HƯỚNGDẪNƠNTẬPCHƯƠNGIIHÌNH HỌC 11NĂM HỌC 2012 – 2013 A Lý thuyết: 1) * Mặt phẳng Kí hiệu: mp( ) hay ( ) * d nằm ( ) Viết: d �() * A thuộc mp( ) Viết: A �() 2) Cách xác định mặt phẳng: a) Ba điểm A, B, C không thẳng hàng thuộc mặt phẳng Viết: mp(ABC) hay (ABC) b) Một điểm A đường thẳng d khơng qua điểm thuộc mặt phẳng Viết: mp(A, d) hay (A, d) mp(d, A) hay (d, A) c) Hai đường thẳng a b cắt thuộc mặt phẳng Viết: mp(a, b) hay (a, b) mp(b, a) hay (b, a) 3) Nguyên tắc vẽ hình học khơng gian: a) Hai đường thẳng song song phải vẽ song song b) Hai đường thẳng song song phải vẽ song song c) Trung điểm đoạn thẳng phải lấy điểm đoạn thẳng d) Hai đường thẳng cắt phải vẽ cắt e) Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt (… ) f) Hai góc khơng thiết phải vẽ nên góc vng vẽ góc tù hay nhọn 4) * Nếu d �() A �d A �() * Nếu A �() B �() AB �() CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 1) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: a) Phương pháp: Tìm hai điểm chung hai mặt phẳng Chẳng hạn: I �(ABC) , I �(MNP) J �(ABC) , J �(MNP) suy ra: IJ giao tuyến hai mp(ABC) mp(MNP) Viết: IJ (ABC) �(MNP) * Điểm chung thứ thường biết trước (nhưng phải tìm) * Điểm chung thứ hai giao điểm hai đường thẳng lại khơng qua điểm chung thứ b) Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD ABCD có AD BC khơng song song Gọi O giao điểm AC BD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: a) (SAC) (SBD) b) (SAD) (SBC) Giải: a) Ta có: S điểm chung thứ hai mp(SAC) (SBD) S Ta lại có: BD �AC O Nên: O �AC � O �(SAC) O �BD � O �(SBD) Suy ra: O điểm chung thứ hai hai mp(SAC) (SBD) Vậy: SO giao tuyến hai mp(SAC) (SBD) A D b) Ta có: S điểm chung thứ hai mp(SAD) (SBC) E Vì AD BC không song song Gọi E AD �BC O Nên: E �AD � E �(SAD) E �BC � E �(SBC) C B Suy ra: E điểm chung thứ hai hai mp(SAD) (SBC) Vậy: SE giao tuyến hai mp(SAD) (SBC) Bài 2: Cho điểm không đồng phẳng A, B, C, D Trên hai đoạn AB AC lấy hai điểm M N AM AN Xác định giao tuyến mp(DMN) với mp(ABD), (ACD), (ABC), cho A BM NC (BCD) Giải: * (DMN) �(ABD) = ? Ta có: D điểm chung thứ hai mp(DMN) (ABD) M Ta lại có: M �(DMN) M �AB � M �(ABD) D Suy ra: M điểm chung thứ hai hai mp(DMN) (ABD) N Vậy: DM = (DMN) �(ABD) B * (DMN) �(ACD) = ? Ta có: D điểm chung thứ hai mp(DMN) (ACD) C E Ta lại có: N �AC � N �(ACD) N �(DMN) Suy ra: DN điểm chung thứ hai hai mp(DMN) (ACD) Vậy: DN = (DMN) �(ACD) * (DMN) �(ABC) = ? Ta có: M �AB � M �(ABC) M �(DMN) Suy ra: M điểm chung thứ hai mp(DMN) (ABC) Ta lại có: N �AC � N �(ABC) N �(DMN) Suy ra: N điểm chung thứ hai hai mp(DMN) (ABC) Vậy: MN = (DMN) �(ABC) * (DMN) �(BCD) = ? Ta có: D điểm chung thứ hai mp(DMN) (BCD) Vì MN BC khơng song song Gọi E MN �BC Nên: E �MN � E �(DMN) E �BC � E �(BCD) Suy ra: E điểm chung thứ hai hai mp(DMN) (BCD) Vậy: DE = (DMN) �(BCD) Bài 3: Cho tứ diện ABCD điểm M thuộc miền tam giác ACD Gọi I J tương ứng hai điểm cạnh BC BD cho IJ không song song với CD a) Hãy xác định giao tuyến hai mp(IJM) (ACD) b) Lấy N điểm thuộc miền tam giác ABD cho JN cắt AB L Tìm giao tuyến hai mp(MNJ) (ABC) P A Giải: a) Ta có: M điểm chung thứ hai mp(IJM) (ACD) Vì IJ CD không song song Gọi K IJ �CD Q L Nên: K �IJ � K �(IJM) K �CD � K �(ACD) Suy ra: K điểm chung thứ hai hai mp(IJM) (ACD) Vậy: MK = (IJM) �(ACD) N M D J b) Ta có: L JN �AB B Nên: L �JN � L �(MNJ ) L �AB � L �(ABC) Suy ra: L điểm chung thứ hai mp(MNJ) (ABC) I Gọi P J N �AD Q AC �MP C Nên: Q �AC � Q �(ABC) Q �MP �(MNJ ) � Q�(MNJ ) K Suy ra: Q điểm chung thứ hai hai mp(MNJ) (ABC) Vậy: LQ = (MNJ) �(ABC) Bài 4: Cho tứ diện ABCD Trên AB lấy M với AM AB Gọi I, K trung điểm AC, A AD Tìm giao tuyến hai mp(MIK) (BCD) Giải: Ta có: MK BD khơng song song Gọi P MK �BD M P � MK � P � (MIK ) P � BD � P � (BCD) Nên: K Suy ra: P điểm chung thứ hai mp(MIK) (BCD) Ta lại có: MI BC khơng song Gọi Q MI �BC I D Q � BC � Q � (BCD) Q � MI � Q � (MIK ) Nên: P B Suy ra: Q điểm chung thứ hai mp(MIK) (BCD) Vậy: PQ = (MIK) �(BCD) C Q c) Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện khơng song song điểm S không nằm mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến mp: a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SAD) (SBC) HD: a) Gọi O = AC �BD (SAC) �(SBD) = SO b) Gọi E CD �AB (SAB) �(SCD) = SE c) Gọi F AD �BC (SAD) �(SBC) = SF Bài 2: Cho tứ diện ABCD có E trung điểm AB Hãy xác định giao tuyến mp(ECD) với mp(ABC), (ABD), (BCD) (ACD) HD:*(ECD) �(ABC) = EC;*(ECD) �(ABD) = ED;*(ECD) �(BCD) = CD;*(ECD) �(ACD) = CD Bài 3: Cho S làmột điểm khơng thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) HD: Gọi O AC �BD (SAC) �(SBD) = SO Bài 4: Cho hình chóp S.ABCDE Hãy xác định giao tuyến mp(SAC) với mp(SAD), (SCE) (SBE) HD: * (SAC) �(SAD) = SA; * (SAC) �(SCE) = SC; * Gọi AC �BE (SAC) �(SBE) = SO Bài 5: Cho điểm S, A, B, C không đồng phẳng Gọi M, N, I trung điểm AB, BC, SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau: a) (SAN) (SCM) b) (SCM) (BIC) HD: a) Gọi O AN �CM (SAN) �(SCM) = SO b) Gọi J SM �BI (SCM) �(BIC) = CJ Bài 6: Cho tứ diện ABCD điểm M thuộc miền ABC Gọi I J tương ứng hai điểm cạnh CD BD cho IJ không song song với BC a) Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IJM) (ABC) b) Lấy N điểm thuộc miền ABD cho JN cắt AD L Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MNJ) (ACD) HD: a) Gọi K IJ �BC (IJM) �(ABC) = MK b) Gọi P JN �AB Q MP �AC (MNJ) �(ACD) = LQ Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện AB CD không song song Lấy điểm M thuộc miền SCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: a) (SBM) (SCD) b) (ABM) (SCD) c) (ABM) (SAC) HD: a) (SBM) �(SCD) = SM b) Gọi N AB �CD (ABM) �(SCD) = MN c) Gọi P MN �AC (ABM) �(SAC) = AP Bài 8: Cho tứ diện ABCD M N trung điểm AD BC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) (NAD) HD: (MBC) �(NAD) = MN Bài 9: Cho tứ diện SABC Gọi M, N đoạn SB SC cho MN khơng song song với BC Tìm giao tuyến mặt phẳng: a) (AMN) (ABC) b) (ABN) (ACM) Q BN � CM (ABN) �(ACM) = AQ HD: a) Gọi P MN �BC (AMN) �(ABC) = AP b) Gọi Bài 10: Cho tứ diện SABC Gọi I, J, K ba điểm tùy ý SB, AB, BC cho JK không song song với AC SA không song song với IJ Định giao tuyến hai mp(IJK) (SAC) HD: Gọi P J K �AC Q IJ �SA (IJK) �(SAC) = PQ Bài 11: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G điểm AB, AC, BD cho EF cắt BC I, EG cắt AD H Định giao tuyến mp(EFG) với mp(BCD) (ACD) HD: * (EFG) �(BCD) = IG * (EFG) �(ACD) = FH Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi M điểm cạnh CD Tìm giao tuyến mp: a) (SAM) (SBD) b) (SBM) (SAC) HD: * Gọi P AM �BD (SAM) �(SBD) = SP; * Gọi Q AC �BM (SBM) �(SAC) = SQ Bài 13: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N điểm nằm ABC ACD Tìm giao tuyến của: a) (AMN) (BCD) b) (CMN) (ABD) HD: * Gọi Q AM �BC P AN �CD (AMN) �(BCD) = PQ * Gọi E CM �AB E CN �AD (CMN) �(ABD) = EF Bài 14: Cho tứ diện ABCD M nằm AB cho AM = MB N nằm AC cho AN = 3NC Điểm I nằm BCD Tìm giao tyến mp(MNI) với mp(BCD), (ABD) (ACD) HD: * Gọi E BC �MN (MNI) �(BCD) = IE; * Gọi P IE �BD (MNI) �(ABD) = MP * Gọi Q IE �CD (MNI) �(ACD) = NQ Bài 15: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AD, BC a) Tìm giao tuyến (IBC) (JAD) b) M điểm AB, N điểm AC Tìm giao tuyến (IBC) (DMN) b) Gọi P DN �CI Q BI �DM (IBC) �(DMN) = PQ AM AN � Bài 16: Cho tứ diện ABCD Trên AB, AC lấy hai điểm M, N cho Tìm giao MB NC tuyến hai mp(DMN) (BCD) HD: Gọi E MN �BC (DMN) �(BCD) = DE 2) Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( ) a) Phương pháp: Phương pháp 1: 1) Tìm a � ( ) 2) Chỉ d �a M Suy ra: d �() M (hình 1) Phương pháp 2: 1) Tìm ( ) chứa d 2) Tìm giao tuyến ( ) ( ) Chẳng hạn: ( ) �( ) = a 3) Trong ( ), d �a M Suy ra: d �() M (hình 2) d HD: a) (IBC) �(JAD) = IJ M d a Hình a Hình M A b) Bài tập mẫu: Bài 1: Cho tam giác BCD điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) Gọi K trung điểm AD G trọng tâm tam giác ABC Tìm giao điểm đường thẳng GK mp(BCD) Giải: Gọi J AG �BC B Ta có: + DJ �(BCD) + E DJ �GK (vì GK DJ khơng song song) E Vậy: GK �(BCD) = E K G D J C A Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J điểm nằm cạnh AB, AD với AI IB AJ JD 2 Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp(BCD) Giải: Ta có: + BD �(BCD) B + K IJ �BD (vì IJ BD khơng song song) Vậy: IJ �(BCD) = K I J K D C Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K điểm cạnh AB, BC, CD cho AI AB , BJ BC , CK CD 3 Tìm giao điểm mp(IJK) AD Giải: Vì BD JK không song song Gọi E IJ �BD O Khi đó: + IE �(IJK ) + F IE �AD B Vậy: AD �(IJK) = F A I F D C' A' Bài 4: Cho tam giác ABC điểm O mp(ABC) Trên đoạn OA, OB, OC ta lấy điểm A’, B’, C’ K J C B' A D' M' C M D B E không trùng với đầu mút đoạn thẳng Trong tam giác ABC lấy điểm M Tìm giao điểm của: a) B’C’ với mp(OAM) b) OM với mp(A’B’C’) ’ ’� Giải: a) B C (OAM) = ? Gọi D AM �BC � OD �(OAM) B�� C �OD Gọi D� ’ ’� Vậy: B C (OAM) = D� b) OM �(A’B’C’) = ? D �(A ��� BC) A �� D �OM A �� Gọi M � ’ ’ ’ Vậy: OM �(A B C ) = M � Bài 5: Cho điểm S, A, B, C không nằm mặt phẳng Gọi I H trung điểm SA AB Trên đoạn SC, ta lấy điểm K cho CK = 3KS S a) Tìm giao điểm BC mp(IHK) K b) Gọi M trung điểm IH Tìm giao điểm KM với mp(ABC) I Giải: a) Vì IK AC không song song Gọi D AC �IK Gọi E DH �BC DH �(IHK) M A D Vậy: BC �(IHK) = E C b) Ta có: DE �(ABC) N H Gọi N DE �KM E Vậy: KM �(ABC) = N B Bài 6: Cho hình thang ABCD đáy lớn AB S�(ABCD) Lấy I, J, K S SA, SB, SC a) Tìm giao điểm IK với mp(SBD) b) Tìm giao điểm (IJK) với SD, SC I J Giải: a) Gọi O AC �BD L Gọi L IK �SO SO �(SBD) H Vậy: IK �(SBD) = L K A B b) * Ta có: K J K �SC JK �(IJK) Vậy: (IJK) �SC = K * Gọi H JL �SD JL �(IJK) O Vậy: (IJK) �SD = H D C Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N hai điểm S AD SB a) Tìm giao điểm K MN (SAC) b) Tìm giao điểm L DN với (SAC) Giải: a) Gọi O BM �AC N L Gọi K MN �SO SO �(SAC) K A Vậy: MN �(SAC) = K D M I BD � AC b) Gọi O Gọi L DN �SI SI �(SAC) I Vậy: DN �(SAC) = L B c) Bài tập tự luyện: C Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC Gọi K điểm cạnh BD trung điểm Tìm giao điểm của: a) CD với mp(MNK) b) AD mp(MNK) � HD: a) Gọi E CD �NK ; CD (MNK) = E b) Gọi F AD �ME ; AD �(MNK) = F Bài 2: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB AC lấy điểm M, N cho MN không song song với BC Gọi O điểm nằm tam giác BCD a) Tìm giao điểm MN mp(BCD) b) Mp(OMN) cắt đường thẳng BD CD H K Xác định điểm H K HD: a) Gọi E MN �BC ; MN �(BCD) = E b) * Gọi H OE �BD ; DB �(OMN) = H * Gọi K OE �CD ; CD �(OMN) = K Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, J, K điểm cạnh SA, AB, BC Giả sử đường thẳng JK cắt đường thẳng AD, CD M, N Tìm giao điểm đường thẳng SD SC với mp(IJK) HD: * Gọi P IM �SD ; SD �(IJK) = P * Gọi Q PN �SC ; SC �(IJK) = Q Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P điểm cạnh AC, BC, BD a) Tìm giao điểm CP với mp(MND) b) Tìm giao điểm AP mp(MND) HD: a) * Gọi I = ND �CP ; CP �(MND) = I b) Gọi J = IM �AP; AP �(MND) = J Bài 5: Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N lấn lượt trung điểm AC BC Trên BD lấy điểm P cho BP = 2PD Tìm giao điểm đường thẳng CD với mp(MNP) HD: Gọi K = NP �CD; CD �(MNP) = K Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi I, J trung điểm SA, SB M điểm tùy ý cạnh SD a) Tìm giao điểm K IM với mp(SBC) b) Tìm giao điểm N SC với mp(IJM) � � HD: a) Gọi P = AD BC; Gọi K = SP IM = K; IM �((SBC) = K b) Gọi N = JK �SC; SC �(IJM) = N Bài 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC, BC K điểm cạnh BD không trùng vối trung điểm BD a) Tìm giao điểm CD (MNK) b) Tìm giao điểm AD (MNK) HD: Gọi H = NK �CD; CD �(MNK) = H b) Gọi J = HM �AD; AD �(MNK) = J Bài 8: Cho tứ diện ABCD M, N điểm cạnh AC, AD O điểm bên BCD Tìm giao điểm của: a) MN (ABO) b) AO (BMN) � � HD: a) Gọi P = BO CD; Gọi K = AP MN; MN �(ABO) = K b) Gọi H = BK �AO; AO �(BMN) = H 3) Chứng minh điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy: a) Phương pháp: + CM điểm thẳng hàng (hoặc nhiều điểm thẳng hàng), ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt + CM đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng không đồng phẳng cắt đôi b) Bài tập mẫu: A Bài 1: Cho tứ diện ABCD Lần lượt lấy điểm M, N, P cạnh AB, AC, AD cho PN cắt CD I, PM cắt BD J, P MN cắt BC K Chứng minh điểm I, J, K thẳng hàng M Giải: Ta có: * I = PN �CD � I điểm chung mp(MNP) (BCD) * J = PM �BD � J điểm chung mp(MNP) (BCD) D * K = MN �BC � K điểm chung mp(MNP) (BCD) J N B Vậy: điểm I, J, K thẳng hàng S I Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Lấy điểm M cạnh SD M AB cắt CD K a) Xác định giao điểm L đường thẳng SC với mp(ABM) b) Chứng minh điểm M, L, K thẳng hàng A Giải: a) Ta có: K = AB �CD Gọi L = MK �SC � � Vậy: L = SC (ABM) (vì MK (ABM)) b) Ta có: * M điểm chung mp(ABM) (SCD) D * L điểm chung mp(ABM) (SCD) * K điểm chung mp(ABM) (SCD) C K L B C K Vậy: điểm M, L, K thẳng hàng Bài 3: Cho tứ diện ABCD, I nằm BD BD cho ID = 3IB, M N hai 1 K điểm thuộc cạnh AD, DC cho MA = MD, ND = NC 2 a) Tìm giao tuyến PQ (IMN) (ABC) A b) Chứng minh MN, PQ AC đồng quy Giải: a) * Gọi P = IN �BC M Nên: P�IN � P�(IMN) P �BC � P�(ABC) � P điểm chung thứ mp(IMN) (ABC) Q * Gọi Q = IM �BD B Nên: Q�IM � Q�(IMN) Q�BD � Q�(ABC) I D � Q điểm chung thứ hai mp(IMN) (ABC) P N Vậy: PQ = (IMN) �(ABC) b) * Trong mp(ACD), ta có: AC cắt MN K C * Trong mp(ABC), ta có: PQ cắt AC K * Trong mp(IMN), ta có: MN cắt PQ K A Vậy: MN, PQ AC đồng quy K (vì MN, PQ AC khơng đồng phẳng) Bài 4: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N, P M AB, AC, BD cho MN cắt BC I, MP cắt AD J Chứng minh PI, NJ, CD đồng quy Giải: * Trong mp(BID), ta có: PI cắt CD K N * Trong mp(ACJ), ta có: NJ cắt CD K P D B * Trong mp(MIJ), ta có: NJ cắt PI K K Vậy: PI, NJ, CD đồng quy K (vì PI, NJ, CD khơng đồng phẳng) C J I c) Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa ABCD Gọi M, N trung điểm SC, SD Gọi I giao điểm AD BC, J giao điểm AN BM a) Chứng minh S, I, J thẳng hàng b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh rằng: SO, AM, BN đồng quy Bài 2: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm I đường thẳng BD cho I không thuộc đoạn thẳng BD Trong mặt phẳng (ABD), ta kẻ đường thẳng qua I cắt đoạn thẳng AB K, cắt đoạn thẳng AD L Trong mặt phẳng (BCD), đường thẳng qua I cắt CB CD M, N a) Gọi E giao điểm BN DM, F giao điểm KN LM Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Giả sử hai đường thẳng LN KM cắt H CMR: điểm A, C, H thẳng hàng Bài 3: Cho tứ diện SABC có D, E trung điểm AC, BC G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( ) qua AC cắt SE, SB M, N Một mp( ) qua BC cắt SD SA P Q a) Gọi I = AM �DN, J = BP �EQ CMR: điểm S, I, J, G thẳng hàng b) Giả sử AN �DM = K, BQ �EP = L CMR: điểm S, K, L thẳng hàng Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD S �(ABCD) Gọi M điểm SC, gọi O giao điểm AC BD a) Tìm giao điểm N SB mp(ADM) b) Chứng minh SO, AM, DN đồng quy Bài 5: Cho tứ diện ABCD, lấy I, J cạnh AB, AC với IJ không song song với BC Lấy điểm O tam giác BCD a) Tìm giao điểm E, F, G (OIJ) với CD, BD, AD b) Chứng minh AD, EJ, IF đồng quy Bài 6: Cho tứ diện ABCD M, N trung điểm BC, BD Các điểm R, S thuộc AD, 1 AC cho AR = AD, AS = AC Chứng minh đường thẳng AB, MS, NR đồng quy 3 Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, O giao điểm hai đường chéo, M, N trung điểm SA, SD Chứng minh đường thẳng SO, BN, CM đồng quy Xác định thiết diện: a) Phương pháp: Xác định thiết diện hình chóp với mp(P: Xác định giao tuyến (P) với mặt hình chóp đến giao tuyến khép kín ta thiết diện b) Bài tập mẫu: S Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn Gọi M, N trung điểm cạnh SB SC M F Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD mp(AMN) N Giải: Ta có: * (SBC) �(AMN) = MN * (SAB) �(AMN) = AM P B C � � � Gọi E = AD BC, F = MN SE , P = AF SD E * (SAD) �(AMN) = AP D * (SCD) �(AMN) = NP A Vậy: Thiết diện cần tìm tứ giác AMNP Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Trong tam giác SCD, ta lấy điểm M S Tìm thiết diện hình chóp với mp(ABM) Giải: Ta có: * (ABM) �(ABCD) = AB Gọi O = AC �BD, I = SO �BM, E = AI �SC, F = EM �SD F � * (ABM) (SBC) = BE * (ABM) �(DCS) = EF M * (ABM) �(SAD) = AF Vậy: Thiết diện cần tìm tứ giác ABEF A D I B E O Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình bình hành C Gọi H K trung điểm cạnh CB CD S M điểm cạnh SA Tìm thiết diện hình chóp với mp(MHK) M Giải: Ta có: * (MHK) �(ABCD) = HK F Gọi I = HK �AB, J = HK �AD E = MI �SB, F = MJ �SD A J E * (MHK) �(SBC) = HE D * (MHK) �(SAB) = EM K * (MHK) �(SAD) = MF B C H * (MHK) �(SCD) = FK I Vậy: Thiết diện cần tìm ngũ giác HEMFK c) Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Một điểm M cạnh SD cho SD = 3SM a) Tìm giao tuyến (SAC) (SBD) b) Xác định giao điểm I BM (SAC) c) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD mp(MAB) Bài 2: Cho tứ diện ABCD, điểm I nằm BD BD cho ID = 3IB, N hai điểm thuộc 2 cạnh AD, DC cho MA MD , ND NC a) Xác định giao tuyến PQ (IMN) (ABC) b) Xác định thiết diện tạo (IMN) với tứ diện c) Chứng minh MN, PQ, AC đồng quy Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC a) Tìm giao điểm I AM với (SBD) b) Tìm giao điểm F SD với (AMB) c) Xác định thiết diện tạo (AMB) hình chóp S.ABCD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn Gọi M, N trung điểm SB SC a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) b) Tìm giao điểm SD với (AMN) c) Tìm thiết diện tạo mP(AMN) hình chóp S.ABCD BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho điểm A không nằm mp( ) chứa tam giác BCD Lấy E, F điểm nằm cạnh AB, AC a) Chứng minh đường thẳng EF nằm mp(ABC) b) Khi EF BC cắt I, chứng minh I điểm chung hai mp(BCD) DEF) Bài 2: Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi GA, GB, GC, GD trọng tâm tam giác BCD, CDA, ABD, ABC Chứng minh AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy Bài 3: Cho tứ giác ABCD nằm mp( ) có hai cạnh AB CD khơng song song Gọi S điểm nằm ngồi mp( ) M trung điểm đoạn SC a) Tìm giao điểm N đường thẳng SD mp(MAB) b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy Bài 4: Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N trung điểm AC BC Trên đoạn BD lấy điểm P cho BP = 2PD a) Tìm giao điểm đường thẳng CD mp(MNP) b) Tìm giao tuyến hai mp(MNP) (ACD) Bài 5: Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi I, K trung điểm hai đoạn thẳng AD BC a) Tìm giao tuyến hai mp(IBC) (KAD) b) Gọi M, N hai điểm lấy hai đoạn thẳng AB, AC Tìm giao tuyến hai mp(IBC) (DMN) Bài 6: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD, cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm AD a) Gọi E giao điểm đường thẳng MP đường thẳng BD Tìm giao tuyến hai mp(PMN) (BCD) b) Tìm giao điểm mp(PMN) BC Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Trong mp đáy vẽ đường thẳng d qua A không song song với cạnh hình bình hành, d cắt đoạn BC E Gọi C ’ điểm nằm cạnh SC a) Tìm giao điểm M CD mp(C’AE) b) Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(C’AE) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có AB CD khơng song song Gọi M điểm thuộc miền tam giác SCD a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mp(SBM) b) Tìm giao tuyến hai mp(SBM) (SAC) c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mp(SAC) d) Tìm giao điểm P SC mp(ABM), từ suy giao tuyến hai mp(SCD) (ABM) ... tùy ý SB, AB, BC cho JK không song song với AC SA không song song với IJ Định giao tuyến hai mp(IJK) (SAC) HD: Gọi P J K �AC Q IJ �SA (IJK) �(SAC) = PQ Bài 11: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F,... khơng song song) Vậy: IJ �(BCD) = K I J K D C Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K điểm cạnh AB, BC, CD cho AI AB , BJ BC , CK CD 3 Tìm giao điểm mp(IJK) AD Giải: Vì BD JK khơng song song... Giải: Ta có: MK BD không song song Gọi P MK �BD M P � MK � P � (MIK ) P � BD � P � (BCD) Nên: K Suy ra: P điểm chung thứ hai mp(MIK) (BCD) Ta lại có: MI BC khơng song Gọi Q MI �BC I D Q �