Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN KIẾN THỨC CƠ BẢN: Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Đường trịn gọi đường trịn ngoại tiếp tứ giác I Phương pháp chứng minh: Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB Câu 1: D   600 , CD  AD Chứng minh bốn Cho hình thang ABCD ( AB / / CD , AB  CD ) có C điểm A, B, C , D thuộc đường tròn Hướng dẫn giải  IC  AB Gọi I trung điểm CD , ta có   ICBA hình hành  BC  AI (1)  IC / / AB Tương tự AD  BI (2) D   600 nên ABCD hình thang cân(3); mà ABCD hình thang có C Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ICB; IAD hay IA  IB  IC  ID hay bốn điểm A, B, C , D thuộc đường trịn Câu 2: Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M , N , R S hình chiếu O AB, BC , CD DA Chứng minh bốn điểm M , N , R S thuộc đường tròn Trang 01 Hướng dẫn giải Do ABCD hình thoi nên O trung điểm AC , BD ; AC , BD phân giác góc A, B, C , D nên MAO  SAO  NCO  PDO  OM  ON  OP  OS hay bốn điểm M , N , R S thuộc đường trịn Câu 3: Cho tam giác ABC có đường cao BH CK Chứng minh B, K , H , C nằm đường tròn Xác định tâm đường trịn Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm CB , CHB; CKB vuông H , K nên IC  IB  IK  IH hay B, K , H , C nằm đường tròn tâm I Mức độ 2: TH Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I ( I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải C E F A I O B D   900 (gt) Tứ giác BEFI có: BIF   BEA   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BEF Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF Câu 5: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn  O; R  ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI  AB , MK  AC , MI  AB, MK  AC  I  AB, K  AC  Trang 02 a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ MP  BC  P  BC  Chứng minh: CPMK tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải A K I B M H C P O   AKM   900 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM a) Ta có: AIM   MKC   900 (gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp b) Tứ giác CPMK có MPC Câu 6: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc  cạnh BC cho: IEM  900 ( I M khơng trùng với đỉnh hình vuông ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường trịn  b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng BKCE tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải K N M B C I E A D   a)Tứ giác BIEM : IBM  IEM  900 (gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM   b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME  IBE  450 (do ABCD hình vng) Trang 03     c) EBI ECM có BE  CE , BEI  CEM ( IEM  BEC  900 )  EBI =ECM (g-c-g)  MC  IB  MB  IA MA MB IA = Suy IM song song với BN  MN MC IB Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: (định lí Thalet đảo)    IME   450 (2) Lại có BCE  450 (do ABCD hình vng)  BKE   Suy BKE  BCE  BKCE tứ giác nội tiếp Mức độ 3: VDT Câu 7: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB  R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C tiếp điểm) AC cắt OM E ; MB cắt nửa đường tròn  O  D ( D khác B ) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải x N C M D E A I H O B   Vì MA, MC tiếp tuyến nên: MAO  MCO  900  AMCO tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MO   ADB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  ADM  900 (1) Lại có: OA  OC  R ; MA  MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC   AEM  900 (2) Từ (1) (2) suy AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA Câu 8: Cho hai đường trịn  O  (O) cắt A B Vẽ AC , AD thứ tự đường kính hai đường trịn  O  (O) a) Chứng minh ba điểm C , B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) E ; đường thẳng AD cắt đường tròn  O  F ( E , F khác A ) Chứng minh bốn điểm C , D, E , F nằm đường tròn Hướng dẫn giải Trang 04 F E I M d O/ O K C N A D B   a) ABC ABD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O    (O)  ABC  ABD  900 Suy C , B, D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có:   CFD  CFA  