HUONG DAN ON TAP CHUONG II HH 2

HƯỚNG DẪN ƠN TẬP CHƯƠNG II – HÌNH 10 (CHUẨN) II CÁC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC: * Kiến thức cần nhớ: Các hệ thức lượng tam giác vuông: a) a2 = b2 + c2 hay BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pitago) A b) b2 = a.b’ hay AC2 = BC.HC b c) c2 = a.c’ hay AB2 = BC.HB c ’ ’ h a d) h = b c hay AH = HB.HC c' e) a.h = b.c hay AH.BC = AB.AC b' C B H a 1 1 1 = + f) = + hay h b c AH2 AB2 AC2 b AC c AB a) sinB = cosC = = b) sinC = cosB = = a BC a BC b AC c AB c) tanB = cotC = = d) cotB = tanC = = c AB b AC 2 Định lí cơsin: a = b + c – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC b2 + c2 − a2 a2 + c2 − b2 a2 + b2 − c2 cosB = cosC = Suy hệ quả: cosA = 2bc 2ac 2ab a b c = = = 2R (R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) Định lí sin: sinA sinB sinC * a = 2RsinA * b = 2RsinB * c = 2RsinC bsinA csinA asinB csinB asinC bsinC = = = *a= *b= *c= sinB sinC sinA sinC sinA sinB Đường trung tuyến: 2(b2 + c2 ) − a2 2(a2 + c2 ) − b2 2(a2 + b2) − c2 2 ma = mb = mc = 4 Diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác vng: S = ab (a, b hai cạnh góc vuông) 1 2S 2S 2S c) Tam giác bất kì: * S = aha = bhb = chc ⇒ = ; hb = ; hc = 2 a b c 1 * S = absinC = acsinB = bcsinA (biết góc xen hai cạnh) 2 abc abc * S= (R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) ⇒ R = 4R 4S a+ b+ c * S = pr (p = nửa chu vi, r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) * S = p(p − a)(p − b)(p − c) (công thức Hê-rơng) II Bài tập mẫu: µ = 620 cạnh b = 54 Tính C µ , cạnh a, c đường cao hb Bài 1: Cho tam giác vng ABC B, A µ:C µ = 900 − 620 = 280 Giải: * Tính C B a ⇒ a = b.sinA = 54.sin620 ≈ 47,68 b c * Tính c: sinC = ⇒ c = b.sinC = 54.sin280 ≈ 25,35 b * Tính b: sinA = c A hb a 62 H b=54 C c ⇒ c = b.cosA = 54.cos620 ≈ 25,35 b a.c 47,68.25,35 = ≈ 22,38 * Tính hb : b hb = a.c ⇒ hb = b 54 µ = 340 cạnh b = 43 Tính C µ , cạnh a, c đường cao Bài 2: Cho tam giác ABC vng A, B µ:C µ = 900 − 340 = 560 Giải: * Tính C hoặc: cosA = b 43 b = ≈ 76,90 ⇒ a= A sinB sin340 a b 43 b = ≈ 63,75 * Tính c: tanB = ⇒ c = c tanB tan340 c b.c 43.63,75 34 = ≈ 35,65 * Tính : a hb = b.c ⇒ = B H a a 76,90 Bài 3: Cho tam giác ABC, biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm µ µ,B µ,C a) Tính góc A b) Tính diện tích S tam giác ABC c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r ngoại tiếp R tam giác d) Tính độ dài đường trung tuyến ma chiều cao 2 2 2 µ : cosA = b + c − a = 17 + 10 − 21 ≈ −0,1529 ⇒ A µ ≈ 98047’ Giải: a) * Tính A 2bc 2.17.10 2 2 a + c − b 21 + 10 − 172 µ µ ≈ 5308’ = = 0,6 ⇒ B * Tính B : cosB = 2ac 2.21.10 µ:C µ = 1800 – (98047’ + 5308’) = 2805’ * Tính C a + b + c 21+ 17 + 10 = = 24 (cm) b) Tính S: Ta có: p = 2 Theo cơng thức Hê-rơng, ta có: S = p(p − a)(p − b)(p − c) * Tính a: sinB = b=43 C = 24(24 − 21)(24 − 17)(24 − 10) = 84(cm2) S 84 = 3,5(cm) c) * Tính r: Ta có: S = p.r ⇒ r = = p 24 abc abc 21.17.10 ⇒R= = = 10,625(cm) * Tính R: Ta có: S = 4R 4S 4.84 2(b2 + c2 ) − a2 2(172 + 102 ) − 212 = = 84,25 ⇒ ma = 84,25 ≈ 9,18(cm) d) * Tính ma : Ta có: ma = 4 2S 2.84 = = 8(cm) * Tính : Ta có: S = a.ha ⇒ = a 21 µ = 600 , AC = 8cm, AB = 5cm Bài 4: Cho tam giác ABC, biết A a) Tính cạnh BC b) Tính diện tích S tam giác ABC c) Xét xem góc B tù hay nhọn? Tính góc B d) Tính độ dài đường cao AH e) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải: a) Ta có: BC2 = AC2 + AB2 – 2.AC.AB.cosA = 82 + 52 – 2.8.5.cos600 = 49 ⇒ BC = 7(cm) 1 A b) Tính S: S = AB.AC.sinA = 5.8.sin600 = 10 = 17,3 (cm) 2 Ghi nhớ: + Nếu a2 < b2 + c2 (hoặc cosA > 0) + Nếu a2 > b2 + c2 (hoặc cosA < 0) + Nếu a2 = b2 + c2 (hoặc cosA = 0) µ nhọn A µ tù A µ vng A 60 b=8 c=5 B C a a2 + c2 − b2 BC2 + AB2 − AC2 72 + 52 − 82 = = = 0,1429 > c) Ta có: cosB = 2ac 2.BC.AB 2.7.5 µ nhọn B µ ≈ 81047’ ⇒ B 1 2S 2.10 20 d) Tính AH: Ta có: S = a.ha = BC.AH ⇒ AH = = = ≈ 4,95(cm) 2 BC 7 abc BC.AC.AB BC.AC.AB 7.8.5 = ⇒R= = = ≈ 4,04 (cm) e) Tính R: Ta có: S = 4R 4R 4S 4.10 µ = 200 , C µ = 310 cạnh b = 210cm Bài 5: Cho tam giác ABC có B µ , cạnh lại a) Tính A b) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC µ +C µ ) = 1800 – (200 + 310) = 1290 µ : Ta có: A µ = 180 – ( B Giải: a) * Tính A b.sinA 210.sin1290 = ≈ 477,2(cm) * Tính a: Ta có: a = sinB sin200 b.sinC 210.sin310 c = = ≈ 316,2(cm) * Tính c: Ta có: sinB sin200 a 477,2 = ≈ 307,02(cm) b) Tính R: Ta có: R = 2sinA 2.sin1290 µ = 300 Bài 6: Giải tam giác ABC biết cạnh a = , cạnh b = C Giải: * Tính cạnh c: Ta có: c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC = (2 )2 + 22 – 2.2 2.cos300 = ⇒ c = = 2(cm) µ : Ta có: b = c = ⇒ ∆ABC cân A * Tính B µ =C µ = 300 ⇒B µ = 1800 − (B µ + C) µ = 1800 − 600 = 1200 µ:A * Tính A A b=2 c 30 B a=2 C Bài 7: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) b = a cosC + c cosA b) sinB = sinA cosC + sinC cosA c) hb = 2R sinA sinC a(a2 + b2 − c2 ) c(b2 + c2 − a2 ) + Giải: a) Ta có: VP = a cosC + c cosA = 2ab 2bc 2 2 2 2 a + b − c b + c − a a + b − c + b2 + c2 − a2 2b + = = = b= VT (đpcm) = 2b 2b 2b 2b b) Ta có: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC Từ câu a) b = a cosC + c cosA ⇒ 2RsinB = 2RsinA cosC + 2RsinC cosA ⇒ sinB = sinA cosC + sinC cosA (đpcm) 1 c) Ta có: S = bhb = acsinB ⇔ bhb = acsinB 2 Mà: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC Suy ra: 2RsinB hb = 2RsinA.2RsinC.sinB ⇒ hb = 2RsinA sinC (đpcm) Bài 8: Cho tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = Gọi AD phân giác góc A a) Tính diện tích S tam giác ABC b) Tính góc A c) Tính AD a + b + c 8+ + = = 10 Giải: a) Tính S: Ta có: p = A 2 Suy ra: S = p(p − a)(p − b)(p − c) = 10(10 − 7)(10 − 8)(10 − 5) = 10 b=8 b2 + c2 − a2 82 + 52 − 72 µ = 600 µ = = ⇒A b) Tính A : Ta có: cosA = 2bc 2.8.5 c=5 B D a=7 C c) Tính AD: Ta có: SABD = A AB.AD.sin = 5.AD.sin300 = AD 2 A AC.AD.sin = 8.AD.sin300 = 2AD 2 13 40 ≈ Mà: S = SABD + SACD ⇔ 10 = AD + 2AD ⇔ AD = 10 ⇔ AD = 5,3 4 13 µ Bài 9: Cho tam giác ABC biết cạnh a, b, c thỏa mãn hệ thức: a(a2 – c2) = b(b2 – c2) Tính C 2 2 ⇔ 3 ⇔ 3 2 Giải: Ta có: a(a – c ) = b(b – c ) a – ac = b – bc a – b = ac – bc ⇔ (a – b)(a2 + ab + b2) = c2(a – b) ⇔ a2 + ab + b2 = c2 ⇔ ab = c2 – a2 – b2 a2 + b2 − c2 a2 + b2 − c2 µ = 600 = =− ⇒C Ta lại có: cosC = 2 2ab 2(c − a − b ) c = 2bcosA  Bài 10: Cho ∆ ABC  c3 + a3 − b3 Chứng minh tam giác ABC  c+ a− b = b  3 c + a − b3 = b2 ⇔ c3 + a3 – b3 = b2c + ab2 – b3 ⇔ c3 + a3 = b2c + ab2 Giải: Ta có: c + a− b ⇔ (c + a)(c – ca + a2) = b2(c + a) ⇔ c2 – ca + a2 = b2 ⇔ c2 – ca + a2 = a2 + c2 – 2accosB c µ = 600 ⇔ cosB = ⇔ B Mà: c = 2b cosA ⇒ cosA = 2b c ⇔ a2 = c2 ⇔ a = c Ta lại có a2 = b2 + c2 – 2bc cosA ⇔ a2 = b2 + c2 – 2bc 2b µ = 600 ) Vậy: ∆ ABC (vì ∆ ABC cân B B µ = 1200, tổng hai cạnh lại 16 Tính độ dài Bài 11: Cho tam giác ABC có cạnh AB = 14, góc C hai cạnh lại µ ⇔ 196 = BC2 + AC2 – 2.BC.AC.cos1200 Giải: Ta có: AB2 = BC2 + AC2 – 2.BC.AC.cos C ⇔ 196 = BC2 + AC2 + BC.AC (1) Ta lại có: BC + AC = 16 ⇒ AC = 16 – BC thay vào (1), ta được:  BC = 10 196 = BC2 + (16 – BC)2 + BC(16 – BC) ⇔ BC2 – 16BC + 60 = ⇔   BC = * Với BC = 10 ⇒ AC = * Với BC = ⇒ AC = 10 Vậy: BC = 10 AC = BC = AC = 10 * Bài tập tự luyện: µ = 580 cạnh a = 72cm Tính C µ , cạnh b, cạnh c đường Bài 1: Cho tam giác ABC vng A, B cao µ = 480 cạnh b = 54cm Tính B µ , cạnh a, cạnh c đường Bài 2: Cho tam giác ABC vng C, A cao hc µ = 1200 , cạnh b = 8cm c = 5cm Bài 3: Cho tam giác ABC có A SACD = a) Tính cạnh a b) Tính diện tích S tam giác ABC µ µ C c) Xét xem góc B tù hay nhọn? Tính góc B d) Tính độ dài đường cao e) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC µ = 1050 , cạnh b = , cạnh c = Bài 4: Cho tam giác ABC có A a) Tính cạnh a b) Tính diện tích S tam giác ABC µ µ c) Tính góc B C d) Tính độ dài đường cao hc Bài 5: Cho tam giác ABC có cạnh a = 8cm, b = 10cm c = 13cm µ µ,B µ,C a) Tam giác ABC có góc tú khơng? Tính góc A b) Tính diện tích S tam giác ABC c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r ngoại tiếp R tam giác ABC d) Tính độ dài đường trung tuyến mb chiều cao hc Bài 6: Cho tam giác ABC có cạnh a = 7cm, b = 9cm c = 12cm µ µ,B µ,C a) Tính góc A b) Tính diện tích S tam giác ABC c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r ngoại tiếp R tam giác ABC d) Tính độ dài đường trung tuyến ma chiều cao hb Bài 7: Tính góc lớn tam giác ABC, biết: a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm c = 6cm b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm c = 37cm µ µ,B µ C Bài 8: Cho ∆ ABC có a = , b = 2, c = + Tính độ dài , ma , R, r, A µ = 400 , C µ = 1200 Bài 9: Cho tam giác ABC biết c = 35cm, A µ , cạnh lại a) Tính B b) Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 10: Giải tam giác ABC, biết: µ = 1300 a) a = 7cm, b = 23cm, C b) a = 14cm, b = 18cm, c = 20cm µ = 600 , B µ = 400 , c = 14 c) a = 14, b = 18, c = 20 d) A Bài 11: Chứng minh tam giác ta có: a) a = bcosC + ccosB b) sinA = sinBcosC + sinCcosB h c) a = 2RsinBsinC Bài 12: Cho tam giác ABC có a = 14, b = 10, c = a) Tính góc tam giác ABC b) AD phân giác góc A Tính AD c) Tính diện tích S, bán kính đường tròn nội ngoại tiếp tam giác ABC µ = 1200 , tổng hai cạnh lại 15 Tính độ dài hai Bài 13: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 13, A cạnh lại Bài 14: Chứng minh mếu tam giác ABC thỏa mãn:  b3 + c3 − a3 = a2  tam giác ABC  b+ c− a a = 2bcosC  µ Bài 15: Cho tam giác ABC biết cạnh a, b, c thỏa mãn hệ thức: b(b2 – a2) = c(c2 – a2) Tính A 2 Bài 16: Chứng minh tam giác ABC bất kì, ta có: a = b + c – 4ScotA Bài 17: Cho tam giác ABC có ma = mb Chứng minh rằng: ∆ ABC cân Bài 18: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: b2 – c2 = a(bcosC – ccosB) Bài 19: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện: µ (a + b + c)(a + b – c) = 3ab Tính C Bài 20: Cho ∆ ABC thỏa mãn: 2(a3 + b3 + c3) = a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) Chứng minh tam giác ABC