cao AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE Gọi K là giao điểm của AH Chứng minh rằng EK vuông góc với BC
Trang 3Giải (hình 3.26)
Gọi F là giao điểm của EK và BC, ta sẽ chứng minh CIKF là tứ giác nội tiếp
Ở ví dụ 4.2, ta đã chứng minh BHIC là tứ giác nội tiếp và EHI = BCI (1)
Ta lại có EHKI là tứ giác nội tiếp (vì H + I = 900 + 900 = 1800), nên EHI= EKI (2)
Từ (1) và (2) suy ra BCI= EKI Tứ giác CIKF có góc C bằng góc ngoài EKI nên là tứ giác nội tiếp, suy ra CKI + CFK= 1080 Ta đã có CKI= 900 nên CFK = 900 Vậy EK
BC
Bài tập.5: Tứ giác ABCD có B= 700, D= 1100 Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng AB, AC, BC Chứng minh rằng 3 điểm
H, K, I thẳng hàng
Giải (hình 3.27)
Ta sẽ chứng minh DHI + DIK = 1800
Tứ giác AHDI có AHD+ AID = 900 + 900 = 1800 nên là tứ giác nội tiếp, suy ra DHI =
DAH(hai góc nội tiếp cùng chắn một cung )
Tứ giác DIKC có DIC= DKC= 900 nên là tứ giác nội tiếp, suy ra DIK = 1080 - DCK
Suy ra DIH + DIK= DAH+ 1800 - DCK(1)
Tứ giác ABCD có B+ D = 700 + 1100 = 1800 nên là tứ giác nội tiếp, suy ra DCK=
DAH
Từ (1) và (2) suy ra DIH+ DIK= 1800, do đó ba điểm H, I, K thẳng hàng
Lưu ý:
Tổng quát, ta chứng minh được: Chân các đường vuông góc kẻ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác đến ba cạnh của tam giác ấy nằm trên một đường
thẳng Đường thẳng nàygọi là đường thẳng Xim-xơn của tam giác (robert Símon,
1687 – 1768, nhà toán học Xcốt-len)
:
Bài tập6Cho đường tròn (O) đường kính AB M là một điểm trên tiếp tuyến xBy.
AM cắt đường tròn tại C D BM, AD cắt đường tròn tại I Chứng minh tứ giác CIMD nội tiếp đường tròn
Phương pháp : Vận dụng tính chất tổng hai góc đối bằng 1800
Gợi ý:
Nối CI và BC
BCI = IAB (góc nội tiếp chắn cùng BI
Chứng minh được MCI = IDB
Vậy tứ giác CIDM nội tiếp được đường tròn
Bài tập7:
Cho ABC vuông góc tại A, có AB = 5cm, AC = 5 3 Đường cao AH (H BC).Đường tròn tâm (H), bán kính HA cắt AB tại D và AC tại E
Trang 4Chứng minh tứ giác CEBD nội tiếp được đường tròn
Phương pháp : Vận dụng tính chất góc nội tiếp bằng nhau chắn cùng một cung
Gợi ý:
Tính BC = 10cm => vuông ABC là nửa tam giác đều và ABC = 600, ACB=
300
Chứng minh 3 điểm D, H, E thẳng hàng
Xét vuông ADE có DH = HE và AEH = 600 => ADE= 300
Do đó ADE = ACB = 300 cũng có cạnh đối BE không đổi (E AC, B AD)
Vậy tứ giác CEBD nội tiếp đường tròn
Bài tập 8:
Cho đường tròn (O), đường kính AB Từ A và B vẽ Ax AB và By AB.Vẽ tiếp tuyến x’My’ (M là tiếp điểm) cắt Ax tại C và By tại D OC cắt AM tại I và OD cắt
BM tại K
Chứng minh tứ giác CIKD nội tiếp được đường tròn
Phương pháp : Vận dụng tính chất góc ngoài bằng góc đối trong
Gợi ý:
Chứng minh tứ giác MIOK là hình chữ nhật
Do đó MIOK nội tiếp đường tròn
và
1
M =
1
I (cùng chắn OK)
=>
1
I =
1
D
mà
1
M =
1
D (góc có cạnh tương ứng )
Có góc
1
I ngoài = góc
1
D đối trong
Suy ra : Tứ giác MIKD nội tiếp được đường tròn
Bài tập 9:
Cho hai đường tròn (O) đường kính AB, vẽ bán kính OC AB Từ B vẽ tiếp tuyến Bx Gọi M là trung điểm OC, AM kéo dài cắt đường tròn tại E và Bx tại I Tiếp tuyến vẽ từ E cắt Bx tại D
Chứng minh tứ giác MODE nội tiếp được đường tròn
Phương pháp : Vận dụng tính chất bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm cố
định
Gợi ý:
Chứng minh MD // OB => DMO = 900
Gọi O’ là trung điểm OD
Nối O’M và O’E
Xét hai tam giác vuông MOD và EOD có :
O’M = OO’ = O’D (tính chất trung tuyến của tam giác vuông )
và O’E = OO’ = O’D (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Suy ra O’M = O’E = O’D = OO’
Vậy tứ giác MODE nội tiếp được đường tròn
Trang 5Chú ý: Hoặc có thể chứng minh tứ giác MODE là hình thang cân thì nội tiếp
đựợc