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))   CED  AED  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O/)    CFD  CED  900 suy CDEF tứ giác nội tiếp Câu 9: Cho đường tròn  O  (O) cắt hai điểm A B phân biệt Đường thẳng OA cắt O  , (O) điểm thứ hai C D Đường thẳng OA cắt  O  , (O) điểm thứ hai E E, F Chứng minh đường thẳng AB , CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải: I E A D O' O B C P H F Q   90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có: ABC   90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên B , C , F thẳng hàng AB , CE DF ABF đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy   IBF   900 suy BEIF nội tiếp đường tròn Do IEF Mức độ 4: VDC Trang 05 Câu 10: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn  O  Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua V vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ANB đồng dạng với CMD từ suy IMKN tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải y x D N C K I A M O B   a)Ta có tứ giác ACNM có: MNC  900 (gt) MAC  900 ( tínhchất tiếp tuyến)  ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD b) ANB CMD có:   ABN  CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)   BAN  DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ANB  CMD (g.g)    ANB   90o (do ANB c) ANB  CMD  CMD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O  )   Suy IMK  INK  900  IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK BÀI TẬP TỰ LUYỆN Mức độ 1: NB Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M , N hình chiếu B đường thẳng AC , AD Chứng minh bốn điểm A, B, M , N nằm đường tròn HD: Chứng minh bốn điểm A, B, M , N nằm đường trịn đường kính AB Bài Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H Chứng minh bốn điểm A, D, H , E nằm đường trịn (gọi tâm O) HD Chứng minh bốn điểm A, D, H , E nằm đường trịn đường kính AB Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn  O; R  Các đường cao BE CF cắt H Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải:   AFH   900 (gt) Suy AEHF tứ giác nội tiếp Tứ giác AEHF có: AEH   BFC   900 (gt) Suy BCEF tứ giác nội tiếp - Tứ giác BCEF có: BEC Trang 06 II Phương pháp chứng minh “Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù ( tổng hai góc đối diện 1800 ) CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB Câu 11: Hình chữ nhật; Hình thang cân; Hình bình hành Hình nội tiếp đường tròn? Chứng minh Hướng dẫn giải Ta có hình chữ nhật hình thang cân có tổng hai góc đối diện bù nên chúng nội tiếp đường tròn Câu 12: Cho tứ giác ABCD cho: AD cắt BC M MA.MD  MB.MC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Hướng dẫn giải Xét hai tam giác MAB , MCD Có   AMB  CMD MA.MD  MB.MC  MA MC  MB MD hay MAB  MCD hay   MAB   DAB   BCD   180o hay tứ giác ABCD nội tiếp MCD Câu 13: Cho đường tròn  O; R  ,đường kính AB Dây BC  R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải B O Ta có E trung điểm AC  OE  AC   90o nên tứ giác OBME nội tiếp Mà Bx  AB  ABx I A E C Mức độ 2: TH M x Câu 14: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I ( I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải Trang 07 C E F A I O B D   900 (gt) BEF   BEA   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Tứ giác BEFI có: BIF Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường trịn đường kính BF Câu 15: Cho đường trịn tâm O đường kính AB , điểm M nửa đường trịn ( M khác A , B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I ; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E ; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H , cắt AM K Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải X I F M H E K A B O   90o (vì hai góc kề bù) Ta có:  AMB  90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )  KMF    90o (vì hai góc kề bù) AEB  90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )  KEF   KMF   180o EFMK tứ giác nội tiếp  KEF Câu 16: Cho đường trịn tâm O đường kính AB , Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E , F ( F B E )  Chứng minh:  ABD  DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp X E C D A O F B Hướng dẫn giải:   90o (vì tổng ba góc 1) ADB có  ADB  90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )   ABD  BAD tam giác 180o )(1) Trang 08   BAF   90o (vì tổng ba góc tam ABF có  ABF  90o ( BF tiếp tuyến )  AFB giác 180o ) (2)  Từ (1) (2)   ABD  DFB 2) Tứ giác ACDB nội tiếp  O    ABD   ACD  180o   ACD   180o  ( Vì hai góc kề bù)  ECD   DBA   ECD   DBA   ECD   DFB  Mà EFD   DFB   180o ( Vì hai  , ECD Theo  ABD  DFB   góc kề bù) nên  ECD AEFD  180o , tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Mức độ 3: VDT Câu 17: Cho đường tròn  O; R  ; AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn  O; R  cắt đường thẳng AC , AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ACD  CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải A D O C E B F a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật   b) Tứ giác ACBD hình chữ nhật suy CAD  BCE  900 (1)     Lại có CBE  sđ BC (góc tạo tiếp tuyến dây cung); ACD  sđ AD (góc nội tiếp), mà 2     AD  (do BC  AD )  CBE BC  ACD (2) Từ (1) (2) suy ACD  CBE   c) Vì ACBD hình chữ nhật nên CB song song với AF , suy ra: CBE  DFE (3)   Từ (2) (3) suy ACD  DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường trịn Câu 18: Cho nửa đường trịn đường kính BC  R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH  BC Nửa đường trịn đường kính BH , CH có tâm O1 ; O2 cắt AB CA thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R  25 BH  10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải   90o (vì góc nội tiếpchắn nửa đường trịn) a) Ta có BAC A E   CEH   90o Tương tự có BDH D B O1 H Trang 09O2 O C   ADH   AEH   90o hay ADHE hình chữ nhật Xét tứ giác ADHE có A Từ DE  AH mà AH =BH CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) hay AH  10.40  202  BH  10; CH  2.25  10  40   DE  20  (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH = C   ADE  (1) b) Ta có: BAH   ADE  C   BDE   180o nên tứ giác BDEC nội tiếp (Vì ADHE hình chữ nhật) => C đường tròn Câu 19: Cho đường tròn  O, R  đường kính AB Các tia AC , AD cắt Bx E F ( F nằm B E ) Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải X E C D O A F B  (1) (cùng phụ với DBF  )  ABD  BFD  Mặt khác A, B , C , D nằm đường tròn nên ECD ABD (2)   BFD   ECD   EFD   180o hay CEFD tứ giác nội tiếp Từ (1) (2) ECD Mức độ 4: VDC Câu 20: Cho ABC cân A , I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh bốn điểm B, I , C , K thuộc đường tròn tâm O A I B H C O K Hướng dẫn giải:  B   900 =B , B =B  Mà B +B +B +B  = 1800 B Theo giả thiết ta có: B 4 Trang 010 +C  = 900 Tương tự C   Xét tứ giác BICK có B + C = 1800  bốn điểm B, I , C , K thuộc đường trịn tâm O đường kính IK Câu 21: Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E , nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F Chứng minh: 1) Tứ giác AFHE hình chữ nhật 2) Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải a e o f c b o2 h o1 Từ giả thiết suy  = 900 , HEB  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CFH    90o  AFHE hình chữ nhật Trong tứ giác AFHE có: A=F=E=  = AHE  (góc nội tiếp chắn AE  ) (1) 2) Vì AFHE hình chữ nhật  AFHE nội tiếp  AFE  = ABH  (góc có cạnh tương ứng  ) (2) Ta lại có AHE Từ (1) (2)  + AFE  = 1800  CFE  + ABH  = 1800 Vậy tứ giác BEFC nội tiếp  = ABH  mà CFE  AFE Câu 22: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB C điểm nằm O A Đường thẳng vng góc với AB C cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI ( K khác C I ), tia AK cắt nửa đường tròn  O  M , tia BM cắt tia CI D Chứng minh: 1) ACMD tứ giác nội tiếp đường tròn 2) ABD ~ MBC 3) AKDE tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải D M I K E A C O B Trang 011   1) Ta có: AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AMD  900 Tứ giác ACMD có   AMD  ACD  900 , suy ACMD nội tiếp đường trịn đường kính AD    2) ABD MBC có: B chung BAD  BMC (do ACMD tứ giác nội tiếp) Suy ra: ABD ~ MBC (g – g)     3) Lấy E đối xứng với B qua C E cố định EDC  BDC , lại