HƯỚNGDẪNƠNTẬPCHƯƠNGII – HÌNH 10 (CHUẨN) I Kiến thức cần nhớ: sin cos tan cot sin2 cos2 cos sin sin = sin(180 – ) cos = – cos(1800 – ) tan = – tan(1800 – ) cot = – cot(1800 – ) rr r r r r rr r r a.b a b cos(a,b) Tích vơ hướng: a.b � a b r r r2 r r r r r r r r2 r (a �b)2 a �2a.b b (a b)(a b) a b uuur uuur uuur uuur (AB CD)2 AB2 2AB.CD CD2 rr r r Biểu thức tọa độ tích vơ hướng: a.b a1b1 a2b2 với a (a1;a2 ) , b (b1;b2 ) r r r 2 a b � a1b1 a2b2 10 a a1 a2 rr a.b a1b1 a2b2 r r 11 Góc hai vectơ a b : cos r r 2 a b a1 a2 b12 b22 12 Cho điểm A(xA; yA), B(xB; yB) uuur a) AB (xB xA ;yB yA ) uuur AB AB (xB xA )2 (yB yA )2 b) a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 cosB cosC Suy hệ quả: cosA 2bc 2ac 2ab a b c 2R (R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) 14 Định lí sin: sinA sinB sinC 15 Đường trung tuyến: b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 2 ma mb mc 4 16 Diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác vng: S ab (a, b hai cạnh góc vng) 1 b) Tam giác bất kì: * S absinC acsinB bcsinA (biết góc xen hai cạnh) 2 abc a b c * S * S pr (p = nửa chu vi, r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) 4R uuur2 uuur2 uuur uuur AB AC (AB.AC) * S p(p a)(p b)(p c) (công thức Hê-rông) * S II Bài tập mẫu: Bài 1: Tính: A = 3sin1350 + cos600 + 4cos1500 Giải: A = 3sin(1800 – 450) + cos600 + 4cos(1800 – 300) = 3sin450 + cos600 – 4cos300 3 = + – = 2 2 2 Bài 2: Chứng minh với �x �1800 , ta có: (sinx + cosx)2 = + 2sinxcosx Giải: Ta có: VT = (sinx + cosx)2 = sin2x + 2sinxcosx + cos2x = + 2sinxcosx = VP (đpcm) Bài 3: Chứng minh tam giác ABC, ta có: sinA = sin(B + C) Giải: Ta có: A + B + C = 1800 � A = 1800 – (B + C) Khi đó: sinA = sin(1800 – (B + C)) = sin(B + C) (đpcm) 13 Định lí cơsin: Tính giá trị biểu thức: P = 5sin2x + 2cos2x Giải: Ta có: sin2x + cos2x = � sin2x = – cos2x = – = 9 33 Vậy: P = + = 9 r r Bài 5: Tính góc hai vectơ a b , biết: r r r r r r a) a (1; 2),b (1; 3) b) a (3; 4), b (4;3) c) a (2;5), b (3; 7) rr a.b r r r r 1.(1) (2).(3) � Giải: a) Ta có: cos (a,b) = r r = = 450 (a,b) 2 2 a b 50 (2) (1) (3) rr a.b 3.4 (4).3 r r r r � (a,b) = 900 b) cos (a,b) = r r = 625 a b 32 (4)2 42 32 rr a.b r r r r 2.3 5.(7) 29 � c) cos (a,b) = r r = = 1350 (a,b) 2 2 a b 29 2 (7) Bài 4: Cho góc x, với cosx = Bàiuu6: Cho ur u uur tam giác ABC uuur có uuu rcạnh a chiềuuucao ur uuAH ur Tính: a) AB.AC b) AC.CB c) AH.BC A (ca� nh) Ghi nhớ: Đường cao tam giác h = uuur uuur Giải: a) AB.AC AB.AC.cosA a.a.cos600 a2 uuur uuu r b) AC.CB CA.CB.cosC a.a.cos600 a2 C B H uuur uuur a c) AH.BC AH.BCcos900 a.0 uuur uuur Bài 7: Cho tam giác vuôngABC C có AC = 9, CB = Tính AB.AC uuur uuur B Giải: AB.AC AB.ACcosA AC Mà: cosA = AB uuur uuur AC AC2 92 81 Suy ra: AB.AC AB.AC C AB Bài 8: Cho tam giác ABC với A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2) a) Chứng minh tam giác ABC vng A b) Tính chu vi diện tích tam giác ABC c) Tìm tọa độ uuu r điểm D nằm uuurtrên trục 0x usao uur cho DA = DB Giải: a) AB (1; 2) , AC (4; 2) , BC (5;0) uuur uuur uuur uuur * AB.AC 1.4 ().(2) 4 � AB AC Vậy: ABC vuông A b) * Chu vi ABC là: C = AB + BC + AC + AB = (1)2 (2)2 ; BC = 52 02 25 5; AC = 42 (2)2 20 A 5 5 1 5.2 5(đvdt) * Diện tích ABC là: S AB.AC 2 uuur uuur c) Tọa độ điểm D�0x � D(x; 0) DA (2 x;4) , DB (1 x;2) Mà: DA = DB � DA2 = DB2 � (2 – x)2 + 42 = (1 – x)2 + 22 � – 4x + x2 + 16 = – 2x + x2 + Vậy: C = 15 15 Suy ra: D( ; 0) 2 Bài 9: Cho uuurtam uuur giác ABC có AB = 6, AC = 8, BC = 11 a) Tính AB.AC chứng tỏ tam giác ABC có góc A tù uuuu r uuur b) Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = gọi N trung điểm cạnh AC Tính AM.AN uuur uuur uuur uuur uuur Giải: a) * Ta có: BC2 = BC2 = (AC AB)2 AC2 2AC.AB AB2 A uuur uuur AB2 AC2 BC2 82 62 112 21 � AB.AC M 2 uuur uuur N 21 * Mặt khác: AB.AC AB.AC.cosA C uuur uuur B 11 AB.AC 21 � cosA = Suy ra: Góc A tù AB.AC 6.8.2 32 uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur � 21� uuuu r uuur uuur uuur � b) Ta có: AM AB , AN AC Suy ra: AM.AN AB AC AB.AC � 6� 2� Bài 10: Cho hai điểm A(-3; 2), B(4; 3) a) Tìm tọa độ điểm M trục 0x cho tam giác MAB vng M b) Tìm tọa độ điểm N trục 0y cho NA = NB (hoặc để NAB cân N) c) Tính chu vi tam giác OAB uuuu r uuur Giải: a) Điểm M�0x � M(x; 0) MA (3 x;2) , MB (4 x;3) uuuu r uuur MAB vuông M � MA.MB � (–3 – x)(4 – x) + 2.3 = � –12 + 3x – 4x + x2 + = x3 � � x2 – x – = � � Vậy: M1(3; 0), M2(-2; 0) x 2 � uuur uuur b) Điểm N�0y � N(0; y) NA (3;2 y) , NB (4;3 y) Mà: NA = NB � NA2 = NB2 � (-3)2 + (2 – y)2 = 42 + (3 – y)2 � + – 4y + y2 = 16 + – 6y + y2 � 2y = 12 � y = Vậy: N(0; 6) c) Chu vi OAB là: C = OA + OB + AB * OA = (3 0)2 (2 0)2 13 , OB = (4 0)2 (3 0)2 25 � -2x = -15 � x = AB = (4 (3))2 (3 2)2 50 Vậy: C = 13 5 Bài 11: Cho tam giác ABC có A(-1; 1), B(3; 1), C(2; 4) a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC uuur uuur � CH.AB � Giải: a) Gọi H (x; y) trực tâm tam giác ABC � �uuur uuur BH.AC � uuur uuur uuur uuur * CH (x 2;y 4) , AB (4;0) , BH (x 3;y 1) , AC (3;3) uuur uuur � CH.AB 4(x 2) x 2 x � � � � �� �� �� Suy ra: �uuur uuur Vậy H(2; 2) 3(x 3) 3(y 1) x y y BH.AC � � � � � AI BI AI BI � � �� b) Gọi I(x; y) tâm đường tròn ngoại tiếp ABC � � AI CI AI CI � � � � (x 1)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 1)2 x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x y2 2y � � �� � �2 (x 1)2 (y 1)2 (x 2)2 (y 4)2 x 2x 1 y2 2y 1 x2 4x y2 8y 16 � � 8x x Vậy: I(1; 2) � � �� �� 6x 6y 18 y � � * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính B = 4cos1200 – 2cos300 + 3sin1500 – tan1350 Bài 2: Chứng minh với 00 �x �1800 , ta có: a) (sinx – cosx)2 = – 2sinxcosx b) sin4x + cos4x = – 2sin2xcos2x Bài 3: Chứng minh tam giác ABC, ta có: cosA = –cos(B + C) Bài 4: Cho góc x, với sinx = Tính giá trị biểu thức: Q = sin3x – 5cos2x 4r r Bài 5: Tính góc hai vectơ a b , biết: r r r r r r a) a (2; 3),b (6;4) b) a (3;2),b (5; 1) c) a (2; 2 3),b (3; 3) Bàiuu6: Cho ABC tâm Tính: ur u uur tam giác đềuuu ur uuurcạnh a, có trọng uuu r uuurG chiều cao BH uuur u uur uuur uuur a) AB.CA b) GA.GB c) AB.BC d) AB.CG e) BH.AC Bàiuu7: Cho ur u uur tam giác vng cânuABC uur uuu rcó AB = AC = a Tính tích vơ hướng: a) AB.AC b) AC.CB � 600 , AB = a, BC = 2a, AC = a Tính: Bài 8: Cho tam giác ABC vng A, có A uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r a) AB.AC b) CA.CB c) AC.CB Bài 9: Cho tam giác ABC có A(4; 6), B(1; 4), C(7; ) a) Chứng minh tam giác ABC vng A b) Tính chu vi tam giác ABC diện tích tam giác ABC Bài 10: Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2) a) Tìm tọa độ điểm M nằm trục 0x cho DA = DB b) Tính chu vi tam giác OAB c) Chứng tỏ OA vng góc với AB suy tam giác OAB vng O Tính diện tích tam giác OAB Bài 11: Cho điểm A(-1; -1), B(3; 1), C(6; 0) a) Chứng minh điểm A, B, C khơng thẳng hàng b) Tính góc B tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm D cho ABDC hình bình hành Bài 12: Cho uuur utam uur giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = uuur uuu r a) Tính AB.AC suy giá trị góc A b) Tính CA.CB uuu r uuur c) Trên cạnh AC lấy điểm P cho BC = 3CP gọi Q trung điểm AC Tính CP.CQ Bài 13: Cho điểm A(2; 3), B(1; 1) a) Tìm C(5; yC) cho tam giác ABC vng B b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình chữ nhật c) Tìm cosin góc tạo hai đường chéo Bài 14: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 3), C(2; 0) a) Chứng minh tam giác ABC vuông A b) Tính chu vi diện tích tam giác ABC � c) Tím tọa độ điểm M thuộc 0x để góc AMB bé � � (HD: AMB bé � AMB = � A, M, B thẳng hàng) Bài 15: Cho tam giác ABC có A(-1; 1), B(1; 3), C(1; -1) Chứng minh tam giác ABC vuông cân A Bài 16: Cho hai điểm A(5; -2), B(-1; 4) a) Tìm tọa độ điểm M trục 0y cho tam giác MAB vuông M b) Tìm tọa độ điểm K trục 0x cho KAB cân K Bài 17: Cho tam giác ABC có A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2) a) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC b) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC