phần II: hình học chơng vectơ A Kiến thức cần nhớ I định nghĩa I.kiến thức cần nhớ vectơ ? Véctơ đoạn thẳng có định hớng: Một đầu đợc xác định gốc, đầu Hớng từ gốc đến gọi hớng véctơ Độ dài đoạn thẳng gọi độ dài véctơ Vectơ không Định nghĩa: Vectơ không vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng Nh vậy, véctơ không, kí hiệu vectơ có: Điểm gốc trùng Độ dài Hai vect¬ cïng ph¬ng Hai vect¬ AB , CD gọi phơng, ký hiệu: AB // CD AB // CD A, B,C, D th ẳng hàng Hai vectơ hớng, ngợc hớng a Hai véctơ AB , AB b Hai vÐct¬ AB , AB CD CD CD CD gäi lµ cïng híng , ký hiƯu: AB // CD hai tia AB,CD cïng h íng gọi ngợc hớng, ký hiệu: AB // CD hai tia AB,CD ng ỵc h íng Hai vect¬ b»ng Hai vÐct¬ AB , CD gäi lµ b»ng nhau, ký hiƯu: AB CD AB = CD AB CD II tỉng cđa hai vect¬ Định nghĩa: Tổng hai vectơ a b véctơ đợc xác định nh sau: Từ điểm tùy ý A mặt phẳng dùng vect¬ AB = a Tõ ®iĨm B dùng vect¬ BC = b Khi véctơ AC gọi vectơ tổng hai vectơ a b , ta viết AC = a + b B b a b a C A ab Từ định nghĩa ta đợc quy tắc ba điểm: AB + BC = AC , víi ba ®iĨm A, B, C Tính chất phép cộng véctơ Với véctơ a , b c , ta cã: TÝnh chÊt 1: (TÝnh chÊt giao ho¸n): a + b = b + a TÝnh chÊt 2: (TÝnh chÊt kÕt hỵp): ( a + b ) + c = a + ( b + c ) TÝnh chÊt 3: (TÝnh chất vectơ không): a + = + a = a Quy tắc hình bình hành: AB + AD = AC , víi ABCD hình bình hành Ta có "Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = " Ta cã "Gäi G lµ träng tâm ABC thì: GA + GB + GC = , MA MB MC 3MG, M + GB + GC = " III hiƯu cđa hai vectơ Hai vectơ đối Hai véctơ AB , CD gọi đối nhau, ký hiệu: AB CD AB = CD AB CD hiƯu cđa hai vect¬ Định nghĩa: Hiệu hai véctơ a b , kí hiệu a b , tổng vectơ a vectơ đối vectơ b , nghĩa là: a b = a + ( b ) PhÐp lấy hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ Để dựng vectơ a b biết vectơ a b ta lấy điểm A tuú ý, tõ ®ã dùng vectơ AB = a AC = b , ®ã CB = a b b a B a a b C A Tõ c¸ch dựng ta đợc quy gốc: tắc hiệu hai vect¬ b AB AC = CB , víi ba điểm A, B, C Tính chất phÐp trõ vÐct¬ a b = c a = b + c IV tÝch cđa mét vect¬ víi mét sè Định nghĩa: Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu k a đợc xác định nh sau: a Vectơ k a phơng với vectơ a : Cïng híng víi vect¬ a nÕu k Ngợc hớng với vectơ a k b Có độ dài k. a Phép lấy tích vectơ với số gọi phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ) Từ định nghĩa ta có kết qu¶: a = a , (1) a = a TÝnh chÊt cña phép nhân vectơ với số Với véctơ a , b số thực m, n, ta cã: TÝnh chÊt 1: m(n a ) = (mn) a TÝnh chÊt 2: (m + n) a = m a + n a TÝnh chÊt 3: m( a + b ) = m a + n b TÝnh chÊt 4: m a = a = m = điều kiện để hai vectơ phơng Định lí (Quan hệ hai vectơ phơng): Vectơ b cïng ph¬ng víi vect¬ a tồn số k cho b = k a Hệ quả: Điều kiện cần đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng tồn số k cho = k AC AB Biểu thị vectơ qua hai vectơ không phơng Định lí (Phân tích vectơ thành hai vectơ khác không phơng): Cho hai vectơ a b khác không phơng Với vectơ c tìm đợc cặp số thực m, n nhÊt, cho: c = ma + nb V Hệ toạ độ Vectơ Cho điểm M1(x1; y1), M1(x2; y2) M1M = (x2x1; y2y1) Các phép toán Vectơ Nếu có hai vectơ v1 (x1; y1) v (x2; y2) th×: x1 x (i): v1 = v y1 y x y (ii): v1 // v x y2 (iii): v1 + v = (x1 + x2; y1 + y2) (iv): v1 v = (x1x2; y1y2) (v): k v1 (x1; y1) = (kx1; ky1) , k (vi): v1 + v = (x1 + x2; y1 + y2) Khoảng cách Khoảng cách d hai điểm M1(x1; y1) M1(x2; y2) độ dài vectơ M1M , đợc cho bởi: d = | M1M | = (x1 x ) (y1 y ) Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trớc Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k (tức MM1 = k MM ) đợc xác định c«ng thøc: x1 kx x k y y1 ky k Đặc biệt k = 1, M trung điểm đoạn thẳng M 1M2 , toạ độ M đợc xác ®Þnh bëi: x1 x x y y y Ba điểm thẳng hàng Ba điểm A(x1; y1) , B(x2; y2) C(x3; y3) thẳng hàng vµ chØ khi: x x1 y3 y1 = AC // AB x x1 y y1 B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 Vectơ Dạng toán 1: Mở đầu vectơ Thí dụ Cho OAB vuông cân với OA = OB = a HÃy dựng vectơ sau tính độ dài chúng: OA + OB OA + OB , OA OB , Gi¶i 21 OA + 2.5 OB , 14 OA OB O A B C a Với C đỉnh thứ tcủa hình vuông OACD, ta có ngay: OA + OB = OC , theo quy tắc hình bình hành Tõ ®ã, suy ra: OA + OB = OC = OC = a b Ta có ngay: tắc hiệu hai vectơ cïng gèc OA OB = BA , quy O OA OB = BA = BA = a c Để dựng vectơ OA + OB ta lần lợt thực hiện: B Trên tia OA lấy điểm A1 cho OA1 = 3OA Trªn tia OB lÊy ®iĨm B1 cho OB1 = 4OB Dùng hình chữ nhật OA1C1B1 Từ đó,ta có: OA + OB = OA1 + OB1 = OC1 B1 3 OA + OB = OC1 = OC1 = OA12 C1A12 = 5a 21 d Thùc tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ OA + 2.5 OB vµ 21 a 541 OA + 2.5 OB = 4 14 e Thực tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ OA OB 14 OA OB = a 6073 28 A1 A C1 Thí dụ Cho ABC có cạnh a Tính độ dài vectơ tổng AB + AC Giải Gọi M trung điểm BC, lấy ®iĨm A ®èi xøng víi A A1 B qua M, ta có ABA1C hình bình hành, suy ra: AB + AC = AA1 a AB + AC = AA1 = 2AM = = a M A C Chó ý: Víi c¸c em học sinh cha nắm vững kiến thức tổng hai vectơ thờng kết luận rằng: AB + AC = AB + AC = a + a = 2a Dạng toán 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phơng pháp áp dụng Ta lựa chọn hớng biến đổi sau: Hớng 1: Biến đổi vế thành vế lại (VT VP VP VT) Khi đó: Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực việc đơn giản biểu thức Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực việc phân tích vectơ Hớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức đà biết Hớng 3: Biến đổi đẳng thức vectơ đà biết thành đẳng thức cần chứng minh Hớng 4: Tạo dựng hình phụ Khi thực phép biến đổi ta sử dụng: Quy tắc ba điểm: AB = AC + CB Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD có: AC = AB + AD HiÖu haivect¬ cïng gèc AB AC = CB TÝnh chÊt trung ®iĨm: Víi ®iĨm M t ý I trung điểm AB có: MI = ( MA + MB ) Tính chất trọng tâm tam giác: Với ABC cã träng t©m G ta cã: = GA + GB + GC MA + MB + MC = MG , víi M t ý C¸c tÝnh chÊt cđa phÐp céng, trõ vectơ phép nhân số với vectơ ThÝ dơ Cho ®iĨm A, B, C, D Chøng minh r»ng AB + CD + BC = AD Giải Ta trình bày theo ba cách sau: Cách 1: Sử dụng tacó: ba điểm, quy tắc VT = ( AB + BC ) + CD = AC + CD = AD , đpcm Cách 2: Sử dụng tacó: ba điểm, quy tắc VT = AB + ( BC + CD ) = AB + BD = AD , đpcm Cách 3: Sử dụng tacó: quy tắc ba điểm, = + = + AC CD AB BC + CD , đpcm AD Cách 4: Sử dụng tacó: quy tắc ba điểm, = + = + AD AB BD AB BC + CD , ®pcm Nhận xét: Việc trình bày thí dụ theo bốn cách mang tính chất minh hoạ cho ý tởng sau: Với cách cách 2, gom hai vectơ có "điểm cuối vectơ thứ trùng với điểm đầu vectơ thứ hai" từ ®ã sư dơng chiỊu thn cđa quy t¾c ba ®iĨm Với cách cách 4, sửdụng chiều ngợc lại quy tắc ba điểm, cụ thể "với vectơ AB xen thêm vào điểm tuỳ ý để từ phân tích đợc vectơ AB thành tổng cđa hai vect¬" ThÝ dơ Cho ®iĨm A, B, C, D Chøng minh r»ng AB + CD = AD + CB Gi¶i Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta cã: VT = ( AD + DB ) + CD = AD + CD + DB = AD + CB = VP C¸ch 2: Ta cã: VT = ( AC + CB ) + CD = AC + CD + CB = AD + CB = VP Cách 3: Biến đổi dạng: tơngđơngbiểu thức = AB AD CB CD DB DB , Điều phải chứng minh Cách 4: Biến đổi thức tơngđơng đẳng dạng: = CB AD CD AB AB + BC = AD + DC AC = AC , Nhận xét: Để thực chứng minh đẳng thức vectơ đà cho lựa chọn hớng biến đổi VT thành VP hai cách giải có chung ý tởng, cụ thể việc lựa chọn vectơ xuất phát AB ta có: Trong cách 1, ta ý thức đợc cần tạo xuất vectơ AD ta xen vào điểm D Trong cách 2, ta ý thức đợc cần tạo xuất vectơ CB ta xen vào điểm C Từ nhận xét hẳn em học sinh thấy đợc thêm có cách khác để giải toán, cụ thể: Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát CD Hai cách theo hớng biến đổi VP thành VT Thí dụ Cho M N lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB CD Chứng minh rằng: MN = AC + BD = AD + BC A M Gi¶i B a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có phân tích: = + + NC , (1) AC MN AM (2) D C BD = BM + MN + ND N Céng theo vÕ (1) vµ (2) víi lu ý AM + BM = vµ NC + ND = (vì M N lần lợt làtrung điểm đoạn thẳng AB CD), ta đợc: (*) AC + BD = MN , đpcm Cách 2: Ta có phân tÝch: , (3) MN MA AC CN (4) MN MB BD DN , Céng theo vÕ (3) vµ (4) víi lu ý MA MB NC ND (vì M N lần lợt trung điểm AB CD), ta đợc: cácđoạn thẳng MN = AC + BD , ®pcm b Ta cã: (**) AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC , đpcm Từ (*) (**) ta đợc đẳng thức cần chứng minh Thí dụ Cho O tâm hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M bÊt k×, ta cã: MO = ( MA + MB + MC + MD ) Gi¶i Ta cã: MA + MB + MC + MD = MO + OA + MO + OB + MO + OC + MO + OD = MO + ( OA + OC ) + ( OB + OD ) = MO ( MA + MB + MC + MD ) = MO , ®pcm Chó ý: Các em học sinh hÃy trình bày thêm cách biến ®ỉi VT thµnh VP ThÝ dơ Cho ABC Gäi M, N, P lần lợt trung điểm BC, CA, AB Chøng minh r»ng: AM + BN + CP = Gi¶i Sư dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi: VT = (AB AC) + (BA BC) + (CA CB) 2 = (AB BA AC CA BC CB) , ®pcm ThÝ dơ Cho A1B1C1 A2B2C2 lần lợt có trọng tâm G1, G2 Chøng minh r»ng: A1A + B1B2 + C1C2 = G1G Gi¶i Với G1, G2 tâm A1B1C1 A2B2C2, ta cã: G1A1 + G1B1 + G1C1 = G A + G B2 + G C = Mặt khác, ta có: A1A = A1G1 + G1G + G A B1B2 = B1G1 + G1G + G B2 C1C2 = C1G1 + G1G + G C2 Céng theo vÕ (3), (4), (5) sử dụng kết (1) (2), ta đợc: A1A + B1B2 + C1C2 = G1G , ®pcm (1) (2) (3) (4) (5) ThÝ dô Cho ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC, cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN a Chứng minh r»ng AK = AB + AC b Gọi D trung điểm cña BC Chøng minh r»ng KD = 1 AB + AC Gi¶i a Tõ gi¶ thiÕt ta nhËn thÊy: AB 2AM AC 3AN AB = AM ; AC = AN AB AM AC AN Vì K trung điểm MN nên: 1 1 AK = ( AM + AN ) = ( AB + AC ) = AB + AC , ®pcm 2 b Vì D trung điểm BC nên: AD = ( AB + AC ) tõ ®ã, suy ra: 1 KD = AD AK = ( AB + AC )( AB + AC ) = AC , AB + đpcm Dạng toán 3: Xác định điểm M thoả đẳng thức vectơ cho trớc Phơng pháp áp dụng Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trớc dạng: = v, OM điểm O cố định vectơ v đà biết Thí dụ Cho ABC đềunộitiếp tròn tâm O đờng a Chøng minh r»ng OA OB OC 0 b HÃy xác định điểm M, N, P cho: OM = OA OB ; ON = OB OC ; OP = OC OA Giải a Vì ABC nên O trọng tâm ABC, ta có ngay: A b OA OB OC 0 Gäi A1, B1, C1 theo thø tù lµ trung điểm BC, AC, AB.M Dựng hình bình hành AOBM b»ng viƯc lÊy®iĨm M ®èi xøng víi O qua C1, ta có đợc OM = OA OB B Các điểm N, P đợc xác định tơng tù ThÝ dơ Cho ABC H·y x¸c định điểm M thoả mÃn điều kiện: MA MB + MC = C1 O C (*) Giải Biến đổi (*) dạng: BA + MC = MC = AB ABCM hình bình hành Từ đó, để xác định điểm M ta thực hiện: Kẻ Ax // BC KỴ Cy // AB Giao cđa Ax Cy điểm M cần tìm M A B C ThÝ dơ Cho ABC ®Ịu, néi tiếp đờng tròn tâm O a HÃy xác định ®iÓm M, N, P cho: , ON = OB + OC , OP = OC + OA OM = OA + OB b Chøng minh r»ng OA + OB + OC = Giải A P a Dựa theo quy tắc hình bình hành, ta lần lợt có: Với điểm M thoả m·n: O OM = OA + OB C M đỉnh thứ t hình bình hành AOBM CM đờng kính (O), ABC N Với điểm N thoả mÃn: ON = OB + OC N lµ đỉnh thứ t hình bình hành BOCN AN đờng kính (O), ABC Với ®iĨm P tho¶ m·n: OP = OC + OA P đỉnh thứ t hình bình hành AOCP BP đờng kính (O), ABC Vậy, điểm M, N, P nằm đờng tròn (O) cho CM, AN, BP đờng kính đờng tròn (O) b Dựa vào kết câu a) OC = MO , ta cã ngay: OA + OB + OC = OM + MO = MO + OM = MM = ThÝ dô Cho ABC a Tìm điểm I cho IA + IB = b Tìm điểm K cho KA + KB = CB c Tìm điểm M cho MA + MB + MC = Gi¶i a Ta biÕn ®ỉi: = IA + (IA AB) = IA + AB 2 IA = AB , suy điểm I đợc hoàn toàn xác định b Ta biÕn ®ỉi: 10 M B