Nội dung chính của bài viết Điều kiện ngoại tiếp của một tứ giác không lồi và ứng dụng trình bày khái niệm tứ giác không lồi ngoại tiếp cùng với một số ứng dụng. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
ĐIỀU KIỆN NGOẠI TIẾP CỦA MỘT TỨ GIÁC KHÔNG LỒI VÀ ỨNG DỤNG Đỗ Thanh Sơn – THPT chuyên KHTN TÓM TẮT Bài báo đưa khái niệm tứ giác không lồi ngoại tiếp với số ứng dụng Mở đầu Chúng ta biết điều kiện ngoại tiếp tứ giác lồi Điều kiện đựơc phát biểu sau Điều kiện cần đủ Một tứ giác lồi ngoại tiếp đường tròn tổng độ dài cặp cạnh đối Tuy nhiên việc giải toán, nhiều ta gặp phải tốn khảo sát tính chất tiếp xúc cạnh đường thẳng chứa cạnh tứ giác không lồi với đường trịn Trong trường hợp ta sử dụng điều kiện ngoại tiếp tứ giác lồi để khảo sát toán Nội dung báo đề cập đến điều kiện "ngoại tiếp" tứ giác khơng lồi có hình dạng định nghĩa sau ứng dụng để giải toán Các định nghĩa Định nghĩa Cho tứ giác lồi ABCD có cặp cạnh đối không song song Gọi M giao điểm đường thẳng AB CD, N giao điểm đường thẳng AD BC (có thể coi B nằm A M ; D nằm A N ) Hình tạo đoạn thẳng liên tiếp AM; M C; CN; NA hình tứ giác lõm Chúng ta khảo sát vấn đề liên quan đến hình tứ giác M B C A D 69 N Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Nếu cấu hình xem tập hợp gồm tứ giác lồi ABCD, tam giác BCM tam giác CDN , ta cịn gọi tứ giác tồn phần Để cho tiện, từ ta gọi tứ giác có hình dạng định nghĩa tứ giác toàn phần ký hiệu ABCDMN Trong ký hiệu chữ A; B; C; D đỉnh tứ giác lồi, điểm M; N đỉnh sinh từ cặp đường thẳng chứa cạnh đối diện tứ giác ABCD cắt Cũng thế, đơi ta cịn nói tứ giác toàn phần ABCDMN sinh tứ giác lồi ABCD Các điểm A; B; C; D; M; N đỉnh tứ giác đoạn AB; BC; CD; DA; AM; M C; CN; ND; AN cạnh tứ giác Các đoạn thẳng AC; BD; MN đường chéo tứ giác Nếu khơng có thích gì, nói tới tứ giác toàn phần ABCDMN ta hiểu tứ giác có cấu định nghĩa Định nghĩa Ta nói tứ giác tồn phần ABCDMN ngoại tiếp đường tròn O/, O/ đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Để cho gọn, ta nói tứ giác tồn phần ABCDMN ngoại tiếp, ta hiều tứ giác ngoại tiếp đường tròn M B C I N D A Điều kiện ngoại tiếp Định lý Tứ giác toàn phần ABCDMN ngoại tiếp AM C CN D AN C CM M B L K C=C' E A F D 70 N Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Chứng minh Giả sử ABCDMN ngoại tiếp Theo định nghĩa, tồn đường tròn O/ nội tiếp tứ giác lồi ABCD Ta ký hiệu điểm K; L; E; F tiếp điểm O/ cạnh tương ứng AB; BC; CD; DA Khi ta có AM D AK C KM , CN D NL CL, AN D AF C F N , CM D ME CE Vậy AM C CN D AN C CN suy AK C KM C NL CL D AF C F N C ME CE (1) Vì AK D AF; MK D ME; NF D NL; CE D CL, nên (1) Giả sử AM C CN D AN C CM Ta cần chứng minh ABCD tứ giác ngoại tiếp Gọi O/ đường tròn nội tiếp 4MAD Ta chứng minh (O) đường tròn nội tiếp 4NAB Ta ký hiệu K; E; F tiếp điểm O/ với cạnh tương ứng AM; MD; DA 4MAD Từ N kẻ tới O/ tiếp tuyến NL khác NA (L tiếp điểm) Đường thẳng NL cắt MD C ta coi C nằm C M Theo điều kiện cần ta có AM C NC D AN C M C suy AM AN D M C NC (2) Từ giả thiết ta suy AM AN D CM CN (3) Từ (2) (3) ta có CM CN D M C NC suy CM CN D CM C C C NC hay NC D C C C CN Đẳng thức chứng tỏ C C trùng Tức cạnh BC tiếp xúc với O/: Định lý Tứ giác toàn phần ABCDMN ngoại tiếp BM C BN D DM C DN: M B=B' L K C E A F D N Chứng minh Ta sử dụng ký hiệu chứng minh định lý để chứng minh định lý 2.Gỉa sử ABCDMN ngoại tiếp, ta có BM D MK BK, BN D BL C LN; DM D DE C ME, DN D NF DF Rõ ràng BM C BN D DM C DN suy MK BK C BL C LN D DE C ME C NF DF (*) Vì MK D ME; NL D NF; BK D BL; DE D DF , nên (*) Ngược lại BM C BN D DM C DN ta cần chứng minh ABCD ngoại tiếp Gọi O/ đường tròn nội tiếp 4MAD Ta kẻ tiếp tuyến NL tới O/ khác NA Đường thẳng NL cắt AM B coi B nằm M B Theo điều kiện cần ta có B M C B N D DM C DN suy B B C BM C B N D DM C DN Theo giả thiết ta có BM C BN D DM C DN Từ ta suy B B C BM C B N D BM C BN hay B B C B N D BN Đẳng thức chứng tỏ B trùng với B Tức ABCD ngoại tiếp 71 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Ứng dụng Bây ta ứng dụng hai định lý vào giải toán Bài tốn Đường trịn tâm I nội tiếp 4ABC tiếp xúc với cạnh BC; CA; AB M; N; E a) Chứng minh tứ giác IMBE IM CN ngoại tiếp b) Chứng minh tiếp tuyến chung hai đường tròn nội tiếp tứ giác khác đường thẳng IM qua A A N E I K O1 B O2 C M Lời giải a) Rõ ràng ta có IM D IE BM D BE, nên tứ giác lồi IMBE thõa mãn điều kiện IM C BE D IE C BM Từ suy tứ giác IMBE ngoại tiếp Ta ký hiệu O1 / đường trịn nội tiếp tứ giác Tương tự, ta suy tứ giác IM CN ngoại tiếp O2 / đường tròn nội tiếp tứ giác b) Ta thấy IM tiếp tuyến chung O1 / O2 / Kẻ qua A đường thẳng tiếp xúc với O2 / khác AC Gọi K giao điểm đường thẳng với IM Ta thấy tứ giác không lồi ACMK ngoại tiếp O2 / nên ta có AC C MK D AK C M C Để chứng minh AK tiếp xúc với O1 / ta cần nghiệm lại điều kiện AK C MB D MK C AB hay AK MK D AB MB Thật vậy, điều kiện AC C MK D AK C M C tương đương với AK MK D AC M C D AN C NC / M C D AN C NC M C / D AN D AE D AB BE D AB BM Đây điều cần chứng minh Ta thấy O1 / O2 / khác phía tiếp tuyến chung AK, nên AK tiếp tuyến chung hai đường trịn Bài tốn Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Trên cạnh AB ta lấy điểm M Đường thẳng CM cắt đường thẳng AD N (ta coi A nằm D N ) Gọi I; J; K tâm đường tròn nội tiếp tam giác NCD; BM C AMN Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK qua A 72 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 D A I K N P M T J C B Lời giải Ta thấy đường thẳng IK chứa đường phân giác tam giác BM C AMN kẻ từ M Đường thẳng KI chứa phân giác ANM Ta gọi 2˛ D ANM ; 2ˇ D AMN , ta có IKJ D ˛ C ˇ (góc ngồi 4KMN / Mặt khác ta có BAD D 2˛ C 2ˇ (góc ngồi 4AMN / Từ A ta kẻ tiếp tuyến AT tới đường tròn J / (khác AB) Gọi P giao điểm AT CM Vì J / nội tiếp tứ khơng lồi BAP C , nên ta có AB C CP D BC C AP tương đương AB BC D AP CP Vì ABCD ngoại tiếp, nên AB BC D AD CD Từ kết suy AP CP D AD CD hay AP C CD D AD C CP Đẳng thức chứng tỏ tứ giác lồi ADCP ngoại tiếp đường tròn Tức AT tiếp xúc với I / Do tia AI d Hơn d , ta có IAJ d D IAP C PAI D ˛ C ˇ: Do IKJ D IAJ phân giác DAP Xét IAJ điểm K A phía IJ , nên A; J; I; K đồng viên Đó điều phải chứng minh Bài toán Cho tam giác ABC Giả sử đường elip E/ với tiêu điểm B; C cắt cạnh AB; AC M; N Dựng tiếp tuyến với E/ điểm M N Gọi I giao điểm tiếp tuyến Chứng minh tia AI phân giác BAC A I N M P C B 73 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Lời giải Gọi P giao điểm đoạn thẳng BN CM Trong tứ giác tồn phần AMPNBC ta có MB C M C D NB C NC Do tứ giác ngoại tiếp Theo định nghĩa tồn đường tròn nội tiếp tứ giác AMPN Cần lưu ý MI NI tia phân giác góc đỉnh M N tứ giác AMPN Vậy I tâm đường trịn nội tiếp tứ giác AMPN Tức AI tia phân giác BAC Bài toán Cho hai đường trịn O1 / O2 / có bán kính khác nằm T1 T2 T3 T4 tiếp chung hai đường tròn (T1 T3 tiếp điểm thuộc O1 /, T2 T4 thuộc O2 // Gọi O giao điểm cuat đường thẳng T1 T2 T2 T4 Trên đoạn OT1 ta lấy điểm M OT4 lấy điểm N Gọi MM1 tiếp tuyến với O1 / khác T1 T2 , MM2 tiếp tuyến với O2 / khác T1 T2 , N N1 tiếp tuyến với O1 / khác T3 T4 , N N2 tiếp tuyến với O2 / khác T3 T4 Gọi A giao điểm MM1 N N1 , B giao điểm N N2 MM2 , C giao điểm MM2 N N1 , D giao điểm MM1 N N2 Chứng minh đường thẳng AB tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn đồng quy T1 N1 D T4 M2 A B O1 M C O2 N T2 O N2 M1 T3 Lời giải ví dụ dành cho bạn đọc Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Thanh Sơn, Các phép biến hình mặt phẳng, NXBGD 2001 [2] Đỗ Thanh Sơn, Toán nâng cao hình học 11, NXBGD 2013 74 ... BM D BE, nên tứ giác lồi IMBE thõa mãn điều kiện IM C BE D IE C BM Từ suy tứ giác IMBE ngoại tiếp Ta ký hiệu O1 / đường tròn nội tiếp tứ giác Tương tự, ta suy tứ giác IM CN ngoại tiếp O2 / đường... Định nghĩa Ta nói tứ giác tồn phần ABCDMN ngoại tiếp đường trịn O/, O/ đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Để cho gọn, ta nói tứ giác tồn phần ABCDMN ngoại tiếp, ta hiều tứ giác ngoại tiếp đường tròn... Nếu cấu hình xem tập hợp gồm tứ giác lồi ABCD, tam giác BCM tam giác CDN , ta cịn gọi tứ giác tồn phần Để cho tiện, từ ta gọi tứ giác có hình dạng định nghĩa tứ giác toàn phần ký hiệu ABCDMN