có: BDC  CAK (cùng    phụ với B ), suy ra: EDC  CAK Do AKDE tứ giác nội tiếp III Phương pháp chứng minh: “Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm cịn lại hai góc nhau” CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB Câu 23: Cho tam giác ABC , lấy điểm D thay đổinằm cạnh BC (D không trùng với B C ) Trên tia AD lấy điểm P cho D nằm A P đồng thời DADP  DB.DC Đường tròn T  qua hai điểm A, D cắt cạnh AB, AC F E Chứng minh rằng: Tứ giác ABPC nội tiếp A F B K E D H C P Hướng dẫn giải: Ta có DA.DP  DB.DC  DA DC  nên hai tam giác ADB,CDP đồng  mà  ADB  CDP DB DP   DCP   Tứ giác ABPC nội tiếp dạng Suy ra, DAB Câu 24: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn  O; R  ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI  AB , MK  AC ( I  AB, K  AC ) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn Trang 012 A K I B M H C P O Hướng dẫn giải   AKM   900 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM Ta có: AIM Câu 25: Cho đường trịn  O  có đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn  O  Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với MN cắt Ax By thứ tự C D Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải: y x D N C K I A M O B   90o (gt) MAC   90o ( tínhchất tiếp tuyến) Tứ giác ACNM có: MNC  ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD Mức độ 2: TH Câu 26: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn  O; R  ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI  AB , MK  AC ( I  AB, K  AC ) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ MP  BC  P  BC  Chứng minh:   MBC  MPK Hướng dẫn giải Trang 013 A K I B M H C P O   AKM   900 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM a) Ta có: AIM b) Tứ giác CPMK có   MCK  (1) tiếp  MPK   MKC   900 (gt) MPC Do CPMK tứ giác nội   MBC  (cùng chắn MC  ) (2) Vì KC tiếp tuyến  O  nên ta có: MCK   MBC  (3) Từ (1) (2) suy MPK Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI tứ giác nội tiếp Câu 27: Cho đường trịn  O; R  có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB ( CD không qua tâm O ) Trên tia đối tia BA lấy điểm S ; SC cắt  O; R  điểm thứ hai M Gọi H giao điểm MA BC ; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải:   AD  Vì AB  CD nên AC   sdMB)   tứ giác BMHK nội tiếp đường   MKB  (vì (sdAD Suy MHB tròn Câu 28: Cho đường trịn  O  có đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn  O  Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với MN cắt Ax By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ANB  CMD Trang 014 c) Gọi I giao điểm AN CM , K giao điểm BN DM Chứng minh IMKN tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải: y x D N C K I M A O B   90o (gt) MAC   90o ( tínhchất tiếp tuyến) Tứ giác ACNM có: MNC  ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD b) ∆ANB ∆CMD có:   ABN  CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)   BAN  DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp)  ANB  CMD (g.g)    ANB   90o (do ANB c) ANB  CMD  CMD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))   INK   90o  IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK Suy IMK Mức độ 3: VDT Câu 29: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc  cạnh BC cho: IEM  900 ( I M không trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường trịn  b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng BKCE tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải K N M B C I E A D   a)Tứ giác BIEM : IBM  IEM  900 (gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM Trang 015   b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME  IBE  450 (do ABCD hình vng)     c) EBI ECM có BE  CE , BEI  CEM ( IEM  BEC  90 )  EBI =ECM (g-c-g)  MC  IB  MB  IA Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB IA  = Suy IM / / BN (định lí Thalet MN MC IB đảo)    IME   450 (2) Lại có BCE  BKE  450 (do ABCD hình vuông)   Suy BKE  BCE  BKCE tứ giác nội tiếp Câu 30: Cho đường tròn  O  với dây BC cố định điểm A thay đổi cung lớn BC cho AC  AB AC  BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến  O  D C cắt E Gọi P , Q giao điểm cặp đường thẳng AB với CD ; AD với CE 1) Chứng minh rằng: DE / / BC 2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải a o b c e d p q   Sđ DC   Sđ BD  = BCD   DE / / BC 1) CDE 2   sđ (AC  - DC)  = AQC  2) APC  = AQC )  PACQ nội tiếp đường trịn (vì APC B   900 , đường cao AH trung tuyến AM Câu 31: Cho tam giác ABC có C   900 BAH   MAC  a) Chứng minh BAC   MAC  tam giác ABC có vng khơng, sao? b) Nếu BAH Hướng dẫn giải Trang 016 B H M N C A   BCA  (cùng phụ với  Ta có: BAH ABC )   MAC  (Tam giác MAC cân M theo tính chất trung tuyến tam giác vuông) MCA   MAC  Suy BAH b) Giả sử tam giác ABC tam giác vuông Kẻ đường cao CN tam giác ABC   BAH  (giả thiết) Ta có MAC   BCN  (cùng phụ với ABC ) BAH   MNC  (Tam giác MNC cân N ) MCN   MNC  Do ACMN tứ giác nội tiếp mà Suy MAC   900   ANC AMC  900  H  M Suy tam giác ABC cân (mâu thuẫn giả thiết)   MAC  tam giác ABC tam giác vuông Vậy BAH Mức độ 4: VDC Câu 32: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đường trịn đường kính AD , tâm O Hai đường chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vng góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng: 1) Các tứ giác ABEH , DCEH nội tiếp đường tròn 2) E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH 3) Năm điểm B, C , I , O, H thuộc đường tròn Hướng dẫn giải C B E I A H O D  = 90o (góc nội tiếp nửa đường trịn); H  = 90o (giả thiết) 1) Tứ giác ABEH có: B nên tứ giác ABEH nội tiếp Trang 017 =H  = 90o , nên nội tiếp Tương tự, tứ giác DCEH có C   ) 2) Trong tứ giác nội tiếp ABEH , ta có: EBH = EAH (cùng chắn cung EH     ) Trong  O  ta có: EAH = CAD = CBD (cùng chắn cung CD    Suy ra: EBH = EBC , nên BE tia phân giác góc HBC     Tương tự, ta có: ECH = BDA = BCE , nên CE tia phân giác góc BCH Vậy E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH   3) Ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông ECD , nên BIC = 2EDC (góc nội      ) Mà EDC tiếp góc tâm chắn cung EC = EHC , suy BIC = BHC     ) + Trong  O  , BOC = 2BDC = BHC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung BC Hay năm điểm B, C , I , O, H thuộc đường trịn Câu 33: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc  cạnh BC cho: IEM  900 ( I M không trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường trịn  b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng minh BKCE tứ giác nội tiếp, từ suy : CK  BN Hướng dẫn giải K N M B C I E A D   a) Tứ giác BIEM có: IBM  IEM  900 (gt); suy tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM   b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME  IBE  450 (do ABCD hình vng)       c) EBI ECM có: IBE  MCE  450 , BE  CE , BEI  CEM ( IEM  BEC  900 ) Trang 018  EBI  ECM  g c.g   MC  IB  MB  IA Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB IA = Suy MI / / BN (định lí Thalet đảo)  MN MC IB    IME   450 (2) Lại có BCE  450 (do ABCD hình vng)  BKE   Suy BKE  BCE  BKCE tứ giác nội tiếp     Suy ra: BKC  BEC  1800 mà BEC  900 ; suy BKC  900 ; hay CK  BN Câu 34: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp  D  AC; E  AB  Kẽ đường kính O  , đường cao BD , CE cắt H BK , Kẽ CP  BK  P  BK  a) Chứng minh BECD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh EDPC tứ giác nội tiếp, từ suy ED  CP ( trích HK2-Sở bắc ninh 2016-2017) Hướng dẫn giải Do E , D, P nhìn BC góc vng nên B, E , D, P, C nằm đường trịn đường kính BC Nên BECD , EDPC tứ giác nội tiếp THCS.TOANMATH.com Trang 019 ... 900 (gt) Suy AEHF tứ giác nội tiếp Tứ giác AEHF có: AEH   BFC   900 (gt) Suy BCEF tứ giác nội tiếp - Tứ giác BCEF có: BEC Trang 06 II Phương pháp chứng minh ? ?Chứng minh tứ giác có hai góc đối... Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ACD  CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải A D O C E B F a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, ... ABCD nội tiếp MCD Câu 13: Cho đường tròn  O; R  ,đường kính AB Dây BC  R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn