ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ II TRƯỜNG THCS MƠN: TỐN NĂM HỌC Bài (2.5 điểm) x y 5 x y 1 Giải hệ phương trình sau: Giải phương trình sau: a) x x 0 b) x x Bài 0 (1,5 điểm) Nếu chiều dài chiều rộng hình chữ nhật tăng thêm 2m diện tích hình chữ nhật tăng 58m Nếu chiều dài giảm 2m , chiều rộng tăng 3m diện tích hình chữ nhật giảm 63m Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật ban đầu Bài (2 điểm) Cho Parabol P : y 2 x đường thẳng d : y mx d P Tìm m để tiếp xúc với Với m 3 ; d P a) Tìm tọa độ giao điểm A B S b) Hình chiếu A B Ox theo thứ tự C D Tính ABCD Bài (3,5 điểm) Từ điểm A nằm đường tròn (O) , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trong AOC vẽ đường thẳng qua A cắt (O ) hai điểm D, E ( AD AE ) Lấy M trung điểm DE Chứng minh: a) Bốn điểm O, B, A, M thuộc đường tròn b) Chứng minh: AC AD AE c) Biết AO cắt BC I Chứng minh rằng: AI AO AD AE tứ giác OIDE nội tiếp d) Đường thẳng BC hai đường phân giác hai góc BEC , BDC đồng quy Bài (0,5 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z 2 A Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z 2 y x 2 z y 2 x z HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ II TRƯỜNG THCS MƠN: TỐN – NĂM HỌC HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài (2.5 điểm) x y 5 x y 1 Giải hệ phương trình sau: Giải phương trình sau: a) x x 0 b) x x 0 Lời giải x y 5 x y 1 Giải hệ phương trình sau: Đkxđ: y 1 x y 5 x y 3 x 12 y 15 3 x y 1 (trừ vế với vế hai phương trình) 14 y 14 y 1 y 1 x 1 x y 5 x 5 y Vậy tập nghiệm hệ phương trình S 1; ; 3; Giải phương trình sau: a) x x 0 Ta có 25 17 Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 17 17 x2 2 ; Vậy phương trình có nghiệm b) x x Ta có x1 17 17 x2 2 ; 0 ' 4 3 1 Do phương trình có hai nghiệm phân biệt: y 2 x y 2 x 1 x x1 2 1 x2 2 ; Vậy nghiệm phương trình Bài 1 1 x1 3 1 x2 (1,5 điểm) Nếu chiều dài chiều rộng hình chữ nhật tăng thêm 2m diện tích hình chữ nhật tăng 58m Nếu chiều dài giảm 2m , chiều rộng tăng 3m diện tích hình chữ nhật giảm 63m Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật ban đầu Lời giải Gọi x chiều dài hình chữ nhật ban đầu y chiều rộng hình chữ nhật ban đầu ĐK: x y Diện tích hình chữ nhật ban đầu: xy Nếu chiều dài chiều rộng hình chữ nhật tăng thêm 2m diện tích hình chữ nhật tăng 58m nên ta có phương trình sau: ( x 2)( y 2) xy 58 (1) Nếu chiều dài giảm 2m , chiều rộng tăng 3m diện tích hình chữ nhật giảm 63m nên ta có phương trình sau: xy ( x 2)( y 3) 63 (2) ( x 2)( y 2) xy 58 Từ (1) (2), ta có hệ phương trình sau: xy ( x 2)( y 3) 63 xy x y xy 58 2 x y 54 (3) xy xy 3x y 63 3 x y 69 (4) Lấy (4) (3) vế theo vế ta được: x 15 (nhận) (3) Thay x 15 vào ta được: 2.15 y 54 y 24 y 12 (nhận) Vậy chiều dài chiều rộng hình chữ nhật ban đầu 15m 12m Bài (2 điểm) Cho Parabol P : y 2 x đường thẳng d P Tìm m để tiếp xúc với Với m 3 ; d P a) Tìm tọa độ giao điểm A B d : y mx S b) Hình chiếu A B Ox theo thứ tự C D Tính ABCD Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d P : 1 x mx x mx 0 Ta có: m d P Tìm m để tiếp xúc với Để d tiếp xúc với P phương trình (1) phải có nghiệm kép 2 Do 0 m 0 m 8 m 2 d P Vậy m 2 tiếp xúc với Với m 3 ; d P a) Tìm tọa độ giao điểm A B Với m 3 , Phương trình (1) trở thành: x 3x 0 (2) x2 x 1; Ta có: 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm P A 1; Với x 1 thay vào ta y 2 , ta có: Với x 1 1 1 B ; y thay vào P ta , ta có: 2 1 B ; d P A 1; Vậy với m 3 cắt hai điểm 2 A 1 B D O C 2 S b) Hình chiếu A B Ox theo thứ tự C D Tính ABCD Ta có: AC y A 2 (đvđd) DC OC OD xC xD 1 1 2 (đvđd) BD yB S ACDB Bài (đvđd) 1 1 2 BD AC CD 2 (đvdt) (3,5 điểm) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trong AOC vẽ đường thẳng qua A cắt (O ) hai điểm D, E ( AD AE ) Lấy M trung điểm DE Chứng minh: a) Bốn điểm O, B, A, M thuộc đường tròn b) Chứng minh: AC AD AE c) Biết AO cắt BC I Chứng minh rằng: AI AO AD AE tứ giác OIDE nội tiếp d) Đường thẳng BC hai đường phân giác hai góc BEC , BDC đồng quy Lời giải a) Bốn điểm O, B, A, M thuộc đường tròn o Ta có: OB AB (gt) OBA 90 M trung điểm DE nên OM DE ( t/c đường kính dây cung) OMA 90o o o o Xét tứ giác ABOM có: OBA OMA 90 90 180 Tứ giác ABOM nội tiếp đường tròn Bốn điểm O, B, A, M thuộc đường tròn b) Chứng minh: AC AD AE DCA sđ CD Ta có: (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) AEC sđ CD ( góc nội tiếp) DCA AEC ( sđ CD ) Xét ACE ADC ta có: DAC chung; DCA AEC ( cmt) ACE ∽ ADC (g – g) AC AE AD AC AC AD AE c) Biết AO cắt BC I Chứng minh rằng: AI AO AD AE tứ giác OIDE nội tiếp +) Chứng minh rằng: AI AO AD AE Ta có AB, AC hai tiếp tuyến đường tròn nên AB AC ABC cân A Mà OA tia phân giác BAC ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) nên OA BC I Xét OAB vuông B có BI OA AB AI AO (1) 2 Mặt khác, AC AD AE ( chứng minh b) AB AC nên AB AD AE Từ (1) (2) AI AO AD AE AB (2) +) Chứng minh: tứ giác OIDE nội tiếp Ta có: AI AO AD AE ( cmt) AI AD AE AO AID ∽ AEO ADI AOE ( góc tương ứng) tứ giác OIDE nội tiếp ( tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện) d) Đường thẳng BC hai đường phân giác hai góc BEC , BDC đồng quy Gọi T giao điểm BC đường phân giác BDC ABD ∽ AEB ( g – g) ADC ∽ ACE ( g – g) AB BD AE BE (1) AC CD AE CE (2) AB AC (3) Từ (1), (2), (3) BD CD BD BE BE CE CD CE (4) BD TB DC TC Lại có: DT đường phân giác BDC Từ (4), (5) (5) BE BT CE TC ET đường phân giác BEC , BDC Đường thẳng BC hai đường phân giác hai góc BEC đồng quy Bài (0,5 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z 2 A Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z 2 y x 2 z y 2 x z Giải A Ta có: x y z 2 y x 2 z y 2 x z x y z y z 2z x 2x y 2a b 4c x y z a 4a 2b c z x b y 2 x y x a 4b 2c z Đặt: b c a c c b A a a b b a c 6 b c c a b c 9 a b a b c A 6 9 A 1 Vậy Amin 1